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コーシーもガウスも、オイラーという先行者がいたから複素関数論を考えた。
では、なぜオイラーが複素関数論を考えたのか？
よく知られているようにオイラーがプロイセン国王フリードリヒ2世から宮廷の噴水を依頼されたことが複素関数論のきっかけ。
噴水を作るために流体力学の微分方程式を考えて、それが複素関数を考えると簡単に解けることに気がついた。
そのヒントを与えたのはダニエル・ベルヌーイ。ベルヌーイの定理で有名。
こうして２冊の数学書（『無限解析入門』『微分学教程』）が残された。
そこにオイラーの公式や、オイラーの微分方程式（これがナビエ-ストークス方程式に発展する）が出てくる。
こういう方向の教科書は
今井功「複素解析と流体力学」
竹内 淳「高校数学でわかる流体力学」 (ブルーバックス)
が有名。