教えて
レベルで言うと一ヶ月前にネイピア数を学校で習ったレベル。
高3の俺にオイラーの公式を教えるスレ
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
1１３２人目の素数さん
2019/05/11(土) 16:53:00.42ID:zZdqArkg2019/05/11(土) 16:57:53.16ID:znG8Ni0K
>>1の体は高校生 でも頭脳は小学生！
2019/05/11(土) 16:59:21.84ID:v+MgmhdB
最低限でも微分が分からないとなんとも…
2019/05/11(土) 17:00:54.38ID:CBzW8zRI
>>1
まず、現代数学概説ⅠⅡを読もう
まず、現代数学概説ⅠⅡを読もう
5１３２人目の素数さん
2019/05/11(土) 17:01:41.66ID:zZdqArkg 数3の微分まではできる、頼むよ
2019/05/11(土) 18:20:55.06ID:v+MgmhdB
まず sin x のマクローリン展開を考える。つまり
sin x = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 * a4 x^4 + … …①
と近似することを考える。
①の両辺に x=0 を代入すると a0 = 0 となる
①の両辺を一階微分して x=0 を代入すると cos x = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + … から a1 = 1 となる
①の両辺を二階微分して x=0 を代入すると -sin x = 2 a2 + 6 a3 x + 12 a4 x^2 + … から a2 = 0 となる
①の両辺を三階微分して x=0 を代入すると -cos x = 6 a3 + 24 a4 x + … から a3 = 6 = 3! となる
以下同様に a3=-3! a4=0 a5=5! a6=0 a7=-7! となるから ①は
sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - … となる cos x についても同様に、
cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - … となる exp x についても同様に
exp x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + … となる
これに x=iθを代入すると…
exi(iθ) = cos(iθ) + i sin(iθ) が言える
sin x = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 * a4 x^4 + … …①
と近似することを考える。
①の両辺に x=0 を代入すると a0 = 0 となる
①の両辺を一階微分して x=0 を代入すると cos x = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + … から a1 = 1 となる
①の両辺を二階微分して x=0 を代入すると -sin x = 2 a2 + 6 a3 x + 12 a4 x^2 + … から a2 = 0 となる
①の両辺を三階微分して x=0 を代入すると -cos x = 6 a3 + 24 a4 x + … から a3 = 6 = 3! となる
以下同様に a3=-3! a4=0 a5=5! a6=0 a7=-7! となるから ①は
sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - … となる cos x についても同様に、
cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - … となる exp x についても同様に
exp x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + … となる
これに x=iθを代入すると…
exi(iθ) = cos(iθ) + i sin(iθ) が言える
7１３２人目の素数さん
2019/05/11(土) 18:26:24.60ID:zZdqArkg 結局なんなのか視覚的に見えてこない、、
マクローリン展開ってどういうもの？
メリットは何？
マクローリン展開ってどういうもの？
メリットは何？
2019/05/11(土) 18:28:39.52ID:0C+ZNDTF
オイラーにまかせろ
2019/05/11(土) 20:37:23.53ID:v+MgmhdB
マクローリン展開は関数を近似できるんだよ
sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - … ってあるだろ
これにたとえば x= 0.1 を代入すると
sin 0.1 = 0.1 - 0..1^3/3! + 0.1^5/5! - 0..1^7/7! + 0..1^9/9! - …
と具体的な数値を近似できるわけだ。
電卓ででもこれを計算すれば三角関数の値を求めることができる。
これを複素数に適応するのがオイラーの式
視覚的に簡易的に把握したいなら、複素数平面で把握すべきだろうな。
その手のサイトがあるんじゃないか？
sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - … ってあるだろ
これにたとえば x= 0.1 を代入すると
sin 0.1 = 0.1 - 0..1^3/3! + 0.1^5/5! - 0..1^7/7! + 0..1^9/9! - …
と具体的な数値を近似できるわけだ。
電卓ででもこれを計算すれば三角関数の値を求めることができる。
これを複素数に適応するのがオイラーの式
視覚的に簡易的に把握したいなら、複素数平面で把握すべきだろうな。
その手のサイトがあるんじゃないか？
10１３２人目の素数さん
2019/05/11(土) 20:50:43.60ID:zZdqArkg2019/05/12(日) 20:12:38.25ID:1GLCRHF+
e^iπ＝-1
12１３２人目の素数さん
2019/05/12(日) 21:48:03.20ID:gAl63z0l 生命の呼吸のリズム、
音楽のリズムを機能的に表現する公式です。
音楽のリズムを機能的に表現する公式です。
13１３２人目の素数さん
2019/05/12(日) 21:50:03.83ID:gAl63z0l 半径1の円上の点の動きを
機能的に表現してますよ。
機能的に表現してますよ。
14１３２人目の素数さん
2019/05/12(日) 22:33:05.68ID:wUzJHc3Q >>6
三角関数に虚数入れるアホwwwwwwwwww
三角関数に虚数入れるアホwwwwwwwwww
15１３２人目の素数さん
2019/05/14(火) 08:00:24.27ID:uTzmMEnI つ複素関数
2019/05/19(日) 12:00:44.09ID:9g/K/0vL
まず
cos(x) ≦ 1
は認めよう。
0～x で平均する。
sin(x) ≦ ｘ (x>0)
sin(x) ≧ x (x<0)
0～x で平均する。
1-cos(x) ≦ xx/2
cos(x) ≧ 1 - xx/2,
0～x で平均する。
sin(x) ≧ x - (1/6)x^3 (x>0)
sin(x) ≦ x - (1/6)x^3 (x<0)
0～x で平均する。
1-cos(x) ≧ xx/2 - (1/24)x^4
cos(x) ≦ 1 -xx/2 + (1/24)x^4
以下続けるとマクローリン展開が出てくる。
cos(x) ≦ 1
は認めよう。
0～x で平均する。
sin(x) ≦ ｘ (x>0)
sin(x) ≧ x (x<0)
0～x で平均する。
1-cos(x) ≦ xx/2
cos(x) ≧ 1 - xx/2,
0～x で平均する。
sin(x) ≧ x - (1/6)x^3 (x>0)
sin(x) ≦ x - (1/6)x^3 (x<0)
0～x で平均する。
1-cos(x) ≧ xx/2 - (1/24)x^4
cos(x) ≦ 1 -xx/2 + (1/24)x^4
以下続けるとマクローリン展開が出てくる。
2019/05/23(木) 08:34:27.18ID:pMxXR6IF
〔オイラー公式集〕
π - e + γ = 1.00052649
π/γ - γ - e/π = 4.00019535973
-π + 4e -3γ = 5.99988766554
3e - π/e = 6.9991181356
e^e - 3e = 6.9994167561
3e^e - 15e + 2π/e = 7.000013997
3e -2γ = 7.000414155574
e + 2π = 9.0014671356
3π + γ = 10.00199362567
e^e - π/e = 13.9985348917
e^e - 2γ = 13.99983091168
e^π - π = 19.999099979
(略証)
π = 223/71, e = 193/71, γ = 41/71 だから。
π - e + γ = 1.00052649
π/γ - γ - e/π = 4.00019535973
-π + 4e -3γ = 5.99988766554
3e - π/e = 6.9991181356
e^e - 3e = 6.9994167561
3e^e - 15e + 2π/e = 7.000013997
3e -2γ = 7.000414155574
e + 2π = 9.0014671356
3π + γ = 10.00199362567
e^e - π/e = 13.9985348917
e^e - 2γ = 13.99983091168
e^π - π = 19.999099979
(略証)
π = 223/71, e = 193/71, γ = 41/71 だから。
2019/05/23(木) 08:55:49.48ID:pMxXR6IF
(続き)
e^π - e + γ = 20.99962646922
-3π + 15e - 11γ = 25.0000771522
e^π + 2e - γ = 28.0000406248
-4π + 19e - 14γ = 30.9999648177
(略証)
π = 223/71, e = 193/71, γ = 41/71 だから。
e^π - e + γ = 20.99962646922
-3π + 15e - 11γ = 25.0000771522
e^π + 2e - γ = 28.0000406248
-4π + 19e - 14γ = 30.9999648177
(略証)
π = 223/71, e = 193/71, γ = 41/71 だから。
2019/06/12(水) 07:55:49.65ID:HaAncPiV
空間内の剛体Aを変形せずにBに移した。
次は正しいか。
(1) Aから、「平行移動」と、それに平行な軸の周りの「回転」によってBに達する。
(2) 上記の「平行移動」も「回転」も平面による「鏡映」2回により可能。
(3) Aから、「鏡映」4回によりBに達する。
次は正しいか。
(1) Aから、「平行移動」と、それに平行な軸の周りの「回転」によってBに達する。
(2) 上記の「平行移動」も「回転」も平面による「鏡映」2回により可能。
(3) Aから、「鏡映」4回によりBに達する。
2019/06/21(金) 03:13:03.94ID:QHxofjgl
(1)
〔剛体回転におけるオイラーの定理〕
剛体の固定点まわりの方向転換は、或る軸のまわりの回転により達せられる。
回転軸の向きと回転角φはこれで決まる。平行移動の向きは回転軸と同じとした。（z軸）
平行移動の距離と回転軸の位置は、以下に示すように、剛体の１点P（たとえば重心）がうまく移るようにする。
移動距離は、P→Q のz座標の増分とする。
平行移動P→P' の後、P' Qはz軸に垂直な平面内に有る。 この平面内に ∠P'OQ = φ となる点Oを取る。
回転軸は、点Oを通りz軸の向きの直線とする。
〔剛体回転におけるオイラーの定理〕
剛体の固定点まわりの方向転換は、或る軸のまわりの回転により達せられる。
回転軸の向きと回転角φはこれで決まる。平行移動の向きは回転軸と同じとした。（z軸）
平行移動の距離と回転軸の位置は、以下に示すように、剛体の１点P（たとえば重心）がうまく移るようにする。
移動距離は、P→Q のz座標の増分とする。
平行移動P→P' の後、P' Qはz軸に垂直な平面内に有る。 この平面内に ∠P'OQ = φ となる点Oを取る。
回転軸は、点Oを通りz軸の向きの直線とする。
2019/06/21(金) 03:17:34.65ID:QHxofjgl
>>11
「おいらの贈り物」 ～人類の至宝 e^(π√163) = 640320^3 + 744 を学ぶ～
「おいらの贈り物」 ～人類の至宝 e^(π√163) = 640320^3 + 744 を学ぶ～
2019/06/29(土) 10:37:43.56ID:3Xk/Xg8d
>>19
(1) らせん軸 (screw axis) という。
(2)
ｚ方向の平行移動 → zに垂直な平面による鏡映 (2回)
z軸のまわりの回転 → z軸に平行な平面による鏡映 (2回)
(3) ハウスホルダー法という。
(1) らせん軸 (screw axis) という。
(2)
ｚ方向の平行移動 → zに垂直な平面による鏡映 (2回)
z軸のまわりの回転 → z軸に平行な平面による鏡映 (2回)
(3) ハウスホルダー法という。
2019/07/06(土) 14:03:52.65ID:WWXCaxhO
オイラーの公式は美しい
何故これほど美しいのか、その理由は解明されているの？
何故これほど美しいのか、その理由は解明されているの？
2019/07/20(土) 01:55:17.06ID:JIxksdVK
>>19
それは鏡、鏡の中からツンツツン････
第一期(1969)
http://www.youtube.com/watch?v=KykhC2-WP7s 01:01
第二期(1988)
http://www.youtube.com/watch?v=ZF_Iynaduoo 01:08
第三期(1998)
http://www.youtube.com/watch?v=nWSAdI7yGlo 01:26
それは鏡、鏡の中からツンツツン････
第一期(1969)
http://www.youtube.com/watch?v=KykhC2-WP7s 01:01
第二期(1988)
http://www.youtube.com/watch?v=ZF_Iynaduoo 01:08
第三期(1998)
http://www.youtube.com/watch?v=nWSAdI7yGlo 01:26
25１３２人目の素数さん
2019/07/20(土) 11:11:05.84ID:bSAoQnjE 1115
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
ｈｔｔｐｓ://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
ｈｔｔｐｓ://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
2019/07/20(土) 17:55:55.92ID:JIxksdVK
>>20
単位ベクトル <ｎ| = (n1, n2, n3) のまわりにφだけ回転する直交行列を Ｔ(φ) とする。
また、 Ω |ｒ> = ｎ × |ｒ> とする。このとき
(ｄＴ/dφ) = ｎ×Ｔ = Ω T,
Ｔ(0) = I,
これを解くと
Ｔ(φ) = Ｉ + (sinφ)Ω + (1-cosφ）ΩΩ = (cosφ)Ｉ + (sinφ)Ω + (1-cosφ)|ｎ> <ｎ|,
ここに
[ 0, -n3, n2 ]
Ω = [ n3, 0, -n1 ]
[ -n2, n1, 0 ]
直交行列Ｔ (|T|=1) から回転軸 |ｎ> と回転角φが決まる。
単位ベクトル <ｎ| = (n1, n2, n3) のまわりにφだけ回転する直交行列を Ｔ(φ) とする。
また、 Ω |ｒ> = ｎ × |ｒ> とする。このとき
(ｄＴ/dφ) = ｎ×Ｔ = Ω T,
Ｔ(0) = I,
これを解くと
Ｔ(φ) = Ｉ + (sinφ)Ω + (1-cosφ）ΩΩ = (cosφ)Ｉ + (sinφ)Ω + (1-cosφ)|ｎ> <ｎ|,
ここに
[ 0, -n3, n2 ]
Ω = [ n3, 0, -n1 ]
[ -n2, n1, 0 ]
直交行列Ｔ (|T|=1) から回転軸 |ｎ> と回転角φが決まる。
2019/07/21(日) 03:18:19.39ID:4k/Gtesi
|ｎ> <ｎ| = Ｉ + ΩΩ,
tr(ΩΩ) = -2,
tr(|ｎ> <ｎ|) = 1,
から
cosφ = {tr(T) -1}/2,
Ω = (1/2sinφ)(T-T~),
tr(ΩΩ) = -2,
tr(|ｎ> <ｎ|) = 1,
から
cosφ = {tr(T) -1}/2,
Ω = (1/2sinφ)(T-T~),
2019/08/19(月) 15:00:02.10ID:7hct5IOJ
2019/08/20(火) 00:42:28.19ID:tL4LcjDy
2019/09/29(日) 04:36:44.98ID:yMiUWc4N
x^3 + y^3 + z^3 = w^3 の整数解の例
・オイラーの解
x = -|α|^4 - |β|^2･Re(2αβω),
y = |α|^4 + |β|^2･Re(2αβω~),
z = |β|^4 + |α|^2･Re(2αβω),
w = |β|^4 + |α|^2･Re(2αβω~),
ここに α,β∈Z[√(-3)], ω≠1 は1の3乗根。
(解説)
x = -AA -BC,
y = AA +BD,
z = BB +AC,
w = BB +AD,
とおくと
x^3+y^3+z^3-w^3 = (A^3-B^3)(C-D)(3AB-CC-CD-DD),
そこで 3AB-CC-CD-DD を 0にしよう。まづ
C = Re(2γω), D = Re(2γω~)
とおくと
(2γ) + (2γω) + (2γω~) = 2γ(1+ω+ω~) = 0,
∴ Re(2γ) + C + D = 0, etc.
CC + CD + DD = 3|γ|^2,
そこで
A=|α|^2, B=|β|^2, C=Re(2αβω), D=Re(2αβω~)
とおけば
3AB -CC -CD -DD = 0.
・参考書
北村泰一「数論入門」(改訂版) 槇書店 数学選書 (1989)
北村泰一「南極越冬隊 タロジロの真実」小学館文庫 (2007/Mar) 649円
・オイラーの解
x = -|α|^4 - |β|^2･Re(2αβω),
y = |α|^4 + |β|^2･Re(2αβω~),
z = |β|^4 + |α|^2･Re(2αβω),
w = |β|^4 + |α|^2･Re(2αβω~),
ここに α,β∈Z[√(-3)], ω≠1 は1の3乗根。
(解説)
x = -AA -BC,
y = AA +BD,
z = BB +AC,
w = BB +AD,
とおくと
x^3+y^3+z^3-w^3 = (A^3-B^3)(C-D)(3AB-CC-CD-DD),
そこで 3AB-CC-CD-DD を 0にしよう。まづ
C = Re(2γω), D = Re(2γω~)
とおくと
(2γ) + (2γω) + (2γω~) = 2γ(1+ω+ω~) = 0,
∴ Re(2γ) + C + D = 0, etc.
CC + CD + DD = 3|γ|^2,
そこで
A=|α|^2, B=|β|^2, C=Re(2αβω), D=Re(2αβω~)
とおけば
3AB -CC -CD -DD = 0.
・参考書
北村泰一「数論入門」(改訂版) 槇書店 数学選書 (1989)
北村泰一「南極越冬隊 タロジロの真実」小学館文庫 (2007/Mar) 649円
2020/03/29(日) 09:08:59.69ID:aOvcdyIH
>>11
オイラの公式 (e')^(iπ’) = -1,
と
和の公式 e' + π' + π' = 3・3,
が成り立つ。 ここに
e' = 2.71940175612508383454746･･･
π' = 3.14029912193745808272627･･･
オイラの公式 (e')^(iπ’) = -1,
と
和の公式 e' + π' + π' = 3・3,
が成り立つ。 ここに
e' = 2.71940175612508383454746･･･
π' = 3.14029912193745808272627･･･
2020/03/29(日) 10:42:29.96ID:aOvcdyIH
(e')^(π’) = e^π = 20 + π' + 0.000393510841810923
2020/04/03(金) 11:18:57.11ID:mgebV0rK
e < e' < 3 < π' < π
(π')^e < π^e < (π')^(e'）< π^(e') < ｅ^(π'）<（e')^(π'）= e^π < (e')^π,
(π')^e < π^e < (π')^(e'）< π^(e') < ｅ^(π'）<（e')^(π'）= e^π < (e')^π,
2020/09/13(日) 20:49:46.99ID:aLRApFcX
γ^2 + γ^16 = 1/3,
(16次の代数的数?)
(16次の代数的数?)
2020/09/13(日) 21:03:08.84ID:aLRApFcX
γ^2 + (1/3)^8 = 1/3,
より
γ = √{1/3 - (1/3)^8}
より
γ = √{1/3 - (1/3)^8}
36盗聴盗撮犯罪者・色川高志が嫌がらせをしつこく継続
2021/03/30(火) 15:54:23.45ID:mvMvg5Js 色川高志（葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）
●色川高志「高添沼田の息子の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」
龍神連合五代目総長・高添沼田の息子（葛飾区青戸６－２６－６）の挑発
●高添沼田の息子「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合五代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!! 糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)
492盗聴盗撮犯罪者色川高志（青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３2021/02/03(水) 13:53:22.55ID:QtP78E4Z
●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父の逮捕を要請します」
色川高志（盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6－23－21ハイツニュー青戸103
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父
高添沼田ハゲエロ老義父の住所＝東京都葛飾区青戸6－26－６
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19 ℡０３ー３６０７ー０１１０
盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6－23－19）の
五十路後半強制脱糞
http://img.erogazou-pinkline.com/img/2169/scatology_anal_injection-2169-027.jpg
アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父によりバスタ
●色川高志「高添沼田の息子の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」
龍神連合五代目総長・高添沼田の息子（葛飾区青戸６－２６－６）の挑発
●高添沼田の息子「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合五代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!! 糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)
492盗聴盗撮犯罪者色川高志（青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３2021/02/03(水) 13:53:22.55ID:QtP78E4Z
●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父の逮捕を要請します」
色川高志（盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6－23－21ハイツニュー青戸103
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父
高添沼田ハゲエロ老義父の住所＝東京都葛飾区青戸6－26－６
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19 ℡０３ー３６０７ー０１１０
盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6－23－19）の
五十路後半強制脱糞
http://img.erogazou-pinkline.com/img/2169/scatology_anal_injection-2169-027.jpg
アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父によりバスタ
2021/05/28(金) 08:41:44.22ID:nOMIDqVU
オイラの公式の平方根
i = e^{(π/2)i},
より
i^i の主値 = e^(-π/2) = 0.2078795764 … 実数
α。= i^(πi) = e^(-ππ/2) = 0.0071918833558 = 1/139.04563666
(参考)
α = 0.007297352568653853422694733690852932089174790336171742833037519
= 1/137.03599909582970048964740098248246498324725408221072828045342
i = e^{(π/2)i},
より
i^i の主値 = e^(-π/2) = 0.2078795764 … 実数
α。= i^(πi) = e^(-ππ/2) = 0.0071918833558 = 1/139.04563666
(参考)
α = 0.007297352568653853422694733690852932089174790336171742833037519
= 1/137.03599909582970048964740098248246498324725408221072828045342
2021/06/26(土) 08:25:42.50ID:U0t83wXJ
バーゼル問題
Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4,
(略解)
まず半径 R = n/π の円周に内接する正n角形を描く。
頂点 P_k (k=1,2,…,n)
隣あう頂点をむすぶ弧の中央に点Aをとる。
中心角 ∠AOP_k = (2k-1)/R, (k=1,2,…,n)
弦 AP_k = 2R sin((k-1/2)/R)
その(-2)乗の和は
Σ[k=1,n] 1/(APk)^2 = (π^2)/4 … (*)
n→∞ とすれば
Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4
(終)
(*) を示す所がチョト難しい。
nを2倍したとき、逆ピタゴラスの定理で APk が次々と求まることを
活用するのがミソ。
Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4,
(略解)
まず半径 R = n/π の円周に内接する正n角形を描く。
頂点 P_k (k=1,2,…,n)
隣あう頂点をむすぶ弧の中央に点Aをとる。
中心角 ∠AOP_k = (2k-1)/R, (k=1,2,…,n)
弦 AP_k = 2R sin((k-1/2)/R)
その(-2)乗の和は
Σ[k=1,n] 1/(APk)^2 = (π^2)/4 … (*)
n→∞ とすれば
Σ[k=1,∞] 2/(2k-1)^2 = (π^2)/4
(終)
(*) を示す所がチョト難しい。
nを2倍したとき、逆ピタゴラスの定理で APk が次々と求まることを
活用するのがミソ。
2021/06/26(土) 08:27:35.69ID:U0t83wXJ
(参考動画)
Stardy-河野玄斗
http://www.youtube.com/watch?v=91CDe6bwby8 20:35
タマキ/環耀
http://www.youtube.com/watch?v=4hhyR0-xCtw 33:03
元動画 3Blue1Brown
http://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls 19:03
(文献)
"Summing inverse squares by Euclidean geometry"
Johan Waestlund 2010/Dec/08
http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf
Stardy-河野玄斗
http://www.youtube.com/watch?v=91CDe6bwby8 20:35
タマキ/環耀
http://www.youtube.com/watch?v=4hhyR0-xCtw 33:03
元動画 3Blue1Brown
http://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls 19:03
(文献)
"Summing inverse squares by Euclidean geometry"
Johan Waestlund 2010/Dec/08
http://www.math.chalmers.se/~wastlund/Cosmic.pdf
2021/06/27(日) 03:36:59.78ID:movehHSD
θ = (k-1/2)π/(2n), として
1/{R sin(2θ)}^2 = 1/(2R sinθ cosθ)^2
= {(cosθ)^2 + (sinθ)^2}/(2R sinθ cosθ)^2
= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R cosθ)^2
= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R sin(θ+π/2))^2,
逆ピタゴラスを使ってこれを図形的に示した。
1/{R sin(2θ)}^2 = 1/(2R sinθ cosθ)^2
= {(cosθ)^2 + (sinθ)^2}/(2R sinθ cosθ)^2
= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R cosθ)^2
= 1/(2R sinθ)^2 + 1/(2R sin(θ+π/2))^2,
逆ピタゴラスを使ってこれを図形的に示した。
2021/08/14(土) 18:56:04.03ID:DpEHlUZa
おいらの公式
n^φ(m) ≡ 1 (mod m)
φ(m) … totient関数
剰余類 (Z/mZ) = {0,1,･･･, m-1} のうち、mと素であるもの (正則元) の個数。
例)
m=9 のとき 正則元は {1,2,4,5,7,8} の6個, φ(9) = 6
(n,9)=1 のとき
n^6 - 1 ≡ 0 (mod 9) … おいらの公式
(略証)
n ≠ (3の倍数)
n = 3m±1,
∴ n^2 = (3m±1)^2 ≡ 1 (mod 3) (フェルマーの小定理)
∴ n^6 - 1 = (n^2 - 1) (n^4 + n^2 + 1)
= (n^2 - 1) {(n^2 - 1)^2 + 3n^2}
= (3の倍数) (3の倍数)
= (9の倍数)
n^φ(m) ≡ 1 (mod m)
φ(m) … totient関数
剰余類 (Z/mZ) = {0,1,･･･, m-1} のうち、mと素であるもの (正則元) の個数。
例)
m=9 のとき 正則元は {1,2,4,5,7,8} の6個, φ(9) = 6
(n,9)=1 のとき
n^6 - 1 ≡ 0 (mod 9) … おいらの公式
(略証)
n ≠ (3の倍数)
n = 3m±1,
∴ n^2 = (3m±1)^2 ≡ 1 (mod 3) (フェルマーの小定理)
∴ n^6 - 1 = (n^2 - 1) (n^4 + n^2 + 1)
= (n^2 - 1) {(n^2 - 1)^2 + 3n^2}
= (3の倍数) (3の倍数)
= (9の倍数)
2021/08/14(土) 20:01:59.40ID:DpEHlUZa
〔問題3〕
任意の整数nに対し、n^9 - n^3 は9で割れ切れることを示せ。
【2001 京都大】(文系)
http://www.youtube.com/watch?v=nkSKAyHbWLY
http://www.youtube.com/watch?v=yiMQw6gNrSE 10:33,
任意の整数nに対し、n^9 - n^3 は9で割れ切れることを示せ。
【2001 京都大】(文系)
http://www.youtube.com/watch?v=nkSKAyHbWLY
http://www.youtube.com/watch?v=yiMQw6gNrSE 10:33,
2021/08/14(土) 20:18:21.22ID:DpEHlUZa
n^9 - n^3 = (n^3)(n^3 +1)(n^3 -1),
(解1)
・n が3の倍数のとき、
n^3 ≡ 0 (mod 9)
・n+1 が3の倍数のとき
n^3 +1 = (n+1)(n^2 -n +1) = (n+1)[(n+1)^2 -3n] ≡ 0 (mod 9)
・n-1 が3の倍数のとき
n^3 -1 = (n-1)(n^2 +n +1) = (n-1)[(n-1)^2 +3n] ≡ 0 (mod 9)
(解2)
n^9 - n^3 = (n^3)(n^6 - 1),
・nが3の倍数のとき、
n^3 ≡ 0 (mod 9)
・nが3と素のとき、おいらの公式より
n^6 - 1 ≡ 0 (mod 9)
(解1)
・n が3の倍数のとき、
n^3 ≡ 0 (mod 9)
・n+1 が3の倍数のとき
n^3 +1 = (n+1)(n^2 -n +1) = (n+1)[(n+1)^2 -3n] ≡ 0 (mod 9)
・n-1 が3の倍数のとき
n^3 -1 = (n-1)(n^2 +n +1) = (n-1)[(n-1)^2 +3n] ≡ 0 (mod 9)
(解2)
n^9 - n^3 = (n^3)(n^6 - 1),
・nが3の倍数のとき、
n^3 ≡ 0 (mod 9)
・nが3と素のとき、おいらの公式より
n^6 - 1 ≡ 0 (mod 9)
2021/08/14(土) 20:46:33.24ID:DpEHlUZa
面白くない?
2021/08/14(土) 20:47:40.58ID:DpEHlUZa
〔問題〕
n^2 +n +1 は9の倍数でないことを示せ。
http://www.youtube.com/watch?v=3X5ktgbphrk 04:59,
鈴木貫太郎
(略解)
4(n^2 +n +1) = (2n+1)^2 + 3,
を3進法で表わす。
2n+1 が3の倍数のとき …10)_3
2n+1 が3と素のとき …X1)_3
いずれにしても 9の倍数 …00)_3 でない。
∴ n^2 +n +1 も 9の倍数でない。
n^2 +n +1 は9の倍数でないことを示せ。
http://www.youtube.com/watch?v=3X5ktgbphrk 04:59,
鈴木貫太郎
(略解)
4(n^2 +n +1) = (2n+1)^2 + 3,
を3進法で表わす。
2n+1 が3の倍数のとき …10)_3
2n+1 が3と素のとき …X1)_3
いずれにしても 9の倍数 …00)_3 でない。
∴ n^2 +n +1 も 9の倍数でない。
2021/08/15(日) 02:01:18.84ID:kOU6zudd
(略解)
n^2 + n + 1 = (n+2)(n-1) + 3,
を3進法で表わす。
n-1 ≡ n+2 が3の倍数のとき …10)_3
n-1 と3が素のとき …X1)_3
いずれにしても 9の倍数 …00)_3 でない。
n^2 + n + 1 = (n+2)(n-1) + 3,
を3進法で表わす。
n-1 ≡ n+2 が3の倍数のとき …10)_3
n-1 と3が素のとき …X1)_3
いずれにしても 9の倍数 …00)_3 でない。
2021/10/20(水) 17:57:07.57ID:tGBp8wkO
>>41
おいらのtotient関数φ(m)
{1,2,…,m-1} のうち、mと素であるもの (正則元) の個数。
素数pについて
φ(p^e) = (p-1)･p^(e-1)
m = Πp^e のとき
φ(m) = Πφ(p^e) … 乗法的
おいらのtotient関数φ(m)
{1,2,…,m-1} のうち、mと素であるもの (正則元) の個数。
素数pについて
φ(p^e) = (p-1)･p^(e-1)
m = Πp^e のとき
φ(m) = Πφ(p^e) … 乗法的
2021/10/20(水) 18:05:15.86ID:tGBp8wkO
aがmと素 ⇒ a^n ≡ 1 (mod m)
を満たす最小の自然数nをλ(m)と書く。
λ(m) は φ(m) の約数。
カーマイケル関数λ(m)
pが奇素数 または e≦2 のとき
λ(p^e) = (p-1)･p^(e-1)
p=2 かつ e≧3 のとき
λ(2^e) = 2^(e-2),
m = Πp^e のとき
λ(m) = LCM{λ(p^e)}
を満たす最小の自然数nをλ(m)と書く。
λ(m) は φ(m) の約数。
カーマイケル関数λ(m)
pが奇素数 または e≦2 のとき
λ(p^e) = (p-1)･p^(e-1)
p=2 かつ e≧3 のとき
λ(2^e) = 2^(e-2),
m = Πp^e のとき
λ(m) = LCM{λ(p^e)}
2022/02/02(水) 08:03:48.24
まず複素数c1+s1*i、c2+s2*iで、
c1^2+s1^2=1、c2^2+s2^2=1
なら、２数の積
(c1+s1*i)*(c2+s2*i)=(c1*c2-s1*s2)+(c1*s2+c2*s1)i
を計算したとき
(c1*c2-s1*s2)^2+(c1*s2+c2*s1)^2
=(c1*c2)^2-2*(c1*c2*s2*s2)+(s1*s2)^2+(c1*s2)^2+2*(c1*c2*s2*s2)+(c2*s1)^2
=(c1*c2)^2+(s1*s2)^2+(c1*s2)^2+(c2*s1)^2
=c1^2*(c2^2+s2^2)+s1^2*(c2^2+s2^2)
=(c1^2+s1^2)*(c2^2+s2^2)
=1*1
=1
となることを理解しような
c1^2+s1^2=1、c2^2+s2^2=1
なら、２数の積
(c1+s1*i)*(c2+s2*i)=(c1*c2-s1*s2)+(c1*s2+c2*s1)i
を計算したとき
(c1*c2-s1*s2)^2+(c1*s2+c2*s1)^2
=(c1*c2)^2-2*(c1*c2*s2*s2)+(s1*s2)^2+(c1*s2)^2+2*(c1*c2*s2*s2)+(c2*s1)^2
=(c1*c2)^2+(s1*s2)^2+(c1*s2)^2+(c2*s1)^2
=c1^2*(c2^2+s2^2)+s1^2*(c2^2+s2^2)
=(c1^2+s1^2)*(c2^2+s2^2)
=1*1
=1
となることを理解しような
2022/02/02(水) 08:19:19.43
で、実数xについて(1+xi)/(1-xi)となる複素数c+s*iはc^2+s^2=1となるが
逆にc^2+s^2=1となる複素数c+s*iは
lim(n→∞) ((1+(x/n)i)/(1-(x/n)i))^n
として表すことができて、そのときのxの二倍2xが
c+s*iの偏角なんだな つまり
lim(n→∞) ((1+(x/n)i)/(1-(x/n)i))^n =cos(2x)+sin(2x)*i
となるってこと
逆にc^2+s^2=1となる複素数c+s*iは
lim(n→∞) ((1+(x/n)i)/(1-(x/n)i))^n
として表すことができて、そのときのxの二倍2xが
c+s*iの偏角なんだな つまり
lim(n→∞) ((1+(x/n)i)/(1-(x/n)i))^n =cos(2x)+sin(2x)*i
となるってこと
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
ニュース
- 【サッカーW杯】開催国アメリカがGS2連勝！ 前半に２ゴールを奪取、オーストラリアに２-０で快勝 [鉄チーズ烏★]
- 《皇室乗っ取りクーデター》麻生太郎氏 “養子案”主導に広がる反発…“天皇の外戚になる可能性”との指摘も [バイト歴50年★]
- 高木豊氏 本田圭佑のＷ杯解説に私見「相手の選手も知らないと、野球ではボロカス言われるよ」★2 [jinjin★]
- 【気象】台風7号「メーカラー」が発生 今後の動向に注意 [牛乳トースト★]
- 【速報】自民、成長投資促す新たな財政目標を提言へ [バイト歴50年★]
- 東京駅で切符紛失→「3倍払って」と言われ→拒否すると「警察呼ぶ」と言い始め警備5人が包囲… BD選手のトラブル報告にネット紛糾★2 [冬月記者★]
- デンマーク、インフレ対策で一部食料品の税金即時廃止 反日か？😡 [399259198]
- 【悲報】女さん「男さあ、サッカースタジアム清掃するなら家でもやってよ」→正論すぎてBBCに取り上げられるwwwwwwwwwwwww [839150984]
- 2年後に開通する瀬戸内一周サイクリングコースにむけてミニベロが欲しいんだが。
- 【FIFAワールドカップ2026】 D組アメリカ×オーストラリア4:00(NHK3:45~,DAZN),C組スコットランド×モロッコ7:00(フジテレビ6:00~,DAZN) [226731781]
- ケンモメンが何周も見ちゃうアニメ [535953323]
- 朝ごはんは冷凍ワンプレート食べてる