整数の掛け算が足し算の結果を使って定義されてるのは確かに疑問がある。
整数に和と積を定義するとき和は普通の足し算でいいとして、
積を環を成すように定義しようと思ったら自動的に普通の掛け算になる？
他の積の可能性もあるんじゃないか？トロピカル演算みたいな例もあるんだし。