数学の本　第85巻

数学の専門書についてのスレです

数学学習マニュアル　まとめページ
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7997/
数学の本　まとめサイト
http://www3.atwiki.jp/math/pages/1.html


【過去スレ】
第68巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477731209/
第69巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1487383364/
第70巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492300530/
第71巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495881990/
第72巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1501905603/
第73巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508221180/
第74巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511085768/
第75巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1515687474/
第76巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1522075216/
第77巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1527903284/
第78巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1533458753/
第79巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1536824521/
第80巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1542513800/
第81巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548432622/
第82巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1552704680/
第83巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1557008282/
第84巻　https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561110262/


★線形代数と微積分の本についてはこちらで
【激しく】解析と線型代数の本何がいい？【既出】11
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1526097568/

★雑談は雑談スレで

★算数の本も雑談スレで

※荒らしには構わないように


>>1,950
次スレは>>950が立てること

Amazonの価格追跡サイト
https://keepa.com/
がお勧め。新品、古本問わず指定した価格を下回った時にメール通知してくれる機能があり、数ヶ月以上にわたる過去の価格変動推移グラフも確認可能
ブラウザにアドオンとしても導入可能なので、これで古本が安くなったときに買おう

「測度と確率」小谷眞一ってどうですか？

>>231
どこにどういう誤りがあるんですか？

NGID:1ikZX2it

p.105の一番下から2行目の

∫_{c}^{a} が誤りです。

NGID:xgvkNGtv

松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。

任意の α > 0 に対し

lim_{x → +∞} e^x / x^α = +∞

である。

という定理が書いてあります。

α を正の実数に限定していますが、不自然ですよね。

任意の実数としても、定理の内容はもちろん成り立ちますし、証明もそのままでOKです。

>>206
数学者に言語能力が高い人は多い
>>211
素の加藤さんは多弁ではない

無駄口の多いやつが良い論文書いた話を聞いたことがない

本の一番上がおそらく子どもに指で乱暴に引き出されたのか
背中側に向けて破れてる状態で書店にずっと残っている光景
郊外の書店には不似合いな数学系の専門書
ああいうのは最終的に返品されてしまうんだろうなと切ない

松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。

「
a の近傍で f を近似する n 次の多項式としては、

P_n^(k) (a) = f^(k) (a) (k = 0, 1, …, n)

を満たすような n 次式 P_n(x) をとるのが最適であると考えられる。
」

などと書いていますが、なぜそう考えられるのかについては一切書いていません。

テイラーの定理などが登場するまえに↑を書いています。

確かに、

a の近傍で、 P_n(x) が f(x) と似ているならば、 a での k 次導関数の値も似ている

という推測はできますが、最適とまで断言できるでしょうか？

>>240
コテ忘れてるぞ

>>240
では、何故そうなるかについて自分ではどこまで考えたんですか？

>>243

a の近傍で、 P_n(x) が f(x) と似ているならば、 a での k 次導関数の値も似ている

と考えました。

>>240
うぜーな
そもそもそんなに文句があるなら
そんな本読まなきゃいいじゃねーか

>>244
自分でそこまで推測したんであるならば、なんで一々>>240のレスをしたんですか？

松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。


>>240

より4ページ後ろに、以下の定理を書いています。

定理3

区間 I において f は n 回微分可能であるとする。 a ∈ I とし、

P_n(x) = Σ_{k = 0}^{n} (f^(k)(a) / k!) * (x - a)^k,
f(x) = P_n(x) + R_{n+1}

とおく。そのとき

(a) f^(n) が連続ならば

lim_{x → a} R_{n+1} / (x - a)^n = 0。

すなわち、 x が a に近づくとき、 R_{n+1} は (x - a)^n より速く 0 に近づく。標語的にいえば、 R_{n+1} は
(x - a)^n より“高位の無限小”である。

Q(x) = b_0 + b_1 * x + … + b_n * x^n を任意の n 次以下の多項式とする。

Q(x) = c_0 + b_1 * (x - a) + … + c_n * (x - a)^n

と書ける。

このとき、 Q(x) ≠ P_n(x) ならば、

lim_{x → a} (f(x) - Q(x)) / (x - a)^n ∈ R

または、

lim_{x → a} (f(x) - Q(x)) / (x - a)^n ∈ {-∞, +∞}

である。

>>248

訂正します：

Q(x) = b_0 + b_1 * x + … + b_n * x^n を任意の n 次以下の多項式とする。

Q(x) = c_0 + c_1 * (x - a) + … + c_n * (x - a)^n

と書ける。

このとき、 Q(x) ≠ P_n(x) ならば、

lim_{x → a} (f(x) - Q(x)) / (x - a)^n ∈ R

または、

lim_{x → a} (f(x) - Q(x)) / (x - a)^n ∈ {-∞, +∞}

である。

>>249
Q(x) ≠ P_n(x) ならば、　以下はどうしてそんなことが言えるんですか？

NGID:utDnyHrk

>>248-249

訂正します：

P_n(x) ≠ Q(x) だから、 P_n(x) - Q(x) は 0 でない n 次以下の多項式である。

P_n(x) - Q(x) = d_k * (x - a)^k + … + d_n * (x - a)^n, d_k ≠ 0 (0 ≦ k ≦ n) と書ける。

|P_n(x) - Q(x)| / |(x - a)^n|

=

|d_k * (x - a)^k + … + d_n * (x - a)^n| / |(x - a)^n|

=

|d_k + … + d_n * (x - a)^(n - k)| / |(x - a)^(n - k)|

よって、

0 ≦ k < n のとき、

|P_n(x) - Q(x)| / |(x - a)^n| → +∞ (x → a)

k = n のとき、

|P_n(x) - Q(x)| / |(x - a)^n| → |d_n| (x → a)


|f(x) - P_n(x)| / |(x - a)^n| → 0 (x → a)

であるから、

0 ≦ k < n のとき、

|f(x) - Q(x)| / |(x - a)^n| = |f(x) - P_n(x) + P_n(x) - Q(x)| / |(x - a)^n| → +∞ (x → a)

k = n のとき、

|f(x) - Q(x)| / |(x - a)^n| = |f(x) - P_n(x) + P_n(x) - Q(x)| / |(x - a)^n| → |d_n| (x → a)

>>252

ここまで確かめて、やっと以下のように言うことができますよね。

「
a の近傍で f を近似する n 次の多項式としては、

P_n^(k) (a) = f^(k) (a) (k = 0, 1, …, n)

を満たすような n 次式 P_n(x) をとるのが最適であると考えられる。
」

松坂和夫さんの本は売れているほうだと思いますが、あまり数学者からの
評判は良くないように感じます。

それはなぜでしょうか？

>>254
何を根拠にそんなこと言うのですか？

>>254
単に松坂が数学者としての業績が
多くない、というだけのこと。

先端の研究できないのに
学生向けの基礎テキストを
書いて儲けてる(？)などと
思う人もいるのだろう。

そゆつまんねえこと気にするな。
いい本はいい本でいいのだ！

松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。

ロピタルの定理ですが、Rudinの本を完全にコピペしています。

堂々としたものですね。

>>257

f'(x) / g'(x) の分母の g'(x) ですが、 (a, b) で常に非零と仮定されています。

ところが、

f(x) / g(x) の分母の g(x) については、 (a, b) で常に非零だとは仮定されていません。

このことが原因で、証明に不備があります。（コピペ元のRudinの本でも同様です。）

ところで、

lim_{x → a} f(x) / g(x) = A などと書くとき、

暗黙に、 a の十分近くでは、 g(x) ≠ 0 と仮定するのでしょうか？

NGID:Mx/4UYmo
NGID:nlGuHAEl

>>257

↓は松坂和夫さんのコピペ元のRudinの該当箇所です。

https://imgur.com/L5fLjSO.jpg

g'(x) について非零の条件を課すのならば、 g(x) についても同じ条件を課さないとだめですよね？

赤線を引いた g(y) が 0 になる可能性が出てきてしまいます。

不適切な箇所まで、忠実にコピペしていることには落胆せざるを得ないですね。

このロピタルの定理ですが、機械的なコピペが原因でのおかしな箇所もありますね。

>>257
具体的にはどのぐらいコピペなんですか？

>>259
aの十分近くでg(x)=0の時があったとしたら、そもそもf(x)/g(x)を議論することは可能なのでしょうか？

>>264

完全といっていいくらいのコピペです。

使っている文字を少し変えたりしていますが、議論は細部まで同じです。

ロピタルの定理に限らず、他のところでもRudinの本を完全にコピペしています。

＞aの十分近くでg(x)=0の時があったとしたら、そもそもf(x)/g(x)を議論することは可能なのでしょうか？

もちろん無理です。

言いたいことは、

https://imgur.com/L5fLjSO.jpg

↑で、 g'(x) が (a, b) で非零という仮定をわざわざ書く必要があるか？ということです。

b が a に十分近ければ、 (a, b) で g'(x) は非零でなければならないからです。

>>266

それでも、　g'(x) が (a, b) で非零という仮定をわざわざ書くのならば、

g(x) についても (a, b) で非零という仮定を書くべきです。

あ、ロピタルの定理が成り立つとすると、

g(x) は a の十分近くで非零であるということは証明できるはずですね。

新井紀子氏推薦とある本の帯に書いてありました。

なんかこういう推薦者って胡散臭い人が多いですよね。

新井紀子さんの『数学は言葉』とかいう本が「AI時代を生き抜く数学入門」などと紹介されていました。

AI時代を生き抜くことと、数学には何の関係があるのでしょうか？

「
しかし、現在の関数解析は、普及度においても整備のされ方においても微積分法の兄弟株の
位置にある。応用を目指す人達も関数解析リテラシーを早めに身につけることをすすめたい。
そのためのテキストとしては、謙遜抜きであえて言わせてもらえば、本格派への発展への
つながりと応用家への思いやりの点で、やはり岩波講座「基礎数学」の藤田宏・黒田成俊著
『関数解析I,II』がおすすめできると思う。
」

などと藤田宏さんは自画自賛していますね。

伊藤清三さんの『関数解析III』はおすすめではないんですね。
応用家への思いやり」ってなんか上から目線ですね。

「やはり岩波講座「基礎数学」の藤田宏・黒田成俊著『関数解析I,II』がおすすめできると思う。」

↑自分で「やはり」なんて言っていますね。

ID:nlGuHAEl ID:6+pu6A8q
お前ってほんとディスは完全スルーで、自分が目の前に興味関心を持ってることだけに対しては嬉嬉として反応するんだな
そこがアスペって皆言ってんだよ

>>259
> ところで、
>
> lim_{x → a} f(x) / g(x) = A などと書くとき、
>
> 暗黙に、 a の十分近くでは、 g(x) ≠ 0 と仮定するのでしょうか？

仮定しない。

>>271

どういうことでしょうか？

f(x) / g(x) は少なくとも定義されている必要がありますよね？

Aは無限でもよい

NGID:nlGuHAEl
NGID:6+pu6A8q
NGID:D7QYbZC6

>>273

g(x) = x * sin(1/x)

とします。

lim_{x → 0} 1 / g(x) = +∞

みたいな式を許容するということですか？

でもそうすることによるメリットって何かあるんですか？

g(x) = 0 となるような x に対しては、

1 / g(x) = +∞

でも、 +∞ - +∞ って不定ですよね。
0 ではないですよね。

>>276

あ、勘違いしていました。



任意の実数 K に対して、

0 < |x| < δ ⇒ K < 1 / g(x)

となるような正の実数 δ が存在する。


確かにOKといえばOKですね。

>>277

K < 1 / 0 = +∞

ですもんね。

でも、これを認めて、何かメリットがあるようには思えないんですが。

もしメリットがあるなら、このような定義がスタンダードになっていると思います。

日本語の数学書なんて読むなバカタレ！
洋書を読めや！！

ハーツホーンの原書読め
理解したらフィールズ賞取れるぞ

日本の数学者なんて数学理解していないんたからな
海外の数学者はIQも高いし、数オリメダリスト多いから信頼できるぞ

>>270
勉強してる気分になれる作業のダンプリストをネットに晒して喜んでるだけで
実際にはそれなりの理解に達して次の段階へと進むのを断固拒否してる

ってとこだろ。

とにかくおまえらハーツホーンを崇拝しろ
話はそれからだ
兎に角おまえらには飽きたわ
どうでもいいことに時間費やしてどうすんだよ？
バカすぎだろ
ワイは5000冊の数学書読んだぞ
そして、アーベル賞候補だしな

１ドル150円突入

だから、おまえら洋書読めや
松阪くんはバカだから英語できないか

>>285
松坂君はそもそも数学ができない

>>286
じゃあ、何ができるん？？

洋書を読む上で質問なんだが、
deformation theoryって浸透してる日本語訳ある？

未熟で偏ったやつが多過ぎる

この板に来て初日です
たまに名前が出てくる松坂君とやらは、ID:nlGuHAElの事でしょうか？

>>290
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1552704680/91,92

昔の有名学習参考書だったチャート式が1990年代までロピタルの定理を間違って教えていた弊害で、未だに間違って教えてる数学教師は多い。
一度間違った悪影響を拡大させてしまうと正しい解法が普及定着するにはπ倍以上の時間がかかる。今でも日本人を対象にロピタルの定理の誤答率を調べたらかなり顕著なはずだ。

>>261

あ、 g(x) ≠ 0 for all x ∈ (a, b) は証明できますね。

あとで、証明を書こうと思います。

>>293

訂正します：

>>261

あ、 ∃c ∈ (a, b) such that g(x) ≠ 0 for all x ∈ (a, c) は証明できますね。

あとで、証明を書こうと思います。

>>294

再度、訂正します。

>>293

でOKですね。

松阪くんは何にもできないよ
クズだ

>>296
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1552704680/91,92

-∞ ≦ a < b ≦ +∞ とする。
g(x) を (a, b) で微分可能とし、 g'(x) = 0 for all x ∈ (a, b) とする。
g(x) → 0 (x → a) とする。

このとき、 g(x) ≠ 0 for all x ∈ (a, b) が成り立つ。

証明：

g(x) = 0 for some x ∈ (a, b) と仮定する。
x0 ∈ (a, b) かつ g(x0) = 0 と仮定する。

すると、 g(x) ≠ 0 for all x ∈ (a, x0) である。

証明：

g(x1) = 0 for some x1 ∈ (a, x0) と仮定する。
ロールの定理により、 g'(x) = 0 for some x ∈ (x1, x0) となるがこれは矛盾。

g(x) > 0 for all x ∈ (a, x0) or g(x) < 0 for all x ∈ (a, x0) が成り立つ。

証明：

g(x) ≦ 0 for some x ∈ (a, x0) and g(x) ≧ 0 for some x ∈ (a, x0) が成り立つと仮定する。
x2 を x2 ∈ (a, x0) かつ g(x2) ≦ 0 を満たす実数とする。
x3 を x3 ∈ (a, x0) かつ g(x3) ≧ 0 を満たす実数とする。
すると、上で証明したことにより、 g(x2) ≠ 0 かつ g(x3) ≠ 0 である。
したがって、 g(x2) < 0 かつ g(x3) > 0 である。
中間値の定理により、 g(x) = 0 for some x between x2 and x3 であるが、これは上で証明したことと矛盾する。

(1) g(x) > 0 for all x ∈ (a, x0) である場合。

x4 ∈ (a, x0) とする。すると g(x4) > 0 である。
g(x4) > g(x4)/2 > g(x0) = 0 だから中間値の定理により、
g(x5) = g(x4)/2 for some x5 ∈ (x4, x0) である。

g(x) → 0 (x → a) だから、 0 < g(x) < g(x4)/2 for all x ∈ (a, x6) for some x6 ∈ (a, x4) である。
x7 ∈ (a, x6) とする。すると g(x7) < g(x4)/2 < g(x4) が成り立つ。
中間値の定理により、 g(x8) = g(x4)/2 for some x8 ∈ (x7, x4) である。

g(x5) = g(x8) = g(x4)/2 かつ x8 < x5 だから、ロールの定理により、 g'(x9) = 0 for some x9 ∈ (x8, x5) であるが、これは矛盾。

(2) g(x) < 0 for all x ∈ (a, x0) である場合。

x'4 ∈ (a, x0) とする。すると g(x) < 0 である。
g(x'4) < g(x'4)/2 < g(x0) = 0 だから中間値の定理により、
g(x'5) = g(x'4)/2 for some x'5 ∈ (x'4, x0) である。

g(x) → 0 (x → a) だから、 g(x'4)/2 < g(x) < 0 for all x ∈ (a, x'6) for some x'6 ∈ (a, x'4) である。
x'7 ∈ (a, x'6) とする。すると g(x'4) < g(x'4)/2 < g(x'7) が成り立つ。
中間値の定理により、 g(x'8) = g(x'4)/2 for some x'8 ∈ (x'7, x'4) である。

g(x'5) = g(x'8) = g(x'4)/2 かつ x'8 < x'5 だから、ロールの定理により、 g'(x'9) = 0 for some x'9 ∈ (x'8, x'5) であるが、これは矛盾。

以上により、

g(x) ≠ 0 for all x ∈ (a, b) が証明された。

斎藤毅著『微積分』のロピタルの定理のステートメントを見てみました。

g(x) ≠ 0 for all (a, b)
g'(x) > 0 for all (a, b) または g'(x) < 0 for all (a, b)

を仮定しています。

こういうのってどうなんですかね？

見た目が g'(x) ≠ 0 for all (a, b) よりも強く見える仮定になっていて好きじゃありません。

>>304

訂正します：

斎藤毅著『微積分』のロピタルの定理のステートメントを見てみました。

g(x) ≠ 0 for all x ∈ (a, b)
g'(x) > 0 for all x ∈ (a, b) または g'(x) < 0 for all x ∈ (a, b)

を仮定しています。

こういうのってどうなんですかね？

見た目が g'(x) ≠ 0 for all (a, b) よりも強く見える仮定になっていて好きじゃありません。

>>292

どのような間違いがあったのでしょうか？

詳しく教えてください。

斎藤毅さんの『微積分』ってどうなんですかね？

非常にきっちりと証明していたりする一方で、

>>305

のように見た目が強い仮定にみえて、分かりやすい仮定をしていたりします。

なんかバランスが悪いように思います。

そのほか、初学者のためと称して、くだらない説明をしていたりします。

じゃあ、初学者向けの本かというと全然そうではなくて、実数の連続性に関する公理など
非常に分かりにくいです。

一方で、扱っている内容自体はこぢんまりしていてかなり絞っていたりします。

なんとも奇妙な本だという印象です。

じゃあ、あなたの日本語が不自由で非常に分かりにくいです。

なんとも奇妙な人間だという印象です。

馬鹿アスペにそんなこといってもｗ

>>310
じゃあ、何を言って聞かせれば、馬鹿アスペに知能が育まれるん？？

スルーが正解

俺はこのアスペじゃ無いけど斎藤毅が悪いのについては同感
こいつの｢集合と位相｣は証明のスタイルが全然オーソドックスじゃ無いから初学だった当時の俺は滅茶苦茶不愉快な思いをさせられた
そのトラウマもあって割と嫌い

別のアスペか

毎回毎回証明も(本人なりに)分かり易く伝えようとしてるし、｢訂正します｣と断りも入れてるし
こいつの中では荒らしてるっていう自覚なんてこれっぽっちもないんだろう
むしろ自分の心境を皆に共感して欲しくしっかりと伝えようって言う気持ちなんだろう
とことん自分中心主義まさしくアスペ


小学校の運動会の頃を思い出して欲しい
かけっこで自分の番が来て走り出した途端、アドレナリンが出たこともあって視野が前方30度ぐらいしか見えなくなったあの経験
今その瞬間の超狭い自分の目の前の視界内のことしか見えずすぐ横で何が起きようが全く何も見えない精神状態

それが慢性的恒常的に発症してるのがこいつ

どんなに叩かれても書き続ける根性は凄いわ
その点だけは認める

NGID:ZcjaJ9l/

人格障害あるんだろうな。
このレベルの障害だと実生活にも影響してるだろな。

死ねばいいとしか思えないけどね

>>288
自己解決した
調べたところ東京大学、京都大学、大阪大学で「変形理論」と呼ばれてる

松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。

不連続点が無限に存在する場合でも、その不連続点の集合がある条件を満たせば、
積分可能であるという定理5の証明ですが、説明が足りませんね。

あるところでは異常に詳しく説明するのに、あるところでは説明が全く足りません。

それはなぜかというとこの本がいろいろな本からコピペした本だからです。

松坂さんが他書を参照せずに書いたと思われるところは異常に丁寧です。

コピペしたところについては説明を付け加えるようなことをせずほぼ完全なコピペであるため、
その部分については説明が丁寧ではないです。

>>322
コピペ元の元の記述とコピペ後の記述はどう違うんですか？

NGID:oufKZYYx

不連続点が無限に存在する場合でも、その不連続点の集合がある条件を満たせば、
積分可能であるという定理5ですが、分かってみれば、非常に簡単です。

ですが、証明の記述が非常に下手であるため、とても分かりづらいです。

リーマン積分の理論ですが、分かってみれば非常に分かりやすい話ですが、
分かりやすくうまく記述するのは大変みたいですね。

リーマン積分の理論を厳密に教えないこともあるそうですが、↑がその理由ですかね？

ルベーグ積分でもおそらく似たような感じなんでしょうね。

俺からしたら
リーマンとルべーグ積分は
全く違う！

>>322

定理5の内容は以下です：

f は区間 [a, b] で有界であるとし、 [a, b] における f の不連続点の集合を E とする。任意の ε > 0
に対し、

a ≦ u_1 < v_1 < u_2 < v_2 < … < u_s < v_s ≦ b,

Σ_{j = 1}^{s} (v_j - u_j) < ε

を満たす有限個の点 u_j, v_j (j = 1, …, s) を適当にとれば、 E ∩ (a, b) の点はすべて、
開区間 (u_1, v_1), …, (u_s, v_s) の和集合に含まれると仮定する。そのとき、 f は [a, b]
で積分可能である。

リーマン積分できるがルベーグ積分できない
ルベーグ積分できるがリーマン積分できない
その判定させる問題のレポーﾄだしたら
教授にウソかくのはやめてくださいねといわれて意気消沈

[a, b] - (u_1, v_1) ∪ … ∪ (u_s, v_s) での積分については、一様連続性を考えれば、上方和と下方和の差を
いくらでも小さくすることができる。

(u_1, v_1) ∪ … ∪ (u_s, v_s) での積分については、 f は有界であるし、 Σ_{j = 1}^{s} (v_j - u_j) が小さい
ので、上方和と下方和の差をいくらでも小さくすることができる。

というだけのことですよね。