今日、いろいろ不定積分について考えていたのですが、ちょっとおもしろい事実を見つけました。

∫ sqrt(a^2 - x^2) dx

x = φ(t) = a * sin(t) と置きます。

φ : [-π/2, π/2] → [-a, a] は全単射であり、定義域である区間で何度でも微分可能な関数です。

被積分関数 f(x) = sqrt(a^2 - x^2) は [-a, a] から R への関数で定義域である区間で連続な関数です。

置換積分により、この不定積分を計算すると、

∫ sqrt(a^2 - x^2) dx = (1/2) * (x * sqrt(a^2 - x^2) + a^2 * arcsin(x/a)) + C

となります。


次のような定理があります：

f を区間 I で積分可能な関数とし、 a を I の定点、 x を I の任意の点として

F(x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt

とおく。そのとき、

f が x ∈ I において連続ならば、 F は x において微分可能で、

F'(x) = f(x)

となる。

sqrt(a^2 - x^2) は [-a, a] において連続ですから、当然、端の点 x = a, x = -a でも連続です。

↑の定理により、

(1/2) * (x * sqrt(a^2 - x^2) + a^2 * arcsin(x/a))

は x = a, x = -a でも微分可能です。

ところが、

x * sqrt(a^2 - x^2)

も

a^2 * arcsin(x/a)

も x = a, x = -a で微分できません。