分からない問題はここに書いてね455

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね454
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1562421561/

(使用済です: 478)

ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。

aを集合とするとき，
aの濃度(aと一対一に対応する順序数の中で最小のもの)を#aと書きます。

αが極限順序数であるとき
α=∪_{β∊α}#β
は成り立ちますか？
もしくは
#α=∪_{β∊α}#β
は成り立ちますか？

https://imgur.com/s58hc60

>>5
どちらも成り立たない
1.
α=ω2(=ω+ω)の時
∪_{β∈α}#β=ω≠α=ω2
順序数αが極限基数でないならば成り立たない？

2.
α=ω_1(最小の非可算順序数)の時
任意のβ∈αに対して#β≦ωであり、
∪_{β∈α}#β=ω≠#α=ω_1
順序数αが極限基数でなく、かつ基数であるならば成り立たない？

>>7
早い回答をありがとうございます！
わかりやすい例です。しかしネガティブな結果で残念です。

以下で一応>>5の背景を書いておきます。
お読みくだされば幸いですが、長いのでお読みにならなくても構いません。

私はいま竹内外史先生のZornの補題A(現代集合論入門 第3章 5節)の証明で悩んでいて、
そこにはON(順序数の全体)上の写像Fで
・任意の順序数αに対して F(α)⊊F(α+1)
・αが極限順序数ならば F(α)=∪_{β∊α} F(β)
を満たすものが与えられていて、
任意の順序数αに対して
#α≦#F(α)
が成り立つことが超限帰納法で示されると書いてあります。

∀β∊α[#β≦#F(β)] ⇒ #α≦#F(α)
が示せればよいのですが、αが極限順序数である場合、
・αは極限順序数なので α=∪_{β∊α} β
・∀β∊α[#β≦#F(β)]が成り立っている下では ∪_{β∊α} #β≦∪_{β∊α} #F(β)
・βがαの要素ならば F(β)⊂F(α) なので #F(β)≦#F(α)、すなわち ∪_{β∊α} #F(β)≦#F(α)
までは判明します。あとは
#α=∪_{β∊α} #β
が成り立って #α≦#F(α) がしたがうという寸法かなと思っていたのですが、違うのですね。

f(x) = x / (1 - x^2)

とする。

この関数は (-1, 1) で連続かつ狭義単調増加で、その値域は (-∞, +∞) であることを示せ。

解答：

f が (-1, 1) で連続かつ狭義単調増加であることは明らか。

lim_{x → 1-0} f(x) = +∞
lim_{x → -1+0} f(x) = -∞

であるから、中間値の定理から、値域が (-∞, +∞) であることも明らか。

>>9

この問題を a を任意の実数として、直接 f(x) = a を解くことで示すのは簡単でしょうか？

で、どうなったんですか？

平方数でない自然数全体からなる集合をSとする。
このとき、Sの任意の元aに対して以下が成り立つことを示せ。

ax^2+1を平方数とする自然数xが存在する。

どうにもなってません

>>8
F(α+1)＼F(α)≠φ
F(α)=∪_{β∈α}F(β)
から、α={β∈α}からF(α)への単射の存在を示せれば
|α|≦|F(α)|
を示せるんじゃないかな？
ここで選択公理を使うのかな

a,b,cは自然数とする。
数字1を左からa個並べ、その後に数字2をb個並べ、さらにその後に数字5をc個並べてできる(a+b+c)桁の整数N[a,b,c]を考える。

例えばa=2,b=5,c=4のとき、
N[a,b,c]=N[2,5,4]=11222225555
である。

問題:N[a,b,c]が平方数となる自然数の組(a,b,c)は無数に存在することを示せ。

>>14
ありがとうございます！
その通りですね。私の視野が狭かった。

高3理系に解かせるとしたらこれはどれくらいの難易度でしょうか？

・関数 f(x)={x/(1-x)}exp((1-2x)/x) (0<x<1)
の最小値を求めよ

・t>0として次の定積分F(t)を考える
F(t)=∫[t, t+√(t²+1)] (x-t)/(x²+1) dx

(1)2次導関数 d²/dt² F(t) を求めよ
(2) t>0 で F(t) が単調減少であることを示せ
(3) F(t) の取りうる範囲を求めよ

高専３年
微分方程式の問題です。
xy平面で曲線y=y(x)>=0上の点(0,y(0))から点P(x,y)までの弧長と点Pを通る縦線とx軸y軸で囲まれた部分の面積がつねにその弧長に比例しているときその曲線の方程式を求めよ。ただし比例定数をk>0としy(0)=kとする。
答えはカテナリーになると思います。解説お願いします。

>>10
逆関数
　f^(-1)(a) = 2a/{1+√(1+4aa)},
が存在するから。

あるいは、連続函数 tan と arctan を使えば
　f^(-1)(a) = tan{(1/2)arctan(a/2)},

>>19

題意より
∫[0,x] y(t)dt = k∫[0,x] √{1 + (y '(t))^2} dt,
xで微分して
　y(x) = k √{1 + (y '(x))^2},
　y(x)^2 = kk {1 + (y '(x))^2},
y(0) = k　より y '(0) = 0,
　y(x) = k･cosh(x/k),
たしかに　カテナリー

曲線って書いてあるから y(x)=k は無しでいいのかなｗ

>>23
N[a,b+1,1] = 100N[a,b,0] + 25　を使うべきか・・・・

https://i.imgur.com/fv9ZHGO.jpg
https://i.imgur.com/61IOdUs.jpg

上が問題で下が解答なのですが、4の(3)の解答で「3つの合同な図形に分けることができる」とアッサリ流されているのですが、何故3つの三角形が合同になるのでしょうか？

正方形の４頂点が (0,0),(6,0),(6,6),(0,6)、そして、(0,6)の頂点部分を折り曲げて、
内部の点(a,b)に移ると言うように、座標を設定する。
P(4,0)、Q(0,2)、R(2,6)とすると、∠PQRが直角で有ることにさえ気づけば、
斜線部分が合同な図形三つに分解可能なことは難しくないはず。

>>25
左下の直角三角形と真ん中の直角三角形は、斜辺と1つの鋭角が等しい。
鋭角が等しい理由は
・左上の折り曲げる前の直角三角形で、小さい方の鋭角Aを○とおく
・左上の折り曲げた後の直角三角形でも、当然小さい方の鋭角Bは○
・斜線部の直角三角形（左下）について。これは先の折り曲げた直角三角形と相似。だから大きい方の鋭角Cは90°-○。
・斜線部の直角三角形（真ん中）の大きい方の鋭角Dを△とすると、A,B,C,Dは一点に集まっていて180°だから
○+○+(90°-○)+△=180°
計算して△=90°-○
つまり鋭角Dと鋭角Cは同じ角度
・だから、斜線部の直角三角形（左下）と（真ん中）は「斜辺の長さと一鋭角が等しい」ので合同

>>23
ありがとうございます。
漸化式を作るN(a,b,c)からb,cを消してしまえるんですね。シンプルにaだけにできてしまう発想に思い至りませんでした。
教えていただいた通りに解き直してみます。

>>26
>>27
わかりました、ありがとうございます。

>>25合同という言葉は危険な匂いがする。使わないほうがいい。
折り返した谷折り線の長さはピタゴラスの定理より、
√(4^2+2^2)=2√5
折り返した直角三角形の直角を挟む2辺は、4�pと2�p。
4�pの辺の中点と斜線部分の四角形の右下の頂点とを結び、四角形の左上の頂点と四角形の右下の頂点も結ぶ。
四角形内部の直角三角形の辺の比はいずれも2:4:2√5となり、斜辺の長さ2√5は、さっき求めた折り返した直角三角形の斜辺と一致するから、
五つの直角三角形の辺の比はいずれも2:4:2√5。
斜線部分の四角形の面積は、
{(4･2)/2}･3=12(c�u)

前>>30
>>25(4)
(1/3)π･6^2･12=π･4^2･h
h=36･12/48
=9(�p)

前>>31
>>25(1)
(πr^2/4)･3+(1/8)4πr^2=45π
3r^2+2r^2=180
r^2=36
r=6(�p)

まためちゃくちゃ言っとる

前スレでRからR^2への連続全単射は存在するか質問した者です
Rではなく閉区間を考えれば、コンパクトハウスドルフ空間の連続全単射は同相であることと1点除いて連結かをみることで連続全単射は存在しないことが分かるのですが、Rの場合はどのように示すことができるでしょうか？

△ABC と △A'B'C' があり
　∠A = ∠A'
　AB = A'B'
　BC = B'C'
を満たすとする。(2辺1角相等)

正弦定理より
　sin(C) = (AB/BC) sin(A),
　C　⇔　180ﾟ - C
としても成立。
ただし ∠A=90ﾟ の場合は
　C < 90ﾟ
なので合同である。

以下が成り立つのはなぜですか？

多項式 f(x) が (x-a)^k で割り切れるが、 (x-a)^(k+1) では割り切れない。

⇔

f(x) = (x-a)^k*g(x), g(a) ≠ 0 と表される。

f(x) = (x-a)^k*g(x), g(a) ≠ 0 と表される。

⇒

多項式 f(x) が (x-a)^k で割り切れるが、 (x-a)^(k+1) では割り切れない。


が分かりません。

多項式の素因数分解の一意性を使えばいいのは分かりますが、

>>39

が書かれている本には素因数分解の一意性についての記述はありません。

k+1回割れるならg(x)=(x-a)h(x)の形をしてるはずですね

松阪くんって代数がものすごく苦手だよね

>>41

それはなぜですか？

k+1回割り算できるんですよね

>>41

素因数分解の一意性を使わずに説明してください。

逆にgに(x-a)入ってないならどこから(x-a)出てくるんですか？

>>46

証明を書いてください。

明らかですよね

実際、一意分解環じゃなくても成り立つしな

>>43
　(x-a)^k･g(x) = (x-a)^(k+1)･h(x)
ならば
　g(x) = (x-a)h(x)
か？

a以外のすべてのxについて成り立つから、多項式として等しい。（恒等式）

>>15
c≧1 より N[a,b,c] の下1桁は5
平方根の下1桁も5
(10A+5)^2 = 100(A+1)A + 25　の下2桁は25
∴ c=1
>>24

f(x) = (x - a)^k * g(x), g(a) ≠ 0 と表されると仮定する。

f(x) が (x - a)^(k + 1) で割り切れると仮定する。

f(x) = (x - a)^(k + 1) * h(x) と書ける。

∴ (x - a)^k * g(x) = (x - a)^(k + 1) * h(x)

(x - a)^k * (g(x) - (x - a) * h(x)) = 0

b ≠ a ならば、 (b - a)^k ≠ 0 だから、 g(b) - (b - a) * h(b) = 0

よって、多項式 g(x) - (x - a) * h(x) は無数の異なる零点をもつ。

よって、 g(x) - (x - a) * h(x) = 0 でなければならない。

∴ g(x) = (x - a) * h(x)

よって、 g(a) = 0 となるがこれは矛盾。

>>50

ありがとうございました。

前>>32めちゃくちゃでも答えがあえばええんでね。
気にせんと。

>>52

以下でもOKですね。

f(x) = (x - a)^k * g(x), g(a) ≠ 0 と表されると仮定する。

f(x) が (x - a)^(k + 1) で割り切れると仮定する。

f(x) = (x - a)^(k + 1) * h(x) と書ける。

∴ (x - a)^k * g(x) = (x - a)^(k + 1) * h(x)

(x - a)^k * (g(x) - (x - a) * h(x)) = 0

(x - a)^k ≠ 0 だから、 g(x) - (x - a) * h(x) = 0 でなければならない。

∴ g(x) = (x - a) * h(x)

よって、 g(a) = 0 となるがこれは矛盾。

https://i.imgur.com/drYjpiN.jpg
https://i.imgur.com/RcITiOl.jpg
すいません、これの(2)なんですが
0からnまでのシグマと積分記号の入れ替えってなにも条件なしで成立するんですか？

このルートで解くんだろうなとは解いてて思ったんですが
入れ替えてよい説明がうまく記述できず、解答見たら何も説明なかったんですが
�@無条件で入れ替えられますか？
�Aなぜ入れ替えられるのですか？

可能であればなるべく高校数学まででお願いします

２枚目の下から３行目、４行目の式です

有限ならいつでもできますよね

二乗根は正でなければならないのに、三乗根は負でもいい理由を教えてください
例を挙げると
√4=2　で-2は不適とするのに
3√(-1)=-1としてもいい理由を教えてください

前>>54
>>59マイナスとマイナスを掛けるとプラスになりますが、マイナスを3回掛けるとマイナスになります。
だからです。
それだけのことだと思います。

f＋gの積分はfの積分＋gの積分ですね
f＋g＋hの積分はfの積分＋gの積分＋hの積分ですね

n個になっても同じです

a > 0 とします。

x^(2*n) = a

は正と負の二つの実数解をもちます。

x^2 = 4 は +2, -2 の二つの実数解をもちます。

√4 はこのうち正の実数解のほうである +2 を表すと約束しただけです。
すると -2 = -√4　です。

単なる約束です。もし、 √4 は二つある実数解の -2 を表すと約束していたとしたら、
+2 = -√4 です。


a を任意の実数とします。

x^(2*n+1) = a

は1つの実数解をもちます。

x^3 = -1 は -1 のみを実数解としてもちます。

これを 3√(-1) と書くというのも約束です。

二乗根はどうしてもプラスのものとマイナスのものと二つ出てきてしまって
関数として使いづらいので√はプラスの方とする、と決めているだけです
何かの角度を求めたときに、370度とは書かずに10度と書くのと同じ理由
とりあえず一つに決めておこうってだけ

3乗根の場合は、x3乗のグラフ書いてみればわかるけど
一つの数字の3乗根がプラスマイナス両方出てくることは無くて、絶対マイナスのものかプラスのもの一つだけなので特にプラスだけ、とかこだわる必要がないのです

>>62
>>63
ありがとうございます、納得できました

p(x) を多項式とする。

a ≠ b とする。
p(a) = 0, a の重複度を m とする。
p(b) = 0, b の重複度を n とする。

このとき、

p(x) = (x-a)^m * (x-b)^n * q(x)
q(a) ≠0
q(b) ≠0

と書けることを証明せよ。

>>65
糖質ガイジ

a < b とし、 n を任意の正の整数として、

f(x) = (d^n / dx^n ) (x - a)^n * (x - b)^n

とおく。方程式 f(x) = 0 は開区間 (a, b) に n 個の単解をもつことを証明せよ。

うっわガイジにレスしちゃった
ガイジとは知らず触れてしまい申し訳ないです

>>67

の松坂和夫さんの証明がすっきりとしません。

↓こんな証明です：

F(x) = (x - a)^n * (x - b)^n は 2*n 次の多項式だから、 f(x) は n 次の多項式。

F(x) は a, b をそれぞれ n 重解としてもつから、 F'(x) は a, b を (n - 1) 重解としてもつ。

さらに F(a) = F(b) = 0 であるから、ロルの定理によって F'(x) は区間 (a, b) に少なくとも1つの
解をもつ。次数を考えれば、その解 c_1 はただ1つで、 しかも F'(x) の単解である。

同様に考えると、 F''(x) は a, b をそれぞれ (n - 2) 重解としてもち、さらに区間 (a, c_1), (c_1, b) に
それぞれ1つずつ単解 c_2, c_2' をもつ。

以下同様に続けていけば、 f = F^(n) は区間 (a, b) に n 個の単解をもつことがわかる。

F'(x) は a, b を (n - 1) 重解としてもつから、

F'(x) = (x - a)^(n - 1) * (x - b)^(n - 1) * (x - c)

と書ける。

F(a) = F(b) = 0 であるから、ロルの定理によって F'(x) は区間 (a, b) に少なくとも1つの
解をもつ。

この解は c と一致しなければならない。

F''(x) は a, b を (n - 2) 重解としてもつから、

F''(x) = (x - a)^(n - 2) * (x - b)^(n - 2) * (x^2 + d*x + e)

と書ける。

F'(a) = F'(c) = 0 であるから、ロルの定理によって F''(x) は区間 (a, c) に少なくとも1つの
解 f をもつ。

F'(c) = F'(b) = 0 であるから、ロルの定理によって F''(x) は区間 (c, b) に少なくとも1つの
解 g をもつ。

#{a, b, f, g} = 4 だから、

F''(x) = (x - a)^(n - 2) * (x - b)^(n - 2) * (x - f) * (x - g)

と書ける。

F'''(x) は a, b を (n - 3) 重解としてもつから、

F'''(x) = (x - a)^(n - 3) * (x - b)^(n - 3) * (x^3 + h*x^2 + i*x + j)

と書ける。

F''(a) = F''(f) = 0 であるから、ロルの定理によって F'''(x) は区間 (a, f) に少なくとも1つの
解 k をもつ。

F''(f) = F''(g) = 0 であるから、ロルの定理によって F'''(x) は区間 (f, g) に少なくとも1つの
解 l をもつ。

F''(g) = F''(b) = 0 であるから、ロルの定理によって F'''(x) は区間 (g, b) に少なくとも1つの
解 m をもつ。

#{a, b, k, l, m} = 5 だから、

F'''(x) = (x - a)^(n - 2) * (x - b)^(n - 2) * (x - k) * (x - l) * (x - m)

と書ける。

…

>>70
>>71

松坂和夫さんの証明は分かりやすく書き直したものです。

訂正します：

>>70
>>71

は、松坂和夫さんの証明を分かりやすく書き直したものです

面倒ですが、きちんと証明するには、帰納法で証明するしかないですかね。

前>>60
ぁぃのことばぉろ〜る〜♪

>>59
3√(-1)=-1としちゃダメだよ…

良いですよね

ところで、

√(-2) は √2 * i のことですよね。

c を 0 でない複素数とするとき、

x^2 = c は二つの異なる複素数解をもちます。

√c はそのどちらを表すのでしょうか？

何かスタンダードな約束はありますか？

主値を適当に決めればいいんでしょうけどその分枝の選び方にばらつきあるでしょうからないんじゃないですかね

先にあった記号に寄り掛かって数学があるわけじゃない。
合理的に記号を使い回そうという試みはあったにしてもね。

そもそも虚数単位i自体が一意じゃないし

一意ではないとはどういうことですか？

>>67 >>69

つ[参考書]

高木貞治「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961) p.119〜122
　第３章、§36. Legendreの球函数
　(5ﾟ) がスツルムの分離定理

>>83

ありがとうございます。

ちょっと見てみましたが、詳細を省略しまくりですね。

[チコノフの定理] " 位相空間: S_λ (λ∈Λ) はコンパクト " ⇔ "積位相空間: S= Π S_λ は コンパクト "
[? の定理] " 位相空間: S_λ (λ∈Λ) は連結 " ⇔ "積位相空間: S= Π S_λ は 連結 "

" 位相空間: S_λ (λ∈Λ) は P " ⇔ "積位相空間: S= Π S_λ は P "
このタイプで他に面白い定理ありませんか？ それと P=連結 の場合の定理に何か名前付いてたら教えてください。

>>84
そのひと高木ガイジだからスルーしといて

>>82
i と -i を交換しても何の問題もないって事さ

交換するとはどういうことですか？

>>81
>>87

(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0)
(0, -1) * (0, -1) = (-1, 0)

だから、

i := (0, 1) と定義しても
i := (0, -1) と定義しても

どちらでも良いということですか？

i := (0, 1) と定義した場合には、

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) * (0, 1) = a + b * i

i := (0, -1) と定義した場合には、

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (-b, 0) * (0, -1) = a - b * i

となりますね。

j=-i を i のかわりに虚数単位として複素数を構築しても
違いはでないってことでないの？
多項式の解の形は変わらないとか。

代数が大の苦手な松坂くんは、同型の概念を未修なようです

j=-i、iは虚数単位とする。
このとき、以下の定積分の値を求めよ。
∫[j to i] xcos(x)/(1+x^2) dx

Z[x]/(x^2+1)において4+x+(x^2+1)で生成されるイデアルの計算の仕方を教えてください

わざわざ括弧つきで書かれてるのに像がわからないとは言わせない
とりあえず剰余環の定義(どういう同値関係で割ってるのか)を確認してきて

すいません環論の話で剰余環です
Rを環 I⊂R をイデアルとしてa,b ⊂R -a+b⊂I←→ a〜b

これ凹凸の性質使えばあっさり示せるのは知ってるんですが
そういうのを用いずabを変数と見なした大小比較のみで示すことは可能ですか？
https://i.imgur.com/bdMOohZ.jpg

Z[√ー１]/(4+√-1) 〜＝Z/17Z を示せ。という問題で
I=(x^2+1) J=(x^2+1, x+4) （イデアル）としたとき
Z[x]/I において４+x+I で生成されるイデアルはJ/Iとなると本に書いてあるのですが、
独学なので剰余環のなかのイデアルというのがイマイチ理解できません。

解決しましたすいませんｎ

群Gの任意の部分群Hについて、包含写像f:H→Gは準同型である
これって何でですか？

明らかですよね

>>100
Hが部分群なのでHの2元のHにおける演算結果はGにおける演算結果と同じでありしかもそれはHに属するから包含写像はそれを保存する。

>>102
僕がアホでした
包含写像の定義忘れてた…

ガチ初学者だから大目に見てください…

半径1の円K上を3点A,B,Cが動く。
△ABCの各辺の中点を通る円の面積をS(A,B,C)、△ABCの内接円の面積をT(A,B,C)とするとき、以下を求めよ。

（1）2点A,BをAB=d(0<d<2)となるよう固定する。このとき、点Cを点Aに限りなく近づけていくときの、T(A,B,C)/S(A,B,C)の極限

（2）3点A,B,Cがどの2点も一致しないように動くときの、T(A,B,C)/S(A,B,C)の取りうる値の範囲

前>>75
>>105どっちも勘で。
（1）
AC→0のとき、
S(A,B,C)→π(d/2)^2
=πd^2/4
T(A,B,C)→0
∴T(A,B,C)/S(A,B,C)→0
（2）
AB=BC=CA=dのとき、
S(A,B,C)=T(A,B,C)
=π(1/2)^2=π/4
∴T(A,B,C)/S(A,B,C)=1
このとき、d/2=√3/2
∴d=√3
0＜T(A,B,C)/S(A,B,C)≦1

一般に正則な上三角行列どうしの積は可換ですか？

いいえ。

2x2 の場合
A(1,1) = α1,　A(2,2) = α2,　B(1,1) = β1,　B(2,2) = β2,
とおく。
[AB-BA](1,2) = (α1-α2)B(1,2) - (β1-β2)A(1,2) ≠ 0,
AB-BA ≠ Ｏ
ただし α1=α2、β1=β2 の場合は可換。

3x3 の場合
A(i,i) = α、　B(j,j) = β　とする。
さらに α = β = 1 とする。
[AB-BA](1,3) = A(1,2)B(2,3) - A(2,3)B(a,2) ≠ 0,
AB-BA ≠ Ｏ

　可換　⇔　固有ベクトルが一致

A(i,i) = αi　とおく。
それに対応する固有ベクトルは
α1
　[ 1 ]
　[ 0 ]
　[ 0 ]

α2
　[ A(1,2) ]
　[ α2-α1 ]
　[ 0 ]

α3
　[ A(1,2)A(2,3) + (α3-α2)A(1,3) ]
　[ (α3-α1)A(2,3) ]
　[ (α3-α1)(α3-α2) ]

AとBが可換である条件は、（AとBで) これらが一致すること

平行六面体ABCD-EFGHの線分AG、BH、CE、DFの中点が一致する事を証明せよ

この問題を位置ベクトルを使って証明したいんですけど、まったく出来ません
ご教授お願いします

>>110
A(0,0,0)とおき、平行六面体の底面である平行四辺形ABCDがxy平面上にあるとしても、一般性を失わない
例えばB(b1,b2,0),D(d1,d2,0),C(b1+d1, b2+d2, 0)とでもおく

次に各点A,B,C,Dを同じ(p,q,r)の方向に移動させ、その点をG,H,I,Jとすると、平行六面体ができる

この平行四辺形を平行移動するイメージができれば、あとは単純計算だけ

>>111
すいません。
その単純計算が何から手付けて良いのか分からないのです

わざわざ座標軸に貼り付けなくても最初の方針通りにベクトルでやったほうが早くない？

>>113
ご教授お願いします

>>113
おまえみたいなカスは書き込まなくていいよ

>>111
すいません。計算したら出来ました
ただこれってベクトル使っているのでしょうか？
単元内容は一応ベクトルなので、ベクトルで解きたいのですが……

各頂点はAを原点として、AB↑、AD↑、AE↑の3ベクトルで表せる
各頂点が表せればそれらの中点も同様で、一致を示せる


>>115
こういうカスはどうしようもないな

>>117
ちょっとやってみます

前>>106
>>110
題意のとおりAGの中点から手をつければいいじゃないか。
AGの中点は、(1/2)(→AG)
=(1/2)(→AB)+(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
BHの中点は、(1/2)→BH
=(1/2)(→BA+→BC+→BF)
=-(1/2)(→AB)+(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
Aを起点にすると、
→ABを足して、
→AB-(1/2)(→AB)+(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AB)+(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AG)
CEの中点は、(1/2)→CE
=(1/2)(→CB+→CD+→CG)
=-(1/2)(→AD)-(1/2)(→AB)+(1/2)(→AE)
=-(1/2)(→AB)-(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
Aを起点にすると、
→AC=→AB+→ADを足して、
=→AB+→AD-(1/2)(→AB)-(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AB)+(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AG)
DFの中点は、(1/2)→DF
=(1/2)(→DA+→DC+→DH)
=-(1/2)(→AD)+(1/2)(→AB)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AB)-(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
Aを起点にすると、
→ADを足して、
→AD+(1/2)(→AB)-(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AB)+(1/2)(→AD)+(1/2)(→AE)
=(1/2)(→AG)
∴示された。

>>117
だからなんで原点に貼りつけなあかんのか

>>119
Aを起点にっていうのが少し分からなくて
Aを起点にするとなんで→AB足して良いのですか？

>>110
線分AGとBHの中点が一致する証明：
点A,B,G,H の位置ベクトルを各々 a,b,g,h とする（矢印は適宜補ってね）
ABCD-EFGHが平行六面体であるので、ベクトルAB(=b-a)とHG(=g-h)は等しい
線分AGの中点の位置ベクトルは(1/2)(a+g),(1/2)(b+h)
(1/2)(a+g)=(1/2)(a+g-h+h)=(1/2)(a+b-a+h)=(1/2)(b+h)
∴線分AGとBHの中点は一致する

以下同様

>>122 4行目訂正
線分AGおよび線分BHの中点の位置ベクトルは各々、(1/2)(a+g),(1/2)(b+h)

(e^(cos(x)))/(e^(cos(x))+e^(-cos(x)))を0からπまで積分するとどうなりますか。計算過程も含めて教えてください。

>>120
原点に、と書きはしたけれど、この計算は原点に置くかどうかは関係ないだろう

>>121
Aを起点にすればBはAB↑で表せる
起点にしなければ、A+AB↑となるだけの話
C=A+AB↑+BC↑

前>>119
>>121
→AGはAを起点にしてます。
AGの中点は(1/2)(→AG)です。
→BFはBを起点にしてるんで、→AGとは端からベクトルが違います。
Aを起点にしたAからAGの中点までのベクトルと、
AからBを経由してBFの中点を終点とするベクトルとが一致するかどうかを調べろということ(が題意)だと思うんです。
起点が同じなら、AGの中点とBFの中点が、ベクトルの終点として一致することもありえると考えました。

>>124
I = ∫[0,π] (e^(cos(x)))/(e^(cos(x))+e^(-cos(x))) dx ----(1)
と置くと対称性から
I = ∫[0,π] (e^(-cos(x)))/(e^(-cos(x))+e^(cos(x))) dx ----(2)
が成り立ち、(1)+(2)を計算すると
2I = ∫[0,π] (e^(cos(x))+e^(-cos(x)))/(e^(cos(x))+e^(-cos(x))) dx
= ∫[0,π] dx
= π

ゆえに
I = π/2

∫{(e^x）−１}／{(e^x)＋１}dx=−x＋２log{(e^x)＋１}＋c
(logの底は自然定数のe)
という計算になりました。
ところがよく考えてみると、上式の左辺の積分前の式にx=０を代入すると答は０です。
しかし右辺の式にx=０を代入すると、２log２＋cというおかしな値になります。
積分計算がおかしいのでしょうか？
それとも、この場合c=−２log２という値を入れて、整合性を取っても良いのでしょうか？

>>129
補足
整合性を取るためにc=２log(１／２)という値もありました。
積分前の式にx=０を代入して０になるなら、積分後の数式にx=０を代入しても０になると思うのですが、私の考え方がおかしいのでしょうか？

原始関数もしくは不定積分について復習することを勧める

>>129
積分定数は任意だからしたければそういう風にしても問題ないが、
x=0で導関数が0であるときに、その原始関数までがx=0で0でなければならないというその感覚には甚だ疑問あり

>>129
積分について全く理解できてないので、そんな難しめの式こねくり回してる場合じゃない。基礎に帰れ

∫ 2x+1 dx =x^2+x

2x+1にx=0代入したら1
x^2+xに代入すれば0

あー大変だ大変だ

なぜ関数とその導関数が恒等式になると思ったのか

すみません、後回しで結構です。
例題の回答例で
次の２つの放物線の共通接線を求めよ
f(x)=4x^2+8x-16, g(x)=x^2-4x+20

解)この２つの放物線の交点のx座標は
4x^2+8x-16=x^2-4x+20 より
x^2+4x-12=0 ← とあったのですが、ここの計算過程がわかりません。
微分の公式かなにかとおもうのですが、どなたか解説をお願いします。

>>135
微分なんか関係ない
4x^2+8x-16=x^2-4x+20を整理したらx^2+4x-12=0になるというだけ
移行してまとめて3で割る

ありがとうございます。

前>>127
f(x)=4x^2+8x-16
=4(x+1)^2-20
f(x)は(-1,20)を頂点とした下に凸の放物線。
g(x)=x^2-4x+20
=(x-2)^2+16
g(x)は(2,16)を頂点とした下に凸の放物線。
f(x)のほうがg(x)より凸が急峻で、f(x)上の(2,16)がちょうどg(x)の頂点を突っ切ってる。
つまりf(x)とg(x)の共通接線は、
第1象限と第4象限と第3象限を通る。
(0,-16)と(3,17)を結ぶ直線が怪しい。
∴y=11x-16

めちゃくちゃにも程が有るな

我慢して読んでみたら、本当にめちゃくちゃだった

積分式の中のxと右辺のxは別の変数ですよ

いつもよりも言葉が明確で論理の流れを把握しやすいな
ぶっつり途切れているという意味での論理の流れだが

>>131
>>133
>>132
∫ 2x+1 dx =x^2+x
でxを０から１まで積分するとします。
この場合x軸とy軸とx=１とy=２x＋１の直線で囲まれた台形の面積になります。
つまり(１＋３)×１÷２=２
となります。
[（X^2）＋X]を０➡１まで積分すると、２で一致します。

私が言ってるのは、X=０の時の導関数の値が０なら、X=０での原始関数の値が０になるべきではないかと言うことです。

X=０での導関数の値が０以外でも、X=０での原始関数の値がゼロになる場合があることを言っているのではありません。
X=０での導関数の値が１でも、X=０での原始関数は、面積がゼロになるから
原始関数の値がゼロになるのです。

導関数をY'、原始関数をYとした時に、X=０の場合にY'=０だとします。
この場合に０➡ΔXまで積分してΔXが限りなく０に近付けばY=０に近付くはずです。
なぜならば、面積が限りなく０に近付くからです。

よく考えてみて下さい。

すいません、これ解けないのでお願いします
https://i.imgur.com/wKmzjUq.jpg

>>143
そうすると∫ 2x+1 dx ではx=-1/2のとき2x+1は0になるから、x^2+xもx=-1/2のとき0にならないとおかしいと思うってこと？

前>>138アンカー忘れてた。やっぱりグラフ書くとあってる。正確には微分かな。急いでたらグラフ描いて当てるしかない。
>>135
f(x)=4x^2+8x-16
=4(x+1)^2-20
f(x)は(-1,20)を頂点とした下に凸の放物線。
g(x)=x^2-4x+20
=(x-2)^2+16
g(x)は(2,16)を頂点とした下に凸の放物線。
f(x)のほうがg(x)より凸が急峻で、f(x)上の(2,16)がちょうどg(x)の頂点を突っ切ってる。
つまりf(x)とg(x)の共通接線は、
第1象限と第4象限と第3象限を通る。
(0,-16)と(3,17)を結ぶ直線が怪しい。
∴y=11x-16
違うの？　あってるかどうか気になる。2つの接点以外に放物線かすってるとこどっかある？

>>143
あなたが言うことは「原始関数」の定義に合わない

Fがfの原始関数であるとは、Fを微分するとfになること
fの不定積分とは、微分するとfになる原始関数fを求める操作で、定積分や面積とは独立に定義される
当然、「F=∫fdx=∫_0^xfdxと、0を始点とする定積分と一致しなければならない」、なんていう条件はない

さらに言えば、f(0)=0となる場合を特別視する理由はなく、
f(0)=0の時はF(0)=0で、f(0)≠0のときも成り立つ操作を考えれば、それは0を始点とする定積分に他ならない


> 導関数をY'、原始関数をYとした時に、X=０の場合にY'=０だとします。
> この場合に０➡ΔXまで積分してΔXが限りなく０に近付けばY=０に近付くはずです。
> なぜならば、面積が限りなく０に近付くからです。
これは、
Y'、x軸、y軸、y=Δxで囲まれた面積
0を始点、Δxを終点とする定積分
の話で不定積分、原始関数とは関係ない

>>143
> この場合に０→ΔXまで積分してΔXが限りなく０に近付けばY=０に近付くはずです。
> なぜならば、面積が限りなく０に近付くからです。
ここがおかしいんだろな
Δxが限り無く0に近づけばy=0に近づかなくても面積は当然0になる
y=0に近づく必要があると考えているのがおかしいんじゃないか？

>>143
定義の理解がおかしい

あなたの言いたいことに関して、
不定積分・原始関数の定義から言えるのは、「原始関数Fを微分してゼロになる時、導関数fはゼロになる」ということだけ

だからfのある原始関数F1に好きな定数だけ加減したF2もまたfの原始関数になる

だからf=2xの原始関数Fはx^2+999999999でも良い

この場合もちろん「x=0でf=0ならF=0」なんて寝言は成立しない


0からΔxまでのfの定積分がΔx→0で0になるのは、
「aからbまでのfの定積分はF(b)-F(a)で与えられる」、この定義から
Δx→0の時のF(Δx)-F(0)を計算したらそれはゼロということを言ってるだけ
f=2x、F=x^2+99999としたら、0からΔxまでfを積分したら
Δx→0でF(Δx)-F(0)=Δx^2=0でそ

あのねえ、勉強もしないやつが「よく考えてみて下さい。」とか言うんじゃないよ。
世間の人はあんたより賢いよ。

>>143
解答者さん達がよく分かってないみたいなので補足します。
Y=2X+1
とします。 >>142で台形の面積、つまりYをXでX=０からX=ΔXまで積分した時、
(１＋２ΔX＋１)÷２×ΔX=(１＋ΔX)ΔX
となりますが、ΔXが限りなく０に近付けば、値はゼロに近付きます。
つまり面積はゼロに近付くのです。
X=０での導関数が０でなくても、X=０での原始関数は面積がゼロなのでゼロになります。

Y={(e^x）−１}／{(e^x)＋１}という関数は、
X=−∞で、Yは限りなく−１に近付きます。
X=０でY=０になります。
X=＋∞で、限りなく１に近付きます。
Xが−∞から＋∞の間で、Yが−１から１まで、ゆっくりと上昇していくカーブを描くのです。
YをX=０からX=ΔXまで積分した時の面積をSすると、
S≒{(e^Δx）−１}／{(e^Δx)＋１}×ΔX÷２
となります。
これは近似的にほぼ三角形となるからです。
この場合ΔXが０に近付けば、三角形の面積は０に近付きます。
つまりX=０での原始関数も０にならなければ、おかしいのです。
私の積分が間違っているのしょうか？

私の言ってることが違うというなら回答をお願いします。

>>150
原始関数と面積とはイコールではないのよ

>>150
あなたの主張がよく分からないので、
あなたが「面積」をどのように求めているのか、原始関数を使った式で丁寧に説明していただけますか？

>>150
aからbまでのfの定積分S(面積とも解釈できる)は
原始関数をFとしてS=F(b)-F(a)で与えられる

原始関数F＝面積ではない

2つのxでの原始関数の差＝面積となる

マジでe^xとかlogとか言ってる場合じゃない
基礎練習だ

>>145
全く違います。

その場合は三角形になります。面積はちゃんとあります。
１・（−１／２）÷２=−１／４
面積は＋の値ですが、−側に三角形があるので−の値としておきます。
[X^2＋X]で、Xが−１／２➡０なら−１／４で一致します。

あなたは本当に積分が分かってますか。回答者なのに全く分かってないと思います。

ｶﾞｰｲ

これはひどい

なかなか気合入ったのが来たな

ていうかさ解説したのに全然読んでないやん。
もっかいだけ書くけど

0からNまで関数fを積分したとして

原始関数F(N)≠面積よ

原始関数の差、F(N)-F(0)、これが面積

だからF(0)=0でなくても、0から0までのfの積分は必ずゼロになる。

面積っておおざっぱに言えば縦×横だろ？
横が限りになく0に近づくなら、縦が1だろうと100だろうと面積は0になる
なんで縦も0になってなきゃおかしいと思うのか

>>150
不定積分で求める原始関数は、定積分で表される面積とは違う

> Y=2X+1
> とします。 >>142で台形の面積、つまりYをXでX=０からX=ΔXまで積分した時、
> (１＋２ΔX＋１)÷２×ΔX=(１＋ΔX)ΔX
> となりますが、ΔXが限りなく０に近付けば、値はゼロに近付きます。
> つまり面積はゼロに近付くのです。
> X=０での導関数が０でなくても、X=０での原始関数は面積がゼロなのでゼロになります。
ここで0になったものは、0からΔx=0までの定積分で表される面積であって、原始関数ではない
(1+x)xは2x+1の不定積分の1つだが、2x+1の不定積分は(1+x)x+cであり、(1+x)xだけではない


> この場合ΔXが０に近付けば、三角形の面積は０に近付きます。
> つまりX=０での原始関数も０にならなければ、おかしいのです。
原始関数が0にならなくても、Δxが0に近づけば、F(Δx)-F(0)→0で面積は0に近づき何もおかしくない

f(x)がxの多項式なら、定数項が0となる原始関数F(x)をとれば、F(0)は0になるが、
f(x)がxの多項式でないなら、ば定数項が0でない原始関数F(x)でF(0)が0にならないものなんていくらでもある


> 私の積分が間違っているのしょうか？
原始関数でないものを原始関数と思い込んでいるだけ

>>154
積分を面積だと思っている君の方がわかっていないと思うんだがなあ
積分ってのは原始関数を求める計算のことであって、それ自体は面積を表すものではないよ
それを利用して面積を求めることが出来るというだけ

>>154は
∫sin(x)dx=-cos(x)+c
も、sin(0)=0なのに-cos(x)≠0だからおかしいと言うのだろうか？

アンカーが多すぎて書き込めないのでアンカーを省略します。皆さん、あしからず。

皆さんにワアワア言われて混乱しています。
沢山回答をいただいてありがとうございます。
私が書き込み中に回答をいただいたので、読んでないわけではありません。

つまり不定積分ではCはいくらの値でもいいから、面積はいくらになってもよいと言いたいわけですね。

では物理の問題です。
初速度０で加速度をaとした時に、速度はat＋cになりますか？
初速度０でない場合はat＋cで良いのです。
つまり初速度がある場合、ある時刻とある時刻の速度の差がatだと言いたいわけですね。
これなら分かります。

では
>>129の
∫{(e^x）−１}／{(e^x)＋１}dx=−x＋２log{(e^x)＋１}＋c
(logの底は自然定数のe)
の場合
F(x)= −x＋２log{(e^x)＋１}＋c として、
X=０の時にF(x)=０という条件がある場合
c=−２log２という値を入れてもいいのでしょうか？

辻褄合わせの為のなんかインチキ臭いやり方だと思ってしまいます。
これはインチキじゃないのですか？こんなインチキが通りますか？

F(0)=0+Cとなることが多いためにF(a)をx軸、y軸、y=f(x)、x=aで囲まれる面積をF(a)だと思い込んじゃったんかな？
x軸、y軸、y=f(x)、x=aで囲まれる面積はF(a)-F(0)だよ
2次関数とかならF(0)=0+CだからF(a)-F(0)=F(a)になっちゃってるだけ

>>163
> つまり不定積分ではCはいくらの値でもいいから、面積はいくらになってもよいと言いたいわけですね。
全然違うと思う

>>163
> X=０の時にF(x)=０という条件がある場合
いったいどこからそんな条件が出てきたのか
f(0)=0ならF(0)も0である必要なんてないんだってば

> では物理の問題です。
> 初速度０で加速度をaとした時に、速度はat＋cになりますか？
> 初速度０でない場合はat＋cで良いのです。
f(t)=aの原始関数はF(t)=at+c
> 初速度０
このF(0)=0という条件とF(t)=at+cを連立してc=0、F(t)=atになる


> X=０の時にF(x)=０という条件がある場合
という一文があれば、もはや不定積分を求める問題ではなく、0からxまでの定積分を求める問題になる

> ∫{(e^x）−１}／{(e^x)＋１}dx=−x＋２log{(e^x)＋１}＋c
> (logの底は自然定数のe)
> の場合
> F(x)= −x＋２log{(e^x)＋１}＋c として、
> X=０の時にF(x)=０という条件がある場合
> c=−２log２という値を入れてもいいのでしょうか？
不定積分を計算せよという問題だから
F(x) = -x+2log((e^x)+1)+c
は解になるが、別に
F(x) = -x+2log((e^x)+1)-2log2+c
を解としてもいい

少なくとも、不定積分を求めよという問題に対して、
F(x) = -x+2log((e^x)+1)や、F(x) = -x+2log((e^x)+1)-2log2など、積分定数がないものを答えにしたら間違い

F(x)は、微分するとf(x)になる関数という意味であって、x軸、y軸、y=f(x)、x=aで囲まれる面積をF(a)と表せるような関数という意味ではないんだよ
もし後者の意味なら、積分定数はCという任意の定数ではなく、-F(0)という固有の定数としなければならない（たぶん、君はこれを主張しているんだろう）
実際には前者の意味なので積分定数はCという任意の定数で表されている

>>166
そういう条件があるのです。

そういう条件がある場合にC=−２log２という値を入れてもいいのかということですね。

>>169
あったらそうするしかないが、それはもう不定積分とは別のものだよ
いったい何の話を始めたんだ？

>>169
そういう条件があれば、
F(x)-F(0)
を計算する

不定積分の積分定数Cは、異なるCに対応するだけの異なる原始関数があることを意味するものだから、不定積分の計算時に値を入れれるものではないよ

>>129の者です。

皆さん、沢山回答をいただきましてありがとうございます。
皆さんのお陰で謎が解けました。

私の書き方が悪かったせいと、私の思い込みが強すぎて初歩を忘れていました。
皆さんのおっしゃる通りです。

私は物理を趣味でやってまして、物理量が様々な条件で変化する場合の
計算式を求めていたのですが、皆さんのお陰で何が間違っていたのかが分かりました。

物理板はアホウが一杯いますが、数学板の方々はよく勉強されてて皆さんレベルが高いですね。感心しました。

これからもお付き合いを宜しくお願いします。

物理板異常者との夢のコンボやめろ

上げ直しで申し訳ないんですがこれはどう計算すれば求まるでしょうか

https://i.imgur.com/wKmzjUq.jpg

>>173
アホウの物理板と一緒にしたら失礼ですね。すみません。
皆さんのお陰です。ありがとうございました。

>>174
部分分数分解で無理関数の解析接続をした後、リーマンゼータ関数の逆フーリエ展開をします

高専3年 微分方程式
x^4y''+2x^3y'+y=(1+x)/x の解き方が分からないです。
解説をお願い致します。

前>>146
>>135
y=11x-16じゃないのか？
なんで黙ってんだ？
答えたのに。
違うのか？

前>>178
わかった。
もう一個も当てろってか。
鬼六か。

前>>179
>>139>>146訂正。
y=f(x)の頂点の座標は、
(-1,-20)←ｺｺ符号訂正。
y=g(x)の頂点の座標は、
(2,16)
共通接線の1つは、
y=11x-16として、
もう1つ、第2象限からマイナスの傾きで第3象限を経て第4象限に抜ける接線がありそう。

>>178
どうしてそんな当てずっぽうのやり方で解けると思っているの?
正解かどうかより、そっちの方が不思議でしょうがない。

結果だけ言えば、y=11x-16は2本ある共通接線のどちらでもない。

共通接線を　y=ax+b とおき　
これが　y=4x^2+8x-16 と接する条件として　aとbの関係(1)を求め、、
同じく　y=x^2-4x+20 と接する条件として、もう一つのaとbの関係(2)を求め
(1)と(2)をaとbの連立方程式として解いてaとbの値を求めれば、2本の共通接線が得られる。

他の質問者の邪魔にならないならほっとけばいいのに

前>>180
y=-16x-80じゃないか？

前>>183
もう1つは、
y=8x-16

前>>184
>>183こっちをy=-ax-b
(a＞0,b＞0)と置いたんで、
y=11x-16で目測つけた接線のほうは、
y=cx-d
(c＞0,d＞0)と置きました。
放物線の膨らみがかする気がしてたんで、c=8なら納得ですがどうですか？

前>>185
解き方は>>183>>184のいずれも接線と放物線からyを消去し、重解を持つ条件、
判別式D=0で、
解は2つ出ますが、a,bあるいはc,dがともに正となる組は1つです。

まぁ子供の頃から間違った方法で数学の問題解くクセが染み付いてしまってて、もう今更正しい方法を身につけるのは手遅れなんだろうな。

前>>186
>>187せやな。
その人なりの、クセややり方、解き方、方法といったものを尊重してのばしていけたらよいと思うね。

>>168
アホか。間違ってるのを個性とか言ってるからダメなんだよ。答えの数値さえあってればそれでいいと思ってるだろ？
アホですか？

>>191
ありがとうございます。
ところでこのt=1/xと置くのはどのように導いたのでしょうか？
オイラーの微分方程式のように割と有名な解法なのでしょうか？

すいません、ある参考書なんですが(1)の解説がぜんぜん理解できません

錐の体積の公式？っぽいのを適用して引いてるのは何ですか？

https://i.imgur.com/23G32ez.jpg
https://i.imgur.com/aMX3Jwm.jpg

>>193
求める体積は元の円錐の半分から求める体積じゃない方を引いた体積だから
元の円錐の体積の半分＝1/3*π*r^2*高さ*1/2=1/3*π*1^2*1*1/2←これを1^2*1を省略して1/3*π*1/2と書いているのだと思う
元の円錐の半分のうち求める体積じゃない方（※）の体積＝1/3*底面積*高さ＝1/3*2√2/3*1/√2
（※は1枚目の画像で求めているSを底面とし(0,0,1)を頂点とする錐なので底面積はS=2√2/3で高さは2枚目の画像で示されているとおり1/√2）

>>194
ありがとうございます！
な、なるほど………空間認識能力と読解力が低すぎました

>>194の※が錐になっているというのは別の問題ですでにやってるんじゃないのかな
参考書で解説なしに突然計算式だけ出すってしないと思うんだけど

>>196
これは変な参考書で、答案の解説が非常にゆるいというかはしょってるので、確実ではないですが、多分以前にはないと思います。

f(x) = x(0≤x≤1), 2.1-x(1<x≤2)
に対して定積分∫[0→2] f(x) dxは定義できますか？
ルベーグ積分だとどうですか？

ルベーグ積分とか言ってる場合ではないと思いますよ
高校レベルです

えっ
お前らがここまで一生懸命書き込んで来たのに....
俺なんかがこんなに簡単に２００getしていいの？😜

>>198
それ区分連続ですよね
リーマン積分可能ですよね

>>202
なるほど!
わかりやすい解説ありがとうございました。
また機会がありましたらよろしくお願いします。

>>205
ありがとうございます！！
部分積分で…の次の行まではわかったのですが、
その次の行への変形は、なぜarcsinになるのでしょうか？

頭悪い＆字汚くてすみません…

https://i.imgur.com/pFJK7tP.jpg

以下の条件を満たす f って存在しますか？

f は区間 [a, b] のある点 t で微分可能ではない。
f は区間 [a, b] で積分可能である。
f は区間 [a, b] で原始関数 F を持つ。

訂正します：

以下の条件を満たす f って存在しますか？

f は区間 [a, b] のある点 t で連続ではない。
f は区間 [a, b] で積分可能である。
f は区間 [a, b] で原始関数 F を持つ。

微分って何？わかりやすく教えてくれ。
http://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1567067845/

>>208

の質問をなぜしたかというと、以下が成り立つからです。

f が区間 I で積分可能で、原始関数 F をもつとする。そのとき、任意の a, b ∈ I に対し

∫_{a}^{b} f = F(b) - F(a)

が成り立つ。

>>208
原始関数の定義はなんですか？

>>208
a=-1, b=1
f(x) = 1 (if x>0)
=-1 (if x<0)
= 0 (if x=0)

それ原始関数あるんですかね

F(x)=|x|

微分できないですけど

>>211

区間 I で F'(x) = f(x) が成り立つような関数 F のことです。

>>216
それを原始関数の定義にするなら>>212の例はダメだがそれは高校数学までの定義。
高校数学なら微積分関数は連続限定。

原始関数は大学の意味でも>>216の意味ですけど

>>216
そんな定義をしたかったらしてもいいが、だとすると原始関数を持つ関数がめちゃくちゃ減ってしまう。
不自由でしょうがない。
数学の定義に絶対にコレなんてものはない。
その定義を採用したいならすればいい。
好きなの選べ。

原始関数といったら>>216の意味しかありません
原始関数と不定積分を混同するのは高校までですよ

c1じゃない関数の導関数なら>>216の定義でもいける希ガス

積分定数について質問です。

∫ f(x) dx = F(x) + C

の C のことです。

d/dx F(x) = f(x) とするとき、

d/dx G(x) = f(x) ⇒ G(x) = F(x) + C

と書けるということから、

∫ f(x) dx = F(x) + C

のように書くのだと思います。

∫ 1 / x dx = log |x| + C

と書くのは間違いだとある本に書いてあります。

その本では、原始関数のことを不定積分ともいうと定義しています。

原始関数の定義は、以下です：

f を区間 I で定義された関数とする。もし、 F が同じ区間 I で微分可能な関数で、

F' = f

が成り立つならば、 F を f の原始関数という。

というものです。

∫ 1 / x dx = log |x| + C

と書くのは間違いである理由は以下です：

なぜなら、関数 1/x の定義域は (-∞, 0), (0, +∞) の2つの区間に分かれており、
区間 (0, +∞) においては

∫ 1 / x dx = log x + C1,

区間 (-∞, 0) においては

∫ 1 / x dx = log (-x) + C2

であるが、ここで C1 と C2 が等しい定数である必要はないからである。

松坂くんのデビュー作だっけ

>>224

のようなことを書いているということは、

∫ 1 / x dx が (-∞, 0) ∪ (0, +∞) で定義された関数であると考えているということですよね？

でも、そもそも、不定積分 = 原始関数はある一つの区間 I で定義されるものでした。

ですから、

∫ 1 / x dx は I ⊂ (0, +∞) か I ⊂ (-∞, 0) で定義された関数を表しているわけです。

I ⊂ (0, +∞) である場合には、

∫ 1 / x dx = log x + C

であり、

I ⊂ (-∞, 0) である場合には、

∫ 1 / x dx = log (-x) + C

と書くまでのことではないでしょうか？

∫ 1 / x dx が一つの区間ではなく、 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) で定義された関数であると考えている
時点で誤りなわけです。

言いたいことは分かります。

f(x) を区間の和集合 D で定義された関数とする。

d/dx F(x) = f(x) for all x ∈ D とするとき、

d/dx G(x) = f(x) for all x ∈ D ⇒ G(x) = F(x) + C for all x ∈ D

は一般に正しくないということが言いたいのだと思います。

>>224

のようなことを書くのは読者を混乱させるだけではないでしょうか？

不定積分 = 原始関数は一つの区間で定義されるものであることを注意し、
例えば、 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) のような集合で定義されるものではないことを
強調するというのが正しい書き方であると思います。

とりあえずそんな偉そうな事書くのはせめて学部レベルの解析全部読み終わってからにしたら？
学部一回レベルない人間の書くような文章じゃないよ。

11．次の不等式を証明せよ。また，等号が成り立つのはどのようなときか。
(3)a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca

(a+b+c)^2+ab+bc+ca≧0？

>>231
左−右＝(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)≧0

a^2 + b^2 + c^2 ≧ a*b + b*c + c*a

2 * (a^2 + b^2 + c^2) = (a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) + (c^2 + a^2)

であることに気づきます。


(a^2 + b^2 - 2*a*b) + (b^2 + c^2 - 2*b*c) + (c^2 + a^2 - 2*c*a) = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2

であることに気づきます。

ですので、

2 * (a^2 + b^2 + c^2) - 2 * (a*b + b*c + c*a) = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ≧ 0

です。

2 で割ると、

a^2 + b^2 + c^2 - a*b + b*c + c*a ≧ 0

すなわち、

a^2 + b^2 + c^2 ≧ a*b + b*c + c*a

です。

途中の式から、等号が成り立つのは、 a = b = c のとき、かつそのときに限ります。

関数 f が区間 (a, b) で連続で a も b も特異点であるとき、

∫_{a}^{b} f := lim_{ε → 0+, ε' → 0+} ∫_{a + ε}^{b + ε'} f

と定義する。

ただし、上式の極限は、 ε, ε' がそれぞれ独立に 0 に近づくときに存在するものとする。

この極限について質問です。

lim_{ε → 0+, ε' → 0+} ∫_{a + ε}^{b + ε'} f = A

の厳密な定義を教えてください。

関数 f が区間 (a, b) で連続で a も b も特異点であるとき、

∫_{a}^{b} f := lim_{ε → 0+, ε' → 0+} ∫_{a + ε}^{b - ε'} f

と定義する。

ただし、上式の極限は、 ε, ε' がそれぞれ独立に 0 に近づくときに存在するものとする。

この極限について質問です。

lim_{ε → 0+, ε' → 0+} ∫_{a + ε}^{b + ε'} f = A

の厳密な定義を教えてください。

>>234
>>235

訂正します：

関数 f が区間 (a, b) で連続で a も b も特異点であるとき、

∫_{a}^{b} f := lim_{ε → 0+, ε' → 0+} ∫_{a + ε}^{b - ε'} f

と定義する。

ただし、上式の極限は、 ε, ε' がそれぞれ独立に 0 に近づくときに存在するものとする。

この極限について質問です。

lim_{ε → 0+, ε' → 0+} ∫_{a + ε}^{b - ε'} f = A

の厳密な定義を教えてください。

そういえば、いまふと思ったのですが、

lim f(x) = A というのは定義しますが、

lim f(x) 単独では、何を意味するのかの定義はないと思います。

もちろん、　lim f(x) = A　であるときに、 A のことを lim f(x) と書くのだとは思いますが。

そういうことも書いておくべきですよね。

たとえば、

e := lim (1 + 1/n)^n

と定義するなどと書いてある本がありますよね。

lim (1 + 1/n)^n 単独での定義が必要ですよね。

ｆ（ｘ）になんらかの意味で極限値があるときそれを　limf(x)　と書く、というだけのことなんじゃないの。

>>239

でも、 lim f(x) = A の定義は書いてありますが、 lim f(x) 単独での意味が書いていない本が
ほとんどだと思います。

>>236

「ただし、上式の極限は、 ε, ε' がそれぞれ独立に 0 に近づくときに存在するものとする。」

の「それぞれ独立に 0 に近づく」の意味は正確には何ですか？

lim_{h → 0+, h' → 0+} ∫_{a + h}^{b - h'} f = A

の定義ですが、以下で合っていますか？

任意の正の実数 ε に対して、

0 < h < δ
0 < h' < δ'

ならば

|∫_{a + h}^{b - h'} f - A| < ε

となるような δ, δ' が存在すること。

でもこの定義ですと、

lim_{h → 0+, h' → 0+} ∫_{a + h}^{b - h'} f = A

は

lim_{h → 0+} ∫_{a + h}^{b - h} f = A

と同じことになってしまいませんか？

「独立に近づく」ことにはならなくなってしまいますよね？

あ、勘違いしていました。

>>242

の h と h' は別々の実数でもいいわけですね。

なんじゃそりゃ……

lim_{h → 0+} ∫_{a + h}^{b - h} f = A

⇒

lim_{h → 0+, h' → 0+} ∫_{a + h}^{b - h'} f = A

は成り立ちますが、

逆は成り立ちませんか？

わざわざ「独立に近づくとき」と書いているので逆は成り立たないんだろうと思いますが。

なんでそんな中途半端な知識でデタラメな結論にとびつけるんだ？
定義がどうとかいう意味をホントにそこまで厳密に議論したいなら数学基礎論まで話伸ばさないといかんけど基礎論の教科書一冊でもかじった事あるん？
10年早いわ。

>>240
> >>239
>
> でも、 lim f(x) = A の定義は書いてありますが

その「定義」の部分を書き写してみて下さい。

>>232>>233
どちらもこのような解き方さすがに教えてもらわないと無理だろという感じでした。
(1)、(2)と比べ物にならない程の難しさでした。教科書で難関大学入試問題レベルが出るのだなと思いました。
手間をおかけして教えていただきありがとうございました。

確率の計算ですが
複数回のチャンスがある場合の計算ってどうやるんてしたっけ？
例えば3種類のくじを一回ずつ引けて
赤が11パーセントで当たり
青が16パーセントで当たり
黄色が14パーセントで当たりで
どれかの1か所で良いから当たりを引く確率
みたいなのなんですが

>>206
結果を微分した方が早いかも。

半径１の円　(x+1/2)^2 + yy = 1　を直線 x=t で切ったときの交点Pは
　P (t, √{(3/2+t)(1/2-t)} )
原点Oから見れば
　∠POX =θ,　OP = √(3/4 -t)

この OP^2 と 中心角 2(π-θ) の弓形(?)の面積
　π-θ + cosθsinθ
を掛ける意味が？？

>>250
全部外れる確率を1から引く

>>253
それは計算方法じゃないよ

>>252
z=3/4-x^2をz軸中心に回転させた曲面Kと、原点を通り回転軸と45°で交わる平面H、で囲まれた立体Aの体積V、を求めるのに、

z=tできるとAの一部の体積としてこれが出てきたって感じです
計算ミスしてなければですが……

z=tで立式して諦めたあと回答見たらHに平行な平面できっていました。

lim_{h → 0+, h' → 0+} ∫_{a + h}^{b - h'} f = A for some real number A.

⇔

lim_{h → 0+} ∫_{a + h}^{c} f = B for some real number B.
lim_{h → 0+} ∫_{c}^{b - h} f = C for some real number C.

が成り立ち、このとき、 B + C = A であることを証明せよ。

a < c < b とする。

>>254
全部外れる確率の計算方法がわからんってこと？

「算数」と「数学」の境目はどこか？
http://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1567138794/

1/4の1/4乗が1/√2になる意味が全くわからない…

工学部生ですが、線形代数を習うことの意味がよく分かりません。
先輩は、行列はベクトルを変数とする関数で、ベクトルで表されるn次元の量を扱いやすくする道具だと言っていました
対角化の意味くらいは分かりましたが、しかし連立方程式を解かされたり、あみだくじを解かされたりする講義の意味がよく分かりませんでした。
線形代数を学習するご利益を教えて下さい。

>>260
工学では連立一次方程式を解かなきゃいけない場面がたくさん出てくるんやで
微分方程式を解くにしろ最適化問題を解くにしろ、気が付くと連立一次方程式の問題に帰着することがよくあるからな

>>261

連立一次方程式を解くだけなら、掃き出し法を1回の講義で習えば十分ではないでしょうか？

>>261

線形代数の抽象的な面のご利益は何でしょうか？

>>262
計算量の関係で掃き出し法だけでは実質的に解けない問題が出てくることもあるから、
そういう時のためにLU分解とか色んな方法を知っておく必要はある
あと、そもそもその連立一次方程式が解けるのかどうかどうかを知るためにrankとかそういうのを学んでおく必要もある

>>264

rank などという用語を知らなくても、掃き出し法を実行すれば、解けるか解けないかはっきりしますよね。

それにrankの計算自体も掃き出し法で計算しますよね？

>>264

LU分解と掃き出し法の計算量は大差ないのではないでしょうか？

A * x = b を b を変更して何度も解くような場合には、 L と U を記憶しておくといいですけど。

>>260

＞あみだくじを解かされたりする

これは、置換のことでしょうか？

>>261

例えば、行列式は役に立つのでしょうか？

>>265
だから、繰り返しになるけど「掃き出し法」だけじゃ計算量の関係で現実には不可能な計算量になることもあるんよ
いわゆる数値計算の分野だと、特異値分解とか使ってrankを計算した方が効率良いことも多い
ほら、こうなると今度は特異値について知らなきゃいけなくなるでしょ
そういう感じで、色んなところで実用性ある概念がでてくるのさ

SVDについては日本ではあまり講義されていないのではないでしょうか？

>>266
今、君が自分で言ったようにAX=bのbを変更する場合にLU分解が有効になるんよ
まあ、掃き出し法もLU分解も確かに大きな差はないから、数値計算の世界ではもっと色んなアルゴリズムが考えられたりするんだけどね

>>267
行列式も色んな応用例があるけど、例えば幾何的には体積を表してんだから、
重積分の変数変換を行う時とかにヤコビアンの行列式を計算する必要がある
そういうときに行列式が現れてる

>>270

工学部での線形代数ですが、実際には、LU分解を教えるとか特異値分解を教えるとかすることはなく、
単に、数学科の講義内容を易しくしただけの場合がほとんどではないでしょうか？

>>272
だって、LU分解や特異値分解を知る前に、行列式とかrankとか逆行列みたいな基本的なことは知らんといかんし、
そういうのを知るためには、数学科の講義内容も必要でしょう
そのうえで、LU分解や特異値分解も来るべき時が来たらちゃんと学ぶし

a,bを複素数とする。　複素平面上で3次方程式z3+az+b=0 の解を表す点をA,B,Cとする。原点を中心とし、長半径2、短半径1の楕円に三角形ABCが外接するとき、|b|の取りうる値の範囲を求めよ。

問　100、300、500、700、900、1100、1300、1500、1700、1900
この値の中心値は？



900と1100を足して2で割るのではないのですか？

複素平面での積分を実行することにより、次の定積分を計算せよ。
∫[0 to infty] {(sinx)^2}/{1+(exp(x))^2} dx

1/{1+exp(2x)} = Σ[k=1,∞] (-1)^(k-1)･exp(-2kx),

∫[0,∞] sin(x)^2 exp(-2kx) dx = (1/2)∫[0,∞] {1-cos(2x)}exp(-2kx) dx = (1/4){1/k - k/(kk+1)},

∫[0,∞] sin(x)^2 /{1+exp(2x)} dx = (1/4)Σ[k=1,∞] {1/k - k/(kk+1)}
　= (1/4)log(2) - (1/4)Σ[k=1,∞] k/(kk+1)
　= (1/4)log(2) - 0.06740262567700224545
　= 0.105884194629840819

>>276
中央値のことなら、データ数が偶数の時は中央2個の平均であってる

前>>188
>>276
ぱっと見、十個の数字が等間隔に並んでる。
200間隔だ。
よく見ると中央は1000だ。∴中央値は1000

> ぱっと見、十個の数字が等間隔に並んでる。
> 200間隔だ。
これは無関係
700、900、1100、1900
というデータ列でも中央値は1000

↓これが証明できません。

lim_{h → 0+, h' → 0+} ∫_{a + h}^{b - h'} f = A for some real number A.

⇒

lim_{h → 0+} ∫_{a + h}^{c} f = B for some real number B.
lim_{h → 0+} ∫_{c}^{b - h} f = C for some real number C.

が成り立ち、このとき、 B + C = A であることを証明せよ。

a < c < b とする。

>>279
>>280
ですよね？

解答が1100になってる…

前>>280
>>283じゃあそちらに従うか、月曜にでもそちらに問いあわせてみて。

前>>284中央値、中間値を再認識しました。



メディアン♪
メディアン♪
メディアンうぉんちゅすていふぉ〜み〜♪

>>283
問題の間違い
問題の読み間違い
後者の方が多く、どこを間違えたかの確認が重要だけれども、前者もままあること

たぶん問題の解釈を間違えてるんだ
合計を足して個数(40)で割るんだけど
10000×40で40000だと思うが
44000になってて結果1100が答

選択の欄には1000という数字はないから
1100で合ってる


何をどう間違えてるのかわからん
アホですまん

>>285
それメリーアンや(´・c_・`)

個数40ってなんぞ？
問題文を一字一句改編せずに全て載せればわかる人がいるかも知れない

>>287
全部で40個あり、個々の数値が
> 100、300、500、700、900、1100、1300、1500、1700、1900
のどれかになる、という問題なら、
小さい物から20個目、21個目の数値がともに1100ならば、中央値はその平均
(1100+1100)/2=1100
になる

問題が全く別のものになるね

松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。

不定積分 = 原始関数を置換積分法により求める方法についての説明ですが、
まともに説明することを完全に放棄していますね。

ただ、こうすれば、原始関数が求まるといっているだけです。

求める方法について理論的になぜそうしていいかの説明がありません。

検算すれば確かに原始関数になっていますが、理論的な根拠についても説明すべきです。

単にお茶を濁しているだけです。

原始関数を置換積分法によりもとめる方法のまともな説明が書いてある本を教えてください。

いろいろな本を見てみましたが、どれもダメです。

https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/cms_upload/0002989009124.di991793.99p00304.pdf

↑こういう教育用の論文のようなものを見るしかないんですかね？

∫ f(x) dx = ∫ f(φ(t)) * φ'(t) dt

の φ(t) は逆関数を持たないと

∫ f(φ(t)) * φ'(t) dt

を求めたとしても ∫ f(x) dx が求まりませんよね。

松坂さんは、 φ(t) について、

「区間 J において連続かつ微分可能で、 φ'(t) は J において連続である。」

という条件を課しているだけです。

実際の例では、 φ(t) は逆関数をもつものが使われています。

100枚のカードがあり、それぞれ1,2,3,...,100と1つずつ異なる数字が書かれている。
これらのカードから2枚を選ぶ。それらと、それらのカードの公約数が書かれているカードを全て捨てる。
このようにカードを捨てることを繰り返し、最終的にカードが1枚か0枚になる状態（状態A）まで続ける。

『問題』
（状態A）に最小回数で到達するよう、カードを捨て続ける方法を1つ述べよ。

>>129です。
問題が解決したと思ったのですが、やっぱり解決してませんでした。

vを速度、aを加速度、tを時刻とします。
一定加速度aで、初速度０の場合、不定積分で積分定数を無視すると
v=at
この場合、横軸にt、縦軸のaととると、atは長方形の面積になります。
初期条件が0なら、不定積分の積分定数を無視しても、定積分しなくても、正しい値が出ます。

例えば初速度のある場合は積分定数が必要であるし、初速度がない場合でも、tがゼロでない、t1からt2の間の積分なら、定積分する必要あるし、
不定積分した場合は、積分定数は、0からt1までの積分した値にマイナスをつけることも分かります。
しかし初期条件が初速度なしで、tがゼロから積分するという条件なら、不定積分で積分定数を無視しても良いし、定積分をする必要もないことが分かります。

さらに不定積分して積分定数を無視すると
x=(1/2)a(t)^2
となります。
この場合、底辺がt、高さがatの直角三角形の面積になっています。
やはりt、xがゼロからという初期条件があれば、不定積分の積分定数を無視しても、定積分しなくとも正しい値が出ます。

ここでなぜ、積分定数や定積分が要注意なのか、辻褄合わせに使われるのかを説明します。

今度は同じ条件での、間違った計算をします。
aをtで積分して
v=a(e^t)という間違った積分をしたとします。
この場合t=0の時に
v=aという間違った値になっていることが既に分かります。
ここで積分定数をいれて
c=−a
v=a(e^t)−a・・・(1)
としてしまえば、間違ってるのに、辻褄合わせができてしまいいます。
更に0からtまでで、定積分をすると、やはり
v=a(e^t)−a
という間違った式なのに辻褄合わせができてしまうのです。

更に(1)を不定積分して積分定数を無視すると
x=a(e^t)−at
がでます。
ここでもt=0の時、x=aとなり既に間違いが分かります。
しかし辻褄合わせの為に積分定数をつけると
x=a(e^t)−at−a
という誤魔化しができます。
0からtまで定積分をすると
x=a(e^t)−at−a
という間違った式でも辻褄合わせができてしまうのです。

Hを群Gの部分群とすると、|G/H|=|H\G|である
これの証明が調べても納得出来ないです…

今日、いろいろ不定積分について考えていたのですが、ちょっとおもしろい事実を見つけました。

∫ sqrt(a^2 - x^2) dx

x = φ(t) = a * sin(t) と置きます。

φ : [-π/2, π/2] → [-a, a] は全単射であり、定義域である区間で何度でも微分可能な関数です。

被積分関数 f(x) = sqrt(a^2 - x^2) は [-a, a] から R への関数で定義域である区間で連続な関数です。

置換積分により、この不定積分を計算すると、

∫ sqrt(a^2 - x^2) dx = (1/2) * (x * sqrt(a^2 - x^2) + a^2 * arcsin(x/a)) + C

となります。

次のような定理があります：

f を区間 I で積分可能な関数とし、 a を I の定点、 x を I の任意の点として

F(x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt

とおく。そのとき、

f が x ∈ I において連続ならば、 F は x において微分可能で、

F'(x) = f(x)

となる。

>>293の続き

物理では初期条件が、tもvもxもゼロからという計算が多いのです。
このように簡単な計算なら間違いを直ぐに発見できるのですが、複雑な計算だと間違いに気付かない場合があります。

積分定数をつけたり、定積分をしてしまうと間違った式でも知らないうちに辻褄合わせをしてしまい、一見正しい式かのように見えてしまいます。
だから初期条件をゼロにして、不定積分で積分定数を無視して計算する、或いは定積分をしないという方法を取るのです。
私はなぜこのようにやってきたのかを考えると直感的に積分定数や定積分は、知らないうちに辻褄合わせをするインチキ臭いものと、直感的に思っていたからなのかもしれません。
しかし今回よく考えてみると私の直感は正しかったと思います。
簡単な計算なら直ぐに間違いに気付きます。
しかし計算が複雑になると気付かない場合があります。
その計算式が正しいかどうか検証するには、初期条件をゼロにし、定積分をしないで、不定積分で計算し積分定数を無視して検証するべきだと思います。

ところで>>129の計算は正しいのですか？
私の質問に答えていただけていません。
正しいなら正しい。間違ってるなら正しい計算式はこうだと指摘していただけませんか？
誰も答えないところをみると、ひょっとして誰も計算できないのかと疑ってしまいます。
もし正しいなら積分前の式が間違ってる可能性があります。
皆さん、宜しくお願いします。

全単射写像を定めることで示そうとする方針なのですが、G/Hの元gHをH\Gの元Hg^-1に対応させる過程でgHの元ghをH^g-1の元hg^-1に対応させなければその写像はwell-definedと言えない、というところが納得出来ないです

sqrt(a^2 - x^2) は [-a, a] において連続ですから、当然、端の点 x = a, x = -a でも連続です。

>>296

の定理により、

(1/2) * (x * sqrt(a^2 - x^2) + a^2 * arcsin(x/a))

は x = a, x = -a でも微分可能です。

ところが、

x * sqrt(a^2 - x^2)

も

a^2 * arcsin(x/a)

も x = a, x = -a で微分できません。

一方、

∫ sqrt(a^2 - x^2) dx

の計算を部分積分法ですることもできます。

部分積分法について復習します。


f, g がともに区間 I で微分可能で、 f', g' は連続であるとする。

そのとき、

∫ f(x) * g'(x) dx = f(x) * g(x) - ∫ f'(x) * g(x) dx

が成り立つというものです。

f(x) = sqrt(a^2 - x^2)
g(x) = x

とすると、 f は (-a, a) で微分可能ですが、 x = -a, a では微分可能ではありません。

したがって、部分積分法の定理の区間 I = (-a, a) です。

部分積分法では、

(-a, a) で

∫ sqrt(a^2 - x^2) dx = (1/2) * (x * sqrt(a^2 - x^2) + a^2 * arcsin(x/a)) + C

が成り立つということしか導けません。

>>291
合成関数の微分の逆操作ではだめなの？
dF(x(t))/dt=(dF(x)/dx)(dx/dt)
の両辺をtで積分して
F(x(t)) = ∫ f(x(t))(dx/dt)dt
で終わりじゃないの？
xの関数としてeplicitに表すために逆関数云々って
のはわかるけど、本質的ではないような…。

>>297
簡単な検算ならウルフラム
ttps://www.wolframalpha.com/

>>298
その対応が剰余類ｇHの代表元の取り方に依らないことを示さないとG/HからH\Gへの写像が定まったとはいえないから。

>>297
＞だから初期条件をゼロにして、不定積分で積分定数を無視して計算する、或いは定積分をしないという方法を取るのです。

よく読んでませんけど、物理では定積分しか意味がないですよ
不定積分は定積分を計算するための道具です
そうすれば積分定数の任意性は物理的な結果のどこにも現れません

G(x) は [a, b] で定義されている関数とする。

(a, b) で、

G'(x) = f(x)

[a, b] で、

F'(x) = f(x)

ならば、

[a, b] で、

F(x) = G(x)

は成り立ちますか？

>>305

訂正します：

G(x) は [a, b] で定義されている関数とする。

(a, b) で、

G'(x) = f(x)

[a, b] で、

F'(x) = f(x)

ならば、

[a, b] で、

G'(x) = f(x)

は成り立ちますか？

>>305

訂正します：

G(x) は [a, b] で定義されている関数とする。

(a, b) で、

G'(x) = f(x)

[a, b] で、

F'(x) = f(x)

ならば、

G(x) は x = a および x = b で微分可能で、

G'(a) = f(a)

G'(b) = f(b)

は成り立ちますか？

>>297
あれだけ質問に回答してもらっていて
> 私の質問に答えていただけていません。
って何のつもりだ？
回答者には回答する義務があり、質問には必ず答えてもらえるとでも思っているのか？

第一自ら
> 皆さんのお陰で謎が解けました。
と書いていて、解決済みの質問に答えるわけないだろ


ダラダラ書いてあって、何が質問か読む気が起きない

>>307

あ、なんかおかしいですね。

>>302
少し試してみたのですが、上手くいくか疑わしいです。
ただし使ってみる価値はあると思います。
ありがとうございます。

不定積分や、終点が変数になる定積分の検算は、微分して元に戻るかでいいだろ
積分と違い微分は機械的に計算できるんだから

>>303
> >>298
> その対応が剰余類ｇHの代表元の取り方に依らないことを示さないとG/HからH\Gへの写像が定まったとはいえないから。
追記しておくと

ｇH=kH 　であっても　Hｇ=Hk とは限らないことに注意

次のような定理があります：

f を区間 I で積分可能な関数とし、 a を I の定点、 x を I の任意の点として

F(x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt

とおく。そのとき、

(a) F は I において連続である。

(b) f が x ∈ I において連続ならば、 F は x において微分可能で、

F'(x) = f(x)

となる。



∫ sqrt(a^2 - x^2) dx

f(x) = sqrt(a^2 - x^2) は [-a, a] で連続であるため、積分可能です。

↑の(a)により、

F(x) = ∫_{0}^{x} sqrt(a^2 - t^2) dt は [-a, a] で連続です。

↑の(b)により、

F'(x) = f(x) が区間 [-a, a] で成り立ちます。

部分積分法により求めた関数 G(x) = (1/2) * (x * sqrt(a^2 - x^2) + a^2 * arcsin(x/a))
は区間 (-a, a) で

G'(x) = f(x)

を満たします。

G(x) = (1/2) * (x * sqrt(a^2 - x^2) + a^2 * arcsin(x/a)) は [-a, a] で連続です。

よって、区間 (-a, a) で

G(x) = F(x) + C

と表せます。

F(x) は x = a で連続ですから、 lim_{x → a} F(x) = F(a) です。
G(x) は x = a で連続ですから、 lim_{x → a} G(x) = G(a) です。

G(a) = lim_{x → a} G(x) = lim_{x → a} F(x) + C = F(a) + C

(G(x) - G(a)) / (x - a) = [(F(x) + C) - (F(a) + C)] / (x - a) = (F(x) - F(a)) / (x - a) → F'(a) = f(a) (x → a)

よって、 G'(a) = f(a) です。
同様にして、 G'(-a) = f(-a) です。

よって、

G'(x) = f(x) が区間 [-a, a] で成り立ちます。

>>292
これお願いします

>>308
必ず答えろなんて思ってません。
分からないなら、分からないと正直に言って下さい。

不定積分と定積分の違いが分かってない、積分定数を無視するな、面積は定積分だ、定積分しろと言われて、そうなのかと思って解決したと思ったのですが、
よく考えると、そうはいかないと気付いたのです。
別に嘘を教えられたとか、騙されたとか思ってません。

物理では数学をそのまま使えないのです。
例えば数学では1÷3=0.3333・・・
と習いましたが、
0.3333・・・×3=0.9999・・・
で1になりません。
指が三本づつの宇宙人なら0.2と答えるはずです。
1÷5=0.555・・・
と答えるはずです。
a÷bを約分してc/dになったとき、dを素数に分解した成分の中に、p進法を素数に分解した成分にない成分があれば、少数では正確に計算できないのです。
dを素数に分解した成分を全て含む進法で計算すべきです。

虚数もそうです。途中の計算で方便で虚数を使うならまだしも、最終的な解に虚数が出てきたら、疑うべきです。
高校で習った二次方程式が虚数の解が出てきたら、数学的には虚数解でも、物理学的には解なしだと考えています。
接してる場所がないわけですから。

数学的には速度の足し算はv1＋v2でよいかもしれませんが、光の速度に近付くと物理学的には
この値を1−{(v1v2)/c^2}で割る足し算になります。

数学は地球人の脳活動で決まりますが、物理学は実験結果の検証から制限を受けるのです。
別に物理学者が数学者より上だと言ってるわけではありません。
数学は地球人の脳活動が満足すれば何でもありでも、物理学では数学を使う場合に注意が必要なのです。

>>315
被積分関数が0だったらその不定積分の結果はC(積分定数)で何の問題もない

>>315の訂正

×物理学的には この値を1−{(v1v2)/c^2}で割る足し算になります。
○ 物理学的には この値を1＋{(v1v2)/c^2}で割る足し算になります。

>>316
それは理解できます。
しかし初期条件を考えた場合、不定積分で積分定数を入れないで
積分した数式に初期条件を入れて積分した数式が０にならなければ、
その式は間違っている場合があることを言っているのです。
その計算式が正しいかどうかを知りたいのです。

不定積分は物理では考えません
考えてもややこしくなるだけですよ

普通は積分定数の任意性は積分範囲の下端の任意性になるんです

>>315の訂正
×1÷5=0.555・・・ と答えるはずです。
○1÷5=0.111・・・ と答えるはずです。

>>315
> 必ず答えろなんて思ってません。
> 分からないなら、分からないと正直に言って下さい。
分かるか分からないかを必ず答えろと思っているんだろう。そんな義務はないと言っている
読んでいないもの、読んでも答える興味を持てないものに、分かるか分からないかすら答えるわけないだろ。義務ではなく暇なときに読んでいるだけなんだから

そもそも回答をもらえてるんだから、答えてもらえていないにすら当たっていない


>>318
> 不定積分で積分定数を入れないで
> 積分した数式
あなたが言うこれは、不定積分で求めた原始関数の積分定数に無条件に0を代入する行為
本来、初期条件と積分定数の付いた原始関数とを連立させて積分定数をしないといけないものを、
無条件に積分定数に0を代入すれば間違うのは当たり前
たまたま初期条件から積分定数が0になりうまくいく場合があるのを、いつでも0にしていいと思い込んでいるだけ

> 本来、初期条件と積分定数の付いた原始関数とを連立させて積分定数をしないといけないものを、
本来、初期条件と積分定数の付いた原始関数とを連立させて積分定数を決定しないといけないものを、

>>292
問題が成立していないんじゃないのか？
100や99はどの2枚を選んでも公約数にはならないから、状態Aにはならないだろう

>>321
分かりました。確かに分からないと答える義務もありません。
しかし分かってないんじゃないの？と思われるかもしれないことは分かって下さい。

＞＞本来、初期条件と積分定数の付いた原始関数とを連立させて積分定数をしないといけないものを、

これをするから、間違っている式でも辻褄があってしまうのです。
そうではなく、その式が正しいかどうかを検証したくて、積分定数をつけないで
不定積分しているのです。

>>324
> そうではなく、その式が正しいかどうかを検証したくて、積分定数をつけないで
> 不定積分しているのです。
それでは検証できない。実際できなかったんでしょう？
不定積分で求めた原始関数が正しいかどうかの検算は、できた関数を微分して元に戻るか確認するしかない

皆さんから沢山回答をいただいたことは非常に感謝しております。
嘘を教えられたとか、騙されたとか全然思ってません。
教科書的には、数学的には正しいことも分かります。
私の書き方が悪かったことも分かります。
しかしよく考えると、そう簡単にはいかないことも分かったのです。
皆さん、ありがとうございます。感謝しています。

不定積分は微分したらそうなる原始関数を求めているにすぎない
微分すると定数項は消えてしまうので原始関数はいくらでもある
それを積分定数を用いて表している
定積分は不定積分を利用することで面積等を求める方法であり、不定積分とは似て非なるもの
要するに全く無意味なことをしている
無意味なので合っているとか間違っているとか考えることは出来ない
無意味なことに意味があると思い込み言い張っているにすぎない

100枚のカードがあり、それぞれには1,2,3,...,100と1つずつ異なる数字が書かれている。
これらのカードから2枚を選んで捨てる。
まあ、捨てた2枚のカードに書かれた数の公約数が書かれたカードをすべて選ぶ（選べない場合はこのステップを行わない）。これらのカードを捨てる。

このようにカードを捨てることを繰り返し、最終的にカードが1枚か0枚になる状態（状態A）まで続ける。

『問題』
（状態A）に最小回数で到達するよう、カードを捨て続ける方法を1つ述べよ。

>>325
そうではなくて、導関数自体が怪しかったのです。
導関数では初期条件はあっています。
しかし積分すると初期条件に合わなくなったのです。
それなら定積分すればいいのかと思ったら、その定積分が辻褄合わせになる可能性があることも分かったのです。
あなたの言っていることを否定しているわけではありません。
お付き合いいただいて感謝しています。

>>327
＞＞要するに全く無意味なことをしている
無意味なので合っているとか間違っているとか考えることは出来ない
無意味なことに意味があると思い込み言い張っているにすぎない

私の書き方が悪かったのかもしれませんが御理解いただけなくて残念です。
しかし感謝しています。ありがとうございます。

>>329
> しかし積分すると初期条件に合わなくなったのです。
これは今までの話からだと、
> 不定積分で積分定数を入れないで
と、初期条件に合わないC=0とした結果、初期条件に合わなくなったという話だろう

>>331
初期条件はc=0で良いのです。
これで積分結果の式にx=0を代入して、積分結果の式が0にならないと間違っているのです。
だから導関数の式が間違っている可能性があるのです。
>>293と同じです。

e^x+cにx=0を代入してもc=0にならない！これはおかしい！

さすがにこういうことじゃないよね？

>>332
> 初期条件はc=0で良いのです。
> これで積分結果の式にx=0を代入して、積分結果の式が0にならないと間違っているのです。
それが思い込みで間違いだと>>293以前に説明されている

> だから導関数の式が間違っている可能性があるのです。
可能性はない


>>293
> aをtで積分して
> v=a(e^t)という間違った積分をしたとします。
a*e^tをtで微分すると、d/dt(a*e^t)=a*e^t≠aとなり直ちに積分計算を間違えたことが分かる

今さらだろうが、区間(a,b)上で定義された関数f(x)にたいして、
不定積分の定義： 区間内から取ってきた x,cに対して、cからxまでf(x)を定積分して定まる、xの関数
原始関数の定義： (a,b)上で、導関数がf(x)に一致する関数
であって、
・導関数は計算できるので、原始関数を発見的に見つけることができる。
・f(x)が連続なら、不定積分と原始関数は定数の差を除いて一致する（微分積分学の基本定理）
という事実に基づいて、定積分は原始関数の差で表現できる（微分積分学の基本定理）という結果になっているのである。

・高校まで（大学でも？）原始関数と不定積分をごっちゃに考えていることとや、
例えば1/x（原点では定義されないので、）の原始関数、不定積分は、本来、(0,∞)上と(-∞,0)上で別々に考えなければならないのを
、log |x|とか使ってまとめてしまっている。
というのが、誤解しやすい原因ではないかと。

と、書いてみたが、
>数学では
>0.3333・・・×3=0.9999・・・で1になりません。
などと言っているところを見ると、無駄か。

数学では、0.3333・・・×3=1。無限小数と普通の小数を混同して勝手に決めないでくれ。
0.9999・・・などという数を使いたくて、その上で正確に計算したいなら、無限小数の正確な定義から考えなおせ。
勝手に思い込みで0.9999・・・は1ではないなどと決めつけるな。


>数学的には速度の足し算はv1＋v2でよいかもしれませんが、
良くはない。数学では速度なんてものは無い。まずは速度とは何かを定義しないと数学では計算できん。
ついでに、速度の足し算も定義してくれ。勝手に思い込みを適用するのはいけない。

数学を間違って使っておきながら、数学について文句言うのはお門違い。

定積分の定義を勝手に変えて大騒ぎしているだけ
そりゃ人とは違う意味で、はっきり言えば誤った意味で使ってるんだからおかしくなって当たり前

>>333
>>334
それは簡単な積分だから直ぐに間違いに気付くのです。
難しいことは、計算式自体が怪しいのです。
私の言いたいことは、正しい式がなら、積分定数をつけても、定積分をしても正しいのです。
しかし間違っている式でも、初期条件に合うように積分定数を合わせたり、
定積分をしてしまうと辻褄合わせができてしまうのです。
つまり間違った計算をしてしまうのです。
私は初期条件の数値がゼロなら、積分定数がゼロでも、積分結果が初期条件でゼロになるように計算してきたのです。
それは積分定数や定積分は注意すべきと直感的に感じていたからです。
そして今回の議論で、積分定数や定積分には、やはり注意が必要であると分かったのです。
数学の教科書が間違っていると言っているのではありません。
数学の教科書通りに計算すると、間違っていることも正しくなると言っているのです。
数学の教科書通りに、物理で虚数をむやみに使ってはいけない。
虚数には注意が必要なことと同じなのです。

>>336
>>335
＞＞数学では、0.3333・・・×3=1。無限小数と普通の小数を混同して勝手に決めないでくれ。
0.9999・・・などという数を使いたくて、その上で正確に計算したいなら、無限小数の正確な定義から考えなおせ。
勝手に思い込みで0.9999・・・は1ではないなどと決めつけるな。

＞＞良くはない。数学では速度なんてものは無い。まずは速度とは何かを定義しないと数学では計算できん。
ついでに、速度の足し算も定義してくれ。勝手に思い込みを適用するのはいけない。
数学を間違って使っておきながら、数学について文句言うのはお門違い。


全く理解してませんよ。
指が7本づつある宇宙人は1÷7をどう答えますか。
地球人の妄想には付き合ってられません。
反論の為の屁理屈の反論は意味がありません。
私は教科書を盲信するほどのバカではありません。
こういう議論は無意味です。

>>338
> 数学の教科書通りに計算すると、間違っていることも正しくなると言っているのです。
教科書通りに計算できないから間違えrているのが実際だろ

循環小数の扱いも、十進法以外の記数法も、高校までの数学で扱っている
自分が理解できないのを教科書のせいにするな

>指が7本づつある宇宙人は1÷7をどう答えますか。
しらんがな。まずは宇宙人を定義してくれ。

数学を誤用して数学にいちゃもんつけてるから気持ち悪い。

>速度の足し算はv1＋v2でよいかもしれません
とかだって、ニュートン力学の話で、物理じゃん。数学に責任押し付けないでくれ。