>>650
解答と答案はちょっと違う。
教科書の問題の解答や証明というのは、書かれていないことは読者がフォローして論理をきちんと再構成出来れば良い、
というスタンスで書かれている。

一方、答案というのは、書いた人がきちんと理解していることを採点者に伝えることがポイントとなる。
なので、この解答をそのまま書いたら満点がとれるかどうかというと謎。採点基準次第としか。

で、この解答だとどうかというと、1というのが収束半径なので、
アーベルの連続性定理を使わないときっちり答えたことにならないかもしれない。
そういった意味では、アーベルの連続性定理をどう使うかを答えた方が良いと思う。

たとえばこんな感じ？（その解答と合わせて読んでくれ）

級数を解答と同じくf(x)は級数, g(x)は1/(1+x+x^2)の原始関数でg(0)=0のものとする。
g(x)は[0,1]上で連続に注意。
収束半径は1なので、|x|<1で項別微分をし、等比級数の無限和の公式とあわせると、
|x|<1においてはf'(x)=g'(x), また、f(0)=g(0)なので、微積分学の基本定理より、f(x)=g(x) （|x|<1）

最後に、x→1-0とすると、アーベルの連続性定理より、f(x)→f(1)

g(x)の連続性より、g(x)→g(1)

解答の積分計算より、g(1)=π 3^(-3/2)

以上を合わせて結論が得られる。