分からない問題はここに書いてね456

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね455
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566136007/

(使用済です: 478)

ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。

イチオツ

xx+yy=1…�@
xx-8x+yy+12=0…�A
の共通接線Lを求めよという問題で
各円の中心を出してから、
L:2ax+2by+c=0…�B　
とおいて点と直線の距離の公式を使えば解けるのはわかるのですが、式変形でやってみようと思い

�@−�Bで整理して、
(x-a)^2+(y-b)^2=aa+bb+c+1=D、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、D=0かつ、点(a,b)がLの上にあればよい、

同様に�A-�Bで、
(x-a-4)^2+(y-b)^2=c-12+(a+4)^2+b^2=E、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、E=0かつ、点(a+4,b)がLの上にあればよい、

となって、y=bでLが2通りのx座標を取るので、Lは傾き無限のy軸に並行な直線、となってしまったのですが、図を書けばこれは誤りです

とんでもないアホすぎミスをしてると思うのですが私の実力ではどこでミスしたのか分からないのでここの達人方お願いいたします

>>4
D=0とかE=0とかしてるところがおかしいです

x^2+y^2=1…�@
2x+2y=2√2…�A

この連立方程式考えてみましょう

グラフ書けばこれらは接していますね

�@-�Aすると
(x-1)^2+(y-1)^2=3-2√2
あなたは勝手に右辺0にしてますよね

�@と�A両方満たすのがひとつしかないわけですよね
�@-�Aと�A両方満たすのは一つしかないと言えても、�@-�A満たすのが一つとは限りませんね

全校生徒ｘ人のうち２４％がバスを使って学校に通っています
バスを使わず通学している生徒は何人ですか？

平面状に非可算無限個のT字型の集合(大きさや縦横比や向きはそれぞれバラバラでもよい)を配置した時、重ならないように置く事は不可能である事を示せ
というのはどうやって解くのでしょうか


T字型の集合とはR^2の部分集合で
あるa,b>0を用いて
｛(x,0)| -a<x<a｝∪ ｛(0,y)| -b<y<0｝
という集合の回転と移動で得られるものであると定義されます

>>7
1-0.24=0.76
∴バスを使わずに通学する人は0.76x人

雑談スレもくだらねぇスレも長く立っていないんだな

質問です

A=Σ(k=0→n) (nCk)^2
B=Σ(k=0→n) (nCk)^3

それぞれどうやれば求まりますか？
Aだけでもお願いします

なるべく高校程度の範囲でお願いします

数検の問題集を読んでいます。

1 / cos(x) の x = 0 でのテイラー展開を x^8 の項まで計算せよ

という問題の解答ですが、 1 / cos(x) は偶関数だから、

1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …

とおき、

cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …

との積が 1 になるように漸化式を作ると、

1/ cos(x) = 1 + (1/2)*x^2 + 5/24*x^4 + (61/720)*x^6 + (277/8064)*x^8 + …

Σ a_n
Σ b_n

がともに絶対収束ならば、

コーシー積 Σ c_n

も絶対収束して

Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n



cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …

は (-∞, +∞) で絶対収束する。

1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …

はその収束半径を R とすると、 (-R, R) で絶対収束する。

↑の命題により、

x ∈ (-R, R) のとき、

a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + …

は絶対収束して、

a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + … = cos(x) * (1/cos(x)) = 1

が成り立つ。

x = 0 を代入すると、

a_0 = 1

両辺を2回微分すると、

2! * ((-1/2)*a_0 + a_1) + … = 0

x = 0 を代入すると、

a_1 = 1/2

…

というように、 a_0, a_1, … を決定できる。

なので、そもそも、

1 / cos(x)

がテイラー展開できるのか？

ということに答えなければならないはずです。

>>14
>A=Σ(k=0→n) (nCk)^2
A=ΣnCk・nC(n-k)=2nCn

>>14
>B=Σ(k=0→n) (nCk)^3
No good answer

>>17
すいません、よくわかりません…

コインを表n枚と裏n枚で合わせる組み合わせは何通りか考える

そのまま考えると
2nCn通りだろう

これを別の数え方で数えあげる


始めのn枚を並べた時に表が何枚あるかで場合分けして数えると

最初のn枚を並べたときk枚あるパターンはnCk通りで

この時残りのn枚は表のコインがn-k枚しか残っていないから
並べ方の組み合わせはnC(n-k)通り

合わせると最初のn枚に表がk枚あるような2n枚の並べ方の組み合わせは
nC(n-k) ・nC(n-k)


これを全部合わせると全パターンの並べ方の総数になるわけで、つまり2nCn
に等しいわけだ

>>21
1行目は
合わせて2n枚並べる組み合わせ、だった

>>20 (補足)

B(n) = Σ(k=0→[n/2]) (n+k)!/{(k!)^3･(n-2k)!} ･ 2^(n-2k)

〔生成函数〕
y(x) = Σ(n=0→∞) B(n)･x^n = 1 + 2x + 10xx + 56x^3 + 346x^4 + 2252x^5 +
は2階線形微分方程式
　x(x+1)(8x-1)y " + (24xx+14x-1)y ' + 2(4x+1)y = 0,
の解。
　G.Coserea(2018)

>>19
(1+t)^(m+n)=Σ(m+n)Ck・t^k
(1+t)^m(1+t)^n=ΣmCi・t^iΣnCj・t^j=ΣΣmCi・nCj・t^(i+j)=Σ(Σ[i+j=k]mCi・nCj)t^k
Σ[i+j=k]mCi・nCj=(m+n)Ck
…
Σ[h+i+j=k]lCh・mCi・nCj=(l+m+n)Ck
…
Σ[Σi_j=k]Πm_jCi_j=(Σm_j)Ck

>>20
>>21
>>22
>>24
ありがとうございます！
Bは難しそうなので諦めます
Aについてじっくり読んで考えてみます

Michael Spivak著『Calculus』を読んでいます。

lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) does not always exist(for example, it does not exist if x = 0).

などと書いてあります。

lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) が収束するような x って存在するんですか？

しない

>>27

証明をお願いします。

Weylの稠密定理+α

1/cos(x) = Σ[k=0,∞) (-1)^k･{E_(2k)/(2k)!}･x^(2k),

と展開される。　E_(2k) はオイラー数。

Michael Spivak著『Calculus』を読んでいます。
以下が成り立つことの証明を読みました。
非常に重要かつ興味深い結果だと思いました。

ところが、微分積分学の教科書でこのことが書いてある本はほとんどないように思います。

藤原松三郎以外の本で、このことが書いてある本を教えてください。


f(x) = Σ_{n = 0}^{∞} a_n * x^n
a_0 ≠ 0
Σ_{n = 0}^{∞} a_n * (x_0)^n ∈ R for some x_0 ∈ R - {0}

とする。

このとき、正の収束半径を持ったべき級数 g(x) = Σ_{n = 0}^{∞} b_n * x^n

で、

f(x) * g(x) = 1 for all x ∈ (-R, R) for some R > 0

が成り立つようなものが存在することを証明せよ。

>>31
Robert Strichartzの
The Way of Analysis

とかにもある

>>32

ありがとうございます。

Closure Properties of Analytic Functionsというセクションにある定理ですね。

ぱっと見、分かりやすくていい本っぽいですね。

ところで、それほどメジャーな本ではないと思いますが、この本を読んだきっかけは何ですか？

>>32

探せばいい本はたくさんあるようですね。

>>32

の本もパソコンにあったのですが、全く見たことがありませんでした。

>>35
1 = cos(x) {1/cos(x)}
　= {Σ(j=0→∞) (-1)^j･{1/(2j)!} x^(2j)} {Σ(k=0→∞) |E_(2k)|/(2k)! x^(2k)}
　= Σ(n=0→∞) {Σ(k=0→n)　(2n)C(2k)・E_(2k)}/(2n)!　x^(2n)
から
　Σ(k=0→n)　(2n)C(2k)･E_(2k)　= δ_(n,0)

[脇スレ.026]

(1)　(√2 + √3)^n は負でない整数 a_n, b_n, c_n, d_n を用いて
　a_n + (√2)b_n + (√3)c_n + (√6)d_n,
と表せることを示せ。

(2)　d_(2n-1) を求めよ。

>>38
(略解)
漸化式
　a_(n+1) = 2b_n + 3c_n,
　b_(n+1) = a_n + 3d_n,
　c_(n+1) = a_n + 2d_n,
　d_(n+1) = b_n + c_n,
と
　a_1=0,　b_1=1,　c_1=1,　d_1=0
から。
(2)
　a_(2n-1) = d_(2n-1) = 0,
　b_(2n) = c_(2n) = 0,
後者は
　(√2 + √3)^(2n) = (5+2√6)^n
　= Σ(k=0,n) C(n,k) (5^k)(2√6)^(n-k)
　= a_(2n) + (√6)d_(2n),

>>43
それだけじゃ収まんめえよ

[4 -7]^3
[3 -5]

とか計算してみい

[脇スレ.083]
分からない問題
(2)　オイラー定数γを規則的な連分数で表示する。

代数的数どころか無理数かどうかも怪しい。
もう、ｻﾊﾟｰﾘですよね。

>>46
　ｻﾊﾟｰﾘでもないか。

ネイピア数eにはある。
　e = 2 + [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]

円周率πにもある。(正則ぢゃないけど)
　π = 3 + (1^2)/{6 + (3^2)/[6 + (5^2)/(6 +(7^2)/(6 + ････))]}

>>49
n = 3 の場合で
p = 18q = ±3√3,
1+pp = 28,
k = ±1,
θ = ±2π/3,
cosθ = -1/2,
sinθ = 3q = 1/(4q) = 9/(2p),
とおけば >>44 を含む。

いや、>>49も不十分。
ジョルダンセルのサイズが1で固有値がともに1の冪根でtrace、determinantが実数が条件だから固有値が+1,-1となるケース、つまりtr=0、det=-1のケースも入れないといかん。

>>51
>det=-1のケース
ad-bc=1

>>52
お、ホント。
見逃した。失礼。

>>49
固有値λ = e^(iθ) に対する固有ヴェクトルu
　( p+i )
　( 1/q )

固有値λ = e^(-iθ) に対する固有ヴェクトルu
　( p-i )
　( 1/q )

[脇スレ.090]

>>45
n! = Γ(n+1) = ∫[0,∞] x^n e^(-x) dx (置換: x=n+(√n)t)
　= ∫[-n^2,∞] (n+(√n)t)^n e^(-n-(√n)t) (√n)dt
　= n^(n+1/2) e^(-n) ∫[-n^2,∞] (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) dt

n→∞ で (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) → e^(-t^2/2),
∫[-n^2,∞] (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) dt → ∫[-∞,∞] e^(-t^2/2) dt = √(2π)

https://youtu.be/89d5f8WUf1Y

↑は、

lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)

の値を求めている動画です。

40万回以上も再生されている動画ですが、いい加減すぎやしないでしょうか？

こういう解答を何の疑いもなく受け入れてしまう人もいると思います。

質が悪いですよね。

T(t) = [cos(t), -sin(t)] [sin(t), cos(t)]],
とおくと
F(x,t) = exp(-xx) T(t),
F^(-1) = exp(xx) T(-t),
D T(t) = T(t) (∂x - 1),
より
X^n = {F^(-1) D F}^n
　= F^(-1) D^n F
　= F^(-1) (∂x - 1)^n exp(-xx) T(t)
　= exp(xx) (∂x - 1)^n exp(-xx) E,
さて、どうする？？

(∂x - 1) ぢゃなくて (∂/∂x) - 1

>>58
字で書いて

>>58
なんか間違ってるのかこれ

たぶん「極限が存在するかどうか示してないのにlogの連続性使って計算してる」とかそんな感じよくだらない部分だと思う

そんな感じよ→そんな感じの

>>63
リーマン和のようなものを作っていて、それが広義積分に収束するということを勝手に仮定しています。

自分で考えた解答は以下です：

a_n := log((n!/n^n)^(1/n))

=

(1/n) * log(n!/n^n) = (1/n) * log(1/n * 2/n * … * n/n)

=

(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n))

とおく。

log(x) は単調増加関数だから、

(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log((n-1)/n)) ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx ≦ (1/n) * (log(2/n) + … + log(n/n))

が成り立つ。

よって、

(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n)) ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(n/n) = ∫_{1/n}^{1} log(x) dx

∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(1/n) ≦ (1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n))

が成り立つ。

まとめると、

∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(1/n) ≦ a_n ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx

が成り立つ。

∫ log(x) dx = x * log(x) - x

であり、

lim_{ε → +0} ε * log(ε) = lim_{ε → +0} - log(1/ε) / (1/ε) = 0

であるから、

lim_{ε → +0} ∫_{ε}^{1} log(x) dx

=

lim_{ε → +0} [(1 * log(1) - 1) - (ε * log(ε) - ε)]

=

lim_{ε → +0} [- 1 - ε * log(ε) + ε]

=

-1

である。

したがって、

lim_{n → ∞} ∫_{1/n}^{1} log(x) dx + lim_{n → ∞} (1/n) * log(1/n) ≦ lim_{n → ∞} a_n ≦ lim_{n → ∞} ∫_{1/n}^{1} log(x) dx

∴ -1 ≦ lim_{n → ∞} a_n ≦ -1

∴ lim_{n → ∞} a_n = -1

exp(x) は連続関数だから、

lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)

=

lim_{n → ∞} exp(a_n)

=

exp(-1)

>>58

誤魔化しですが、誤魔化されたことに気づかない人も多いと思います。

そこが質が悪いですよね。

Michael Spivak著『Calculus 3rd Edition』をチェックしてみたら、

同じ問題がありました。

13

(a)

f を [1, ∞) で狭義単調増加関数とする。

f(1) + … + f(n-1) < ∫_{1}^{n} f(x) dx < f(2) + … + f(n)

を示せ。

(b)

f = log とし、

n^n / exp(n-1) < n! < (n + 1)^(n + 1) / exp(n)

を示せ。

したがって、

lim_{n → ∞} (n!)^(1/n) / n = 1 / e

が成り立つ。

(a) 明らか。

(b)

log(1) + … + log(n - 1)

=

log((n - 1)!)


∫_{1}^{n} log(x) dx

=

n * log(n) - n + 1


log(2) + … + log(n)

=

log(n!)

よって、

log((n - 1)!) < n * log(n) - n + 1 < log(n!)

(n - 1)! < n^n / exp(n - 1) < n!

∴

n^n / exp(n - 1) < n! < (n + 1)^(n + 1)

Spivakさんの解答のほうが理解するのは簡単だと思いますが、思いつくのは大変かもしれませんね。

単調収束定理使ってんじゃないの？
今電車の中でイヤホン持ってきてないから声聞こえないけど説明はなんて言ってんの？

あ、単調収束定理じゃなくて一様可積分性による収束定理ね。

解くだけなら積分とか使わなくても
分解して

(n!/n^n)＝((1/2)^1)*((2/3)^2)*((3/4)^3)*・・・((n-1)/n)^(n-1))*n/n


と見れば
各項の((k-1)/k)^(k-1)という数列、これは定義式からeに収束する数列そのもの、の逆数なので
それらを掛け合わせた(n!/n^n)も(積の)チェザロ平均の法則から同じ値に収束する、とシンプルに求める事はできる

一応、数列a_kが収束するなら (a_1a_2・・・a_n)^(1/n)も同じ値に収束するという法則ね

ん？積の場合はチェザロ平均とは言わないか
単に幾何平均だな

>>77

a_k := (k/(k+1))^k とおく。

n!/n^n = a_1 * … * a_{n-1}

n!/n^n = (1/a_n) * (a_1 * … * a_n)

(n!/n^n)^(1/n)

=

(1/a_n)^(1/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)

=

((n+1)/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)

lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)

=

lim_{n → ∞} ((n+1)/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)

=

lim_{n → ∞} ((n+1)/n) * lim_{n → ∞} (a_1 * … * a_n)^(1/n)

=

1 * lim_{n → ∞} a_n

=

lim_{n → ∞} a_n

=

lim_{n → ∞} (n/(n+1))^n

=

lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^n

=

lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^(n+1) / (1 - 1/(n+1))

=

lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^(n+1) / lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))

=

(1/e) / 1

=

1/e

(a_n) を正の実数のみからなる数列とし、正の実数 α に収束するとする。

log(x) は連続関数だから、

lim_{n → ∞} log(a_n) = log(α)

である。

log((a_1 * … * a_n)^(1/n))

=

(1/n) * log(a_1 * … * a_n)

=

(log(a_1) + … + log(a_n)) / n

である。

lim_{n → ∞} log((a_1 * … * a_n)^(1/n))

=

lim_{n → ∞} (log(a_1) + … + log(a_n)) / n

=

lim_{n → ∞} log(a_n)

=

log(α)

である。

exp(x) は連続関数だから、

lim_{n → ∞} (a_1 * … * a_n)^(1/n)

=

lim_{n → ∞} exp(log((a_1 * … * a_n)^(1/n)))

=

exp(log(α))

=

α

である。

>>77

積分を使わないというだけで、この解法のほうが複雑で難しいですね。

>>78
対数取って
でしょ
チェザロ平均でいいと思う

>>81
いやさね、どれだけシンプルに答えが出るか
って事なんだ

(n!/n^n)が((1/2)^1)*((2/3)^2)*((3/4)^3)*・・・((n-1)/n)^(n-1))*n/nと分解されるのは行間とかなしで一目みれば明らかだろう

それぞれの項の((k-1)/k)^(k-1)がeの逆数なんてのも見れば明らかだろう

そして数列の調和平均、相乗平均、相加平均が元の数列と同じ値に収束するというのもそういう法則を知っていれば明らか

つまりこの問題の為に必要な計算は1行でいいという事だ


別に積分が悪いってわけじゃないけどね
誤差評価には役立つし

binary512以降のフォーマット

binary512はExponentが23bit
binary1024はExponentが27bit
binary2048はExponentが31bit
binary4096はExponentが35bit
binary8192はExponentが39bit
binary16384はExponentが43bit
binary32768はExponentが47bit
binary65536はExponentが51bit

である場合の問題点。

松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。

以下の定理3は、実数値関数についての定理として証明されています。この証明を読むと、複素関数についてもそのまま
通用するのではないかと思うのですが、この定理3の38ページ後ろのページに、「定理3の記述はやや実変数に“局限”
された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」と書いてあります。

以下の証明のどの部分が「多少の補正を要」するのでしょうか？

なお、証明中の定理1とは一様収束に関するコーシーの条件です。

定理3

I を1つの区間とし、 x_0 を I の1つの点（ I の端点でもよい）、 I から x_0 をとり除いた集合を E とする。
(f_n) を E で定義された関数列とし、 (f_n) は E において関数 f に一様収束するとする。また、 n = 1, 2, …
について、有限の極限 lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n が存在するとする。そのとき、数列 (A_n) は収束し、その極限を
A とすれば、 lim_{x → x_0} f(x) = A である。

証明

f_n は E で一様収束するから、定理1により、与えられた ε > 0 に対し、ある N が存在して、 m ≧ N, n ≧ N ならば、
すべての x ∈ E に対して |f_m(x) - f_n(x)| < ε が成り立つ。ここで x → x_0 とすれば、 f_m(x) → A_m, f_n(x) → A_n
であるから、 |A_m - A_n| ≦ ε。ゆえに数列 (A_n) はコーシー列である。したがって (A_n) は収束する。その極限を A とする。

f_n は f に E で一様収束し、また A_n → A であるから、自然数 n を十分大きく選んで、すべての x ∈ E に対し
|f(x) - f_n(x)| < ε/3 が成り立ち、かつ |A_n - A| < ε/3 が成り立つようにすることができる。さらにこの n に対し、
lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n であるから、 δ > 0 を、 |x - x_0| < δ, x ∈ E ならば、 |f_n(x) - A_n| < ε/3 が
成り立つように選ぶことができる。そうすれば、 |x - x_0| < δ, x ∈ E のとき
|f(x) - A| ≦ |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - A_n| + |A_n - A| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε。

これは lim_{x → x_0} f(x) = A であることを意味する。

不定積分を求めよ。

（1）∫1/(3^x+1) dx

（2）∫log(log(x))/{x･log(x)} dx

（3）∫e^(2x)/√(e^x + 1) dx

[脇スレ.216]

(1)
3^x + 1 = u　とおく。
log(3) 3^x dx = du
(与式1) = ∫{1 - (3^x)/(3^x + 1)} dx
　= x -∫(1/u)du /log(3) = x - log(3^x + 1) /log(3),

(2)
log(log(x)) = u　とおく。
1/{x･log(x)} dx = du,
(与式) = ∫ u･(du/dx) dx = (1/2)uu = (1/2){log(log(x))}^2,

(3)
e^x +1 = uu とおく。
　(e^x) dx = 2u du
　(与式) = ∫2(uu-1)du = (2/3)u^3 - 2u
　= (2/3)(uu-3)u = (2/3)(e^x - 2)√(e^x + 1),

脇スレってなんのこと？

脇スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567920449/l20

>>13

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

∫_{C} f(z) dz の定義ですが、リーマン和の極限によって定義しています。

ところが、 実数変数の複素数値関数 f(t) = g(t) + i * h(t) に対する

∫_{a}^{b} f(t) dt

の定義は、リーマン和の極限によって定義せず、

∫_{a}^{b} g(t) dt + i * ∫_{a}^{b} h(t) dt

によって定義しています。

統一性が全くありませんよね。

思ったのですが、

実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。

思ったのですが、

実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。

マルチ

>>93
>>94

Serge Langの本では、

∫_{C} f(z) dz := ∫_{a}^{b} f(z(t)) * z'(t) dt

などと定義しています。

これでは、

∫_{C} f(z) dz

の意味が分かりづらいですよね？

なんか複素関数論って基本的なアイディアは難しいとは思いませんが、厳密にやろうとすると、
途端に非常に難しくなりますね。

ジョルダンの定理とか。

グリーンの定理というのがあります。

∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy

というものです。

証明は、

∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy

と

∫_{C} Q dy = ∬_{Ω} Q_x dx dy

とをそれぞれ証明して、積分の加法性から、

∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy

が成り立つをことを証明します。

なぜ、

∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy

のみをグリーンの定理と言わないのでしょうか？

なんか冗長なような気がします。

∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy

をグリーンの定理とよび、

その系として、

∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy

を書けばいいように思います。

>>98

グリーンの定理の証明も大体のアイディアは難しくありませんが、厳密な証明は
Ω を有限個の縦線領域と横線領域にどうやって分割するのかとか考えると、
おそらくかなり面倒なことになるなと思われます。

>>99
>∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
左辺にカッコ要らないの？要らない場合
∫x^2+2x+3dxでもよくない？
これはダメだというのなら
∫x^2dx+2xdx+3dxなら問題なし？

a[n] = Σ[k=0,n] 1/nCk,
b[n] = Σ[k=0,n] (-1)^k/nCk
ただし nCk は二項係数とする。

(1) n(a[n]-2)→2 (n→∞) を示せ。
(2) b[n] を求めよ。

[脇スレ 195]

劣等感ババアの餌です

862 名前：755[sage] 投稿日：2019/09/16(月) 22:01:21.56 ID:???
任意の無限小dxに対して、{f(x+dx)-f(x)}/dxがある実数f’(x)に無限に近くなる時、f(x)は微分可能であるといいます

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。


演習問題に、

∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

の値を計算させる問題があります。

こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。

でも、

∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

↑こういう定積分を見たときに、それに応じてどういう複素線積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。

(b/a)tan(x) = t　とおいて
∫ 1 /{aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2} dx
　= (1/ab)∫ 1/(1+tt) dt
　= (1/ab)*arctan(t)
　= (1/ab)*arctan((b/a)tan(x))
を思いつかないといけないですよね。

Arctanの微積を知ってたら高校生でも思いつく件

教科書に文句を言う俺様偉い　など相手にすんな

>>105 (1)
　
n>>1 のとき
Σ[k=0,n] 1/(nＣk) = 2(1 + 1/n ＋ 2/n^2 + 8/n^3 + 44/n^4 + 308/n^5 + 2612/n^6 + 25988/n^7 + ････)

〔問題〕
3辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形Tをとる。
0<a≦b≦c<a+b かつ a+b+c=1 の条件下で実数a,b,cを動かすとき、
Tの面積�凾�最大にするa,b,cを求めよ。

GM-AM より
�刧� = (1/16)(a+b+c)･(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
　≦ (1/16)(a+b+c){(a+b+c)/3}^3
　= (1/16)(1/27)(a+b+c)^4,
�� ≦ {1/(12√3)}(a+b+c)^2,
等号成立は a=b=c =1/3.

〔問題273〕
等面四面体Sの各側面は合同である。すなわち、3辺の長さがa,b,cの三角形Tである。
0<a≦b≦c<a+b かつ a+b+c=1 の条件下で実数a,b,cを動かすとき、Sの体積Vを最大にするa,b,cを求めよ。

[脇スレ.273]

前>>10
>>117
a+b+c=1
b=1/3とすると、
a+c=2/3=8/12
a=3/12=1/4,
c=5/12のとき、
a^2+b^2=(1/4)^2+(1/3)^2
=1/16+1/9
=25/144
=(5/12)
=c^2
ピタゴラスの定理より、
長さaの辺と長さbの辺は直角に交わる。
面積のとき考えてこうなんだから、体積のときに拡張し、
S=(1/3)(1/2)abc
=(1/3)(1/2)(1/4)(1/3)(5/12)
=5/864
a=1/4
b=1/3
c=5/12

前>>118訂正。
S→V

直角�凾ﾌとき
(0,0,0)
(a,0,ε)
(a,b,0)
(0,b,ε)
を頂点とする「4面体」と考える。
ε→0 とすると潰れて長方形になる。

〔問題278〕
以下を示せ。

・a[n] = √(3nn + 1) が整数となる自然数nは無数にある。

・任意の正の実数εに対し、ある自然数の組(m,n)が存在して、
　|a[n] - m| < εとなるようにできる。

[脇スレ.278]

2500
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

演習問題に
　∫ １/(aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2}^2　dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、こういう不定積分を見たときに、それに応じて
どういう置換積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。

(b/a)tan(x) = t　とおいて
(b/a)dx/cos(x)^2 = dt,
aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2 = aa･(1+tt)cos(x)^2
　= (ab)^2 (1+tt)/{(at)^2+bb},
より
∫１/{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2}^2　dx
　= 1/(ab)^3 ∫ {(at)^2 + bb}/(1+tt)^2 dt
　= 1/{2(ab)^3} ∫{(bb+aa)/(1+tt) + (bb-aa)･(1-tt)/(1+tt)^2} dt
　= 1/{2(ab)^3} [ (bb+aa)･arctan(t) + (bb-aa)･t/(1+tt) ]
　= 1/{2(ab)^3} (bb+aa)･arctan((b/a)tan(x))
　 + 1/{2(ab)^2} (bb-aa)･cos(x)sin(x)/{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2},
を思いつかないといけないですよね。

Arctanの微分を知ってたら高校生でも思いつく件

演習問題に
　∫ １/(aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2}^3　dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、こういう不定積分を見たときに、それに応じて
どういう置換積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。

>>111

cos(π/2) = cos(3*π/2) = 0

なので、少し面倒ですね。

∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

=

∫_{-π/2}^{3*π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

=

∫_{-π/2}^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

+

∫_{π/2}^{3*π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

>>128

=

2 * ∫_{-π/2}^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

>>129

∫_{-π/2}^{0} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

=

∫_{0}^{π/2} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

だから、

2 * ∫_{-π/2}^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

=

2 * (∫_{0}^{π/2} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx + ∫_{0^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx)

>>130

g(x) = 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x))
f(x) = (1 / (a^2 * cos^2(x))) / (1 + (b/a)^2 * tan^2(x))

とおく。

g(x) = f(x) for all x ∈ [0, π/2)

∫_{0}^{π/2} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

=

lim_{c → π/2} ∫_{0}^{c} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

=

lim_{c → π/2} ∫_{0}^{c} g(x) dx

=

lim_{c → π/2} ∫_{0}^{c} f(x) dx

∫_{0}^{c} f(x) dx

=

(1/(a*b)) * ∫_{0}^{(b/a)*tan(c)} 1 / (1 + t^2) dt

=

(1/(a*b)) * [arctan((b/a)*tan(c)) - arctan(0)]

=

(1/(a*b)) * arctan((b/a)*tan(c))


∴

lim_{c → π/2} ∫_{0}^{c} f(x) dx

=

lim_{c → π/2} (1/(a*b)) * arctan((b/a)*tan(c))

=

(1/(a*b)) * (π/2)

同様に、

∫_{0^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx

=

(1/(a*b)) * (π/2)

∴

∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

=

2 * (∫_{0}^{π/2} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx + ∫_{0^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx)

=

2 * (2 * (1/(a*b)) * (π/2))

=

(2*π) / (a*b)

>>112

高校生でも思いつくとは思いますが、

cos(π/2) = cos(3*π/2) = 0

なので、どうすればいいのか分からないのではないでしょうか？

コレ自演？

志賀浩二著『数学が育っていく物語 第2週 解析性』を読んでいます。

テイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを証明して、

exp(x), sin(x), cos(x) がテイラー展開可能であることを導いています。

次に、

log(1 + x) のテイラー展開ですが、これについては、

志賀浩二著『数学が育っていく物語 第1週 極限の深み』で、べき級数の理論を使って求めています。

log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することは難しい理由を以下のように

説明してます。

R_n = (-1)^(n+1) * x^n / (n * (1 + θ*x)^n)

の θ は x と n の関数で 0 < θ < 1 を満たします。

最悪の状況を想定すると、 n を大きくしていったとき θ がずっと 1 に近いままであるかもしれません。

もし、たとえば、 x = -2/3 のときに、そのような状況が起きるとすると、

|R_n| ≒ (1/n) * (2/3)^n / (1 - 2/3)^n = 2^n / n → ∞

となってしまいます。

R_n → 0 であることを証明するには、このような状況が起きないことを証明しなければならず、それは難しい。

950 自分：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/09/20(金) 22:26:16.69 ID:lq2/XEro [7/7]
志賀浩二さんの本もたまには少し面白い話が書いてありますね。

log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することはできますか？

〔問題〕
nを3以上の自然数とする。
　n次正方行列Aのnn個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
　また、Aの成分はいずれも0でない。
　このとき次の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』　AA = O となるAが存在する。
ただし、この問題において「虚数」とは実数でない複素数を指す。

[脇スレ.263,274]

例)
　1のn乗根を ω = e^(2πi/n) として
　A_(j,k) = ω^{(j+k)/2} = e^{iπ(j+k)/n}.

ダメ

>>140
A_(j,k) = ω＾(pｊ+qk)/(p+q),
ただし　p,qは整数、p+q≠0.

〔類題〕
四つの面がすべて等面積の四面体においては、
四つの面をなす三角形は互いに合同であることを証明してください。

数セミ増刊「数学の問題」第(1)集 ●45　(1977)

閉じた多面体の面積ベクトルの和が 0 って
どうやって証明するんだ？
4面体なら簡単だが

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

以下の問題の川平さんの解答ですが、非常に長いものになっています。


関数 g(z), h(z) は点 α を含む領域上の正則関数とし、条件

g(α) ≠ 0
h(α) = 0
h'(α) ≠ 0

をみたすものとする。

このとき、点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極であることを示せ。

以下の簡単な解答でOKだと思いますがどうでしょうか？


解答：

関数 h(z) は点 α を含む領域上の正則関数であるから、 α の近くで、

h(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …

とべき級数展開できる。

0 = h(α) = a_0

であり、

h'(z) = a_1 + 2 * a_2 * (z - α) + …

0 ≠ h'(α) = a_1

であるから、

α の近くで、

h(z) = a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
a_1 ≠ 0

である。

h(z) = (z - α) * [a_1 + a_2 * (z - α) + …]

である。

f(z) := a_1 + a_2 * (z - α) + …

は

点 α を含む領域上の正則関数であり、 f(α) ≠ 0 であるから、

g(z) / f(z)

も点 α を含む領域上の正則関数である。よって、 α の近くで、

g(z) / f(z) = b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …

とべき級数展開できる。

g(z) / h(z)

=

(1 / (z - α)) * [b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …]

=

b_0 / (z - α) + b_1 + b_2 * (z - α) + …

は

g(z) / h(z)

のローラン展開であり、明らかに点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極である。

あ、よく考えたら、

川平さんの本では、べき級数の話は付録に登場するだけでした。

べき級数で表される関数が正則であることは証明されていませんね。

べき級数で表される関数が正則であること

を使わないで証明するとすると面倒なことになりますね。

別にローラン展開の話に持ってっても普通に正しいと思うが

そのまま直接定義通りにやっても
z-aかけりゃ普通に正則だろうし1行で終わるだろうと思うが

特異点周りで有界であると実質特異点ではないとか
一致の定理だとか
そう言う基本性質は前提だが

>>152

ありがとうございます。

>>153

そういう定理はまだ紹介されていません。



H(z) := h(z) / (z - α)

が

lim_{z → α} H(z) = lim_{z → α} (h(z) - h(α)) / (z - α) = h'(α) ≠ 0 だから

H(z) は α の近くで有界であると書いてあるのですが、それはなぜですか？


ちなみに、コンパクト集合上で連続な関数は最大値、最小値をもつ

という定理は、付録で紹介されているので、この定理は使えません。

>>154
＞ちなみに、コンパクト集合上で連続な関数は最大値、最小値をもつ
＞
＞という定理は、付録で紹介されているので、この定理は使えません。

とんでもないアホを見た

>>154

やはり、

「コンパクト集合上で連続な関数は最大値、最小値をもつ」

という定理を暗に使っているようにしか思えません。

>>154

あ、分かりました。

lim_{z → α} H(z) = lim_{z → α} (h(z) - h(α)) / (z - α) = h'(α) ∈ C

だから、

ある正の実数 r が存在して、 {z | 0 < |z - α| < r} 上で H(z) は有界である。

数学書の付録っていうのは
エクストラで紹介するだけ的な意味合いのものもあれば
こういう性質や理論を使って議論するので押さえておいてくださいねっていう物もある
どちらかというと後者が多いんじゃないかな

複素関数の理論話してるのに位相の定理とかから証明しだすとどんどん話が逸れるだろ
そういう時に話を分ける意味で他の分野の知識などは付録にまとめておく

あ、

>>154

で書いたのと川平さんが書いたことは少し違ってました。

以下に川平さんの解答から引用します：

H(z) := h(z) / (z - α)

とおく。これはある十分に小さな穴あき円板 D := D(α, r) - {α} 上で正則である。

h(α) = 0 より、 z → α のとき

H(z) = (h(z) - h(α)) / (z - α) → h'(α) ≠ 0

が成り立つから、 D 上の正則関数 F(z) := g(z) / H(z) は有界である。

>>160

要するに、

lim_{z → α} F(z) = lim_{z → α} g(z) / H(z) ∈ C

だから、

十分小さな r に対して、 D(α, r) - {α} 上で F(z) は有界である

ということですね。

でも、

>>160

のような書き方だと最初にとった r をもっと小さな r に取り直さないといけない可能性がありますよね。

川平さんは、

「
D 上の正則関数 F(z) := g(z) / H(z) は有界である。
」

と書いていますが、最大最小値の定理を使わないのであれば、この書き方は不適切ですね。

>>154
Hの有界性を示して何になるのかはわからんが
limitが存在してりゃそりゃ有界だよ
1/Hの有界性なら
正則関数の零点が孤立点である事と連続性から明らか

>>160

「
H(z) := h(z) / (z - α)

とおく。これはある十分に小さな穴あき円板 D := D(α, r) - {α} 上で正則である。

h(α) = 0 より、 z → α のとき

H(z) = (h(z) - h(α)) / (z - α) → h'(α) ≠ 0

が成り立つから、 D 上の正則関数 F(z) := g(z) / H(z) は有界である。
」

これを以下のように訂正すれば問題ないですね。

「
H(z) := h(z) / (z - α)

とおく。これはある十分に小さな穴あき円板 D := D(α, r) - {α} 上で正則である。

h(α) = 0 より、 z → α のとき

H(z) = (h(z) - h(α)) / (z - α) → h'(α) ≠ 0

が成り立つから、 必要ならば、上の r をもっと小さくとりなおせば、 D 上の正則関数 F(z) := g(z) / H(z) は有界である。
」

以下のリーマンの定理が演習問題にあります。

f(z) = … + a_{-2} / (z - α)^2 + a_{-1} / (z - α) + a_0 + a_{1} * (z - α) + a_{2} * (z - α)^2 + …

と書いてみれば、

lim_{z → α} |a_{-n} / (z - α)^n| = +∞

なので明らかであるようにも見えます。

この線で、リーマンの定理を証明できませんか？


ちなみに、川平さんの解答では、 ML不等式を使って分かりやすく証明しています。



リーマンの定理：

関数 f(z) が穴あき円板 D = {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} 上で正則かつ有界であるとき、
α は f(z) の除去可能な特異点であることを示せ。

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

以下の演習問題があります。

「
関数 f(z) は穴あき円板 D = {z ∈C | 0 < |z - α| < R} 上で正則であり、 α は f(z) の除去可能特異点であるとする。
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で、 D 上 g(z) = f(z) をみたすようなものが存在することを示せ。
」

これは非常に簡単な問題ですが、べき級数の理論を使わない川平さんの解答は恐ろしく長いです。

以下のように、ほぼ自明な問題であるにもかかわらずです。

z ∈ D とする。

f(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …

とローラン展開できる。

g(z) := f(z) if z ∈ D
g(z) := a_0 if z = α

で定義される D(α, R) 上の関数 g(z) は D(α, R) 上の正則関数である。

8 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/09/22(日) 23:09:19.26 ID:2TbS0DPZ [2/2]
>>7

あと、

「
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で
」

と書いてありますが、明らかに、

「
このとき、 D(α, R) 上の正則関数 g(z) で
」

としたほうがいいですよね？

>>127
(b/a)tan(x) = t とおいて
(b/a)dx/cos(x)^2 = dt,
によりtで積分する。　被積分函数は
(a/b) cos(x)^2 /{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2}^3
　= {1/(ab)^5} (aatt+bb)^2 /(1+tt)^3
　= p/(1+tt) + (q/ab)(1-tt)/(1+tt)^2 + (r/aaab)(1-3tt)/(1+tt)^3,
∴　F(x) = p･arctan(t) + (q/ab)t/(1+tt) + (r/aaab)t/(1+tt)^2
　= p･arctan{(b/a)tan(x)} + q･cos(x)･sin(x)/{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2}
　 + r･cos(x)^3･sin(x)/{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2}^2,
ここに
　p = (1/8)(3a^4 +2aabb +3b^4)/(ab)^5,
　q = (1/8)(5aa+3bb)(bb-aa)/(ab)^4,
　r = (1/4)(bb-aa)^2/(aa･b^4).
を思いつかないといけないですよね。

Arctanの微分を知ってたら高校生でも思いつく････わけない。

留数について質問です。

f(z) は {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} を含む領域上で正則であるとする。

という仮定をしますが、

なぜ、

f(z) は {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとする。

という仮定はしないのでしょうか？

>>93 >>110 >>147 >>166
川平友規『入門 複素関数』裳華房 (2019/Feb)
240p．2640円
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1579-5.htm

著者のサポートページもある。。。
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/nyumonfukuso.html

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

∫_{-∞}^{∞} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

という等式を示す例題があります。

その例題では、

lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

を示しています。

本来示すべきは、

lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

ですよね。


2 * ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)

∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = (1/2) * ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / (2 * sqrt(2))

なので、

lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx

=

π / sqrt(2)ですけど。

複素関数を使って解こうという趣旨だけど、実数の範囲内でも解けなくはない。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,

1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
　+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
　+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
　= 1/(4√2)・log[(1+x√2 +xx)/(1 -x√2 +xx)]
　 + 1/(2√2)・arctan{(√2)x/(1-xx)},

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。

a > 0 とする。

∫_{-∞}^{∞} x^4 / (x^2 + a^2)^4 dx

の値を求めよ。

定石通りに計算すれば、答えが求まりますが、

g(z) := z^4 / (z + a*i)^4

の3次導関数を計算しなければなりません。

g(z) を 1 / (z + a*i) についての4次多項式で表して、なんとか3次導関数を計算しましたが、
かなり苦労しました。

簡単に計算する方法はありますか？

>>173

確かに複素関数論を知らなくても解けますね。

直接ローラン展開が出来たり…しないか中々

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。


∫_{0}^{∞} exp(-x^2) dx = sqrt(π) / 2 を用いて、

∫_{0}^{∞} sin(x^2) dx = ∫_{0}^{∞} cos(x^2) dx = sqrt(π) / (2 * sqrt(2))

を示せ。


この問題を自力で解けました。

結構すごいですか？


第4章に出てくる積分の積分路は決まって半円だったので、最初は戸惑いました。

が、↓が閃きました。


f(z) := exp(z^2)

とおくと、

f(i*t) = exp(-t^2)

f(sqrt(i) * t) = exp(i * t^2) = cos(t^2) + i * sin(t^2)


なかなか冴えていますか？


この問題が第4章の章末問題のラストを飾る問題です。

しかも、☆印つきの問題です。

「はじめに」には、

「
とくに発展的な問題には*をつけ区別してある。
」

などと書かれています。

気持ちよく、最終章第5章へと進むことができそうです。

>>177

の問題を自力で解けたということは、もう既に、「玲瓏なる境地」に達していると考えていいですか？

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

∫_{-∞}^{∞} cos(x) / (1 + x^2)^2 dx

を計算せよ。

という問題を解きました。

怪しいなと思いつつ、まず以下の積分を考えました：

∫_{C} cos(z) / (1 + z^2)^2 dz

cos(z) = (exp(i * z) + exp(-i * z)) / 2

です。

|exp(i * z)| = exp(-y)
|exp(-i * z)| = exp(y)

ですので、普通に積分路を考えると 0 と評価したい積分が 0 と評価できません。

そこで、

∫_{C} exp(i * z) / (1 + z^2)^2 dz

を考えれば、

|exp(i * z)| = exp(-y)

ですから、 z の虚部が大きくなるような場所を通る積分路を考えれば、 0 と評価したい
積分を 0 と評価できそうです。

このような推理の結果、正解を得ることができました。

あ、というか、 |exp(-y)| ≦ 1 for y ≧ 0 ですね。

>>177
(上) は数学者にとっては 2x2=4 と同じくらい明らかです。(ケルビン)

>>178
ちょこっと計算して数が合ってると「玲瓏なる境地」に達しているとうぬぼれながら、解析接続すら理解できていないバカですからね。
それにこの人間性じゃ受け入れ先も全くないでしょう。
[脇スレ.460]

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

E を 複素平面内のコンパクト集合とする。
E_r を E から r 以下の距離にある点全体の集合とする。

このとき、 E_r がコンパクト集合であることの証明を以下のように書いています。

「
E はコンパクト集合（すなわち、有界な閉集合）なので、十分に大きな R > 0 を選んで
E ⊂ D(0, R) とできる。任意の正の数 r > 0 に対し E_r ⊂ D(0, R + r) であるから、
E_r は有界である。また、 E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点
からなる集合であり、開集合となる。すなわち、 E_r は閉集合。よって、コンパクト集合
である。
」


「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」

↑これは自明じゃないですよね？

a ∈ C とする。
関数 f : C ∋ x → |x - a| ∈ R は、連続関数である。

証明：

x_0 ∈ C とする。

f(x) - f(x_0) = |x - a| - |x_0 - a| ≦ |x - x_0|
f(x_0) - f(x) = |x_0 - a| - |x - a| ≦ |x_0 - x|

∴ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0|

任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、

|x - x_0| < δ ⇒ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0| < δ = ε

が成り立つから、 f は連続関数である。

a ∈ C とする。
関数 g : E ∋ x → |x - a| ∈ R は、コンパクト集合 E 上の連続関数である。

よって、 g は E 上で最大値・最小値をとる。

110 自分：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/09/27(金) 19:48:42.53 ID:N/cfTNg/ [4/7]
x ∈ C とする。

dist(x, E) := min {|x - y| | y ∈ E}

と定義する。

C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。

証明：

x, x_0 を任意の複素数とする。

任意の y ∈ E に対して、

dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y|

が成り立つ。

y_0 を

dist(x_0, E) = |x_0 - y_0|

を成り立させる E の元とする。

↑の不等式から、

dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y_0| = |x - x_0| + dist(x_0, E)

∴ dist(x, E) - dist(x_0, E) ≦ |x - x_0|

x と x_0 は任意だったから、

dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |x - x_0|

も成り立つ。

∴ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0|

任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、

|x - x_0| < δ ⇒|dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0| < δ = ε

が成り立つから、 C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。

E_r^C ∋ x_0 とする。

dist(x_0, E) > r

である。

C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数であるから、

ε := dist(x_0, E) - r とおくと、

|x - x_0 | < δ ⇒ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| < ε

を成り立たせるような正の実数 δ が存在する。

したがって、

|x - x_0 | < δ ⇒ dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| < ε = dist(x_0, E) - r

が成り立つ。

|x - x_0 | < δ ⇒ r < dist(x, E)

が成り立つ。

∴ |x - x_0 | < δ ⇒ x ∈ E_r^C

よって、 x_0 は E_r^C の内点である。

以上より、

「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」

が証明された。

いやあ自明だと思うけどね
補集合の1点取ってきたらeとの距離はrより真に大きいんだから
その値とrとのギャップで円の半径決めれば明らかに分離できるでしょ

真に大きい事も閉集合なんだから明らかだし

慣れてれば明らかだけどまあ慣れてないならしっかり行間は埋めて
られるようにしておいた方がいいね
形式的にしっかり書くならそうなるだろう

x[n]∈E_r、lim x[n]=xとする。
y[n]∈Eをd(x[n],y[n])≦rととれる。
Eはコンパクトだから(必要なら部分列をとって)lim y[n]=y∈Eとしてよい。
この時d(x,y)≦r。

5800
かずきち@dy_dt_dt_dx 9月29日
京大オープン経済190/550しか取ってないやつにマウント取られて草
お前より90点高いんだよ黙って勉強しろ
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

マラソンについて質問です。

マラソンをテレビで見ていると、明らかに駆け引きが存在することが分かります。

解説者も駆け引きについて説明したりします。

サッカーのような競技とは違い、普通に考えれば、他の選手のことなど一切考えずに、
ゴールするまでのタイムが最小になるようにするにはどういうペースで走ればいいかのみ
を考えて走るのが最適な戦術であるように思います。

ところが、実際には相手の走り方に影響を受けて、自分の走り方を決めているように見えます。

これについて何か合理的な説明は可能でしょうか？

終盤で優勝争いになればしかたないけど・・・
マイペースで走って無駄なスパートとかしないのが得策ぢゃね？

fがU⊂R^n上で一様連続であるとき単位法線ベクトルnに対して
∫[U] f_(x_i)(x) dx = ∫[∂U] f(x)n_i dS
を示して下さい

ガウスの定理ならググったほうが早い

>>191
ついて行くのは簡単→ピッチ合わせて呼吸合わせるだけ
ピッチを作るのは他の選手を上回るだけの体力が必要

車で例えるなら100キロの車を追い抜くのに最低時速110キロで車間もわからないが大体6秒必要。それが人間の場合体力となる。

>>191
空気抵抗考えるだけで、マイペースベストなどとは言えなくなるが。

https://imgur.com/B4peVPp.jpg

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

問題：

領域 D 内に任意の円板 E をえらび、それを「割った卵」に見立てて、図の左側のように「黄身」と「白身」に塗り分ける。
このとき、 D 上の定数関数ではない正則関数 f(z) による E の像は、決して図の右側のようにならない。すなわち、「黄身」が「白身」よりも外側に飛び出すことはない。

その理由を説明せよ。

解答：

もしそのように「黄身」が飛び出したと仮定すると、適当な1次関数 g(z) = exp(i*θ) * z + B（回転と平行移動）を用いて、
g(f(z)) が「黄身」の部分で最大絶対値をとるようにできるが、 g(f(z)) は正則であり、「黄身」の部分に E の境界点はないので、定理5.11に矛盾。

g(z) = exp(i*θ) * z + B = exp(i*θ) * (z + exp(-i*θ) * B)

|g(f(z))| = |exp(i*θ) * (f(z) + exp(-i*θ) * B)| = |f(z) + exp(-i*θ) * B|

だから、証明に用いている g(z) は、よりシンプルな g(z) = z + B（平行移動） でOKですよね。

>>197

この問題の解答ですが、もっと大きな問題があります。

「黄身の像の部分で最大絶対値を取るように平行移動できるとは限らない」

という指摘がありました。

確かにそうだと思います。

そこで、質問ですが、実際に、「黄身は白身の外に出ない」というのは成り立ちますか？成り立ちませんか？

「黄身が白身の外に出る」の定義は何でしょうか？

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

「
関数 f(z) が D 上で有理型もしくは D 上の有理型関数であるとは、

・ D 内の点の集合 P := {α_1, α_2, … } が存在して、 f(z) は D - P 上で正則、かつ

・ 各 α_k （k = 1, 2, …） はそれぞれ f(z) の極

であることをいう。
」

と書いてあります。その下の「注意！」として、

「
P 自体は無限個の点を含んでもよいが、 D 内には集積点をもたない（もし集積点があれば、それは ∂D に属する）。
」

と書いてあります。

D 内に P の集積点がない理由は、以下でOKですか？

・P は孤立点からなる集合だから、 P の元は、 P の集積点ではない。

・「D - P 上で正則」だから、当然、 D - P は開集合でなければならない。D - P が開集合であれば、明らかに、 D - P の元は P の集積点ではない。

>>202

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

有理型関数について質問です。

f(z) = sin(z) / z

は C - {0} で正則です。

ですが、 z = 0 は f(z) の極ではありません。

川平さんの本の定義では、 D 上の正則関数も有理型関数になります。

f(z) は、 f(0) := 1 と定義すれば、 C 上の正則関数になります。

f(z) は C 上の有理型関数ですか？

まともに答えてもなー

極でないなら定義から外れるだけでは

極ではないが、極端である。。。

松坂和夫著『解析入門中』を読んでいます。

「
A が距離空間 X の開集合であるとき、

A の各点 a に対して B(a ; r(a)) ⊂ A となる正の実数 r(a) が存在し、明らかに

A = ∪_{a ∈ A} B(a ; r(a))

となる。
」

という記述があります。

これって選出公理を使っていますよね。

それにもかかわらず、選出公理を使っていることを書いていません。

これはOKなんですか？

どこに選択公理が使われてるの？

>>207 は通称「松坂くん」と呼ばれてる患者さんですので、関わらないでください。

選出公理を使っているかいないかというのはどういう風に考えればいいんですか？


A ∋ a に対して、有界で連結な実数の集合 S_a が対応するとき、

a → (1/2) * (sup S_a + inf S_a) ∈ S_a

という写像が存在します。

A から ∪_{a ∈ A} S_a への写像 r で r(a) ∈ S_a となるものが存在することをいうのに選出公理は不要です。


A ∋ a に対して、有界な実数の集合 S_a が対応するとき、

A から ∪_{a ∈ A} S_a への写像 r で r(a) ∈ S_a となるものが存在することをいうためには、
選出公理は必要ですよね？


S_a に対する条件が空でないというだけの場合には選出公理を使わなくてはならない。

S_a に対する条件が強くなると選出公理を使わなくてもいいケースが増えてくる。

みたいなイメージですか？

（１）
S が空でない集合であるとき、 r ∈ S を取ることができる。

（２）
任意の A ∋ a に対して、 S_a ≠ φ とする。
任意の A ∋ a に対して、 r(a) ∈ S_a を取ることができる。


（２）ではなぜ選出公理が必要なのでしょうか？

写像の存在が言えないからだよ
∀a∃rが真でも∃r∀aが真とは限らない

Aが有限なら明らかですよね
無限でも明らかだと思うんですけどぶっちゃけ

選択公理ってバナッハタルスキーのパラドックスとかそういうパラドックスを認めますよっていう意思表示だと思ってました

k×1000円払うとk%の確率で当たるクジがある
このクジを最も少ない金額で当てたい場合、どのようにクジを購入するのがよいだろうか
(100000円払えば確実に当たるが、それが答えではない)

色々考えたけど分からないのでお願いします

明らかだと大半の人間が思うがしかし他の公理からどうやっても数学的操作で示せないから公理なんだよ

有限の場合はちゃんと示せるんですか？

選択公理がホントに必要である理由の説明は専門に勉強した人でないと難しいよ。
オレも数学科卒だけどできない。(お前がバカなだけと言われるかもしれないが)
自分にはこの命題選択公理なしで証明できないというのはその命題示すのに選択公理が必要である事の証明にはならない。
証明するためには選択公理が成立しないモデルでその命題が成立しないものを実際に作ってみるしかない。
しかし、その手の事が実際できるのは基礎論専攻した人間でないと無理だと思う。

有限の場合にどうやって選択写像を具体的に構成するかがわかれば理由もわかると思います
教えてください

空集合を含まない有限個の集合の列X[i] (1≦i≦n)がある時
ΠX[i]={s={<x,i>|1≦i≦n, x[i]∈X[i]} | ∀i∃!x <x,i>∈s}
は空集合ではない。
∵) nについての帰納法。n=1のとき略。
n=kのとき正しいとしてn=k+1のときを考える。
空集合を含まない有限個の集合の列X[i] (1≦i≦n)がある時
Π[1≦i≦k]X[i]は空集合でないからその元tが取れる。
一方で仮定よりx∈X[k+1]が取れる。そこで
s=t ∪ {<x,k+1>}とおけばs∈ Π[1≦i≦k+1]X[i]である。

つまり∪で足していく操作が有限回しかできないというのが本質な訳ですね

閉集合の∪を有限回とると閉集合だけど、無限回とったら開集合になるかもしれないみたいな感じでしょうかね

不快なやっちゃ

松坂和夫著『解析入門中』を読んでいます。

以下の命題の証明で、「選出公理」を使っていますよね？


A を距離空間 X の部分集合、 a を X の点とする。 a が A の触点であるためには、 lim_{n → ∞} x_n = a となる
ような A の点列 (x_n) の存在することが必要かつ十分である。

証明

a ∈ 「A の閉包」ならば、任意の n = 1, 2, 3, … に対して

B(a ; 1/n) ∩ A ≠ φ

である。そこで B(a ; 1/n) ∩ A から点 x_n をとれば、 (x_n) は A の点列で、
d(x_n, a) < 1/n であるから、 x_n → a となる。

数学書を読むのはもう止めたらいいのに。

それでは卵の話で････
混ざらない金属をいっしょに溶融して粉末化すると、卵型コア構造になるらしい････

電気製鋼, 第７４巻, 4号, p.221-226 (2003/Oct)
「論説 > 液相2相分離型合金粉末に形成される卵型コア構造組織」
　"Egg-type core structure formed in atomized powderes of immiscible ally systems"
　王、劉、大沼、貝沼、石田(東北大･工)
http://www.jstage.jst.go.jp/article/denkiseiko/74/4/74_4_221/_pdf

53rd　日本金属学会 金属組織写真賞 (2003/Mar)
佳作賞　B部門
「液相2相分離型合金で形成される卵型コア構造粒子の組織」
　受賞者: 王、劉、大沼、貝沼、石田(東北大･工)、大河内、小川、清水(大同特殊鋼)

ASM(アメリカ金属協会)国際写真コンテスト・貢献賞 (2003/Oct)
　"Egg-type core microstructure of immiscible alloy powders"
　受賞者: 王、劉、大沼、貝沼、石田(Tohoku Univ.)

銅と銅合金, ４１(1), p.176 (2002)
　王、蒋、劉、大沼、貝沼、石田(東北大･工)

松坂和夫著『解析入門（中）』を読んでいます。

以下の定義ですが、 ε は任意の正の実数ですが、ある正の実数ではなぜいけないのでしょうか？
ある正の実数 ε に対して、半径 ε の有限個の開球から成る被覆をもてば、任意の ε に対しても
半径 ε の有限個の開球から成る被覆をもつように思います。


定義：

距離空間 X の部分集合 A は、任意の ε > 0 に対し、半径 ε の有限個の開球から成る被覆をもつとき、
全有界またはプレコンパクト（precompact）とよばれる。

思ってるだけだから

あ、一般の距離空間では成り立ちませんね。

ユークリッド空間の場合にはどうですか？

マルチ

松坂和夫著『解析入門（中）』を読んでいます。

距離空間 X が完備かつ全有界 ⇒ X はコンパクト

の証明ですが、おかしなことを書いています。

背理法で証明しているのですが、

「(U_λ) λ∈ Λ を X の任意の被覆とする。 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」

などと書かれています。

これはまずいですよね。

「X の任意の被覆 (U_λ) λ∈ Λ に対して、 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」

とも解釈できますよね。

「(U_λ) λ∈ Λ を X のある被覆とする。 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」

と書くべきですよね。

マルチ

どう読んでも間違った命題になるならともかく
普通に背理法の設定としてごくごく自然に正しい読み方ができるんだから問題ない

松坂和夫著『解析入門（中）』を読んでいます。

以下の事実が証明抜きで使われています。

D_2 Φ および D_3 Φ が連続であることは分かります。
D_1 Φ が連続であることはどうやって証明するのでしょうか？


I を R の区間とする。
f : [a, b] × I → R とする。
D_2 f が [a, b] × I で存在し、連続であるとする。

Φ : I × [a, b] × [a, b] → R を Φ(y, u, v) := ∫_{u}^{v} f(x, y) dx で定義する。

Φ は C^1 級関数である。

他の本（英語の教科書）やWikipediaも見てみたのですが、 Φ が C^1 であることには触れずに、

d/dy Φ(y, u(y), v(y)) を計算するのに、チェインルールを使っています。

マルチ荒らし

問題
関数y=3^xのグラフをx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動したところ、関数y=5*3^x+4のグラフになりました。このとき、定数a,bの値を求めなさい。

解答
平行移動後のグラフは
y=3^{x-a}+bとなり、
両辺に15を掛けて
15*3^{x-a}+15b=75*3^x+60
3^{x+1}*5*3^{-a}+15b=3^{x+1}*25+60
となり、両辺を比較して
5*3^{-a}=25,15b=60
3^{-a}=5,b=4
より、a=-log_3 5,b=4
としました。

合ってますか？

合ってる。

y = f(x)　のグラフを (a,b) だけ平行移動すると、 y = f(x-a) + b.

題意より　3^(x-a) + b = 5･3^x + 4.

x → -∞　を考えると、b=4

>>235
マルチするな
しかも両辺に15掛けるとか意味不明

https://i.imgur.com/tGOuIY0.jpg

断面が辺の長さ1の正三角形の円錐がある
正三角形の底辺側の1頂点から対辺に垂線を下ろし、
それを軸として円錐を回転させたときの体積を求めよ
円錐の中身が詰まった場合と
円錐の中身がなく側面だけで構成される場合の
2通り答えよ

>>239
>断面
どんな断面よ

>>239
>円錐
直円錐？

>>239
>正三角形の底辺
正三角形の底辺とは？

頂点と底面の中心通る平面で切るんだろな。
解く気はサラサラないけど。

>>239
円錐
　xx + yy - (1/2 - z/√3)^2 = 0,
　(xx+yy≦1/4,　0≦z/√3≦1/2)
垂線
　(1/2, 0, 0) と (-1/4, 0, (√3)/4)　をとおる直線だから
　z = (1/2 - x)/√3,　y = 0,

>>239
思い付きだけの迷惑な投稿

まぁ回転軸に垂直な平面はすべて母線に平行なので出てくる曲線は全部放物線だから解けるだろうけど、面白くも何ともないからなぁ。

ちょっと訂正

頂点を含む断面が辺の長さ1の正三角形の円錐がある
正三角形の底辺側の1頂点から対辺に垂線を下ろし、
それを軸として円錐を回転させたときの体積を求めよ
円錐の中身が詰まった場合と
円錐の中身がなく側面だけで構成される場合の
2通り答えよ

>>245
じゃ、見本を

>>244
その垂線上の各点から円錐側面までの距離の最大、最小値求めるとww

俺は円錐をこう設定したよ
ParametricPlot3D[{r*Sin[t]/2, -r*Cos[t]/4 + 3 r/4 - 1/2,
Sqrt[3]*r*Cos[t]/4 + Sqrt[3]*r/4}, {r, 0, 1}, {t, 0, 2*Pi},
ViewPoint -> All, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"x", "y", "z"},
Mesh -> False, Axes -> None, Boxed -> False]

軸も含めるとこんな感じかな
ParametricPlot3D[{r*Sin[t]/2, -r*Cos[t]/4 + 3 r/4 - 1/2,
Sqrt[3]*r*Cos[t]/4 + Sqrt[3]*r/4}, {r, 0, 1}, {t, 0, 2*Pi},
ViewPoint -> All, PlotRange -> All, AxesOrigin -> {0, 0, 0},
Mesh -> False, Boxed -> False]

>>244
そこから回転体の体積をどう求積するのかぜひ示してくれw

>>248
見本てなんやねん
自作問題を披露するスレではない

>>251のように座標をとれば
断面の縁は
y=√3/(2h) x^2 + h/√3 -1/2,
z=h,
0 \le h \le √3/2
と決まる

>>253
解けもせずに寝言だけほざくな低脳
えっらそうにほざくな見本解答を見せてみろゴミ野郎

低脳>>253は高校レベルの>>239すら解けませんでしたとさwww
恥を知れウスノロww

>>253
自作問題?
残念でした
学コンの過去問だ
馬鹿たれ
ことごとくアホだなお前って

自分で解けないから投稿したんだろ
何でバカが威張ってるんだ

>>258
じゃ、解いてミロや
てか>>254示したのにとけないんじゃ障害者だけどなww

>>253
は逃亡か?
それとも>>258、テメエが同一者か?あ

>>243
底面の中心とは限らんよ
そんな指定はないからな

頂点と母線を含む断面が辺の長さ1の正三角形の円錐がある
正三角形の底辺側の1頂点から対辺に垂線を下ろし、
それを軸として円錐を回転させたときの体積を求めよ
円錐の中身が詰まった場合と
円錐の中身がなく側面だけで構成される場合の
2通り答えよ

>>262
>頂点と母線を含む断面
だから頂点から斜めに切ってもそれなんだって
分かってないな
母線2つ任意に取ってそれを2辺とする2等辺三角形が正三角形である円錐が無数に考えられるだろ？

>>262
>正三角形の底辺
正三角形には底辺はない
というか
どんな三角形でもどの辺を底辺と考えてもいい

>>262
>円錐の中身がなく側面だけで構成
側面に底面が含まれるかどうか紛らわしい
底面の円は含まれないあるいは含まれると明確に書くべき

どういう文章にすれば数学の問題になりますかという質問だったかww

ID:5ViU/3gFは只のガイジ

前にもこんな奴いたな
塾の講師になるしかないって言ってたバカが
同一人物か？

まぁ最大の方が底面側の端っこなのは計算するまでもないけどね。

>>264

例１
頂点が (0, 0, √(2/3)) にあり 底円が xx+yy = 1/3 である円錐。
辺の長さ1の正四面体に外接する。

例2
頂点が (0, 0, √(1/2)) にあり 底円が xx+yy = 1/2 である円錐。
辺の長さ1の正八面体に外接する。


正20面体に外接する円錐も可能と思われ・・・

例3
頂点が (0, 0, (2/√5)sin(π/5)) = (0, 0, √{(√5 -1)/(2√5)} ) = (0, 0, 0.52573111)
にあり、底円が xx+yy = (5+√5)/10 = 0.72360680 の円錐。
辺の長さ1の正20面体に外接する。

答えを知りたいというより解き方の質問なんだが、

ある映画の試写会を行い、満足度のアンケート調査を行った。試写会に参加したのは300人でそのうち女性が180人であり、満足したと回答したのは男性の50％、女性の75％であった。この映画を見て満足しなかったと答えた人が女性である確率はいくらか。

この問題、回答例ではベイズの定理使って説いてたんだけど、普通に条件付き確率の式でも解けるよね？
わざわざベイズの定理を使って解かなきゃいけない理由とか、ベイズの定理を使うポジティブな理由があるなら教えてほしい
ちなみに答えは42.9

満足しなかった男性の数 120×50÷100=60
満足しなかった女性の数 180×25÷100=45

満足しなかったと答えた人が女性である確率
45÷(60+45)=3÷7×100=300/7≒42.9

>>276
そうそれで解けるよねって話
この問題の解説にベイズの定理が使われてたんだけど、その方が都合いいことってあるのかなって

>>275
高校数学について解説してあるサイト
mathtrain.jp

の記事から引用
↓↓↓
｢ちなみに以下の問題をベイズの定理と応用例として紹介しているサイトが複数ありましたが，単純に条件付き確率の問題です。わざわざベイズの定理を持ち出す必要はありません。｣

と書いてあり、早稲田大学の過去問が紹介されていた。条件付き確率で解けるならそれで構わないという考えらしい

>>275
その解答の全文がないと、なぜそういう事をしてるのかわかりっこないよ。

>>278
これだー！ありがとう！すっきりしたわ

>>269
球の一部
　XX + YY + {Z -1/(2√3)}^2 ≦ 1/3,　Z≧0

>>274
半径比が 1：2 の同心球 の一部
　1/12 ≦ XX + YY + {Z -1/(2√3)}^2 ≦ 1/3,　Z≧0
から円錐 (元の円錐の半分のサイズ)
　XX + YY - (1/2 - Z/√3)^2 = 0,　(√3)/4≦Z≦(√3)/2,
をくり抜いたもの。

(中略)(y^2+p/2+u)^2=(y^2+p/2)^2+ 2uy^2+pu +u^2=−qy −r+(p/2)^2+ 2uy^2+pu +u^2に なる
これから 右式か yに よる 完全平方式に なるよに uを きめる
このため uわ
q^2−8u(−r+(p/2)^2+pu +u^2) = 0に
満足させるべき
( 質問)
1.としたら uを きめますか?
2. そして なぜ
"uわ
q^2−8u(−r+(p/2)^2+pu +u^2) = 0に
満足させるべき"なんですか?

空間の点P(2,4,4)を頂点とする円錐V_rは、底円の中心Oの座標が(2,4,8)、底円の半径はrである。
3点(0,0,0),(2,4,3),(2,5,5)を通る平面をHとするとき、HとV_rの共通部分の面積が1となるrの値を求めよ。

a,b,cを自然数として

a^a+b^b=c^cを満たすabcの組についての研究ってどの程度進んでいますか？

Hを集合とします。
πを全単射写像X→Yとします。
｛π(π^(-1)(h))｜h∈H｝＝ Hが成立しそうに思えるのですが、例外はありますか？
｛π^(-1)(π(h))｜h∈H｝についても同様でしょうか。

>>285
全射性から前半がいえて、単射性から後半が言えましたね…お目汚し失礼しました。

(n+1)^(n+1) / (n^n) = √{n(n+1)} (1+1/n)^(n+1/2)
　≧ e√{n(n+1)}
　≧ e√2,

* nが大きいとき 　(1+1/n)^(n+1/2) = e　を使った。

〔問題２〕
　a_n = (1 +1/n)^n
　b_n = (1 +1/n)^(n+1)
　c_n = (1 +1/n)^(n+1/2)
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、
b_n と c_n は減少することを証明せよ。
　(数学検定 １級 2次[2]改、2011年･秋)

採点者「微分法を使うのは･････本末転倒の感がある。」

A可換環、S⊂Aを積閉集合、M,Mを加群とする。またSによるMの局所化をM_Sなどと書く
このときExt_(A_S) (M_S,N_S)=(Ext_A (M,N))_Sがすべての次数で成り立つ(「=」は同型)ことを示せ、という問題がわかりません

雪江の代数学3の演習問題なのですが、このTor版は証明が載っていてそれと同じように考えると
自由加群Fについて以下が示せればよいことまでは分かったのですがそこから進めず困ってます
Hom_A (F,N_S)=(Hom_A (F,N))_S
よろしくお願いします

>>283
どなたかこれをお願いします

>>289
anに上界があるのは加乗律でどう示すの？

a_n < b_n < ････ < b_1 = 4

>>201
それMか有限生性とかなんとか条件ないと成り立たないと思う。
たとえばR=Z、MがZの可算無限直和、SがZ＼{0}のとき
Ext^0(M,R)_S = {{(ai),q)| ai∈Z,q∈Q}
Ext^0(M_S,R_S) = {(bi) | bi∈Q}
で自然射は((ai),q)を(ai×q)にマップするけど、この像にはたとえばbi=1/2^iは含まれないので全射にならない。

>>283
どなたかこれをお願いします

>>295
ありがとうございます
その例を見ると確かに同型にならなさそうですね
条件を足して証明考えてみます

>>297
いや、そうじゃなくて、その問題がそもそも成立しない事を証明せよと言ってる希ガス。
答えあるならもう答えみた方がいい。
答えないなら無視していいと思う。
数学者も神様じゃないので解答不能の問題作ってしまう事なんていくらでもありうる。

>>283
面倒なだけじゃツマラン
実のある事を聞けよ

>>299
これは面倒なだけの問題なんですか
方針が全く立ちませんが

前>>119たぶん俺。
>>283
平面Hの法線ベクトルを、
(a,b,c)とおくと、
各辺のベクトル、
(2,4,3),(2,5,5),(0,1,2)との内積が0だから、
2a+4b+3c=0
2a+5b+5c=0
b+2c=0
∴b=-2c,a=5c/2
(5c/2,-2c,c)
簡単にすると、
(5,-4,2)
平面Hの方程式は、
5x-4y+2z=0
(つづく)

イナの安定感は異常

自然数nについての数列a[n]を
a[n]=(1+1/n)^(n+a)
により定めるとき、下記（1）（2）が実定数aによりどのようになるかを調べよ。

（1）lim[n→∞] a[n]
（2）a[n]の増減

>>303
(1) e
(2)
a <= (log 9/8)/(log 4/3) で増加
a >= 1/2 で減少
(log 9/8)/(log 4/3) < a < 1/2 で減少のち増加
自信ない
ちなみに微分法使った汚ねぇ解き方でした

三辺の長さがa, b, c (a,b,c は整数)で、面積が 0.5a^2 になる三角形の例はありますか。

>>300
座標回転で平面問題にすれば良い

>>298
答えにはTorの時と同様と一行書かれてるだけなので、著者の勘違いっぽいですね
スルーしときます
他の本とか色々調べてみたら、n=0の時はMが有限表示なら成り立つ的なことが書いてありました

AB=CD=4、BC=DA=3、∠ABC=60°の平行四辺形Hを、以下のように順々に座標平面上に置いていく。
以下、平面上にk番目に置いたHをH_kと書く。

・H_1を置くとき、H_1の頂点Bが座標平面の原点Oと一致するようにする
・H_(k+1)を置くとき、H_kとH_(k+1)とで少なくとも1つの等長辺が重なるように置く。

H_nを置いたとき、H_nの4頂点のうち原点Oから最も距離が離れているものをTとする。
|OT|が最大になるようなH_1,H_2,...,H_nの置き方を述べ、それが正しいことを説明せよ。

√((4n+3/2)^2+(3√3/2)^2)

>>307
>n=0の時
Homと書け

>>307
>Mが有限表示なら成り立つ
有限生成だけでは良くないの？
>著者の勘違いっぽいで
どうかな？そもそも有限生成とか有限表示とかだけに限定していたりしない？

>>311
もう一回確認したけど限定はされてませんでした

自分が見たのは有限表示なら十分であるという証明なので、有限生成だけでは言えないかどうかは不明です
まず有限表示でない有限生成加群の具体例が思い浮かばない…
(ちなみに証明見たのは桂「代数学2」のp.69です)

有限生成でもいけます。
Hom(X,Y)_S → Hom(X_S,Y_S)
はX=Rのとき同型で、Xが自由加群の時単射です。
よってXが有限個のRの直和の時同型。
一般の有限生成のときには右完全列
F1 → F2 → X → 0
をF2がRの有限個の直和、F1が自由加群にとれます。
ここにHom(-,Y)_S→Hom(-,Y_S)をヒットしてできる可換図式をよく見れば分かります。

https://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/pages/49.html
ここの445をだれか解説お願いします…。
二列目の削減もやってみましたが証明できません。
あと、457がいうように「さらに小さな領域」でも無理とわかるようですが、「さらに小さな領域」のマス数の最小値はいくつなのでしょうか。

三山ゲームの必勝法に出てくる排他的論理和で
　(a,b,c) を a,b,c は自然数で二進数で表示したときに各桁の1の個数の合計がすべての桁で偶数になる点とする。
格子点を空間に表示したらどんな感じに分布しているか見てみたい