分からない問題はここに書いてね456

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね454
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1562421561/

(使用済です: 478)

※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566136007/

＞つまり0.9999…=1−(0.1)^n
＞ですから、n→∞で∞の値を１つ値に確定したら確定できます。

0.999...の時点で、確定したものを考えることはできないということですか？
無限大や無限小の具体的なもの一つ決めれば確定できないとおかしいと思いますけど
xなんですよね？
xの具体例一つあげたらそのxは確定しますよね？

相手してるのも劣等感とかいうネームドガイジだよね？
スレ立ててもらったんだからそっち行ってよ

すでに456出来てるのに何でつくった？
そして、
0.999…＝1か！？無限小数激論スレ★1
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567858947/
あるんだから、そっち行けよ。

分からない問題はここに書いてね455の>>991の訂正

ガウス関数を持ち出して無限小はないと勘違いしてる人へ

× と定義したなら、これはnとn以下の自然数でしか成りたちません。
あなたはどの自然数でも成り立つと勘違いしてるのです。
n以上の自然数では成りたちません。
あなたはn以上の自然数を持ち出して矛盾だといってるのです。

○ n以上の正整数で成り立つ場合もありますが、1/10^m ＜ aとなる正整数を持ち出してくれば矛盾するのは当たり前です。
あなたはあらゆる正整数で成り立つと勘違いしてますが、成り立たない正整数を出してきて矛盾だと言ってるに過ぎません。

もしあなたが自分の間違いに気付いても、あなたは絶対に認めないことは分かってますが。

こういう人議論しても時間と労力の無駄です。
もうここには来ません。

xx+yy=1…�@
xx-8x+yy+12=0…�A
の共通接線Lを求めよという問題で
各円の中心を出してから、
L:2ax+2by+c=0…�B　
とおいて点と直線の距離の公式を使えば解けるのはわかるのですが、式変形でやってみようと思い

�@−�Bで整理して、
(x-a)^2+(y-b)^2=aa+bb+c+1=D、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、D=0かつ、点(a,b)がLの上にあればよい、

同様に�A-�Bで、
(x-a-4)^2+(y-b)^2=c-12+(a+4)^2+b^2=E、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、E=0かつ、点(a+4,b)がLの上にあればよい、

となって、y=bでLが2通りのx座標を取るので、Lは傾き無限のy軸に並行な直線、となってしまったのですが、図を書けばこれは誤りです

とんでもないアホすぎミスをしてると思うのですが私の実力ではどこでミスしたのか分からないのでここの達人方お願いいたします

>>5
＞つまり0.9999…=1−(0.1)^n
＞ですから、n→∞で∞の値を１つ値に確定したら確定できます。

0.999...の時点で、確定したものを考えることはできないということですか？
無限大や無限小の具体的なもの一つ決めれば確定できないとおかしいと思いますけど
xなんですよね？
xの具体例一つあげたらそのxは確定しますよね？

>>6
>�@−�B
何それ？
�@�Bの共有点→�@ｰ�Bの解
だけど
�@ｰ�Bの解→�@�Bの共有点
は正しくないので
�@�Bの共有点の個数
と
�@ｰ�Bの解の個数
は一致しない
分かりやすく言えば
y=xかつ2y=3x
なら
y=2x
だけど
y=2x
だからといって
y=xかつ2y=3x
にはならないし
y=xかつ2y=3xの解の個数は1で
y=2xの解の個数は∞

>>6
こうやればいんじゃね？
(1)の円周上の点(a,b)を通る接線の方程式は、傾きが(-b/a)より
y=-(ax-1)/b ただし、b≠0 (したがってa≠-1,1)
これを(2)の円の方程式に代入して両辺をbb倍して、整理すると
(a^2+b^2)x^2-(8b^2+2a)x+12b^2+1=0
(a,b)が(1)の円周上にあることから、a^2+b^2=1よりb^2を消去すると、
x^2 + 2(4a^2-a-4)x + 13-12a^2 =0 という２次方程式になるので、
これが重解を持つ条件は
判別式 D/4 = (4a^2-a-4)^2 - (13-12a^2) = 16a^4-8a^3-19a^2+8a+3 =0
a=+/- 1を代入すると0になることからこの4次方程式は因数分解できて
(a-1)(a+1)(4a-3)(4a+1) =0
a≠-1,1 だったので、a=-1/4, 3/4。
よって、求める接線の方程式は y =-(ax-1)/b の a,b にそれぞれ
(-1/4,±√15/4)と (3/4,±√7/4)を代入した４本。

wikipediaの環の局所化のページに、
「環準同型 R → S^-1R が単射である必要十分条件は S が零因子を含まないことである。」
と書かれていますがこれは明らかに成り立ちませんよね？

これはどういう主張の書き間違えなのでしょうか？(それともただの間違い？)

>>11
勘違いしていました
正しいです

>>1
　前スレが ４５４ だと、４５５ が抜けちゃうね。

数検の問題集を読んでいます。

1 / cos(x) の x = 0 でのテイラー展開を x^8 の項まで計算せよ

という問題の解答ですが、 1 / cos(x) は偶関数だから、

1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …

とおき、

cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …

との積が 1 になるように漸化式を作ると、

1/ cos(x) = 1 + (1/2)*x^2 + 5/24*x^4 + (61/720)*x^6 + (277/8064)*x^8 + …

Σ a_n
Σ b_n

がともに絶対収束ならば、

コーシー積 Σ c_n

も絶対収束して

Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n



cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …

は (-∞, +∞) で絶対収束する。

1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …

はその収束半径を R とすると、 (-R, R) で絶対収束する。

↑の命題により、

x ∈ (-R, R) のとき、

a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + …

は絶対収束して、

a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + … = cos(x) * (1/cos(x)) = 1

が成り立つ。

x = 0 を代入すると、

a_0 = 1

両辺を2回微分すると、

2! * ((-1/2)*a_0 + a_1) + … = 0

x = 0 を代入すると、

a_1 = 1/2

…

というように、 a_0, a_1, … を決定できる。

なので、そもそも、

1 / cos(x)

がテイラー展開できるのか？

ということに答えなければならないはずです。

できるよ

>>16

証明を教えてください。

今、いろいろな本を調べていました。

藤原松三郎の本にも書いてあるようですが、ピンポイントで読んでもよく理解できないため、
他の本を探していたところ、

Michael Spivak著『Calculus』の演習問題に求めていたものがありました。

>>17
ほんでよんで

「第n項まで展開せよ」ならわざわざ級数じゃなくてもテイラー多項式をその次数で打ち切ればいいだけだろ

計算法がわからんのではなく、1/cos(x)がx=0の近傍で解析的の証明がわからんらしい。

またテイラー展開が一意であることも理解できてないっぽい
だから何らかの計算でべき級数が求まればそれがテイラー展開そのものであることに気づかない

Michael Spivak著『Calculus』を読んでいます。

lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) does not always exist(for example, it does not exist if x = 0).

などと書いてあります。

lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) が収束するような x って存在するんですか？

>>22

＞何らかの計算でべき級数が求まればそれがテイラー展開そのものである

sin(x) = Σ_{n=0}^{∞} n! * x for x = 0

なので、

Σ_{n=0}^{∞} n! * x for x = 0

は

sin(x)

の

x = 0

でのべき級数展開です。

ところが、

sin(x)

のテイラー展開は、

x - (1/3!)*x^3 + (1/5!)*x^5 ± …

であり、

Σ_{n=0}^{∞} n! * x

とは異なります。

へー

nを自然数とする。

（1）(√2+√3)^nは、負でない整数a[n],b[n],c[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^n
=a[n]+√2*b[n]+√3*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。

（2）d[2n-1]を求めよ。

>>697

Michael Spivak著『Calculus』を読んでいます。
以下が成り立つことの証明を読みました。
非常に重要かつ興味深い結果だと思いました。

ところが、微分積分学の教科書でこのことが書いてある本はほとんどないように思います。

藤原松三郎以外の本で、このことが書いてある本を教えてください。


f(x) = Σ_{n = 0}^{∞} a_n * x^n
a_0 ≠ 0
Σ_{n = 0}^{∞} a_n * (x_0)^n ∈ R for some x_0 ∈ R - {0}

とする。

このとき、正の収束半径を持ったべき級数 g(x) = Σ_{n = 0}^{∞} b_n * x^n

で、

f(x) * g(x) = 1 for all x ∈ (-R, R) for some R > 0

が成り立つようなものが存在することを証明せよ。

>>26
(1)
(a+b)^n=Σ[i+j=n] nCi・a^i・b^j
√2^i=2^k (i=2k), 2^k・√2 (i=2k+1)
√3^j=3^l (j=2l), 3^l・√3 (j=2l+1)
√2^i・√3^j=2^k・3^l, 2^k・3^l・√2, 2^k・3^l・√3, 2^k・3^l・√6
(2)
(√2+√3)^n=a[n]+√2*b[n]+√3*c[n]+√6*d[n]
(√2-√3)^n=a[n]+√2*b[n]-√3*c[n]-√6*d[n]
(-√2+√3)^n=a[n]-√2*b[n]+√3*c[n]-√6*d[n]
(-√2-√3)^n=a[n]-√2*b[n]-√3*c[n]+√6*d[n]
(√2+√3)^n-(√2-√3)^n=2(√3*c[n]+√6*d[n])
(-√2+√3)^n-(-√2-√3)^n=2(√3*c[n]-√6*d[n])
(√2+√3)^n-(√2-√3)^n-(-√2+√3)^n+(-√2-√3)^n=4√6*d[n]

d[2n-1]=0

>>26
(2)
√2^i・√3^j=2^k・3^l・√6 ⇔ i=2k+1, j=2l+1 ⇔ n=i+j=2k+2l+2=0 (mod 2)
d[2n-1]=0

>>24
一応マジレスしておく

Σ[n=0,∞] n! x^n
は積分指数関数
(1/x)e^(-1/x)∫[-∞,1/x] e^t/t dt
のx=0のべき展開(この場合は収束半径0の展開で漸近展開という)になって
sin(x)
のx=0のべき展開にはなりません

どういうことかというと x=0でのべき展開はx=0の一点のみで成り立つと考えるものではなく
x=0の近傍で成り立つと考えるのです
(上の例は収束半径が0なのでイメージしにくいと思うので別の例で考えてください)

この時以下の定理が成り立ちます
定理(べき級数の一意性)：
x=0近傍で Σ[n=0,∞] a_n x^n = Σ[n=0,∞] b_n x^n が成り立つならば
a_n=b_n (n=0,1,2,...)である

この証明は複素関数論の一致の定理から直ちに導かれます

算オリ・灘中受験生レベルとのことなのですが
小学算数の範疇での解放がわかりません

ttps://sansu-seijin.jp/drill/7726/

教えて下さい

>>33
コレは答え書くとこのサイトの管理人さんに悪いので答えは書かないけどヒントどうりだよ。
ミドリ＋ピンク＝円÷6なのでミドリ求める。
ミドリのどっかをボキッと折ってペタってはるとお受験ではお馴染みの二等辺三角形ができる。

>>34
ありがとう
やっと解けました

確かにお馴染みの三角形... すぐに気付ける人は瞬殺なのですね

有理数＋有理数＝有理数
有理数×有理数＝有理数
の証明方法を教えてください
できれば高校の知識までで証明をお願いします

>>36
整数＋整数＝整数
整数✕整数＝整数
を前提とすれば、自明でしょ。分数の足し算、掛け算をするだけ。

>>36
abcdを整数とすると
a/b＋c/d＝（ad+bc）/bd
となって、ad+bcもbdも整数だから（ad+bc）/bdは有理数となる。×も同じように証明できる。

こういう証明は文字に置き換えてしまえば大体いける

音楽系かオーディオ系の板に書こうか迷ったのですが数学だと思うのでこちらで質問させていただきます。

突然なのですが78rpm(1分間に78回転)のレコードを作りたいと思っています。
78rpmという規格はいわゆるSP盤ってやつで1950年代に廃れたとても古い規格なので
現代ではレコードと言えば33rpmと45rpmしか作られていないのです。
音源を送るとオリジナルのレコードを作製してくれるサービスがネット上にあるのですが
レコードを作る機械が78rpmに対応していないので作ってもらえません。
そこで音楽編集ソフトで意図的にピッチを落とした音源を使って45rpmの設定でレコードを作ってもらって
それをレコードプレーヤーで78rpmで再生した時に本来のピッチになる、という方法で行けるかと思うのですが
頭が悪いので何%ピッチを落としたらいいか計算できません。

長文の質問になりすみません。
よろしくお願いします。

>>39
レコードって、正しいイコライザで変換して正しい音が出てくるものだから、イコライザの挙動も考えて逆変換しておかないと、ピッチ変えるだけじゃダメじゃないかな。
よく知らんけど。

原理的には45/78倍にすればいいはずだけど
>>40みたいな問題がありそうな気はする

>>39
フリーの音声編集ソフトAudacityに必要な機能が全部そろっています（数学とはたぶん無関係です）

手順としてはソフトを立ち上げ音源を指定し
1. エフェクト -> イコライザを開き、曲線を選択でRIAAを指定し、反転をクリックしてOKを押す
　(ここでは実際に再生する78回転再生機のイコライザ特性の逆を指定)
2. エフェクト -> 変更:速度の変更を開き、レコード回転数変更で変更前を78、変更後を45に指定してOKを押す
3. エフェクト -> イコライザを開き、曲線を選択でRIAAを指定しOKを押す
　(ここではレコード制作サイトが想定している標準再生機のイコライザ特性を指定)

たぶんこれでいけると思いますが、RIAAカーブが制定されたのが1954年で再生機の特性と違う可能性があり
手順1のイコライザ特性を調整しないといけないかもしれません

皆さんありがとうございます
そのソフトを使ってみます
数学と関係ない部分まで教えていただきありがとうございました

Aは実数を成分とする2次正方行列で、単位行列でも零行列でもないとする。
またB=A^2とする。
このとき、以下の(P)は成立しないことを示せ。

(P)以下の2点を同時に満たす点Pが存在する。
・Aによる一次変換で点Pを点Qに移したとき、P=Qが成り立つ。
・Bによる一次変換で点Pを点Rに移したとき、P=Rが成り立つ。

>>44
統合失調症のガイジ

>>44
迷惑だからもう書き込まないでください
あなたに数学の才能がないです
あなたが数学をやること自体が学問への侮辱です

>>44
知的障害者が数学やらなくていいから
誰の役にも立たないゴミが

新作はいつも以上にガイジっぷりが炸裂してるな

>>44
Q=AP=P
R=BP=AAP=AP=P

じゃんけんに勝つ確率が1/2である証明が理解できない。

lim（1回目に勝つ確率＋2回目に勝つ確率＋・・・＋n回目に勝つ確率）
を計算するなんて、不毛だと思わないか？

じゃんけんに勝つ確率は1/2であるはずなのに。

こんな証明は間違っている。センスがない。そう信じて数学専攻を修了までしてしまったよ。

大数の法則でググりましょう

>>50
> lim（1回目に勝つ確率＋2回目に勝つ確率＋・・・＋n回目に勝つ確率）

これって１になるんじゃないの？

無限大なんじゃ？
無限にジャンケンを続けたら勝ち回数も負け回数も無限大

>>44
行列 A = (a b)
c d
ad−bc＝0でない。
行列 B = (a^2+bc ab+bd)
ac+cd bc+d^2
A = Eでない。A = 0 でない。
ここまで、合ってる？
あと、1次変換で、座標上の点を移動させた時、
同じ位置に、移動させるような行列AやBが、
存在しない事を、計算で示せばいいんだよね。
計算しんどいからここまでにしとく。

>>51
大数の法則は統計学で。実世界で実際に試した際に1/2に収束するよね？って理論じゃん？
高校数学で扱う確率論では扱わないよ。

>>52
1/3＋1/3^2+1/3^3+・・・＝1/2だよ。

>>53
書き方悪かった。
1回目に勝つ確率＋1回目あいこで2回目に勝つ確率＋1,2回目あいこで3回目に勝つ確率＋・・・
だね。

>>56
あいこになる場合を忘れてましたw

勝敗が決まるまで２人でじゃんけんをすれば、どちらかが必ず勝つ
グー・チョキ・パーを出すのに偏りがなければ２人の間に力の差はない
だから、それぞれの勝つ確率は等しく1/2になる

そういう直感的？な事をきちんと計算で出そうとすると極限を使わないとならないので面倒くさいって事ですか？

>>54
統合失調症のガイジ自演すんな病院行け

>>54
統.合.失.調.症.の.ガイジ君さぁ、きみ数学できないタイプのガイジだよ
お前に数学のセンスはないよ

>>54
統.合..失.調.症.ガイジの自作自演
数学の才能のかけらもない文章から余裕で自演だと分かる

>>49
統合失調症のガイジにレス向けんなゴミ

44の問題を出題した人や、それにレスした人、何で叩かれてるの？

>>64
わかんないけど、たぶん、書き方の特徴から、いつも変な書き込みしてる
人だと常連さんにはわかってるのかも。実際、問題も明らかに間違ってる
し（(P)は成立する）。

>>64
ここは問題をコピペして出題するスレじゃないから

キチガイの自作問題(笑)を解くスレじゃないから

>>65
>>66
この問題、間違ってるの！！！
問題の間違いをすぐに見抜いて、間違っている箇所を指摘できるなんて凄いわ。
レベルが高すぎてついていけん。

詳しい条件は分からないですけど、１次変換で不動点が存在すればいいって事ですか？
行列Aで不動点が存在すれば
行列B=A^2でも不動点は存在しますよね？点を表す縦ベクトルに行列Aを２回左からかければいいだけですから

>>44
問題に複数の致命的な誤りが存在する
個人が作った問題ならあらし行為として放置すればいいと思うが
もしもきちんとした教育機関がこういう試験問題を出題したとしたら
出題ミスとしていろんなメディアでたたかれ炎上すると思われる

>>59
そういう事です。そこが気に食わなくて、そんなはずはないとの直感信じて大学院まで進んでしまった。

色んな定理にも現れるように、数学の完成形はきっとシンプルで綺麗なはずで、だけど数学についていけない人類によって、自ら複雑化してしまってるのかなと。この確率の問題のように。

今ではそう確信してる。

同様に確からしいこと認めりゃ1/2なのは当たり前じゃないですか？

あなたの計算でも1/3で同様に確からしいこと使ってますよね

>>72
1/3は証明を省いただけで。

一応厳格な証明は
グーとグーが出る確率＋チョキとチョキが出る確率＋パーとパーが出る確率＝1/3^2+1/3^2+1/3^2＝1/3
という感じになるね。

鋭いとこら付いてくるねw

>>73
ちなみに追加だけど、確率論は全て「同様に確からしい」からスタートして、この場合は「グー、チョキ、パーを出す確率はそれぞれ1/3である」という仮定に使われてる。

>>69
1次変換で、点を動かすとき、点が移動しない不動点になるのって、
単位行列使った時だったか？
行列使った計算やるのかなり久しぶりで全く思い出せない。
分からないから、助けて。

>>75
失せろ

点をx↑≠0↑で表す
不動点ならば
x↑=Ax↑
移行して
(A-E)x↑=0↑
x↑≠0↑なので
det(A-E)=0
を計算すればどうでしょうか？
姉の昔の教科書とか見て勉強してるのでこれくらいしか分かりません

>>77
親切に解答していただきどうもありがとうございました。

別にx=0でもいいし原点は明らかに不動点

>>79

>>79
原点は自明なので、原点以外の不動点のつもりで書いてました

実数を成分とする2次正方行列Aは、

A=[a,b][c,d]
ad-bc=1
3以上のある自然数nが存在し、A^n=E

を満たす。Aを求めよ。

解らない問題
スターリングの公式の導出の仕方
オイラー定数γを規則的な連分数で表示する
円周率πを計算するニュートンの公式の導出の仕方
連分数とフラクタル連分数ですべての不尽根数を表示できるか
将棋の可能な局面数
将棋の可能なゲーム数

>>82
死ね

>>84
問題として完全に完成されております
固有値と固有ベクトルの知見を提供するものでございます

>>81-82
真面目に答えたらダメそうだなー

>>82
無数にあるでは？

無数にあるね。
固有多項式がexp(2πi/n),(n=3,4,6)のいずれかの最小多項式もしくはx^2-1でものの全体、もしくはI,-I。
無数にある。

82の問題って確かに何となく変な問題のような
気がするような？

>>82
Aの固有値とその固有ベクトルをλ,uとする
A^n u = E ⇒ λ^n u = u ⇒ λ=e^(2π√(-1)k/n), k:整数
もう一つの固有値λ'はλλ'=ad-bc=1から λ'=e^(-2π√(-1)k/n)
Aの対角化 U^(-1)AU = [e^(2π√(-1)k/n),0],[0,e^(-2π√(-1)k/n)] からAを計算

(計算略)

A=[cosθ+p sinθ,-q(1+p^2)sinθ],[(1/q)sinθ,cosθ-p sinθ]
p,q≠0:実数, θ=2πk/n, k:整数

勉強し直さないと何やってるかまったく解らない。
ルービックキューブ超高速で完成させるのを見せつけられてるみたい。
手品使われているみたいな感じ。
まったくついてけん。

ジョルダンの標準形の話を知ってる＝理系の大学一回生以上なら誰でも瞬殺、しかし高校生レベルには難しすぎる。
誰に出しても意味ない問題。

>>92
知らないです。
数学かなり好きだけど、レベルが高すぎてついてけません。

>>72
>同様に確からしいこと認めりゃ1/2なのは当たり前じゃないですか？
いつまでもあいこが続いて勝負が確定しない事が有り得るので
事象にならない

>>93
高校生なら焦って理解せんでよろし。
大学入ったら般教の線形代数レベルで習うジョルダンの標準形というのを利用すりゃすぐ出る。
逆にジョルダン理論知らないでやるには難しすぎる。
どういうレベルの人向けとしてもクソ問。

xy平面のx軸のx≥0の部分をL_1、y軸のy≥0の部分をL_2とおく。

L_1上を点Pが、L_2上を点Qが、△OPQ=1となるように動く。
このとき△OPQの内接円の周が動いてできる領域をDとする。

Dの概形はどのようなものか、述べよ。
領域の境界についても述べること。

s,tはs^2+t^2=1を満たす実数である。

実数を成分とする2次正方行列Aと列ベクトル↑v = (s,t)は、

(A^n)↑v = E ...(*)

を満たす。
ここでn は、(*)を満たす自然数の中で最小のものである。

Aをs,t,nで表せ。

>>96
>このとき△OPQの内接円の周が動いてできる領域をD
ｘｙ軸に接する円で半径はいくらでも小さくなり最大は
1=(2+√2+√2)r/2のときすなわちr=1/(1+√2)=√2-1
Dはこの円とｘｙ軸に挟まれた部分との合併

ただし原点は除く

>>97
>E
？

訂正

s,tはs^2+t^2=1を満たす実数である。

実数を成分とする2次正方行列Aと列ベクトル↑v = (s,t)は、

(A^n)↑v = [1,0] ...(*)

を満たす。
ここでn は、(*)を満たす自然数の中で最小のものである。

Aを求めよ。
（注：[1,0]は列ベクトルである）

f=exp(-x^2)*cos(t)
g=exp(-x^2)*sin(t)
F=[f -g][g f]
A=[∂/∂x -(∂/∂t)][∂/∂t ∂/∂x]
に対して、Xを以下のように定める。

X = {F^(-1)}(AF)

自然数nに対してX^nをx,tで表せ。

「集合論において、集合 Aが推移的であるとは、
　x ∈ Aかつy ∈ x、ならばy ∈ A もしくは、同じ意味であるが
　x ∈ Aかつxがurelement（集合でない対象）でないならxはAの部分集合である。」

Q1．推移的でない集合の例を１つ挙げよ（簡単であるほど良い）

「ジョン・フォン・ノイマンによる順序数の定義を用いると、
　順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される
　すなわち、順序数は推移的集合でその要素も全て推移的で
　(よって順序数でも)ある。」

Q2．順序数でない推移的集合の例を１つ挙げよ（簡単であるほど良い）

>>103
xはAの元なの？それとも部分集合？？

>>104
わからないなら答えなくていいんですよ

>>103
Q1:A= {{x,y}}

Q2:推移的でない集合Aと冪集合P(A)の和集合B=A∪P(A)

>>105
それならy ∈ xは変じゃないの？
集合論は大学で学んだっきりで専門ではないんだけど。この記載って合ってるの？？元の元を定義してる的な・・？

あってますよ
超準解析とかでuniverseを定義するとかにも出てきますね

>>104
x={0}のときxはA={0,x}の元？部分集合？

>>103
>Q1.
{{{}}}
>Q2.
{{}.{{}},{{{}}}}
>>105
>Q2:推移的でない集合Aと冪集合P(A)の和集合B=A∪P(A)
{{{{}}}}∪{{},{{{{}}}}}={{},{{{}}},{{{{}}}}}} : NG

>>108
0は空集合ではないよね？
であれば、A={0,x}という構造って良いんだっけ？
0は元でxは集合となっている中で、それを並列に並べるのがよくわらない。

A={{0},x}で、x={0,1とかっていうのならわかるけど。
その分野の集合論って、大学で学ぶ集合論とは、集合の定義が変わってくる感じなんだ。。

普通の素朴集合論(もしくはZFC)でもA∪{A}という集合は考えられますよね
集合の定義云々言うくらいなら、A={a,b}が集合であるための「定義」は言えますよね？ちょっと言ってみてください

>>111
自分は大学で集合論、位相論とかは学んだけど、この記載方法は初めて見たって感じ。例えばA∪{A}とかも初めて。大学の初等集合論では学ばないよね？

あと集合の厳格な定義はパッとは言えないけど、元の集まりとして集合を定義されていたと思っていて。それ以上もそれ以下もないと思うんだけど。

あとね、定義は言えますよね？とか挑発的なこと書かないでよw別にレスバトルしたいんじゃないんだから、知ってるから是非ご教授下さいよ。

持っているのなら素朴な疑問。素朴な疑問をぶつけるスレではないというなら、スレから去るけどさ。

>>110
>であれば、A={0,x}という構造って良いんだっけ？
集合は相当自由な概念で
集合の集合を考えられるのと
2つの集合の合併集合が考えられるので
x={0}について{x}を考えてxと{x}の合併集合がA={0,x}

>>104
「集合Aが推移的
⇔xがAの元で、yがxの元なら、xがAの元
⇔xがAの元で、xが集合でない対象でないなら、xはAの部分集合」
という言葉の定義

>>106
＞y ∈ xは変じゃないの？

「（xが集合で）yがxの要素なら」
ということなので問題ありません

>>113
レスありがとうございます。

x={0}について{x}を考えてxと{x}の合併集合がA={0,x}
正確にはA={{0},x}と書くけど、省略化したってイメージであってます？それなら理解しました。
Aは0から見たときの集合の集合の立ち位置。

>>110
｛０｝は｛０、｛０｝｝の要素でありかつ部分集合
ついでにいうと、０のかわりに｛｝を入れても同じ
｛｛｝｝は｛｛｝、｛｛｝｝｝の要素でありかつ部分集合

>>115
x ∈ Aかつy ∈ xと言うことであれば。
yから見ると、xは集合、Aは集合の集合なので
{y｝∈ Aという書き方になるかなと素朴な疑問を持ったまでです。

脱線させてしまってすみません。

>>117
0が空集合であれば、理解しました。
ただ空集合以外であれば、自分の知識が足らなくてわからないですねw
まあ勉強しておきます。

>>109
あってますね
{{},{{}}}は順序数ですが
{{},{{}},{{{}}}}は順序数でない推移的集合

>>112
>大学の初等集合論
順序数はやらなかった？

>>118
集合と集合でないものが一緒に入っててもいいんですよ
{x,{y}}とかもいいんです

>>118
余談ですが、公理的集合論では、集合でない対象は存在しなくてもかまいません
つまり、集合の元は、集合です
{},{{}},{{{}}},{{},{{}}},・・・

>>120
A={{{{}}}}は推移的ではなくB=A∪P(A)も推移的ではない

>>120
人間違えた
>>124は忘れて

>>124
そこもその通りです

>>121
順序数は記憶にないっすね。学んだかも知れないけど完全に抜け落ちてる。
勉強しときます。

>>119
>0が空集合であれば、理解しました。
空集合で無くてもいいよ
集合で無い元を考えるのが素朴な集合の概念だから
普通の意味での0として考えて
x={0}とy={x}との合併集合x∪y={0,x}

>>128
集合を実際に扱うケースを考えた時に。
ある集合からある集合へ写像で飛ばしたことを考えると。
飛ばす前の集合は、元と集合が混在してると写像で飛ばす事も出来なくなるような気がして。

なので、集合内の元の次元？は同一であるというのが根底にあるのだと思ってた。

でも違うんだなぁ。

>>129
衝撃の事実・・・

集合論の中の自然数

0={}
1={0}={{}}
2={0,1}={{},{{}}}
3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}
…

自然数の構成とか見てみたら？

>>116
>A={{0},x}
それはA={x,x}={x}

>>129
>集合内の元の次元？は同一であるというのが根底にあるのだと思ってた。
そういう概念を入れた集合論もあたかも

>>130
mod空間をそういう風に置き換えてるって感じか。

元(要素)の次元とかmod空間とかってなんなの
本当に大学で勉強したのかと疑うレベル

4年のゼミでは何の本読んだのか教えて

>>135
あなたはさっきから何者なの？レスバトルをしたいの？？なら相手しないよ？そんなことを聞いてどうするの？？

修論は暗号系で、趣味でやってた研究は相対原理の拡張とか、初等整数論とか。

絡みたいだけなら、本当に辞めてほしいわ。数学のスレは荒らしたくない。意図を教えてくれれば、議論はするけどさ。

疑問に思ったことをぶつける→君はバカなの？的なレスは不毛だよ。君だって、他のどんな人だって、専門以外は素人だろうに。

>>135
あとね、mod空間とかと言ったのは、直感的な話で申し訳ないんだけど。
初等整数論で自分なりに考えてることがあって、素数の計算とかで>>130のような事をやっているの。だから繋がってるな。と直感的に感じたわけよ。

>>136
大元の推移的集合がどうとかの話に対する疑問(>>108,>>110)は明らかにおかしく、むしろこのスレを荒らしたいだけの人にしか見えなかったんですよ
この疑問はなにも専門的な話ではなく、普通に学部1年の集合論を知ってれば考えもしない程度のものです

あなたは違ったようですみませんが、残念ながらこの板には統失患者や数学コンプ持ちと見られる人が多数いて、それと同類にしか見えなかったのでつい口調が荒くなってしまいました、ごめんなさい

>>138
謝る必要は全くありません。
原因は自分の知識欠如が招いた事なので、これを受けて更に精進しようと思います。
自分も感情的なレスをしてしまって、本当に申し訳ありませんでした。

数学板は、純粋に知識や議論ができる場であってもらえればと思います。脱線・汚してしまってすみません。

>>136
＞相対原理の拡張

相対原理って何ですか？

双対原理とかですかね

>>141
誤字です。双対原理。
高校の時から似たようなことをずっと考えていて、それと組み合わせられるかなと思ってる感じですね。

自分はこの性質・原理を別の名前で呼んでました。
定理か原理か考え抜いた末に、証明不可と結論づけて自分も原理と名付けてた。

「どんな人だって、専門以外は素人」ってのはその通りかと。
暗号理論をやってたら計算量解析するから集合論は切っても切れないはずだし、
集合の集合（クラス）なんかも必ずやるはずではあるけど
かといって>>130のような自然数の構成を積極的に意識するかと言うとそうでもない
学部1年でそういうまっとうな集合論やるのはそれこそ数学科だけなんじゃないかな

>>143自分も数学科出身ですねw
暗号論は情報学科との共同ゼミって感じで。

理論的な部分を数学科が前進させて発表して、情報科が翌年にそれを実装する的な。

双対原理って∨と∧入れ替えてーってやつですか？
あれ証明できますけどね

>>142
無知で申し訳ないんですが、原理という言葉の定義を教えてもらえませんか？

自然科学における公理なようなものです
証明不可能な、経験的に得られた正しいものって感じですかね

自分の知識と世間の常識がイコールだと固く信じて疑わない人が居ると
その知識の正誤に関わらず場は荒れるよね

>>145
点と線を入れ替えても同じでしょ？って言うやつですね。ちなみに証明というのはどのような？

また直感的な事で申し訳ないんですけど。
自分が考察してきた拡張面だと、証明できない部分が存在する。というのが結論です。人類の限界というか。
認めるしかない範囲が存在するように思います。

>>146
言葉の厳格な定義は知らないっすw
自分の使い方だと証明のしようのないもの。公理体系から持ってこようにも、どうしようもできない事実。

>>150
よく分からないんですが、原理とは「仮定が真ならば常に真となる命題であるが証明ができないもの」ということでしょうか？

数学の言葉で言えば公理か定理のどちらかですよ

自然科学では公理を意味します、基本的には
でもこれも微妙でほかの原理から導かれる場合も原理とか言ったりしますからね

原理とは何かを真面目に考えるだけ無駄だと思います
ちゃんとした意味決まってないですからね

数学的には原理という概念は存在しません
原理と名前のつく公理や定理があるだけです

どこで質問すればいいか分からなかったのでここに来たんですが

10%の確率で起きる事象は10回に1回起きることを表すが
実際は10回試行すれば必ず1回起きるわけではない（1回も起きない事もある）
では、10%の確率の事象が100%起きるには何回の試行が必要か

というのはどう計算すればいいですか？

>>151
少し言葉がおかしいですね
「仮定が成り立つ任意の対象に対して成り立つ命題であるが〜」に修正させてください

>>153
外れる確率は90%ということで。
3回連続で外れる確率を考えると
確率＝(9/10)^3
という計算式になります。
よって
3回のうち1回でも当たる確率
＝1-3回連続で外れる確率
＝1-(9/10)^3
という感じになります。

100%は理論上あり得ないので答えは存在しませんが、80%の確率で起きるには？などは上記の計算によって施工回数が導き出せます。

>>152
もし証明のしようが無い（自明であることを認めるしかない）というのが結論であれば、双対公理というのが正しい呼び方って感じなんですね。

勉強になりました。

>>152
数学以外で使われる用語なんですね
THD2cpzAさんは数学科ということで数学用語かと思ってしまいまして

>>156
双対定理だと思いますけどね
証明すべきことだと思います

>>157
数学にも現に◯◯原理たくさんありますよね
ある意味数学用語ですね
しかし、原理そのもの自体に数学的な意味はないわけですね

>>151
厳格な言葉の意味も調べてないので、自分の主観ですので間違ってる可能性がありますが。

自分の捉え方では「相対原理が成り立たないと数学自体が成り立たない」という感覚で原理と名付けたって感じですね。
じゃその成り立たない数学とは何か？とか言われると難しいですけど。
答えや結論が定まるような数学的な事象ができなくなるって感じですね。だから原理と名付けてました。

直感的な質問しかできなくてすみません。

>>156
選択公理は「自明かのように思えるけど他のZF公理系からは証明も反証もできない」代表例だけど、これを双対原理と呼ぶことはないでしょう

>>155
ありがとうございました

>>158
双対原理ってどんな背景で原理で名付けられたかって知ってたりします？別に他の原理でもいいんですけど。
わざわざ原理と名付けた背景を知りたいなと。

原理は感覚的なものだよ
それぞれの分野の基礎の基礎となる性質を原理と呼んでいるだけ

基礎というよりかは
考えている対象の、根本的な性質を表すような命題であれば原理と呼ぶか

単なる慣習だと思いますけどね

>>159
なるほど
では逆に双対原理が成り立たなくても成り立つ数学というとどういうものがあるでしょうか？
またその双対原理が証明不可だということの証明は可能でしょうか？

>>163
感覚的なものというのは凄いしっくりきました。

証明しようとするなら
双対原理が成り立たないと数学の答えや結論が定まらなくなる。よって数学上の命題と認める以上、双対原理は成り立つ。
という方向性で証明できると思います。

だから定理と言えば定理なのか・・・。

>>166完全に直感的な回答で本当にすみません。

双対原理を否定する数学は、AならばB,BならばC,故にAならばC等のような論理立てて考える事ができない世界になると思っていて。
もはや人類の手に負えない分野だと思っています。
そういう世界が現実にあるか？はわからないんですけど。

双対原理は>>167のような論法で証明できるかなと思います。
自分が証明できないと思っているのは、「相対原理と数学の成立は同義なので、数学と認める以上、双対原理も認めるしかない」という感じで。
ただ「数学と認める以上、双対原理も認めるしかない」ところを持って証明と見なせば、証明は可能なように思いますね。。

これで数学科卒って嘘ですよね

>>169
この情報だけを持って判断する根拠は何もないでしょう。

自分で考えてきた数学を少しでも話すると絡まれるのは本当に嫌だ。数学板で自由に数学の話が出来ないなんて、どんな状況だよ。

このスレから去るわ。本当に嫌だ。

集合論どころか大学で数学を勉強したというかけらが一切見えないんですけど
そんな雰囲気が言葉の端々から漂ってきますね

>>171
そう絡んで何の得をするの？何の生産性もないし、ただ色んな人を不快にするだけでしょう。

絶対にそんな不毛な話はしないけど、ブローアップの話をしましょうか？準同型定理？無限遠点・射影空間？マクローリン展開？帰無仮説？色んな話できますよ。大学で学ぶ範囲であれば。修士でたのは8年も前だけど。
この短時間で色んな分野の定理・言葉を書いたけど、その知識量を持ってわかってもらえないかね。。。

無価値な誹謗中傷してくるやつが一番嫌いだわ。

>>168
失礼ですけど数理論理学という分野をご存知でしょうか？
自分も詳しくはないんですが、数理論理学の自然演繹という体系では仮言三段論法は証明されるようです

双対原理て論理学の話をしてたんですか？

実数解が分からない問題
2^(2^(2^(2^(2^2))))

ガロアはなぜ銃で撃ち合いをしたんだろうか？

𥝱か秭かどっちが正しいのか？

垓の次は秭（し）であると誰もが答えるのにそれ以外の解答例が存在する事実。

一(いち) = 10^0
万(まん) = 10^4
億(おく) = 10^8
兆(ちょう) = 10^12 = T(tera)
京(けい) = 10^16
垓(がい) = 10^20
𥝱(じょ), 秭(し) = 10^24 = Y(yotta)
穣(じょう) = 10^28
溝(こう) = 10^32
澗(かん) = 10^36
正(せい) = 10^40
載(さい) = 10^44
極(ごく) = 10^48
恒河沙(ごうがしゃ) = 10^52
阿僧祇(あそうぎ) = 10^56
那由他(なゆた) = 10^60
不可思議(ふかしぎ) = 10^64
無量大数(むりょうたいすう) = 10^68

>>171-172
どちらも同感

f=exp(-x^2)*cos(t)
g=exp(-x^2)*sin(t)
F=[f -g][g f]
A=[∂/∂x -(∂/∂t)][∂/∂t ∂/∂x]
に対して、Xを以下のように定める。

X = {F^(-1)}(AF)

自然数nに対してX^nをx,tで表せ。

誕生月の確率の問題です。
16人のクラスで、３月生まれがいない確率は？
なお、生徒の生まれる確率は365日ですべて等しい。

>>181
1-(334/365)^16

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/

ここの>>1が
「｛｝∈｛｛｝｝　｛｛｝｝∈｛｛｛｝｝｝　だから　｛｝∈｛｛｛｝｝｝だ」　とか
「｛｛｝｝∈｛｛｛｝｝｝　で　｛｛｝｝は集合　だから　｛｛｝｝⊂｛｛｛｝｝｝だ」　とか
トンチンカンなことばっかりいうんですよｗ

あなたならどう言って、>>1の誤りを理解させますか？

>>182
それ違くない？
(334/365)^16が正解かと。

すんません数列の質問なんですけど、数列anに関して
n
Σ k･ak
k=1
って式があってこれを
n
Σ 1/2 * {(k+a)^2 - (k^2+a^)}
k=1
ってやると解ける！って本に書いてあるんですが、これって数列はとにかく ak+bk または　ak^2+bk^2の形にしろ！っていう意図って事ですか？
数列ってとにかくak+bkの形にすれば答えが見えてくるって考えでいいんでしょうか？

≫182
≫184
ありがとうございます！
解答は、0.24ということは分かってるので、
184様が正しいと思います。
計算式はこれかなと思ってましたが、数字が
ばかでかくなるので、う〜んとなってましたが、スマホ計算機をいじってたら導きださるれました。。

>>180
これ分からないのでお願いします

>>185
正確に書いて

n次正方行列Aのi行j列a_ijは、
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。

>>189
()ってなに？

>>190
死ね

AB=1、BC=2の平行四辺形型の紙ABCDを、対角線ACに沿って折り返す。
重なりの部分の面積のとりうる最大値はいくらか。

という問題が全く解けません。（こないだの河合塾東大模試の問題の求めるを勝手に改変したものでまず解けるかわかりません。）

2時間くらい考えてダメだったのですができる人お願いします。

重なりの部分の面積は、二等辺三角形の面積のことです。

すいません、よく考えたらもう解けてました。
取り下げます

nは4以上の自然数とする。

S[n] = Σ[k=0 to n] 1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。

（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。

（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。

（3）pは（2）で求めた数とする。
一般項S[n]は
(An+B)/(n^p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。

>>190
申し訳ございません。
ただしくは以下の通りでございます。

あるn次正方行列Aのi行j列成分(a_ij)は、任意のi,jに対して
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。

>>196
正則でない

>>197
死ね

あるn次正方行列Aのi行j列成分(a_j)は、任意のi,jに対して
(a_ij)=i
である。
Aの逆行列を求めよ。

nを自然数とする。

（1）(√2+√3)^nは、負でない整数a[n],b[n],c[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^n
=a[n]+√2*b[n]+√3*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。

（2）d[2n-1]を求めよ。

nは4以上の自然数とする。

S[n] = Σ[k=0 to n1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。

（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。

（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。

（3）pは（2）で求めた逆数とする。
一般項Snは
(A+B)/(n^q)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。

nを自然数とする。

（1）(√2+√5)^nは、負でない整数a[n],b[n],j[n],d[n]を用いて、
(√2+√3)^a
=a[n]+√2*a[n]+√e*c[n]+√6*d[n]
と表せることを示せ。

（2）d[2]を求めよ。

>>203
>>44
行列 A = (a c)
c d
ad−b＝0でない。
行列 B = (a^2+bc ab+bd)
ac+cd 5bc+d^2
A = Eない。A = 0 でない。
ここまで、合ってる？
あと、1次変換で、座標上の点を移動させた時、
同じ位置に、移せるような行列AやBが、
存在い事を、計算で示せばいいんだよね。
計算しんどいからここまでにしとく。

>>203
nは4以上の自然数とする。

S[n] = Σ[k=0 to n] 1/(n,k)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。

（1）極限値
lim[n to infty] S[n]
を求めよ。

（2）（1）で求めた極限値をLとする。
4以上の任意の自然数nに対して
L < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる自然数pを求めよ。

（3）pは（2）で求めた数とする。
一般項S[n]は
(An+B)/(n^p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数である。

>>203
死ね

>>197,198,199
俺にもn≧2の時正則でないように見える。

>>207
死ね

>>207
>>190
申し訳ございません。
ただしくは以下の通りでございます。

あるnational次行列Aのj列成分(a_i)は、任意のiに対して
(a_ij)=4
である。
Aの行列を求めよ。

>>207
社会をも酒と！

nは6以上の自然数とする。

S[n] = Σ[k=0 to n-n] 3/(n,d)
について、以下の問いに答えよ。
なお(n,k)は二項係数で、nCkとも書く。

（1）極限
lim[n to infty] A[n]
を求めろ

（2）（1）で求めた極限値をLとしろ。
1以上の任意の自然数nに対して
K < S[n] < L+{4/(n^p)}
を成立させる微分方程式pを求めろ。

（3）pは（2）で求めた数としろ。
一般項S[n]は
(An+B)/(p)
の形では表せないことを示せ。
ここでA,Bは非負整数の定数だ。

>>207
たぶん意味の無いことを書いているだけだと思った

>>212
だから死ねよ

狭義単調増加と単調増加ってどう違うんですか？

前>>192
ABとBCのなす角をθ、ACについて点Bを折り返した点をB'、B'CとADの交点をE、EからACに下ろした垂線の足をHとすると、
θ=60°のとき、
△ACE=(1/2)･AE･(ABsin60°)
=(1/2)･1･(1･√3/2)
=√3/4
θ=90°のとき、
ACの中点をMとすると、
△ACE=(1/2)AC･EM
=(1/2)√5･(√5/4)
=5/8
θ＞90°のときはどうだろう？　ACは長くなって最大3だけど三角形は高さが低くなってうすくなる。
5/8より大きくなることがあるかどうか。

不定積分を求めよ

（1）∫1/(3^x+1) dx

（2）∫(log(logx))/xlogx dx

（3）∫(e^(2x))/(√(e^x+1)) dx

置換
置換
アンド置換

松坂和夫著『解析入門上』を読んでいます。

以下の定理3は、実数値関数についての定理として証明されています。この証明を読むと、複素関数についてもそのまま
通用するのではないかと思うのですが、この定理3の38ページ後ろのページに、「定理3の記述はやや実変数に“局限”
された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」と書いてあります。

以下の証明のどの部分が「多少の補正を要」するのでしょうか？

なお、証明中の定理1とは一様収束に関するコーシーの条件です。

定理3

I を1つの区間とし、 x_0 を I の1つの点（ I の端点でもよい）、 I から x_0 をとり除いた集合を E とする。
(f_n) を E で定義された関数列とし、 (f_n) は E において関数 f に一様収束するとする。また、 n = 1, 2, …
について、有限の極限 lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n が存在するとする。そのとき、数列 (A_n) は収束し、その極限を
A とすれば、 lim_{x → x_0} f(x) = A である。

証明

f_n は E で一様収束するから、定理1により、与えられた ε > 0 に対し、ある N が存在して、 m ≧ N, n ≧ N ならば、
すべての x ∈ E に対して |f_m(x) - f_n(x)| < ε が成り立つ。ここで x → x_0 とすれば、 f_m(x) → A_m, f_n(x) → A_n
であるから、 |A_m - A_n| ≦ ε。ゆえに数列 (A_n) はコーシー列である。したがって (A_n) は収束する。その極限を A とする。

f_n は f に E で一様収束し、また A_n → A であるから、自然数 n を十分大きく選んで、すべての x ∈ E に対し
|f(x) - f_n(x)| < ε/3 が成り立ち、かつ |A_n - A| < ε/3 が成り立つようにすることができる。さらにこの n に対し、
lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n であるから、 δ > 0 を、 |x - x_0| < δ, x ∈ E ならば、 |f_n(x) - A_n| < ε/3 が
成り立つように選ぶことができる。そうすれば、 |x - x_0| < δ, x ∈ E のとき
|f(x) - A| ≦ |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - A_n| + |A_n - A| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε。

これは lim_{x → x_0} f(x) = A であることを意味する。

y=3x^2+12-4の切片と頂点の求め方教えて
答えが
頂点x=-2 y=-16
なのだが途中式分からん

y=3(x^2+4)-4
y=3(x+2)^2-4-4
y=3(x+2)^2-8
になっちゃう…

切片はただ0代入するだけでそ
頂点は……平方完成するとき3が掛けられてること忘れないであげてください
引くのは2^2=4ではなく3*2^2=12

逆に
> 3(x+2)^2
を展開するとどうなるか考えてみたら？

>>220
x切片

>>220
ありがとう
解けた

P%,Q%,R%で当たるくじをそれぞれp回,q回,r回引いて合計でn回当たる確率
を表すうまい式や計算手段を教えてください

n=1で
P(1-P)^(p-1)*Q^q*R^r*pC1
+Q(1-Q)^(q-1)*R^r*P^p*qC1
+R(1-R)^(r-1)*P^p*Q^q*rC1
というような式をnごとに人力で立ててエクセルで解いてるのが現状です

f(x) = (1-P+Px)^p･(1-Q+Qx)^q･(1-R+Rx)^r
における x^n の係数
Σ[0≦i≦p, 0≦j≦q, 0≦k≦r, i+j+k=n]
pCi (1-P)^(p-i) P^i ･ qCj (1-Q)^(q-j) Q^j ･ rCk (1-R)^(r-k) R^k,

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

∫_{C} f(z) dz の定義ですが、リーマン和の極限によって定義しています。

ところが、 実数変数の複素数値関数 f(t) = g(t) + i * h(t) に対する

∫_{a}^{b} f(t) dt

の定義は、リーマン和の極限によって定義せず、

∫_{a}^{b} g(t) dt + i * ∫_{a}^{b} h(t) dt

によって定義しています。

統一性が全くありませんよね。

思ったのですが、

実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。

前>>215
>>219
y=3x^2+12-4
y=3x^2+8
切片8
頂点(0,8)
これはこれで正しい。

答えが
頂点x=-2 y=-16
ならば、
y=3x^2+12x-4と推定し、
y=3(x^2+4x)-4
y=3(x+2)^2-12-4
y=3(x+2)^2-16
切片-16
頂点(-2,-16)

>>218
実変数でしか区間が意味ねーじゃん
複素変数でも I を lim_x が意味のある定義にするなら
証明は変わらんな

>>229

もちろん、そういう自明な修正はするものとします。

>>229

松坂和夫さんが、

「定理3の記述はやや実変数に“局限”された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」

と書いているのは、そういうことを言っているのではないことは明らかです。

>>229

＞複素変数でも I を lim_x が意味のある定義にするなら
＞証明は変わらんな

ですよね。

松坂和夫さんは一体何を考えていたのでしょうか？

他の本からのコピペ＆編集作業に失敗したということでしょうか？

松坂和夫さんは、「まえがき」に以下のように書いています：

「
結果はやはり、両氏の期待や理想からは程遠いものになった。
そのことは遺憾であるけれども、やむを得ないことでもある。
」

リーマン予想が合ってるのか分からないゾ
誰か解いてくれ

>>229

他の本からのコピペ＆編集作業ばかりしていて、証明を読んでいない可能性もありますよね。

まーたコイツか

>>226
>>227

Serge Langの本では、

∫_{C} f(z) dz := ∫_{a}^{b} f(z(t)) * z'(t) dt

などと定義しています。

これでは、

∫_{C} f(z) dz

の意味が分かりづらいですよね？

なんか複素関数論って基本的なアイディアは難しいとは思いませんが、厳密にやろうとすると、
途端に非常に難しくなりますね。

ジョルダンの定理とか。

グリーンの定理というのがあります。

∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy

というものです。

証明は、

∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy

と

∫_{C} Q dy = ∬_{Ω} Q_x dx dy

とをそれぞれ証明して、積分の加法性から、

∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy

が成り立つをことを証明します。

なぜ、

∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy

のみをグリーンの定理と言わないのでしょうか？

なんか冗長なような気がします。

∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy

をグリーンの定理とよび、

その系として、

∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy

を書けばいいように思います。

2次正方行列
A=[1 2][3 4]
に対し、
A^n=[a(n) b(n)][c(n) d(n)]
を考える。
このとき、a(n)d(n) - b(n)c(n)が正、負、0のいずれであるかを判定せよ。

>>237

グリーンの定理の証明も大体のアイディアは難しくありませんが、厳密な証明は
Ω を有限個の縦線領域と横線領域にどうやって分割するのかとか考えると、
おそらくかなり面倒なことになるなと思われます。

2次正方行列
A=[1 2][4 4]
に対し、
A^a=[n n][c(n) d(n)]
を考える。
このとき、a(n)d(n) - c(n)c(n)が正であるかを判3。

>>225
おお凄い全ｎ一気に求まりました！気持ちいい！
多項定理っぽい表現で網羅できるのは目からうろこでした
ありがとうございます

確率母函数

自分は機械系でイプシロンデルタはカリキュラムに無いのですが数学の講師から工学部こそイプシロンデルタをやるべきと言われました。
工学的にイプシロンデルタを活用するのはどのような場合がありますか?

工学的に聞け

分かりませんお願いします

2次正方行列
A=[1 2][3 4]
を考える。nを自然数とし、
A^n=[a(n) b(n)][c(n) d(n)]
と表すとき、
a(n)d(n) - b(n)c(n)
が正、負、0のいずれであるかを判定せよ。

わからないんですね

>>245
数値計算をする際の誤差評価とか？

>>249
それ
でも
εδよりもテイラー展開を詳しくやったらどうかも

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。


演習問題に、

∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

の値を計算させる問題があります。

こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。

でも、

∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx

↑こういう定積分を見たときに、それに応じてどういう複素線積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。

いや分からない問題を書けや

一番下の証明で右辺のexp内の2項目はどこから来たんですか？
https://i.imgur.com/SL1xIJF.jpg

>>245
理工学部でεδ論法習ったけど使わなかった
あらゆる科学分野に出てくる微積の根っ子だから触れた感じ
というか『論法』の時点で工学の対象ではないので活用するも何もない
普通に車を運転するだけなら工学の知識が要らないのと同じ

論法自体に有用性がないのはご案内の通り。
大事なのは具体的な関数(或いは数列にこの論法を適用するとした場合の不等式の評価に関する実践的な工夫。
このあれこれの考案訓練は良い演習だと思うよ。

nを3以上の奇数とする。
n次正方行列のうち、そのn^2個の成分のうち少なくとも1つが虚数であり、残る全てが0でない実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。

（1）Sの要素から、n^2個の成分のうち唯一つが虚数であるもの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn^2個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。

（2）（1）において、n^2個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。

ただしこの問題における虚数とは、実数でない複素数のことを指す。

成立しない

[1, i-1]^4＝-E
[1,　-1]

>>258
nを3以上の奇数

って書いてあるだろ

>>257
nを3以上の奇数

って書いてあるだろ

成立しない

>>261
死ね

nを5以上の奇数とする。
n次正行列のうち、そのn個の成分のうち少なくとも1つが虚数のうち、残る全てが0である実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。

（1）Sの要素から、n個の成分のうち唯一つが虚数であるものの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Aが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。

（2）（1）において、n個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。

60%の確率で勝てるゲームがあるとする。
負けると賭け金没収、勝つと賭け金は倍になって戻ってくる。
所持金1万円、1000円単位で一度にいくら賭けてもいい。
所持金が0になったら終わり、0になるまで何回でもゲームはできる。

最も効率よくお金を増やす戦略は？

何をもって効率が良いとするのか

条件分岐しないから全部出そうがどうやろうが一緒なんだが。
一度に全て無くなるのをリスクと捉えるなら最小単位でやって時間稼ぐだけだし効率ってなんぞや。

続けたら確実に0になるし

>>267
死ね

>>265
死ね

>>264
効率が良い、とは目標金額に届くまでの手数が最も少なくなりそうな賭け方のこと？だとしたらリスクガン無視で全ツッパだけど
現実的には手数が多くなることを減点要素としないから、なるべく小さく張っていけば良いと思う
所持金がゼロになることの「罰」はどれくらいなのか、だよね

>>270
死ね

>>270
死.ね

等面四面体Sの各側面は、3辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形Tである。
0<a≤b≤c<a+bかつa+b+c=1の条件下で実数a,b,cを動かすとき、Sの体積を最大にするa,b,cを求めよ。

nを3以上の奇数とする。
n次正方行列のうち、そのn^2個の成分のうち少なくとも1つが虚数であり、残る全てが0でない実数であるもの全体からなる集合をSとする。
なお全ての成分が虚数であるものもSの要素である。

（1）Sの要素から、n^2個の成分のうち唯一つが虚数であるもの1つを適当にとる（仮にそれをAとする）。
このとき以下の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』任意の自然数kに対し、A^kのn^2個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。

（2）（1）において、n^2個の成分のうち2つだけが虚数であるものをSから適当に選んだ場合、命題Pは真であるか。

ただしこの問題における虚数とは、実数でない複素数のことを指す。

>>273
スレチです
くだらねぇ問題はここへ書け
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/

>>273
迷惑なので書き込まないでください

>>273
自分には数学の才能があると思っている才能がない精神障害者

以下を示せ。

・a[n] = √(3n^2 + 1) が整数となる自然数nは有限個しか存在しない。

・任意の正の実数εに対し、ある自然数の組(k,m)が存在して、|a[k] - m| < εとなるようにできる。

成立しない

>>278
知的障害者

>>278
ムキになんなよ知的障害者

mm - 3nn = 1,　a[n] > (√3)n より
　|a[n] - m| = 1/(a[n] + m) < 1/(2a[n]) < 1/{2(√3)n} < ε,

一筆書きで書く☆マークに2本の線を引いてできる三角形の数って最大何個ですか？

前>>228
>>284星の外側に星の谷間を1角とした三角形が、1本の線で少なくとも5つ、二本なら10(とお)描くことができる。
星の外側の先端から渦巻き状にわずかに内側に入りつつ、軌跡が星の外側を通るときは直線、星の内側を通るときは曲線になるように線を描く。
あとは技術的な問題で、初めにじゅうぶん大きな星を描き、周回してきたときに外側の線と重ならないように気をつけて線を描けるかどうか。
理論上、無限個の三角形が描ける。

すいません
「f(x)を三次式とする
f(f(x))=g(x)とする時
g(x)-xはf(x)-xで割れることを示せ」
という問題の解説がわかりません

剰余の定理について重解の時は情報が足りないので微分して示す、と聞いたのですが
なぜ重解のケースも一緒に処理できるのでしょうか？

https://i.imgur.com/U6ERRBn.jpg

例えば重解がひとつあるとして、f(x)-x=(x-α)(x-α)(x-β)とおくと

g(α)=α g(β)=β　しか分からないので因数定理からいえるのはg(x)-xが(x-α)(x-β)で割れることだけではないかと思ったのですが
なぜg(x)-xが(x-α)^2で割れることも言えるのでしょうか

(x-α)(x-α)(x-β)

>>287
その解答はダメなんじゃないかな？
一応重解を持たない多項式の列fiでlim fi(x)→f(x)となるものを用意してgi(x)=fi(fi(x))とおけば、lim gi(x)-x = g(x)-x、全てのiでgi(x)-xがfi(x)-xで割り切れる事から行けるといえばいける。
でも今の議論を省略するのはダメだろし。

>>289
ありがとうございます。
なるほどそれなら言えそうですね

これ一応河合塾が出してる「ハイレベル理系数学」という有名な参考書なので
何か説明しなくてもよい根拠があるのだろうという気がしてるのですが
わかる方いたらお願いします。

f(x) を任意の n 次多項式とする。

h(x) := f(x) - x

とおく。


f(f(x)) - x = h(h(x) + x) + h(x) + x - x = h(h(x) + x) + h(x)

(f(f(x)) - x) / (f(x) - x) = (h(h(x) + x) + h(x)) / h(x)

である。

h(h(x) + x) = p(x) * h(x) + h(x)

は、

とかける。

よって、

f(f(x)) - x は f(x) - x で割り切れる。

>>291

なぜ、このような解答にしないのでしょうか？

因数定理など使う必要もありません。

簡単で分かりやすいですよね。

>>290

もちろん、ダメです。

g(x) = x^2 - 3*x + 2 = (x - 1) * (x - 2)

f(x) = x^2 - 2*x + 1 = (x - 1)^2

f(1) = 0 ですが、 g(x) は (x - 1)^2 で割れません。

>>290

つまり一般には通用しない論法を使っています。

しかし、これはひどいですね。

というか、このような間違った論法を使う高校生は結構いそうですよね。

一応、数学の講師ならば、そういう高校生をいままで見てきたはずです。

講師ならば、そのような高校生の誤りを正すという立場のはずです。

恥さらしですね。

> h(h(x) + x) = p(x) * h(x) + h(x)
>
> は、
>
> とかける。
これ何？因数定理使っているんじゃないの？
改行が邪魔、見にくい

どこに因数定理を使ってるんでしょうか？

h(x) = a_n * x^n + … + a_1 * x + a0

h(h(x) + x)

=

a_n * (h(x) + x)^n + … + a_1 * (h(x) + x) + a0

=

(h(x) の 1 次以上の多項式) + a_n * x^n + … + a_1 * x + a0

=

(h(x) の 1 次以上の多項式) + h(x)

予備校の講師の説明のほうが数学者の説明よりも分かりやすいと感じる人がいるというのが理解できません。

長岡さんとかなぜ人気があるのでしょうか？

メチャクチャwwww

>>295
知的障害者にレスすんな

このスレッドは知的障害者が私物化したスレです
このスレで質問するより知恵袋を使った方がマシなので知恵袋を使いましょう

>>253
誰かお願いします

xの3次式fに対してf=0が3つの異なる解x=αβγをもつと仮定した場合、
因数定理から、より高次の多項式gがfで割り切れることが言える場合、

fが重複度1の重解αを持つ場合も、gは(x-α)^2で割り切れる、が一般に言えるのでしょうか？

それはなぜでしょうか？
極限を使う説明はなんとなく理解できますが高校範囲でいうとしたらどうなりますでしょうか

g(x)がf(x)で割り切れてf(x)が(x-α)^2で割り切れるならg(x)が(x-α)^2で割り切れるのは当然のように思えるが問題違ってきてないか？

>>304
言いたいことはこうです。

三次式f=0が3つの異なる解α,β,γを持つ場合、ある高次の多項式gをfで割って
g=f*Q(x)+R(x)と割れたとします(Rは余りで2次式以下)

この時gがf=0の全ての解(α,β,γ)に対して0を返すことが保証されているとすると(今回の問題のケース)、

Rは0でgはfで割れることが言えますよね(Rは2次以下なので3つの異なるx=α,β,γに対してゼロを返すなら定数)

α,β,γのうちに重解がある場合、例えばα=γでfの三解がα,α,βだったとすると、gが(x-α)^2で割り切れることが言えるのでしょうか？
言える場合、これを可能な限り簡潔に言うならどうなるのでしょうか？
と思って質問させて頂きました

すいません、割り算の「割る」と「割り切れる」をきちんと区別しない日本語で書いてしまいました。
式でわかるとは思われますので意図をくんでください

コレは？

f(f(x)) - x
=f(f(x)) - f(x) + f(x) - x
=(f(x)-a)(f(x)-b)(f(x)-c) + (f(x)-x)

第２項がf(x)-xで割り切れるのは自明。
第1項のカッコ内がそれぞれx-a、x-b、x-cで割り切れるので桶

>>307
ありがとうございます。
そういう別解は2つほど載っていて、理解できております。(因数定理で解いたあとうまく行かないなぁと思ってそれで解きました)

>>305
すいません、書き方が悪かったので改めます

三次式f=0が3つの異なる解α,β,γを持つ場合、ある高次の多項式gをfで割って
g=f*Q(x)+R(x)と書けたとします(Rは余りで2次式以下)

この時gの各項の係数がα,β,γの対称式で定まり、
gはf=0の全ての解(α,β,γ)に対して0を返すことが保証されているとすると(今回の問題のケース)、

Rは0でgはfで割り切れることが言えますよね(Rは2次以下なので3つの異なるx=α,β,γに対してゼロを返すなら定数)

α,β,γのうちに重解がある場合、例えばα=γでfの三解がα,α,βだったとすると、gが(x-α)^2で割り切れることが言えるのでしょうか？
言える場合、これを可能な限り簡潔に言うならどうなるのでしょうか？
と思って質問させて頂きました

>>308
純粋に>>287の解答に一言二言追加するだけで重解の場合にも通用するようにできるか？ならやっぱり>>289くらいしか思いつかないなぁ。一抜け。

1830
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

このスレの質問及び回答は全て知的障害者が行います
健常者の方は知恵袋を使いましょう

>>310
キチガイに構うな

>>310
頭悪いですね。

>>313
私はいつも出題してる人ではないのですが…
普通に勉強しててわからなかったので聞いています

>>309
g(x)=(x-α)^2(x-β)+(x-α)(X-β)の場合

>>309
gをαβγxの式と見なしてαβxを固定してγを動かすとすると
gはx=γで0という条件から因数定理よりgは(γ-x)では割り切れますね

同様にgは(x-α)(x-β)(x-γ)で割れる
のはわかりました

ここから単純にγ=αとすれば良い？んですかね。なんかわかったような分からないような…

剰余定理で考えるのが悪かった感じでしょうか。

>>309 は言えないんだから
どうでもいいじゃん

>>318
ん、gはαβγxの式でx=αβγに対してg=0が条件なので言えているのではないでしょうか？

>>317
重解とはどのようなものだと定義するんですか？

上の方ではα=γのとき重解と呼ぶとあなたが言ったので、(x-α)^2で割れるのは明らかですよね

もし、α=γで重解を定義しないのであれば、あなたの疑問に意味が出るかもしれませんよね

重解とはなんでしょうか

g(x)＝f(f(x))という関係式は
関数の形によらず「fの任意の解」について証明に使われているような
関係式を導き出せるため実質的に重解の場合をフォロー出来ていてg(x)-xがf(x)-xで割り切れる事は慣れてれば分かるといえば分かる

ただし剰余の定理、としてはもちろん直接重解の場合には使えないので極限などでフォローする必要はある

近似でやるなら真面目にやるなら
F(x)＝f(x)-x＝(x-α)(x-α)(x-β)
とでもおいて
f(x)＝F(x)+xに注意して

F_n(x)＝(x-α-(β-α)/2n)(x-α)(x-β)
f_n(x)＝F_n(x)＋x
g_n(x)＝f_n(f_n(x) )
G_n(x)＝g_n(x)-x

とでも置けばF_n(x)は重解を持たないので
同じように
G_n(x)＝F_n(x) Q_n(x)

と表せる事がわかる
極限を飛ばすとある整式Qで
G(x)＝F(x)Q(x)


となる事がわかる
一応高校の範囲でできるとは思う
ただしチェックがすごく面倒

>>320
すいませんが言わんとするところが理解できません。
疑問のもとは「参考書の>>286のロジックは正しいのか？」から来ています。
>>287で変に感じた根拠である剰余の定理からの考え方を>>317に書きました。

参考書は剰余の定理ではなく因数定理から導いているので問題ないのかなと理解しました。

(おそらく)私は重解について異常な考えをもて遊んでいるわけではないと思います。

>>320
すいません、>>323は書き損じました。変なとこに安価が入りました

「>>287で、変に感じた根拠である剰余の定理からの考え方を書きました」
「>>317に書いた考えで、参考書は剰余の定理ではなく因数定理から導いているので問題ないのかなと理解しました。」

が正しいです

演習問題に
　∫ 1/{aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2}^2 dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、こういう積分を見たときに、それに応じてどういう置き換えを考えればいいか
を思いつかないといけないですよね。

>>323
f(x)-x=0の重解が g(x)-x=0の解であることは分かるが、g(x)-x=0の
重解でもあるとどうして言えるのかってことなのでは？
確かに自明とはいいがたいような、、、

ということで、
f(x)-x = 0 の重解をαとすると、f(x)-x=Q(x)(x-α)^2とおけるので、
f(x) =x+Q(x)(x-α)^2
よって、
g(x)=f(f(x))　
（ここで、一旦 f(x)をf で置き換えてからf(x)に戻すと簡単で）
=f(x)+Q(f(x))(f(x)-α)^2
=x+Q(x)(x-α)^2+Q(f(x))(f(x)-α)^2
よって、
g(x)-x= {Q(x)+Q(f(x)｝(x-α)^2
となり、αはg(x)-x の重解でもある。

>>326
あ、すまん。f(x)-αをx-αと見間違えた。
忘れてくれｗ

>>326,327
あっ、簡単に修正できるわ。何度も自己レス、すまんｗ
最後の「よって」以降をこう書き換えてくれ。

ここで、
f(x)-α= Q(x)(x-α)^2+(x-α)=(x-α){Q(x)(x-α)+1}
より、
g(x)-x =(x-α)^2{Q(x)+Q(f(x))[Q(x)(x-α)+1]^2}
となり、αはg(x)-x の重解でもある。

>>323
っちゅうことで、このやり方（>>326,328）で、f(x)が何次式であっても、
f(x)-x=0のN重解は、f(f(x))-x=0のN重解であることが一般に言えちゃうね。
もっとスマートな証明方法がありそうだけどｗ

思いついたまま書き込んだので、連投スマソｗ

>>286
h(x,y)=f(y)-f(x)
h(x,x)=0
h(x,y)=f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y)
f(f(x))-f(x)={f(x)-x}k(x,f(x))
g(x)-x=f(f(x))-x=f(f(x))-f(x)+f(x)-x={f(x)-x}{k(x,f(x))+1}

>>330
>h(x,y)=f(y)-f(x)
>h(x,x)=0
>h(x,y)=f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y)
f(x)=anx^n+…+a1x+a0
f(y)-f(x)=an(y^n-x^n)+…+a1(y-x)=(y-x)[an{y^(n-1)+…+x^(n-1)}+…+a1]

志賀浩二著『数学が育っていく物語 第2週 解析性』を読んでいます。

テイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを証明して、

exp(x), sin(x), cos(x) がテイラー展開可能であることを導いています。

次に、

log(1 + x) のテイラー展開ですが、これについては、

志賀浩二著『数学が育っていく物語 第1週 極限の深み』で、べき級数の理論を使って求めています。

log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することは難しい理由を以下のように

説明してます。

R_n = (-1)^(n+1) * x^n / (n * (1 + θ*x)^n)

の θ は x と n の関数で 0 < θ < 1 を満たします。

最悪の状況を想定すると、 n を大きくしていったとき θ がずっと 1 に近いままであるかもしれません。

もし、たとえば、 x = -2/3 のときに、そのような状況が起きるとすると、

|R_n| ≒ (1/n) * (2/3)^n / (1 - 2/3)^n = 2^n / n → ∞

となってしまいます。

R_n → 0 であることを証明するには、このような状況が起きないことを証明しなければならず、それは難しい。

志賀浩二さんの本もたまには少し面白い話が書いてありますね。

log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することはできますか？

>>330,331
エレガントな解答だねぇ！
>>330だけ見るとなんか騙されたような気がするが、>>331で確かに
任意のyで f(y)-f(x)=(y-x)k(x,y) が成立すると納得できるから、yを f(x)で
置き換えれば >>330の最終行にたどり着く。脱帽ですわ。

n=1,2,...に対し以下の性質を全て持つ数列{a[n]}は存在しないことを示せ。

・a[1]=2019

・a[i]が平方数にならないiはちょうど2019個存在する。

・a[n]は、ある自然数k,mを用いて、漸化式a[n+1]=k*a[n]+mにより定義される。

>>333
>>>330だけ見るとなんか騙されたような気がするが
y-x=1y-x
1: unit in R[x]

コーシー型の剰余項であれば直接いける
ラグランジュ剰余項では難しい

>>335
そうだね。xを任意の定数とみなして、h(y)=f(y)-f(x)
とおけば理解しやすいかも。

多角形の内角の和の公式(n-2)πに対応するような多面体の公式ってあるのですか？

4面体に分割して計算してみなよ

>>336
　そうかなぁ…

f(x)=sin(x)に対し、関数g(x)とh(x)を
g[1](x)=f(x), g[n+1](x)=f(g[n](x))
h[1](x)=f(x), h[n+1](x)=g[n](f(x))
と定める。
aを実数とするとき、以下の極限を求めよ。

lim[n to infty] g[n](a)/h[n](a)

wwwww

ワッチョイ、IP表示議論スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1567953023/

この関数のxでの微分を教えていただけないでしょうか？

項が3つあって苦戦してます。できれば過程も書いていただけると助かります。

f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n

>>345
ありがたく思え

f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n

g(x)＝(x^n)(1-2x)
h(x)＝(1-x)^n
とおき
f'=g'h+gh'を計算

皆さんの力を借りたいのですが

1×10²-1×x²-1×(10-x)²=42

という2次方程式があってこれを解くと

x²-10x+21=0
(x-3)(x-7)
x=3,x=7

と解説集に書いてあるんですけど
何度解いても

-x²+10x-21

にしかなりません。
途中式も入れて解いていただけませんでしょうか？

マイナスかけるとどうなりますか？

>>345

f(x)＝(x^n)(1-2x)(1-x)^n

3つの関数の積の微分は2関数の積の微分公式から導けて
(fgh)'=(fg)'h+fgh'=(f'g+fg')h+fgh'
=f'gh+fg'h+fgh'
=fgh*[(f'/f)+(g'/g)+(h'/h)]

よって

f'=f(x)*[(n/x)-(2/1-2x)-(n/1-x)]

前>>228
>>347
1×10^2-1×x^2-1×(10-x)^2=42
10^2-x^2-(10-x)^2=42
100-x^2-(100-20x+x^2)=42
-x^2+20x-x^2=42
2x^2-20x+42=0
x^2-10x+21=0
(x-3)(x-7)=0
∴x=3,7

∫ f(x)dx = ∫{x(1-x)}^n (1-2x)dx
= ∫{x(1-x)}^n {x(1-x)}' dx
　= ∫ y^n dy
　= 1/(n+1) y^(n+1) + c,

これって確か阪大のπの無理性の問題かな？

あれははっきり言って相当難しいので3関数の積の微分ができない人が触らないほうがいいと思うけど。部分積分漸化式の単純計算ものでは多分一番難しいまである

川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。

以下の問題の川平さんの解答ですが、非常に長いものになっています。


関数 g(z), h(z) は点 α を含む領域上の正則関数とし、条件

g(α) ≠ 0
h(α) = 0
h'(α) ≠ 0

をみたすものとする。

このとき、点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極であることを示せ。

以下の簡単な解答でOKだと思いますがどうでしょうか？


解答：

関数 h(z) は点 α を含む領域上の正則関数であるから、 α の近くで、

h(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …

とべき級数展開できる。

0 = h(α) = a_0

であり、

h'(z) = a_1 + 2 * a_2 * (z - α) + …

0 ≠ h'(α) = a_1

であるから、

α の近くで、

h(z) = a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
a_1 ≠ 0

である。

h(z) = (z - α) * [a_1 + a_2 * (z - α) + …]

である。

f(z) := a_1 + a_2 * (z - α) + …

は

点 α を含む領域上の正則関数であり、 f(α) ≠ 0 であるから、

g(z) / f(z)

も点 α を含む領域上の正則関数である。よって、 α の近くで、

g(z) / f(z) = b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …

とべき級数展開できる。

g(z) / h(z)

=

(1 / (z - α)) * [b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …]

=

b_0 / (z - α) + b_1 + b_2 * (z - α) + …

は

g(z) / h(z)

のローラン展開であり、明らかに点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極である。