ここで、以下の命題を証明しておきます：


f(x) を (a, b] で定義され、 (a, b) で微分可能な関数とします。

lim_{x → b} f'(x) = c ∈ R

とします。

このとき、

f(x) は x = b で微分可能で、 f'(b) = c である。

証明：

ε を任意の正の実数とする。

正の実数 δ を

x ∈ (b - δ, b) ⇒ |f'(x) - c| < ε

となるようにとる。

y ∈ (b - δ, b) とする。

平均値の定理より、

(f(y) - f(b)) / (y - b) = f'(x) を満たす x ∈ (y, b) が存在する。

x ∈ (y, b) ⊂ (b - δ, b) だから、

ε > |f'(x) - c| = |(f(y) - f(b)) / (y - b) - c|

∴ f(x) は x = b で微分可能であり、 f'(b) = c である。