志賀浩二著『数学が育っていく物語 第2週 解析性』を読んでいます。

ニュートンがどうやって exp(x), sin(x) のべき級数展開を発見したのかにも簡単に書いてありますね。

log(1 + x), sin^(-1)(x) のべき級数展開から、強引に、その逆関数のべき級数展開の係数をいくつか求めて、
正しい結果を得たんですね。

一瞬、なぜ逆関数のべき級数展開から出発したのかと不思議に思いました。

でも、

1 / (1 + x) は等比級数ですし、 (1 - x^2)^(-1/2) も二項定理を知っていればべき級数に展開できますね。

あとは、強引に項別積分すればいいだけですから、ニュートンの発見の流れは自然ですね。