数理論理学（数学基礎論）　その14

数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その13
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532721493/

数学基礎論は数学の基礎論ではない。まったく数学には関係ない論理のお遊び

Vの中で操作してる以上は数学だぞ

計算機科学はチューリングマシンをイデア的に捉える
論理学は一階述語論理を人の論理の形式化とする
数学はチューリングマシンも一階述語論理も集合とする

Yコンビネータ

型無しラムダ計算においてよく知られた（そしておそらく最もシンプルな）
不動点コンビネータはYコンビネータと呼ばれる。これはハスケル・カリーによって
発見されたもので、次のように定義される。

Y = (λf . (λx . f (x x)) (λx . f (x x)))

実際に関数gを適用することによって、この関数が不動点コンビネータとして動作する
のが分かる。

Y g = (λf . (λx . f (x x)) (λx . f (x x))) g (Yの定義より)
= (λx . g (x x)) (λx . g (x x)) (λfのβ簡約、主関数をgに適用)
= (λy . g (y y)) (λx . g (x x)) (α変換、束縛変数の名前を変える)
= g ((λx . g (x x)) (λx . g (x x))) (λyのβ簡約、左の関数を右の関数に適用)
= g (Y g) (第2式より)

これをそのままラムダ計算で使うと、評価戦略が値渡しだった場合には (Y g) が
(g (Y g)) と展開された後も、引数の値を先に求めようとして
(g (g (Y g))) →...→ (g ... (g (Y g))...) のように無限に展開され続けて
止まらなくなってしまうので、次節で示すZコンビネータのように修正する。

評価戦略が名前渡しの場合はこのまま使える。 このカリーによるコンビネータのみを
Yコンビネータとすることもあるが、実装などでは不動点コンビネータを指す名前として
他の形であってもYという名前を使っていることもある。

SKIコンビネータ計算では次のようになる。
Y = S (K (S I I)) (S (S (K S) K) (K (S I I)))

>>4
計算機科学はチューリングマシンをハードウェア、機械として捉える、が正解

>>5
> Yコンビネータ
・・・
> Y = (λf . (λx . f (x x)) (λx . f (x x)))
> 評価戦略が名前渡しの場合はこのまま使える。 ・・・

これは間違い。評価戦略が名前渡しであっても Y は使えない。それを示すために
君が書き下してくれたY gの式変形をどちら向きにも進める変換 “＝” による等式でなく
簡約 “→” による評価として→で向き付けられた形に書き直してみよう。

（“≡” は構文的に同一の項であることを示す。なお、「α変換」は
束縛変数に対する名前の付け替えというメタ言語的な操作なので
ここではα変換の前後は構文的に同一の項として扱い“≡”で示した）

　 Y g
≡ (λf . (λx . f (x x)) (λx . f (x x))) g (Yの定義より)
→ (λx . g (x x)) (λx . g (x x)) (λfのβ簡約、主関数をgに適用)
≡ (λy . g (y y)) (λx . g (x x)) (α変換、束縛変数の名前を変える)
→ g ((λx . g (x x)) (λx . g (x x))) (λyのβ簡約、左の関数を右の関数に適用)
← g (Y g) (第2式より)

最後のステップが逆向きの簡約 “←” であることに注意。
このステップは絶対に本来の簡約 “→” の向きには書き直せないので
Y コンビネータは名前呼びでも使えないことが分かる。

名前呼びの簡約戦略の場合に正しく動く不動点コンビネータで最も有名な例は
Turing のΘコンビネータで、λ項として書き下すと以下のようになる：

Θ ≡ (λx y, y(x x y))(λx y, y(x x y))

最後に、これを用いた Θg という項が簡約によって確かに g(Θg) になることを確かめておく：

　 Θ g
≡ ((λx y, y(x x y))(λx y, y(x x y))) g
≡ ((λz w, w(z z w))(λx y, y(x x y))) g　・・・・・・・・・・・・　α変換
→ (λw. w((λx y, y(x x y))(λx y, y(x x y)) w)) g　・・・　 β簡約
≡ (λw. w(Θ w)) g　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・　Θの定義で置き換え
→ g(Θ g)

なお、値呼びの簡約戦略で正しく動く不動点コンビネータも勿論ある。
具体的な定義は、例えば次にある：
Daniel P. Friedman & Matthias Felleisen “The Little Schemer” 4th ed., p. 172 (The MIT Press, 1996).

>>7訂正

失礼、チューリングのΘコンビネータのλ項で、束縛変数とλ項本体とを区切るピリオド “.” が間違ってコンマ “,” になってました

Bertrand Russellはその著書「Principia Mathematica」の序で次のように述べている。
「……数学の原理に関するいかなる理論も、それを支持する主たる論拠は、
常に帰納的なものでなければならない。換言すれば、それはその問題の理論によって、
我々が通常の数学を演繹できるという事実の中に存在するものでなければならない。
数学においては、最高度の自明性は、演繹のはじめの段階で得られることはめずらしく、
解いていくにつれてある段階で得られるというのが普通である。

したがって、その段階に到達するまでの初期の演繹においては、前提から真の結論が
引き出されるという理由でその前提が信じられるのであり、前提からその結論が
引き出されるという理由でその結論が信じられるのではない」

つまりコーエン最強と

age

まだまだ死に絶えてはいません

∪Aに関する疑問を突き詰めてみると
P(x)≡∃y∈A(x∈y)
の真偽って確定するとしていいのかな？
与えられたｘについてyを選ばなくて良いって言うのはなんだか胡散臭いし
選び出すことができるってなんだか選択公理っぽい
公理にしてる根拠が薄くないかな

選び出すって何おかしなこと言うてんねん
存在するかどうかを問題にしてるだけや

何が存在してるか言えなくて
何か存在してるだけではやだなぁ

xに対して
∃y∈A(x∈y)
が成り立っているとき、そのyをブルバキ流に書けば
τy(y∈A∧x∈y)
だ
これは∃の意味をどう決めるかによる

ブルバキだと
｛(x,τy(y∈A∧x∈y))}
は集合なの？
これが集合なら
F=｛(x,τy(y∈Bx))｝
も集合？Fって選択関数のことだけど

xが集合で、
∃y(y∈A∧x∈y)
が成り立ってるなら
τy(y∈A∧x∈y)
も集合。だから
(x,τy(y∈A∧x∈y))
は集合。よって
｛(x,τy(y∈A∧x∈y))}
は集合。

Bxが何のことかわからないけど、
何か集合aがあって、Bをa上の写像と見做すことにする。
∀x∊a(Bx≠φ)
が成り立ってるなら、
F={(x,τy(y∈Bx))| x∊a}
はブルバキでは選択関数となる。
でもそれはτに強い規則を課していて
s=t⇒τy(y∈Bs)=τy(y∈Bt)
が満たされるから。
ブルバキでは選択公理は定理となる。
でもブルバキ読んでないしあまり詳しいことはよく知らない。

>>18
>ブルバキでは選択公理は定理となる
ありがとう
やはりブルバキだとそうなるのね
ちょっと強すぎな感じ

数学基礎論=ZFC教

>>20
そんなことはない

>>20
> 数学基礎論=ZFC教

全くの間違い
数学基礎論は本来は今の数理論理学全般を指すのではなく数学の基礎付け＝ヒルベルトのプログラムの精神を引き継いだ学問分野を表していた
そういう意味では数学基礎論の最もコアな部分は証明論それもGentzen流の純粋に構文的な手段のみに限定して還元主義的な証明論だが
このGentzen流証明論は構文的であるが故にZFCのような集合論とは全く無縁と言って良い

現在の日本のように「数学基礎論」という学問名を「数理論理学」つまり論理を数学的な手段で分析する学問一般を表すものとして使うのは
数学基礎論本来の意味からは邪道極まりない使い方

竹内先生や八杉さんらが共立現代数学講座から出した『数学基礎論』は実に正しい使い方だ、何しろあの本には証明論しか書いてないのだから
その点、新井さんの岩波からの『数学基礎論』は邪道なタイトルだなｗ

でも、竹内先生らの本が同講座の巻が軒並み品切れとなって久しいころに復刊された時には『証明論入門』というタイトルに変えられてしまった
その頃には「数学基礎論」という言葉が本来の意味でなく数理論理学一般を指す邪道な使われ方がメジャーになってしまっていたから
数理論理学の教科書としては証明論しか書いてないので羊頭狗肉だと（数学基礎論の本来の意味を知らない）無知な読者たちから
批判を浴びるのを出版社が恐れたからかも知れないね

>>22は頭の堅い人の偏見だから割り引いて読むように

計算機科学でも数学でもない一群

「本来は」とか言い出したら現代数学のほぼ全てが邪道になってしまうよ
数学に限らず物理もそうかな

>>24
wikipediaでもmathoverflowでもmathematical logicを数学の分野として扱ってるが

逆にマスマティクスじゃないロジックってなんなの？

ヘーゲルみたいなやつ

論理哲学みたいな奴？

>>23
“mathematical logic”という分野の意味で「数理論理学」でなく「数学基礎論」の語を使う日本だけが異常なんだよ
海外では“foundations of mathematics”と“mathematical logic”は適切に使い分けられているよ
学問分野の名称（前者FMは後者MLの一部分というか“philosophy of mathematics”とも共通部分を持つような学問領域を指す）でも
書籍のタイトルでもね

数学に威張り散らすより実学工学な計算機科学と密接に連携しろよ。

まあ文学部卒のバカだと実学な時点で臍が曲がるんだろうけど。

超巨大基数ってクラスぐらいに大きい集合があるってことにしたいことかな？
ZFに付け加えても矛盾起こらないんだろうけれども

文学部が計算機科学と連携とか面白そうだな
俺は数学科卒だけど

今日本の数理論理学、数学基礎論の日本を代表する研究者って誰？

>>34
新井先生

誤解する人はいないとは思うが旦那の方だな

test

test

ｎ変数部分帰納的関数ｆ、ｇについて質問ですが、
f \simeq g の定義って、｢ｆ、ｇの定義域が一致して、その定義域における値も一致している｣
つまり｢ｆ、ｇを(n+1)項関係関係と見たとき、集合としてｆ=ｇ｣という理解でいいですか？

それとも、｢ｆ、ｇの定義域は異なっていても良いが、ｆ、ｇ両方の定義域に属する元に対しては値が一致する｣ということですか？

さあ？

数理論理学（数学基礎論）　その14
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg

https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

3600
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
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新井敏康『数学基礎論』の集合論の章で、
Godel operationとして書いてある
F4(x,y):={u∪{v}:u∈x, v∈y}から
直積が構成できると書いてあるけど、
具体的にはどうやれば良いですかね？

冪集合の公理も置換公理もないから
どうやれば良いのかちょっとよく分からないのですが。

このスレ死んだな
たまにチラホラ更新されるから見てたんだけど

新井さんの本のタイトルが『数学基礎論』ってなんか大袈裟というか羊頭狗肉というか

数学の基礎付けに関して特記すべきような内容は何も書いてなくて
数理論理学の教科書として標準的な話題を扱ってるだけなんだから
素直に『数理論理学』ってタイトルにしとけばよかったのに

数理論理学も複素関数化すると簡単になるのか？
解析接続とか数理論理学で聞いたことないが…

>>47
頑張ってね

>>46
英文タイトルは？

>>44
F4って順序対には成らないの？

>>47-48
解析接続を一般化した概念の「層」を使った強制法という手法で連続体仮説が解決されてる。

強制法に層は普通出てこないと思うが
そういうのが載ってる資料とかあるなら興味あるから知りたい

>>51
> 解析接続を一般化した概念の「層」

本の拾い読みばっかりしてる感じ

>>53
コピペで数物の話題をIUTのスレに書き込んでる奴にストーカーされても困るしな。

>>54
全く意味不明

>>52 トポスのことを層と同一視してしまっているのだろうと思う。
ある種のトポスと一階述語論理に対応がついて，その上で強制法が展開できるのはマックレーンのSGLとかに載っているが，層論的に整理した複素解析とトポスとは直接的な関係はあんまりないと思う。知らんけど

>>52 トポスのことを層と同一視してしまっているのだろうと思う。
ある種のトポスと一階述語論理に対応がついて，その上で強制法が展開できるのはマックレーンのSGLとかに載っているが，層論的に整理した複素解析とトポスとは直接的な関係はあんまりないと思う。知らんけど

>>49
Mathematical Logic　だね

京都賞が如何にも基礎論っぽい方向だしそう名付ける方が本人にはしっくりくるんだろう

集合論の初歩の指導に関する質問

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/

ここの>>1が
「{}∈{{}}　{{}}∈{{{}}}　だから　{}∈{{{}}}だ」　とか
「{{}}∈{{{}}}　で　{{}}は集合　だから　{{}}⊂{{{}}}だ」　とか
トンチンカンなことばっかりいうんですよ

どういう指導が効果的でしょうか？
また　どういうテキストがおすすめでしょうか？

>>58
> Mathematical Logic　だね

だよねー
だったら新井さんも日本語タイトルは「数理論理学」にしておけよって話

日本だけだよ、大昔ならいざ知らず現代になっても
“foundations of mathematics”（に相当する言葉）を“mathematical logic”（に相当する言葉）と全くの同義語かの如く使うのは

新井さんが英語タイトルを『数学基礎論』に相当する“Foundations of Mathematics”でなく“Mathamatical Logic”にしてるってことは
彼は日本だけの非常識さを知ってるってことだ
にも拘わらず日本語タイトルでは相変わらず羊頭狗肉な『数学基礎論』を使うって実に質が悪いとしか言い様がない

>>61
＞羊頭狗肉な『数学基礎論』

私は逆の認識ですけどね

「数学基礎論」って数理哲学みたいじゃないですか
でも中身は完全に数学　むしろ狗頭羊肉

ということで、あなたとは全く逆の考えから
日本語タイトルは「数理論理学」にしておいたほうがよかった
と思っています

三段論法みたいに人間が直感的に信じてる論理って誰が用意したんだろう

>>59
文意を把握できない
京都賞と数理論理学の関係をどうとらえているの？

>64
失礼。思い切り思い込みでてきとー書いちまった。
日本数学会賞。

あげ

>>62
貴方がどちらを高級と考えているかはこの議論に全く関係ない
日本のその分野の研究者たちの間では「数学基礎論」のほうが「数理論理学」より高級だと思われている、という事実だけが重要

彼ら自身の間ではそう思われていることの証拠は、彼らの研究分野の英語名がmathematical logicであるにもかかわらず
日本語では自分達の分野を今でも数学基礎論と呼ぶケースが現在でも極めて多いからだ
つまり数学的であること以上に「（数理）哲学」的であることを高級だと思っているということだ

これは私の個人的な推測であり根拠も証拠もないが、彼らは自分達の分野が恐らく「数学とは何かの本質に迫っている」とでも思いたいから
「数理論理学」という単純に技術的な手段と研究対象とから成る分野名でなく「基礎論」という言葉を有難がって今も使いたがるのだと思われる

だから新井さん本人を含め彼ら自身にとっては「数学基礎論」という呼び名のほうが「数理論理学」よりも高級な名前なのですよ
貴方が逆だと思おうともね

>>67
すごい早口で言ってそう

>>62
数理論理学は羊頭狗肉

論理主義者は数理論理学＝基礎論って考えになるんじゃないの？

論理主義者ならそもそも数学より前に論理学があることになるから、
数学を前提とする数理論理学は基礎にはならないな

正直俺は数学基礎論を日本にしかない別名程度にしか思ってなかったけど

>>71
> 正直俺は数学基礎論を日本にしかない別名程度にしか思ってなかったけど

「数学基礎論」に相当する言葉は海外にもあるぞ、例えば英語ならば“foundations of mathematics”だ
そして、英語圏ではこの言葉はこの言葉に相応しい内容（数学の基礎付けという数理哲学的な色彩の濃い内容）を指したり
そういう内容の書籍のタイトルとして使用されるのが普通だ

“foundations of mathematics”（に相当する言葉）を“mathematical logic”（に相当する言葉）の別名あるいは同義語として
平気で広く使っているのは私の知る限り日本だけだ

>>72
＞“foundations of mathematics”を
＞“mathematical logic”の別名あるいは同義語として
＞平気で広く使っているのは私の知る限り日本だけだ

竹内外史が悪いｗ

史上最低の馬鹿　現るｗｗｗｗｗｗｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/30-31

2215
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

Sierpinskiの“Cardinal and Ordinal Numbers”について質問です。
第１版と第２版とで内容はどの様に違っているのでしょうか？
（ページ数に関しては487pp.と491pp.なので４ページしか増えていないようなのですが）

御存知でしたら教えて頂けると助かります。宜しくお願い致します。

(P∨Q)∧(P∨R)├P∨(Q∧R)
この証明ってレモン方式の自然演繹でどう記述すればいいんでしょうか？

初歩的なことなんでしょうけど、どうしてもわからないのでどなたかお教えください。
よろしくお願いします。

>>77
長いよ

(P∨Q)∧(P∨R)|-P∨Q
(P∨Q)∧(P∨R)|-P∨R
P|-P∨(Q∧R)
¬P,P∨Q|-Q
¬P,P∨R|-R
Q,R|-Q∧R
Q∧R|-P∨(Q∧R)
を組み合わせてね
爆発律と排中律を使うし

(P + Q)*(P + R)
=P + P*R + Q*P + Q*R
=(P + P*Q) + P*R + Q*R
=P + P*R + Q*R
=(P + P*R)+ Q*R
=P + Q*R

>>77
(P∨Q)∧(P∨R)|-P∨Q
(P∨Q)∧(P∨R)|-P∨R
P|-P∨(Q∧R)
Q,R|-Q∧R
Q∧R|-P∨(Q∧R)

P→QはあるのにP←Qはないの？P↔QはあるよねP←Qを見かけないんだけど？

P←Qがあれば（P→Q)←R=P→（Q←R)とか分かりやすいのに

>>83
←があれば便利だと思うのならば自分で好きに定義して使えば良いじゃない、例えば

　P←Q　def＝　Q→P

とね

ついでに言えば、自然言語の文法を型理論的に分析するLambek Calculusだと
上の→と←との各々に対応する型構成子がある
“Lambek Calculus”とか“Categorial Grammar”とかで色々と調べてみてごらん

>>84
>P←Q　def＝　Q→P
読み方は
「なんとなれば」
でいいかな？チョット長い
「なしか」
でどうかな

英語ではすでにifとonly ifでわけてるんじゃないですか？

P if QはP←Q
P only if Qは？if and only ifで成語となると思うんだけどP only if Q単独で¬P←¬Qの意味になる？

P only if Q
Pが成り立つのはQが成り立つ時に限る

P→Qてことですよね

自分はif and only if (iff)以外の単独でonly ifが使われたのみたときないけど
それはそれとして
P only if QがP→Qであるとしたら
only if＝ならば
if＝？

屁理屈こねる前に素直に英語の意味考えてみればああそうだなってなりますよね

if← and only if→=⇆

これだけですよね

>>90
屁理屈って･･･
if and only ifが⇔の意味であることは良いんだって
only ifが単独で使われたのみたときないのと
それはそれとして
only if＝ならば
となるから
if＝？
と聞いてみただけ

The logical relation is, as before, expressed as "if P, then Q" or "P ⇒ Q".
This can also be expressed as "P only if Q", "P implies Q" or several other variants.

Necessity and sufficiencyのwikipediaの記事で上の通り言ってるぞ、“only if”

ゲーデルの不完全性定理と複素平面上のガウス驚異の定理は関係ありますか？
ヒルベルトはどっちも理解していたはすですが、関連させて研究したひとは
カレーが好きですか。

>>93
＞ゲーデルの不完全性定理と複素平面上のガウス驚異の定理は関係ありますか？
ないですね

¬（P⋀R)を口頭で言うとき、どういえばP⋀¬Rと区別した言い方になりますか？

のっとかっこぴかつきゅかっことじ

日本語で言いたい？

ぴかつきゅということではない

とかでは？

ためになりました。ありがとうございます。>>96

>>94 95 96 97
RをQに読替とは、知能が宇宙人LEV.だ

【予想される超模範怪答】
口頭　⇔　論理式
Pで、Q以外　⇔　P∧¬Q
PとQ　以外　⇔　¬(P∧¬Q)
PやQ　以外　⇔　¬(P∨Q)
Pや　Q以外　⇔　P∨¬Q

【予想されるトンデモ反論】
スペースは、はずせ。
日本語がワカッテない。グダグダ

>>98
¬はノットであって以外では無いのは意外だろうか

0615
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

【あるコーヒー店での注文時の話】

店員「お飲みの場所、お席ですか？」
ポク「店外でないです　店内です!」
店員さんはニコリとし、会計を終えた
コーヒーの注文に今日も成功したゼェ

ちょっと待てよ。変な日本語だよな。
普通の日本語は、普通は、
「店内ですか」とヒアリングだ。でも
「お席ですか」とヒアリングしてきた。

30分程で、コーヒー飲み終え、
カフェインで脳内が活性化だ。閃いた
店内∨お庭　⇔　お席
¬(店内∨お庭)　⇔　¬お席
お庭　⇔　店内なのに店外　あらっ

さて、店内∧立呑なら安くなるか
任意の時に、お質問しようと思う

お庭　⇔　(店内∨お庭)∧¬店内　⇔　お席∧¬店内　⇔　お席∧店外

馬鹿な質問∨馬鹿な小咄　⇔　実に馬鹿

>>103
おかしくね？

日本語の「証明図」って英語にすると何？
proof diagramで検索すると明らかに違うんだが

proof tree

sage

ageてんじゃん

＞ どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
＞
＞ 例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
＞ と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
＞
＞ そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
＞ こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
＞
＞ M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformation は、おそらく、世界を
＞ 席巻することとなろう。

>>109
革命ｗ

http://www.age.ne.jp/x/eurms/musuko_no_higeki.html#00

Ｍ＿ＳＨＩＲＡＩＳＨＩ氏の恐るべきは、様相論理、時間論理、等々のすべてを熟知した上で、あの理論（＝ＲＬ）を提起していることである。

久しぶりに見に来たらちょっとレスが進んでたな

つい最近数理論理学の書籍をアマゾン検索したら、割と新しいのにこんなのが見つかった

数学基礎論序説: 数の体系への論理的アプローチ
逆数学:定理から公理を「証明」する
コンピュータは数学者になれるのか？
確かさを求めて―数学の基礎についての哲学論考

他になんかつい最近出た本や、知られてないけど良い本あったら教えてくれ
(ただし和書で。和訳OK)

『コンピューターは数学者になれるか』は矢田部俊介？（と思われるツイッターアカウント）が推薦してたな

論理学は、諸学の究極の基礎である。

Logic (RL) is the utomost foundation of all of the sciences including Theology. w

SAT成果はなぜ公表されないのだろう。

現代数学の系譜　カントル　超限集合論2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1576852086/

http://www.cs.tsukuba.ac.jp/~mizutani/grad_school/logicSS/2013/2013-06.pdf
演習問題
以下の様相論理の式を証明せよ
1. |-K □p∧□q⊃□(p∧q)
これの解答どなたかたのむ

方針は以下かな
p⊃(q⊃p∧q)
□(p⊃(q⊃p∧q))
□p⊃□(q⊃p∧q)
□p⊃(□q⊃□(p∧q))
□p∧□q⊃□(p∧q)

M_SHIRAISHI？

ああ、今度乃木坂を卒業する白石麻衣か

M白石を怒らす奴
https://www.youtube.com/watch?v=G5miZ_lkupk

>119
助かった。ありがとう

>>118
Qって証明されている命題の全体みたいなもの？
◇って¬□なの？

MIP*=RE ？

哲学科の公開セミナーだとあんな適当なこと言っても怒られないのか
勉強になった

>>125
くわしく

>>126
シーケント計算が(複数の)前提と複数の帰結からなっていることを「主張すること」と「否認できないこと」の組と読み替えて
古典論理のゲンツェン流のシーケント計算の推論規則(右→と左→)が主張と否認の間で命題を移動させることからそれを複数人での議論に見立てた
で古典論理について研究したPeirceがプラグマティズムを提唱したことから、その「複数人間での議論」というところで古典論理からプラグマティズムを見出したんじゃないかって
でもジャンプがありすぎるしシーケント計算って歴史的にプラグマティズムよりかなり最近だよね

>>127
プラグマティズムって知らんけど（知りたくもないけど）
その人が提唱したことがシーケント計算から由来すると推測しているということ？
例え類似のものがあったとしても関連があるかどうか特にこれが元になってそれができているのかどうかは
そうとう精密な調査検証が必要なことかも知れないのに
そういうことって言わないんでしょ？
現代思想とか全部そう
まるで古代宗教と変わらない
まるで厳密性のないなんらかの主張をしたいがために
確固とした基盤のある事柄を木に竹を接ぐように引用する
引用でも何でも無いのにあたかもそれが正しいかのように
怒られないのはみんなそうやってるからだよ

俺も素朴にイデアの実在信じてるピタゴラス教団の末裔だからよくわかるわその気持ち

更に言うと直観主義論理との対比で古典論理とプラグマティズムの関係を述べてた訳だけど、ブラウワーが直観主義論理を提唱したのは1920年代であってPeirceが亡くなった後なのでやっぱりズレてる
古典論理しか研究されてなかった時代なんだから古典論理からプラグマティズムが出てきたと見なされるのはある意味自明で、
それはシーケント計算云々は関係なくて、当然その時なかった直観主義論理から何かが出てくるはずもないのでその時点で古典対直観主義の対立があったかのように言ってたのも欺瞞

適当に書いたらPeirceだけアルファベットで他はカタカナになってしまった
パースな

数学寄りのロジシャンが解釈とか思想史をやりたがらないし哲学畑の人でロジックをやりたがる人も少ないから中途半端な分野になってツッコむ人が少ない
プラグマティズムなんて知りたくもないっていう態度も哲学寄りのロジックが無法地帯になってる原因の一つだよ

http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11723-3/
シリーズ： 基礎数学シリーズ 23
数学基礎論入門 （復刊）
B5／216ページ／2006年03月20日
ISBN978-4-254-11723-3　C3341
定価3,740円（本体3,400円＋税）
前原昭二 著

これって良書ですか？

>>133
良書ですよ

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11550989.html
前原昭二をディスるNo.2

教科書の中にお気持ちを書いちゃいけないってルールだと竹内外史もアウトになりそう

>>135

その本ですが、非常に分かりづらい本ですよね。
やっぱり著者が悪かったんですね。

>>135
なぜそう定義したのかを説明するのに「そのように定義されているから」じゃ的外れ

＞∀導入規則において F(x) が a を含んではいけない理由は
＞∀導入規則がそのように定義されているからに過ぎず、
＞そうすることが正しいと思われる主観的な理由を書き連ねることに
＞証明論としての意味は無い。それは、単なる感想に過ぎない。

もしかすると
無限集合の場合のみならず
一般の集合でも全称量化された集合の元は取れない
という仮説が正しいかも知れん
まだ検討中だ

全称量化された集合の元を取れると定義した

という公理主義はいただけないが
そう書く他はないというのが現状だろう
さてどうするかは考え中だ

有限集合の場合でも全称命題を書くことができない場合を考えている

すべてのカラスは黒い

これは有限集合の話だとすると
やはり一般の集合でも全称量化したものは記述できない
というのが正当であろう

写像の場合を考えてみよう

現状は

∀x∈X，　∃1y∈Y；　f(x)=y，　f：X→Y

と書くがこれに全射を仮定して

∀y∈Y，∃x∈X；　f(x)=y

と書けば既知の集合Yの元とxを対応させればYの元をすべて書くことはできる
がそもそも論理学的には全称命題の不存在性よりYの元に存在性はない
あくまでも数学的にはYの元を書けるということと存在することは等値である
という立場に立つことも可能ではあるが
存在が保証されていないものを「在る」というのはいささか不合理である

ここでたとえば

∃x∈X；　∃y∈Y；　f(x)=y

とすればこれは実質的に有限集合を扱っていることになる
さて上記の写像はyの唯一性より変数xの範囲を制限するものであると
考えられてきたがXの元が変数ではなく定数であると考えると
そもそも写像(関数)とは何だったかの問題になってしまう
他方

人間は考えられる範囲しかわからない

という立場からはこれでも十分であるとも言える

存在が担保されていない場合でもそれを言い尽くさなければならない

というものが必要なのかどうかを検討されたい

俺は高校数学をやってる
これはおそらく位相の問題だと思う

これから先東京をロックダウンする
ただしロックダウンは
誰も予想しないときに突然実施する
ロックダウンはいつ起こるか論ぜよ

誰も予想しない、つまりいつ起こるか論じていないとき

経験則
・体は3ヶ月で慣れる�@
・人の噂も75日�A
を用いる

今年の3月からマスメディアで
連日コロナの情報が伝えられたとし
�@よりそれに慣れるまで3ヶ月掛かるとする
さらにコロナの情報に慣れてから�Aより2ヶ月半で
コロナの情報に無頓着になるので合計6ヶ月で
コロナパニックは起きにくくなると推測される

以上より今から約6ヶ月後にロックダウンが施行される
但しロックダウンが今から約半年後に起こることを予測していた者は
パニックになる惧れがあるので注意を要する

全称命題について
たとえば不等式の三者択一の法則において
すべてのa,b∈R(実数)に対して

a < b　または　a=b　または　a > b

の何れか一つが成立する
が在るがこのとき全称命題の不存在性から
aやbに具体的な数値を代入することはできない
それゆえこの具体例として
2≦3や5≦5を挙げることはできない

ではこの全称命題の意味は何かというと

∀x∈Rに対してある定数nが存在して

nx > 1　⇒　x > 1/n

というようにxの一次不等式を解くときに用いる
このときxの値は実質的に無いのでxに数値を代入することはできない
これに対していまnは定数なのでたとえばn=1のとき
すべてのx∈Rはn=1のとき1より大きいということが保証されている
をいう

また大小比較をする場合に
すべての実数a,bについて

a≦bを示したいときに三者択一の法則から

�@a < b
�Aa = b

の何れか一方を示せば十分である
但しa,bに具体的な数値を代入することはできない

関数f(x)に数値を代入するときは全射の前提が必要である
例
関数f(x)：=xとする

x=1のとき　f(1)=1
x=2のとき　f(

>>147
x=2のとき　f(2)=2
x=3のとき　f(3)=3
……

このように

すべての数値に対してあるxが存在する

の翻訳は

xがfで，ある値を取るときに，fによって出力される値のすべてが，fの値域である

と読む

つまり左から書くが右から読むのである
これは伝統的に写像fを

f：Y　←　X

と書いてきたことと関連する

このときのXは定義域でありYは値域である
昔は右から書いて右から読んだのだそうだ
つまり数学書は左から書いてあるが右から読まなければならない

前に何処かに書いたかも知れないが
この右から書くというのが改められたのが1960年頃であり
数学史的にはごく最近の出来事である
詳しくは

成田正雄『初等代数学』共立出版　1966

を読まれたい

同じことだが書き直してみた

■写像

f：Y　←　X　

すべてのx∈Xに対して　あるy∈Yが唯一つ　f(x)=y　をみたすように存在する

翻訳

あるy∈Yが　f(x)=y　をみたすように　唯一つ存在し　それがfによって　すべてのx∈Xに対応すると書ける

例

Y:={1,2,3}

f(x):=x

とする．このとき

f(x_1)=1
f(x_2)=2
f(x_3)=3

となるすべてのx_1,x_2,x_3∈Xを書ける(全射)．

また

f(x_1)=1
f(x_2)=1
f(x_3)=2

などでもよい(全射でない)．


■全射

すべてのy∈Yに対して　あるx∈Xが　f(x)=y　をみたすように存在する

翻訳

あるx∈Xが　f(x)=y　をみたすように存在し　それがfによって　すべてのy∈Yの値として書ける

例

X：={1,2,3}
f(x):=x

とする．このとき

f(1)=1
f(2)=2
f(3)=3

である(とくに全単射)．これより値域は

Y:={1,2,3}

であることがわかる．

現代に合わせれば写像は

f：X　→　Y

と書いた方が望ましいだろう

>>151
＞となるすべてのx_1,x_2,x_3∈Xを書ける(全射)

訂正　全単射

訂正
写像の翻訳
あるy∈Yが　y=f(x)　をみたすように　唯一つ存在し　それがfによって　すべてのx∈Xに対応すると書ける

全射の翻訳
あるx∈Xが　y=f(x)　をみたすように存在し　それがfによって　すべてのy∈Yの値として書ける

写像f:X→Yとはf={(x,y)∈X×Y | 2つの条件}のことだぞ
それ以上でも以下でもない

＞写像の定義はそれ以上でも以下でもない

これじゃあ話になりませんな
まあ少しでも議論できたらよいなと思って書き込んだのだが
意味がなかったようだ
俺はこれで立ち去るわ
じゃあな

ここの人たちはこのスレで議論されている逆接、「しかし」、「であっても」を論理学として扱うというのはどう思う？

数学記号を考案・改良するスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582284855/l50

神戸大学で数理論理学を専攻して博士を取りたい場合、学部から神戸大学に行くのがいいですか？
それとも学部は京大など旧帝や東京工業大に行ったほうがいいですか？
お勧め大学があれば教えてください。

あくまで個人的な意見ですが、
東大や京大に行くとレベルが高い人がいて気圧されることもありますね
(数理論理学では就職先が研究者くらいしかないでしょうし、そういう意味では神戸大学の方が心が折れにくいでしょう)

そんな性格でなければ、例えば東大には新井敏康先生とかいらっしゃいますし、感情抜きでは東大京大の方が研究職に就きやすいのではないでしょうか

>>158
入れるところに行けば？

>>159
周りがどうこういう以前に自分の意欲と努力の問題だけどね

よく「まだ本気だしてないだけ」っていう人いるけど
そもそも本気だせない時点で意欲が欠如してるわけで
そういう時は自分の内なる声に耳を傾けて
別の道に行ったほうがいいよね

数理論理も、数論幾何とか関数解析とか位相幾何みたいな
「ふつうの」数学の分野も、多分就職は
そう変わらないのであまりそう言うことは考えなくて良い。

2012年以降はこれまでは就職はそれなりに良かったけど
今後は企業の倒産とかが続いて就職先が減ってくる
可能性があるので、それは留意した方が良いけど

そもそも就職考えるんなら数学科に行かないほうがいいけどね

産業界からは世捨て人と呼ばれている。

wikipediaの型理論のページに
「型理論の詳細はホワイトヘッドとラッセルの 『プリンキピア・マテマティカ』にある。」
って書いてあるの古すぎじゃないですか？

外国ではHoTTとかやっているというのに

プリンキピアマテマティカ読んで数学を勉強してるやつなんて今どきいないっしょ

いけねえ
知らぬとはいえ
俺はフェイトから知識を盗むところだった
だからあいつは強情だったんだな
謎の上から目線で人の話は聞かないという姿勢
それは情報を守るためだったんだな
よくわかったよ
今までありがとうな
またどこかで会おう

背理法不要論は数学基礎論の範疇ですか

背理法不要論という立場自体は、信念の問題で、いわゆる基礎論の範疇ではありません。
ですが、一般に背理法が成立しない証明体系はあり(直感主義論理の証明体系など)、その体系の数理論理学・証明論的な研究は範疇になりますね。
そういった研究は、もはや化石のようなものでしょう。

別に化石ではないと思うけど。
数学の中心的な潮流かとか言われたらアレだけど

幾何学的モデル理論のamazonレビュー、
なかなか的外れでアレだな

kuso

基礎論は数学ではありません

基礎論をやる連中は閉鎖的です

test

二回の術語論理

散会

Pを仮定して矛盾が出たら¬Pを結論するのは背理法じゃないんだよなあ
これはチョ環主義論理でも問題なく使える

素朴集合論

点集合論

>>171
氏のレビューは鵜呑みはできない部分もあるね
カリフォルニア州立工芸大学(全米屈指のエリート校)の現数学科名誉教授の本を読み「あまり理解してる人ではなさそう」と評してる(当然、理解してないなどと思われるような部分はない)
ただ圏論についてなんかのレビューとかは参考になる部分も多い

>>181
評価に値するところなどどこにもない。本文を読んでいたらあんな出鱈目なレビューは書けない

論理学やり始めたばかりなんですけど、真理表とタブローの木と自然演繹って何が違うんですか？同じことの別表現？

かわいそうに

ここ笑うとこ？
>カリフォルニア州立工芸大学(全米屈指のエリート校)

まさかcatechの間違い？

caltechだったｗ

カルテックのことか？

ゴメン、おれカリフォルニアなら
ＵＣバークレーしかしらんわｗ

>>183
＞真理表とタブローの木と自然演繹って何が違うんですか？

戸田山和久の「論理学をつくる」でも読んでみて　いい本だから　デカいけどｗ

科学哲学の冒険はいいね

論文の教室もいいぞ

>>189
真理値表は命題論理の論理式を真理値関数として表したもの
タブローの木は命題論理の論理式が真（または偽）であることの同値性を表したもの
自然演繹は仮定と結論の連鎖を表現したもの

>>189
読んでみるわ

>192
何となくわかったわ

>>193
真理値表は{T,F}だけでなくN値やファジーや他の付値を付けることも可能
タブローの木は真偽だけ
自然演繹は推論規則や公理を調節可能

自然演繹やった。シークエント計算とかいうのもやった方がいいん？

あ、もうやってた

>>195
本質的に同じ

無限論理では
¬∀a1∃b1∀a2∃b3∀a3∃b3…P(a1,b1,a1,b2,…)
＝
∃a1∀b1∃a2∀b2∃a3∀b3…¬P(a1,b1,a1,b2,…)
てことにならないの？（変数はすべて集合Xの元）
これを普通の有限の論理式に書くコトってできないのかな

論理を語るメタ論理を論じる地の文が精々プレーンな一階論理なのが笑えるところ

iZ-Cのサンプルプログラム書き始めたので見てね。
https://sunasunax.hatenablog.com

>>199
意味不明

>>201
でもないが

>>202
じゃあ意味を教えて

「論理を語るメタ論理を論じる地の文が精々プレーンな一階論理なのが笑えるところ」
何が言いたいんだろう？

横からだけど意味わからないなら少し勉強が足りないと思う

丸善出版のスマリヤン三部作と>>133の本で迷ってるんだけどどっちが良書？

いい加減さが許容できない人はスムリアンの本はやめた方がよい

前原本とかやめとけ
お前らほんと凡人が小綺麗にまとめた本好きだな
あんなの読んだら数学のセンス悪くなるって
何歳か知らないけど若いならスマリヤンみたいな天才が書いた本から吸収した方がいい

すごい暴論だね

すごくたくさんの内容が無理に
詰められた本って、「わざわざ一冊に纏めなくても」
という感じはどうしても出てきちゃうよね

新井「数学基礎論」とかJechとか
Schindlerとかそんな感じ

>>207
センスのある人の本ばかり読んでると高瀬正仁になってしまう

丸善のスマリヤン不完全性定理（改訳版）は完全に頭おかしい

高橋が戦犯？

その本、原著でよんだけどめっちゃよかった
昔の高橋訳がいけてなさすぎたけど改訳でもだめなのか

スマリヤンは某一般向け書だけ読んだけど頭おかしいのは合ってるよ、とても面白い読み物だった

>>212
問題の解説がない
その上問題の難易度が高い
そりゃ独学で全問解けたら天才だと思うよ
到底人にすすめる本ではない

確かに解説ないのはおかしい難易度だよね
スマリヤン先生は代入なしの方法で簡単に算術化した方法を解説してんのに
演習問題では代入ありの煩雑なやり方を導かせるという
あり得ない投げっぷりだと思った記憶がある

このスレで質問するのが適切かどうかわからないのですが。

射影幾何の公理に
　公理３ 任意の異なる２点に対し，これと結びつくただ１つの直線が存在する
　公理４ 任意の異なる２直線に対し，これと結びつくただ１つの点が存在する
があって、この二つは双対とのことですが、
この二つの双対関係はなにか深い理由がある必然的なことなのでしょうか、それとも
単なる偶然のことなのでしょうか？

ちなみに、双対というのも数理論理学の対象なのでしょうか？

>>217
数理論理学で射影幾何の双対の話が出るのは
数理論理学をドライブしていたのが形式主義であることを
強調するときが多いんじゃないかな。
意味抜きで公理だけが重要という意味で。
点や直線が未定義用語という意味で。

>この二つの双対関係はなにか深い理由がある必然的なことなのでしょうか
論理学的な観点「のみ」で話をするならば
射影幾何の公理系が「たまたま」その変換（点を直線と読み替えるetc)によって
不変であるという性質だからだと思います。

>ちなみに、双対というのも数理論理学の対象なのでしょうか？
数理論理学は、極論すれば論理式という記号列の代数的な操作なので
双対という概念はしょっちゅう出てきますが、それは数理論理学が
双対を扱うというよりも数理論理がそのような構造のもとで
展開されているからだと思います。

>>218
丁寧な回答ありがとうございます。

先の２つの公理の双対性はまあ偶然的と思ってもよいのですね。
なお、公理３と公理４は双対という以前に論理的に同値ですね。あとで気づきました。
双対と論理的同値とは微妙に関係しているのかな？

双対は数理論理の対象ではない（数理論理自体が双対的構造になっている）
ということですね。そのあたり数理論理と圏論なんかとは少し違うのですね。

>>217
>ちなみに、双対というのも数理論理学の対象なのでしょうか？
射影幾何関係無しならandとorの双対性定理とかかな

>>219
鵜呑みにせず理解深めるよう勉強したらいいよ

＞公理３ 任意の異なる２点に対し，これと結びつくただ１つの直線が存在する
＞公理４ 任意の異なる２直線に対し，これと結びつくただ１つの点が存在する
＞なお、公理３と公理４は双対という以前に論理的に同値ですね。あとで気づきました。

趣旨とは違うので蛇足ですが論理的に同値ではないとおもいます
意味・モデルに引きずられてないでしょうか？
公理３は ∀xyPx⊃Py⊃∃!z Lz⊃Rxyz で
公理４は ∀xyLx⊃Ly⊃∃!z Pz⊃R*xyz ですよね
公理３と公理４を同値とするような論理的な導出はないと思います

リンゴとビールと椅子に置き換えて考えよう

微妙にまちがえてました。こうですね
公理３は ∀xyPx⊃Py⊃∃!z Lz∧Rxyz
公理４は ∀xyLx⊃Ly⊃∃!z Pz∧R*xyz

随分一つの円にどれだけ180°が組まれてるかによるよな

細かいけど"全ての異なる"のニュアンスが抜けてね
∀xy:[(x/=y)(Px→Py)...]

三項関係R*は反射的推移閉包でいいのかな、双対性を初めから組み込んだ公理だね
(ところで三項だとどの組について言及しているのか曖昧じゃない？)

任意の異なる2林檎に対しただ一つの相性の良いビールが存在
任意の異なる2ビールに対しただ一つの相性の良いリンゴが存在

主語zを固定して
リンゴと合う(x, y)、ビールと合う(x,y)は推移的なのでリンゴとビールの相性の連鎖で複雑な幾何学ができる
x,yに対して反射的なので、王林と紅玉がクリアドライに合うなら紅玉と王林もそう、どっちから食べても問題ない

あ、"全ての異なる"を入れると同じリンゴ2つの食い合わせが保証されないのか
飽きるという意味論が自然に導かれた

これが形式主義のパワーだね

同一性の話はご指摘のとおり。R*は閉包ではなくてRとは別の三項関係ということ。修正すると
公理３は ∀xyPx⊃Py⊃x≠y⊃∃!z Lz∧Rxyz
公理４は ∀xyLx⊃Ly⊃x≠y⊃∃!z Pz∧Txyz
Px,Lx,Rxyz,Txyzを
M1： 「点である」「直線である」「線上に二点がある」「点は直線の交点である」
M2： 「直線である」「点である」「点は直線の交点である」「線上に二点がある」
と読む二つのモデルM1,M2において公理３と公理４は意味が互い違いになる。
そのような公理系だからこそ、双対性を持つ

>>229
M1とM2が置換(12)(34)で移るからRとTが双対になるのね、納得

*が付いてたからRは多分幾何学に必要そうな推移性と反射性を備えてるんだろうなと推測しました
実際これで必要十分なんでしょうかね？

基礎論はあんまり興味ないんだけど、数理論理スレってないのな
0階1階ファジーあたりはむしろ応用の方が熱いのでは
最も古典的かつ単純なbooleanSATだってよく後援付いてコンペやってるくらいだし
分けちゃダメかな？

同じ違和感抱いてる人居ないかと基礎でレス検索したら>>22で腑に落ちた

仮に日本語として基礎論=数理論理としても、スレの見る限り入り乱れてるので、言葉でなく内容で割るべきかと

>>222
> 公理３と公理４を同値とするような論理的な導出はないと思います

記号式でやると結構ごちゃごちゃするので論理的導出を日本語でやってみます。

(Ax3) あらゆる2点A,B上を通る直線は唯一に限る　（「異なる」は省略；以下同じ）
このAx3の否定を仮定する。すなわち、
(¬Ax3) ある2点A,B上を2つの直線L,Mが通る
とする。すると、
(*) ある2つの直線L,Mの上に2つの点A,Bがある
ことになる。これは、
(Ax4) あらゆる2直線L,Mの上には唯一の点がある
の否定である。

以上から、¬Ax3 -> ¬Ax4
同様にして、¬Ax4 -> ¬Ax3
結局、 Ax3 <-> Ax4

なお、お気づきと思いますが、
Ax3の否定（¬Ax3）のときに、
「どの2点についてもそれらを通る直線が無い、ということはない」
という前提をおいていますから、厳密には、公理３と公理４は「論理的に"ほぼ"同値」
と言っておくべきだったかもしれません。

以上どうでしょうか？

具体的な論証をするためにはAx3,Ax4以外の公理を共有しないと
議論できないと思います。ただ、一般的にAx3,Ax4をともに公理と呼ぶなら
それらは互いに独立（少なくとも独立と信じられている）のではないでしょうか？

その上であえて指摘させてもらいます

＞(*) ある2つの直線L,Mの上に2つの点A,Bがある
これを Line(L,A,B)かつLine(M,A,B) と書きましょう。そして
＞(Ax4) あらゆる2直線L,Mの上には唯一の点がある の否定
これを Cross(L,M,A)かつ Cross(L,M,B) と書きましょう
（アルファベットが異なるものは違うものという規約は維持します）
貴方はこの二つを同じとおっしゃっていますがそこを埋める
公理なり推論規則なりはあるのでしょうか？

直観的には明らかのような気もしますが
Line関係とCross関係を取り持つ公理なりがないと
なんともいえないかなあというきがします。

（同じようなことを(拙く)書いてたら適切なレスが来てた）

俺も>>230で指摘してもらったように、通る(>>219の表現では結び付く)の意味が不明瞭
記号を借りると、RとR*(後にT)をオーバーロードしてしまっている

記号を入れ替えただけの公理があるからこそ、その一方から従った定理と記号を入れ替えた双対定理が他方から自動的に従う

点である-線である （P-L）
cross-at - on-line(R-T)

あといくつか点と線の性質が公理1,2にあるはずで、これも必要
少なくとも>>226で述べたもの
cross-at(a,b,c)=cross(c,b,a) 反射性
…略

補足
公理3,4だけで不十分な理由

cross-at(a,b,c)=cross(c,b,a)
であるのに
on-line(A, B, C)/=on-line(C, B, A)
なら、双対定理は明らかに成り立たない

双対のある体系を指定したいなら、点と線は無定義語であってはならない
少なくともその性質は述語を介して間接的に(かつ整合的に)定義することが要請される

無定義語という言葉は違うニュアンスで使われたりするな、誤解を招きそう、ごめん
点と線自体はリンゴでもビールでもいい、しかし上述のような性質は定義する必要はある

定義とか未定義用語とか意味とかその辺りの言葉遣いやニュアンスが
数理論理の人と数学一般の人とでだいぶ違うきがする
気がするだけだけかもしれないけど

>>234
>具体的な論証をするためにはAx3,Ax4以外の公理を共有しないと
>議論できないと思います。

「どの2点についてもそれらを通る直線がある」
「どの2直線も少なくとも同じ1点を通る」
という2つの公理があればAx3とAx4は同値になると思います。
ただそうすると、公理の個数がむしろ1つ増えてしまいますｗ
こうして、公理の個数という観点では、元のAx3とAx4の2つの公理の設定が
最もシンプルだったというところに落ち着くのかもしれません。

>ただ、一般的にAx3,Ax4をともに公理と呼ぶなら
>それらは互いに独立（少なくとも独立と信じられている）のではないでしょうか？

一般に、公理群は必ずしも独立である必要はないでしょう。
ただ、上に述べたようにして、元のAx3とAx4の組が最もシンプルなのかもしれません。
それでも、Ax3とAx4の重複感あるいは非独立感がまだぬぐえないのですがｗ

> Line(L,A,B)かつLine(M,A,B) と〜〜
> Cross(L,M,A)かつ Cross(L,M,B)
> この二つを同じ〜〜を埋める公理なり推論規則なりはあるのでしょうか？

この二つが同じであるためには、他に何の公理も推論規則も必要としません。
Line(L,A,B) <-> on(A,L) and on(B,L)
Line(M,A,B) <-> on(A,M) and on(B,M)
Cross(L,M,A) <-> on(A,L) and on(A,M)
Cross(L,M,B) <-> on(B,L) and on(B,M)
でしょうから。

あまり建設的な議論にならなそうなのでもうやめたいので
これを最後のレスにします

＞2つの公理があればAx3とAx4は同値になると思います。
一つ目の公理には 点×点×直線 という三項関係しか登場せず
二つ目の公理には 直線×直線×点 という三項関係しか登場しません
なぜそれなのに、この２つの三項関係間の言明（つまり同値性）が
証明できるというのでしょう？できないですよね、普通に考えて。


＞この二つが同じであるためには、他に何の公理も推論規則も必要としません。
＞Line(L,A,B) <-> on(A,L) and on(B,L)
＞Line(M,A,B) <-> on(A,M) and on(B,M)
＞Cross(L,M,A) <-> on(A,L) and on(A,M)
＞Cross(L,M,B) <-> on(B,L) and on(B,M)
＞でしょうから。

Line関係とOn関係に同値性があるのはなぜですか？他に公理があるからなのではないですか？
Cross関係とOn関係い同値性があるのはなぜですか？他に公理があるからなのではないですか？

>>171 >>181-182
スティルウェル著、川辺治之訳、田中一之監修「逆数学」の書評がえらいことになってる・・・

>>241
>Line関係とOn関係に同値性があるのはなぜですか？他に公理があるからなのではないですか？
>Cross関係とOn関係い同値性があるのはなぜですか？他に公理があるからなのではないですか？
あなたのいうLineとCrossの「定義」がそうなのではなかったのですか？
それとも、LineもCrossも派生用語ではなく基本用語のつもりだったのですか？

＞LineもCrossも派生用語ではなく基本用語のつもりだったのですか？
そうに決まってる。最初からずーっとその話をしてる。
もし派生用語だったら定義する公理がある（Extension by definitions）から出せっつってんのに出さないし。
人が言っていることを聞かないで、特定のモデルを勝手に前提にして、あなたは何を議論したいの？

>>244
>そうに決まってる。
少なくとも、そうは決まっていないです。決まっているとするのはあなたの頭の中でだけです。

>もし派生用語だったら定義する公理がある
定義する公理ｗ　これもおかしいです。定義は定義であり公理とは違います（わかりますか？）
当たり前だと思っていましたが念のためその定義を前に書きました。あの定義はわかりましたか？

定義する公理がおかしいっていうのは、数理論理学の勉強が不足しているからです。
キーワードも書いたでしょう. Extension by Definitions でググってください

派生用語を使って公理を記述するならば、その定義となる公理も一緒に提示しなければいけません
勝手に用語に意味を付与して議論する態度こそ、「あなたの頭の中だけ」ですよ

もうすこし形式的な手法という概念を勉強した方がいいとおもいます

馬鹿2人がバトルしてる

>>246
>Extension by Definitions
今の話はそれとは関係ありません。大げさに考えすぎです（初学者にありがちですが）

まずは普通の意味での定義と公理の違いを言ってみてくれますか？
（もしかすると言えないのじゃないかな？）

話がかみあわなさすぎてわらった.。まあ終わりにしましょう。
あなたは何らかの公理系における２つの公理の同値性を示したと主張した。
それが無謬であれば価値があることだと思いますよ。

>>249
>それが無謬であれば価値があることだと思いますよ。

いや、そんなことは初等幾何読本の最初に出てくる事でしょう。
そんなことにとらわれて当初の話が進まなかったですね。

>>217
表現が双対である以上は必然だわな

大学数学スレに尋ねたけどこちらが適当か思い直したので来ました
写像は直積の部分集合で特別なものと定義するってことだけど
f(a)って書き方はfとaからf(a)を与える写像なんじゃないの？
mathematicaだとapplyだっけなそういうやつ
任意のX,Yに対してf:X→YがX×Yの部分集合の特別なものなら
そのような写像の集合をF={f⊂X×Y|f:X→Y}⊂X×Yとして
apply:F×X→Yって写像を想定しているってこと？
X,Yについてのapplyは写像でそれはF×X×Yの部分集合？
F⊂X×Yだからapply⊂X×Y×X×Yなの？
X,Yは任意の集合だからapplyってのはクラス関数なの？

何が聞きたいかというと
写像を直積の部分集合と定義するのは変じゃ無いかってこと
直積の部分集合で``表現''されるってなら分からんでもないけど
直積の部分集合だとf(a)って書き方をするための写像applyを考えてそれも写像なら直積の部分集合でそれの適用結果apply(f,a)=f(a)もapplyとfとaからf(a)を対応させている写像なんじゃないかと思えていつまで経っても終わらなく無くない？

そのapplyはvaluation mapと呼ばれる写像です

＞＞f(a)って書き方はfとaからf(a)を与える写像なんじゃないの？

ZFCには2変数関数記号　`　が導入されており、
f`x = { z | Func(f)∧∃y(z∈y∧<x,y>∈f) }を満たしている。
(これによってクラス関数｀が定義されていると考えて良い)
ちなみに、Func(f)は∀z∈f∃x,y <x,y>∈f∧∀x,y1,y2[ <x,y1>,<x,y2>∈f⇒y1=y2]という述語

>>253
その通り
だから、クラス関数というクラスを定義域とする大きな関数を考えている。
だから、クラス関数　｀　の引数には任意の集合が入って良い
で、ｆが写像でｘがそのfの定義域に属しているならば、f`xは<x,y>∈fなる一意に存在しているyとなる。

f`x = { z | Func(f)∧∃y(z∈y∧<x,y>∈f) }　が本当にｙになっていることは、じっくり考えると良い頭の訓練になる。

y={z|z∈y}という表記が出来ることに注意

>>252,253
素朴集合論では、集合X,Yを先に考えて、その後にX×Yの部分集合として写像fを考えるという立場をとっている(のが殆ど)が、
ZFCでは、そんな話の前後関係は一切ない。
X,Yを持ち出すとは無関係に、写像fは定義される。それが＞＞255

無意識の思い込みに囚われてるな

>>254
valuationやない、evaluationだった

>>255
>ZFCには2変数関数記号　`　が導入されており、
>f`x = { z | Func(f)∧∃y(z∈y∧<x,y>∈f) }を満たしている。
スッキリしました
どうもありがとう

>>255
>ｆが写像でｘがそのfの定義域に属しているならば、f`xは<x,y>∈fなる一意に存在しているyとなる。
写像でないか写像でもxが定義域に属してない場合はf`x={}ということですね
うーん分かりやすいなあ
いや？
ホントにf(x)={}である写像と区別が付かないのでは？付かなくても構わない？

>>260
いい視点。

ZFCでは（？）使わなくても取り敢えず広く定義しておくってことは多々ある。
関数記号（クラス関数）　｀　の場合で言えば、fが関数であり、xがfの定義域に含まれる時に、f｀ｘを用いるが、
fが写像かどうか分からず、xがどんな集合かわからない時に、｢f｀ｘ＝ｙからf、ｘが何か？｣という逆算するような議論は（全く？）しない

他にもZFCでは順序数αを定義して、例えば、順序数に対して定義されたクラス関数F(α)を定義するが、
(本にもよるが)F(α)は一旦全ての集合に対してF(x)を定義しておく。(xが順序数αでないときはF(x)＝φ)
Fは順序数αに対してしか用いないから、xが順序数でない時にどんな値を取ろうが構わない。

>>251
>表現が双対である以上は必然だわな
よくわかりません。どういうことでしょうか？

ところで、無矛盾性の場合は、それがないと致命的ですが、
双対性の場合、それがあるとなにがよいのでしょうか？
それがないとなにが困るのでしょうか？

聞いても無駄
やってみて実感するしかないわな

下の問題に対する解答は合っていますか？

問題： Let φ(x) be a formula. What does ∀z∀y((φ(x)∧φ(y) )→ z=y) assert?

解答： z ≠ y ならば φ(x) または φ(y) のどちらかは成り立たない。

こういう問題を試験で出題したとき、採点者は間違っていなければすべて正解にするんですかね？

それとも、普通の日常後に直したときに「自然な」解答でないといけないとか言い出すんですかね？

そうすると、主観が入りますよね。

例えば、

What does the formula ∃x∀y(¬(y ∈ x)) say in English?

という問題の解答を、

ある集合 x があって、任意の y に対して、 x は y を含まない

と解答したら正解でしょうか？

それとも、「x は空集合である」と書かないと不正解になりますか？

> What does the formula ∃x∀y(¬(y ∈ x)) say in English?

in English とあるのだから、答えは英語で書かないとバツだろうねw

>>264
「空集合（なるもの）が存在する」と書かないと不正解でしょう。

>>261
ありがとうございました

Set Theory: A First Course (Cambridge Mathematical Textbooks) 1st Edition
by Daniel W. Cunningham (Author)

この本は公理に基づく集合論の入門書です。

例えば、 P <-> Q の定義は、 (P, Q) = (T, T) または (P, Q) = (F, F) のとき、かつそのときに限り T になる

というものです。

以下の公理2つを用いて、 A, B を集合とする。 A ∈ B ならば、¬(B ∈ A) が成り立つことを証明せよという問題があります。

Pairing Axiom:
∀u∀v∃A∀x(x∈A <-> (x = u ∨ x = v))

Regularity Axiom:
∀A(A≠Φ → ∃x(x∈A ∧ x ∩ A = Φ)

この問題の解答を以下のように普通の言葉で書いてもいいのでしょうか？

Pairing Axiomにより、 x ∈ C <-> (x = A ∨ x = B) となるような集合 C が存在する。
この C を {A, B} と書くことにする。
{A, B} ≠ Φ だからRegularity Axiomにより、 x ∈ {A, B} ∧ x ∩ {A, B} = Φ を成り立たせるような集合 x が存在する。
{A, B} の定義により、 (x = A ∨ x = B) ∧ x ∩ {A, B} = Φ を成り立たせるような集合 x が存在する。
A ∈ B ∩ {A, B} だから、 B ∩ {A, B} ≠ Φ である。よって、A ∩ {A, B} = Φ でなければならない。
ゆえに、 ¬(B ∈ A) でなければならない。

この問題の後のページをパラパラ見てみると、この本自体、証明は普通の言葉で書いているようです。

集合論の公理のうち、 Union Axiom は認めづらくないですか？

こんなの認めちゃってもいいんですか？

>>270
根拠は？

>>270
実際、それ抜きの公理系の研究もある

https://link.springer.com/article/10.1007/s00153-009-0163-1

>>272

やはり、 Union Axiom は強すぎるのではないかと思っている人がいるんですね。

いやいや、既に持っている集合から、より低下位層(？)の集合を作る公理は何の違和感もないっしょ？
むしろ、既に持っている集合から、より大きな集合を作る公理のほうが違和感を感じるべきっしょ？
要するに置換公理のほうが強すぎると感じるべきじゃね？

感覚は論理的に整序されているものではない

まあそうだが >>274 に同感だな

松坂和夫著『集合・位相入門』の集合のところで、怪しい話だなと思ったのが、集合族の和集合の話です。

この怪しい話が公理的集合論ではどうなっているのかと思い、

Set Theory: A First Course (Cambridge Mathematical Textbooks) 1st Edition
by Daniel W. Cunningham (Author)

の最初のところを読んでみました。

公理になっていて驚きました。

どうでもいいけど
普通怪しまれてないよ
何の違和感もない

置換公理も
まあ
集合の像から切り出すみたいなもんだし
違和感ないなあ

松坂和夫著『集合・位相入門』

p.19に

「１つの集合系 A が与えられたとする。」
「A に属するすべての集合に共通な元全体の集合を、 ‘A に属するすべての集合の共通部分’」

などと書かれています。

A = Φ のときには、 A に属するすべての集合に共通な元全体は集合にはならないので、 A には空でないという条件を課さないといけないはずです。

添字集合が空集合のときにも交わりと合併を定義する流儀もあるね

Set Theory: A First Course (Cambridge Mathematical Textbooks) 1st Edition
by Daniel W. Cunningham (Author)

この本は公理的に集合論を扱っている本ですが、collectionという用語を使っているのに、その定義がありません。

例えば、collection {x : x = x} は集合ではないというような書き方をします。

これはありですか？

本を読むレベルじゃないな

こいつ松坂くんか

そのうち定義という用語が定義されてません、とか言い出すんじゃね

collection {x : φ(x)} が定義されていません。

マツっんは数学の本スレで集合論関連で小馬鹿にされ、散々叩かれてたからなあ。
リベンジすべくここで修行中じゃなかろうか。

成果が全然ないね

松坂くんはメタレベルの概念、用語に形式的かつ厳密な定義を求めるお馬鹿だから。
対象レベルとメタレベルの区別が分からない様子。

上江洲忠弘著『述語論理入門』

論理の本なのに、厳密な本じゃないですね。

今、竹内外史のAxiomatic set theory読んでるんだが、結構いいね、この本。

竹内外史って数学基礎論の数学者だと思ってたんだが、案外色んな分野の本を出してるよな。
物理にも触れてる本あった。

ブルーバックス「集合とは何か？」で知ったので集合論プロパーの人と思っていた

Set Theory: A First Course (Cambridge Mathematical Textbooks) 1st Edition
by Daniel W. Cunningham (Author)

Exercise 2.1.33
The collection {x : ∃y(x ∈ y)} is not a set.

{x : ∃y(x ∈ y)} という記号の定義がこの本には書いてありません。

∃A(x ∈ A <-> φ(x)) であるとき、この A を {x : φ(x)} と書くというのがこの記号の定義だと推測します。

¬∃A(x ∈ A <-> ∃y(x ∈ y)) が真であるのに、 {x : ∃y(x ∈ y)} という記号を書くことは許されるのでしょうか？

訂正します：

Set Theory: A First Course (Cambridge Mathematical Textbooks) 1st Edition
by Daniel W. Cunningham (Author)

Exercise 2.1.33
The collection {x : ∃y(x ∈ y)} is not a set.

{x : ∃y(x ∈ y)} という記号の定義がこの本には書いてありません。

∃A∀x(x ∈ A <-> φ(x)) であるとき、この A を {x : φ(x)} と書くというのがこの記号の定義だと推測します。

¬∃A∀x(x ∈ A <-> ∃y(x ∈ y)) が真であるのに、 {x : ∃y(x ∈ y)} という記号を書くことは許されるのでしょうか？

>>295
君はこの本を読むより前にやるべき事がある。
もっと易しい邦語の本を読みなさい。

竹内外史のAxiomatic set theoryの53ページの定理5.8の証明

背理法の仮定を使っていないし、
この証明はハウスドルの証明どころか、＜F,T>は極大フィルターがただ1つ、つまりFは一点集合の証明をしてるように見えるんだが？

>>293
彼は敢えて言うなら証明論の人。
専門外の集合論でも一応米国で話題になっている事を
それなりにフォローしてたのがすごいと思う。

ただ彼の頃はそんなに明確にロジックの
分野が分かれていなかったけど。

>>294
そこら辺について一番論理的に厳密に書いてあるのは
Azriel LevyのBasic Set Theoryの付録の部分。

{z| Φ(z)} という内包的記法を含んだ式が
どういう場合に許されるかは、ある程度まともな
教科書なら一応書いてあると思うけど、
こういう記法を使っても保守拡大になるだけで
決して新しい問題は起きないという事を
きちんと示したのはShoenfieldで、
その彼の証明が付録に載せてある。
ただ結構晦渋な構文論的な証明なので、
なんだか面倒臭いから、問題ないのは認めて先に進もう、
と思ったのならそれはそれで健全な反応だとは思うけど。

折衷的にNBGの公理系を載せてある本も多い。

Cunninghamという人の本は持ってないから
その人がどう書いてるかは知らん。

>>299
定義による拡大が保存拡大になっていることの構文論的証明はかなり厄介って山本新の｢数学基礎論｣で言ってた
だからこそどんな証明なのか気になるんだが、乗ってるサイトor本ある？


クラスAが集合xに対して、A⊂xならばAは集合
ってのはそんなに難しくない問題

>>300
>クラスAが集合xに対して、A⊂xならばAは集合
こう？

A⊂x⇔A∈2^xよってAは集合

普通の数学者はそんな証明を一度も読む事なく「数学」を「定義」を多用しながら「実践」。
保存拡大の結論を篤く信用しているw

自明、当たり前のことの定義、証明を基礎として、
非自明な結論に至るのが数学の理論組み立ての定石だけどね。

通常数学はもっと超数学の成果を活用すべきと思うの。

>>301
A⊂x の定義次第だが
A⊂x → ∀a∈A [ a∈x ] → A∈2^x じゃねーの？

>>305
いやだからさ同値だって言いたかったわけ
で2^xの元だから集合てのでいいの？って聞きたかったわけ

>>301
Aがxの冪集合に属するとだけ言っているだけであって、集合であるとの証明になっていないと思う。
むしろ、部分集合公理によって集合とであるといったほうがより分かりやすい(？)

>>306
そもそもZFCにおいては｢集合である｣という述語は存在しない
だから、∀x[∃y(x∈y)⇒xは集合である]という論法も成り立たない
あえて言うならば、ZFCにおいて｢Aは集合である｣なる主張は、∃x∀z[z∈A⇔z∈x]とか。

あのなあZFにおいては万物は集合。
集合で無いものは存在し無い。
存在すると言ったら、それは自動的に集合になる。

質問

竹内外史、Axiomatic set theory　60ページの定理6.4
b_i = Σ_{a∈A_i} b_{i,a}とかあるけど、
A_iは一体何？
Lの閉論理式Φについて、[[Φ]]を計算する過程で∀xψという部分論理式に対して、[[∀xψ]]を計算する時の話のことなんだろうけど、
定義上、この時はΠの添字は既述のB値構造Aだと思うんだが？
なぜ、一々A_iという新たなB値構造（？）が登場しているんだ？

分かる人教えて下さい

>>308
A=Aでよくね？

竹内はいいかげんだから間違いだと思っといたらいい

竹内は確かにアバウト
初心者が読むのには全く向かない

>>307,308,309,311
クラスって概念がある話してるんだけど？
BGだと思ったが違うのかな？>>300
BGだと確かすべてはクラスで
集合はクラスの元じゃ無かったかなと思ったけど
うろ覚えり

>>305
他の定義あるの？

>>314
ZFにクラスは存在しない。

>>316
だからZFでの話じゃないんだって

竹内外史のAxiomatic set theory読んでるんだが、おかしな点は色々あった

冒頭30ページあたりから何の理もなくいきなり｢推移的なZFのモデル｣が出てきたり、
順序集合のフィルターの定義が後々の議論に矛盾が出てくるようなものであったり、
B値構造の定義に関数記号の解釈が丸ごと抜けてたり、
>>310のように証明に齟齬みたいなのがあったり、断りなく構造と準同型写像の合成を出してきたり、、

とにかく、一旦書いた後の原稿の推敲がされてない感が強い
数学書は誤字･脱字を直せば終わりじゃねぇんだぞと言いたい

俺壁にぶち当たったら結構行間埋めるのに何日も掛けるタイプで訓練してきたから、
竹内の本もそのペースでやれば行間を埋めるのは多分出来ると思うけど、ほんとこういう労力って無駄なんだよな

長年訓練してきた数学的読解力って著者の書き損じ、著者の説明下手、著者の言葉足らず／説明不足を補うために使う力じゃねぇんだよな
マジでこういう行間にぶち当たった時につくづく思う。
こういうので行間を埋めるのに何時間~何日も足止めを食らうことが如何に無駄であるか。

著者一人が身代わりとなって徹底的に行間を埋めてりゃ、後続の何十／何百／何千もの読者が同じ足止めを喰らわなくて済むんだよ
山登りと一緒。最初に山を登るやつが、きちんと道標作ってりゃ、後から登る奴は如何にやりやすいか考えろよ

それは勿体無い

https://i.imgur.com/CgMh9Jl.png
https://i.imgur.com/KZ4hSjb.png

ブール代数について分かる人に、>>310教えてほしい

ブール代数じゃなくてモデル論じゃんか

いまどき「⊂」を使う人って60代以上？

>>323
俺は誤解を防ぐために、イコールを含める⊂は常に⊆使ってるわ

>>322
ブール値モデルな。
モデル論だと真と偽の2値だけど、そこをブール値にしてる点が違い。そういう一般化をしてるみたいだが、それが後々無矛盾性証明とか強制法に効くっぽい。まだ知らんが。

>>321
自己解決しました。もう大丈夫っぽい

>>323
それって集合の「含む」？
それとも論理の「含意」？

>>318,319,321
https://i.imgur.com/Q4qd3OO.png
↑行間埋めた結果がこれ

行間埋めるのに昨日からダラダラと考えたから8時間以上掛かったかもしれん。
すんげぇ時間の無駄。
時間を掛ければ、まぁ、ある程度、当該分野を学んだ人間なら誰でも出来ると思う。
でも、そのためにたかが1ページの証明の行間を埋めるのに数時間も時間を掛けさせられるこの無駄さ。
マジでいらねぇだろ、こうやって著者の怠惰さが読者にシワ寄せさせられるって事に気づけ、カス

読まなきゃいいじゃん

>>328
俺がこうやって行間を埋めたことによって、また後で学ぶ誰かが無駄な行間埋めに数時間の無駄な時間を割く必要がなくなる
山登りの道を整備していくってこんな感じ

今回俺が例示したのは1つの本の1つの定理
たったその1つの定理の行間埋めに、俺の能力では8時間ぐらい掛かってしまった
1冊となると、行間埋めに８×数十＝数百時間の無駄な足止めを食らうって計算。
先人が山登りの道を整備すれば、後人はその数百時間を省略できる。後人はその数百時間で更にどんどん先にすすめる
でも、だ〜〜〜〜れもそんなことしないんだよな
こうして、｢数学は苦労して学ぶものだ｣という非合理的な精神論がまかり通ってしまうわけ

自己評価高いっすね

>>331
いや、皆が行間埋めれば、後の人は皆その恩恵を受けれるって話なだけ
輪講だと内輪の数人しか恩恵ないだろ

イラン努力だよそれ

>>333
なんで？

演習問題って、実際はただ単に著者が行間埋めるの面倒だけど、やること自体は難しくない奴だよな
そんなものを含めて徹底的に行間埋めたものを出して読者にもはや考える必要性無いぐらいにしたら、
論文が読めるようになるまでの時間が年単位で短くなるような気がするよな

>>334
誰も感謝しないから
と
その努力無くても十分理解できていくのが普通だから

>>335
たぶんならない

早く読めるようになるためには鵜呑みにすることだよ
それが一番
鵜呑みだと理解でないからダメだというのは
数学は理解だと思い込んでいるからだよ
数学は新しいものを作り出すのが目的で
理解はそれに必要なことが表層的でも分かっていれば良いだけ
なんていうか
すべてを定義から持ち上げるのではなくて
どんな性質があるのかをしっかり認識していけばいいよ

もちろん
飛ばしたところは必要になれば埋めることが出来ると
自分で確信が持ててなければ鵜呑みには出来ないよ
その確信は鵜呑みにするには必要なこと
そのためにはたまには掘り下げて理解を深めたら良いけど
四六時中あるいは最初からそれやる意味はほとんど無いよ

>>339
分かるけど、理解できていない状態ってある日突然訪れるのじゃなくて、
｢ここまでは95%理解できた。よし次行こう｣
｢ここまでは93%ぐらい理解できた。よし次行こう｣
｢ここまでは90%ぐらい理解できた。よし次行こう｣
｢ここまでは85%ぐらい理解できた。しっかりやれば99%理解することだって出来るから問題なし。よし次行こう｣
…
こんな感じで自分の中ではしっかり理解できて来たつもりなのに、
｢あれ？今まで理解できてたはずなのに、なんかあやふやになってきた。ちょっと戻るか｣
｢あれ？ちょっとこれって何だったけ？分かってたんだが、今一度よく見てみるとよく分からんな。ちょっと戻るか｣
ってな感じでどんどん戻らされる。結局はこれで大分戻ってからしっかり行間を埋め直させられて、やっと再出発できる感じ。

突き詰めれば性格的なところもあるんだろうが、しっかり行間を埋めていないのに、鵜呑みにしてると lim x^n = 0 (x<1)みたいな感じで、
塵が積もって分からなくなるのが自然の摂理。
飛ばしたところがあると、自分が今行っている推論が本当に正しいのか確信が持てなくなるっしょ

>>340
じゃまガンバってね

ふと気づいた。
自分の積み上げてきたのは全部ゴミ、間違いだった。
ノートはゴミの山。

↑と、ならんように気をつけてな。

おめでとうございます。
あなたは任意の命題を演繹出来る、
万有理論を手にされました！

>>342
専門数学であっても一応、ブログに纏めて解説動画を作ったら数百再生はいける

むしろ、なんかのテキストを行間埋めまくってるノートあるなら欲しいぐらいかな
俺が知ってる内容なら要らんが

行間と思うのは人によって違うからなー

>>342
数学なんてそんなもん

>>345
>>327の行間埋めでもまだ足りない？

>>347
逆だって言ってるのが分からないかな

>>348
なにが？

行間くんは青チャートとか嫌いだったろ？
てか高校数学嫌いだったろ
行間しかないからな

こんなスレにまでゴミが湧いてくんのかよ
ゴキブリってほんとどこにでも湧いてくるな

>>342
よほどのウッカリか自分の妄想に溺れるやつしか
そうはならんだろ
自分で書いたのが解読できなくなる事はあるが
思いつきで始めて結構後でダメだから証明やり直し… なんてやらかす先生の時のノートが
いまだに意味不明

俺勉強ノートは全部スキャンして捨てたわ

数学のブログ書いてるけど、その時にノートはチラチラ見たな

確かに電子化した方が便利だよな
検索で瞬時だし

>>349
うーん
行間の読めないヤツｗ
ってことね

>>355
アホらし
幼稚な捨て台詞やな

んじゃ、お前が行間埋めてみ

アホ｢僕ちゃんの言ってることに質問してくるやつは行間読めないやつだぁ〜〜｣

↑いや、お前、ここは幼稚園じゃないんだからテレパシーを求めんなよｗ

数学好きな人は頭良いから喧嘩しないと思ってたわ

頭悪いからしょうがない

>>356
下らないことしか言わないんだなぁｗ

>>356
『足りない」と言われたと思っていることを『行間が読めない』と言われたとは気が付かないぐらいに『行間どころか空気も読めない』わけね

君のあるべきと思う方向性を同じようによろしいと思う人はそうは居ないってことだよ

行間埋める作業が数学だろ
みんなが自明だと思って読み飛ばしてるところで立ち止まって、それが自明でないとわかればそれが一本の論文になる
逆に言えば行間開きまくってんなーっていう箇所は著者があまり突っついてほしくないと思ってる箇所でもある
もしかして行間君に食って掛かかってる奴って天国から書き込んでる竹内じゃないの？
イェーイ、竹内先生見てるぅ？ww

>>363
>みんなが自明だと思って読み飛ばしてるところで立ち止まって、それが自明でないとわかればそれが一本の論文になる
それって
ほとんどあり得ないことに
ビッドしてるってことだよ

>>364
査読も検証も意味ないってことかね？
ちょっと意固地すぎないか

>>365
みんなががミソ
十分検証はされてることに引っかかってるってことだと思ったが？＞みんなが自明だと思って読み飛ばしてるところ

>>366
それが才能でしょ
普通なら気づかないところに気づいてしまう
そういう人が偉い先生になるんだわ

>>367
そりゃそんなレアなことに気がつけるんならねｗ
ほぼ無理

偉い先生はほぼほぼそんなことしてないよ
新しいこと開拓して行くのみ

そうかね？
じゃあスマリヤンは？
当時完全にオワコン扱いされてたゲーデルの不完全性定理をエレガントな形で再構築した
ずっとプー太郎やってて学士取ったのが34歳だぞ...
暗記型の秀才しかいない日本でなら「何いってんだこの落ちこぼれのおっさん」って一蹴されて終わり

行間くんの意見には同意
日本は行間読ませるクソ教授の本多いよ
なぜならクソ狭い分野に齧り付いてる同業者か、自分の講義取ってる学生向けにしか書いてないから
でも「行間は読め、分からないなら直接聞きに来い」って文化だからしょうがないじゃん
日本には啓蒙の文化とか一切ないから

あきらめて横文字の本読め

>>370
だからそんなレアな例出されてもねー

まあいいや
君も頑張ってナー

>>374
おじさんは何やってる人なの？

例えば竹内の現代集合論入門だが、
順序集合Xに最大元1を加えた順序集合をX1とした時、
Xの正則開集合全体の成すブール代数B　と
X1の正則開集合全体の成すブール代数B1　はブール同型になる
っていう事実を一言触れるだけで証明は読者に丸投げ。
実際の証明は確認作業をするだけの単調でダラダラした証明になるが、証明自体は20行近くかかる。

たとえ方針が簡単であっても20行近くの行間をすっ飛ばしするのはアカンやろ


スマリヤンはゲーデルの不完全性定理が大好きなのか知らんが、一般読者向けに噛み砕いた(と自分で思ってるだけの)本を書いてるけど、
くっそ読みにくい＆中身が薄かったのを覚えてる

簡単だが長引く証明を省略するのはデフォ
自分でやるのは推奨だが他人に提供するのは余計なお世話

>>377
俺はそういうのには反対やな
省略していいのは、愚直にやるだけの3行程度で終わる短い証明やな


あと、一般的に、本の最初の30ページと最後の30ページでは説明／証明の濃さ･丁寧さが雲泥の差なんだよな
最初の方は｢x∈UA_iなのでiが存在してx∈A_iである。従って、このiに対して…｣とかバカ丁寧にやるくせに、
最後の方になったら｢xに対して自然にA(x)を定めることが出来て、これが○○写像となるので、この写像を使えば定理の主張は明らか｣とかの行間だらけの証明が当たり前にある
完全に舐めてる
最後方なんてどっかの論文を簡単にまとめてる程度のパターン多いし

>>377
ホンソレ

本を読んで、その本では○○に関する基礎的知識は既知としている時、
その基礎的知識に不安があったら、当該分野の入門書からやり直すべきかと逡巡してしまう。
>>338,339がいう鵜呑みっていうのはこういう時に上手く使っていくべきってことも分かってはいるけど、不安にかられる

使ってる事だけ確認すりゃいいだろ

一冊で理論が完結してない本はカスだよ
ちゃんと細部まで証明しろ。それを読み飛ばすかは読者が決める。証明できないなら本出すなや
東大うんこ教授はもっと謙虚にならんかい

>>376
スマリヤンは丸善のやつで読んだ？
アホみたいに丁寧だよ
赤本は問題解説ないのが問題だけど、定理の証明ちゃんとしてるしね
日本人の書いた不完全性定理の本はどれも注釈ありきで「※ここの証明は〇〇の論文を参照されたい」とかばっかでふざけてる
日本語で論理学始めるならスマリヤン以外に選択しないわ

批判だけしてないで自分で書いて出版したら？
まず無料公開で評判が出たら出版しようって所もあろうし
自費で出版するということも十分可能