>>665です、皆さん解答ありがとうございます。
それで思ったのですが、2次関数と同様にx=aでの接線とx=bにおける接線との交点のx座標がcとなるのでないか？と言う予想が思いついたのですが、それは飛躍しすぎでしょうか？
もちろん証明できたわけではないのですが、それを手がかりにして面積とか下に凸とかの話をミックスさせるとわかりやすくなる気もします。
が、私の能力ではうまくいきません。