まず sin x のマクローリン展開を考える。つまり

sin x = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 * a4 x^4 + …　　…①

と近似することを考える。
①の両辺に x=0 を代入すると a0 = 0 となる
①の両辺を一階微分して x=0 を代入すると cos x = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + …　から a1 = 1 となる
①の両辺を二階微分して x=0 を代入すると -sin x = 2 a2 + 6 a3 x + 12 a4 x^2 + …　から a2 = 0 となる
①の両辺を三階微分して x=0 を代入すると -cos x = 6 a3 + 24 a4 x + …　から a3 = 6 = 3! となる

以下同様に a3=-3! a4=0 a5=5! a6=0 a7=-7! となるから　①は

sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - …　となる cos x についても同様に、
cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - …　となる exp x についても同様に
exp x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + …　となる

これに x=iθを代入すると…

exi(iθ) = cos(iθ) + i sin(iθ)　 が言える