>>552
〔補題〕
0<k<1 のとき
　√{1 - (k･sinφ)^2} ≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk),

(略証)
マクローリン級数
　√(1-X) = 1 - (1/2)X - (1/8)X^2 - (1/16)X^3 - (5/128)X^4 - (7/256)X^5 - ････
より
√{1 - (k･sinφ)^2}
= 1 - (1/2)(k･sinφ)^2 - (1/8)(k･sinφ)^4 - (1/16)(k･sinφ)^6 - (5/128)(k･sinφ)^8 - ････
≧ (cosφ)^2 + (sinφ)^2･{1 - (1/2)k^2 -(1/8)k^4 -(1/16)k^6 -(5/128)k^8 - ････ }
= (cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk),　　　(終)

これより
K = 4a∫[0,π/2] √{1 - (k･sinφ)^2} dφ
　≧ 4a∫[0,π/2] {(cosφ)^2 + (sinφ)^2･√(1-kk)} dφ
　= πa{1 + √(1-kk)}
　= π(a+b)
　= (L+M)/2,