松坂和夫さんの『解析入門上』を読んでいます。

∫ 1 / x dx = log |x| + C

と書くのは間違いであると書いています。その理由として、

「
なぜなら、関数 1/x の定義域は (-∞, 0), (0, +∞) の2つの区間に分かれており、
区間 (0, +∞) においては

∫ 1 / x dx = log x + C1,

区間 (-∞, 0) においては

∫ 1 / x dx = log (-x) + C2

であるが、ここで C1 と C2 が等しい定数である必要はないからである。
」

と書いています。

このようなことを書いているということは、

∫ 1 / x dx が (-∞, 0) ∪ (0, +∞) で定義された関数であると考えているということですよね？

でも、そもそも、不定積分 = 原始関数はある一つの区間 I で定義されるものでした。

ですから、

∫ 1 / x dx は I ⊂ (0, +∞) か I ⊂ (-∞, 0) で定義された関数を表しているわけです。

I ⊂ (0, +∞) である場合には、

∫ 1 / x dx = log x + C

であり、

I ⊂ (-∞, 0) である場合には、

∫ 1 / x dx = log (-x) + C

と書くまでのことではないでしょうか？

∫ 1 / x dx が一つの区間ではなく、 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) で定義された関数であると考えている
時点で誤りなわけです。