代数幾何を勉強するためのスレッド

ゆっくり代数幾何を勉強するためのスレッド。
初めてスレッドを立てるので、至らない点あれば教えていただけると幸いです。
HartshorneとLei Fuの本を併用して読んでいます。みんなで疑問点を潰し合う、私の備忘録にする、そういう風に使おうと思います。

私も代数幾何を勉強しています。
お互いに頑張りましょう。

自分はさいきん代数幾何の特に交叉理論の勉強してます
がんばろ〜

Liuを最後の章まで読みたい
並行して、楕円曲線と類体論をまったり勉強する

Mumfordの代数幾何学講義を読む予定です
質問あったら書き込んでいくのでよろしく。

スレ主です。皆さんご参加ありがとうございます。嬉しいです。
一緒に頑張りましょう！

今日の進捗
1.Hartshorneの命題2.3の証明を追った。次のようなもの。
・Aが環のとき、(Spec A, O_spec A)が局所環付き空間である。
・φ A→Bが環の準同型であるとき、Spec BからSpec Aへの自然な局所環付き空間の射が誘導される。
・AとBが環のとき、任意のSpec BからSpec Aへの局所環付き空間の射は環の準同型から上の主張のようにして誘導される。

2.アフィンスキーム、スキーム、下部位相空間、構造層、スキームの射の定義をした。

スキームの例を2つ見た。アフィン平面の部分の行間にわからない部分があるが、もう少し考えてみようと思う。

連接層の分かりやすい解説キボンヌ

解説はHartshorneに譲るとして、イメージは
・局所自由層(ベクトル束)の一般化
・層コホモロジーの理論が展開できる便利なやつ
かな

代幾といって思いつくのは、
青チャートの代数・幾何
山本の１次変換の基本
写像と軌跡

双有理幾何学というのは、射影幾何学の自然な一般化であって、本来直感的なもののはずなのに、まったく幾何学的な内容が頭に浮かんでこない

グロタン位相

>>11
導来圏は具象物。

Hartshorneの定義だと、構造層O_XがO_X加群として連接であることは自明に見えるのだが、私は何か勘違いしているのだろうか？
たとえば岡の連接定理は、複素多様体の正則関数の層O_Xが、O_X加群として連接ということを主張していて、これは大定理なんだよね？全然自明じゃないんだよね？

>>14
それはスキーム論の特殊事情
一般の環付き空間に対する連接層の定義はもう少し複雑、例えばwikipediaで見ることができる

クリスタリン・コホモロジー

導来関手のwell-definednessがなかなか理解できなくて難しい。
特に射のwell-def

本気でDerived categoryの話しを勉強するならLNM10のresidues and duality の最初の方の解説読む方がいいかも。

因子と可逆層
線形系と有理写像
ampleness
交点数
ブローアップ

このあたりが重要なのは分かるが、頭が追いつかない
誰か、こいつらの意味や関係性を分かりやすくまとめてくれないか

>>18

ありがとう。探して読んでみようと思います。
今アーベル圏でのホモロジー代数の準備をしていて、その中で導来関手が出てきたのだがよくわからなくて困っていたところで。。

参考にします

>>19
それぞれ基本的な概念だから、苦労しながらでも本を読んで頑張るのが一番だと思う
とりあえずナイーブにではあるけど説明してみる

因子は余次元1の部分多様体に注目したもので、"動かす"ことで一致する２つの部分多様体を同一視した同値類を考える、という発想が基本
その同値類[D]からは自然に可逆層(=直線束)O(D)が定まる
また、Xの因子の同値類[D]を一つ定めると、とある手続きによりXから射影空間への有理写像が得られる
この写像は「O(D)の大域切断がどれだけあるか」ということに関係しており、特に大域切断が"十分に多い"場合にはこの有理写像は閉埋め込みを与える
このような因子を豊富(ample)であるという

交叉理論は、簡単に言えばXの任意の２つの部分多様体の交わりを定めようという話
どこに困難があるかというと、良い交わり方をしているとは限らないこと
これはdim(V∩W)>dimV+dimW-dimXとなる場合で、期待されるより大きな次元で交わってしまっている
どう解決するかというと、一方をうまく"動かして"よい交わり方をするように置き換える(ここでも動かして一致する２つの部分多様体は同一視するという考えを使っている)
ample divisorの特徴づけには交点数を用いたものもある

ブローアップは抽象的に定義するだけなら簡単、実際に計算したりすると大変になるけど
ざっくり言えばスキームや多様体の中の悪い点を解消する操作で、証明の中で使うことも多い
(ブローアップにより状況を改善してから主張を示して、ブローダウンしても同様に正しいことを示す、といった流れなど)
他にも多様体の様々な不変量がブローアップによりどのように変化するのか、といったことは基本的な興味の対象となっている

計算して分かった
因子から定まる有理写像って、二次曲線の立体射影を一般化したようなものか

>>1
乙です
1さんは、代数幾何そのものを主戦場にされる予定ですか？
>>5
Mumford代数幾何学講義は自分も気になっていた本でした
応援してますよ

>>23さん
自分はアカデミックに残って研究しようと言うつもりはないのですが、目標としては数論幾何を趣味でやろう考えています。

ハーツホーンなんか読んでも何にもならない
数論幾何をやりたいならサッサとSGA４を読もう
必要なスキーム論は適時EGAで補う

>>19
>このあたりが重要なのは分かるが、頭が追いつかない

数論的な文脈に迫られて学ぶのが一番いい

>>1
トリップ付けたほうがいい

クリスタルコホモロジー

p進ホッジ理論

圏論幾何

>>24さん
そうですか
モチベーションの維持が大変だと思いますが頑張ってください、応援しております
また気が向いたら進捗を書き込んでください、楽しみにしてますよ

＞ハーツホーンなんか読んでも何にもならない
さすがにそれはない
全部読む必要もない

広中平祐ってよくあんな時代に難解な
スキーム理論をものにして大定理を証明したよな

>>33
広中さんは、局所理論は永田さんに、大域理論はグロさんに学んだんだろ。

代数分科会ってすげぇよな
分野が半端なく広いから、身内の研究内容しかわからない
他人の研究内容はほぼ分からん
でも自分の講演後に、知らない人からまさかの質問飛んできてまじでビビった
たった3分の講演でも身内以外に聞いている人がいたことに感動した

講演の内容どんなだったの？

表現論絡みだよ
どこの分科会にも出ているよ

代数分科会だけは雰囲気が独特だね
他は和気あいあいだけど

代数分科会ってそんな感じなんだね
ここはまったり良スレになる予感

数学で一番大事なのはガロア表現だよね？

最近は大学のセミナーで代数的整数論(ノイキルヒ)をやっているのでそれほど代数幾何に時間が割けないのですが、ここ数日でデデキント環と少しばかり友達になれた気がして嬉しい1です。
さっきの進捗として

デデキント環を非自明なイデアルで割った環がアルティン環である

を示しました。(証明あってると思うけどそんなに自信ないので突っ込んでもらえると嬉しいです)
(証明)Oをデデキント環とし、IをOの非自明なイデアルとする。このとき、O/IはOがネーター環であることよりネーター、かつ次元が0である。
実際、O/Iの素イデアルはIを含むOの素イデアルと一対一に対応しており、Oがデデキント環よりそれらは全て極大イデアルである。
よって、再びイデアルの対応定理よりO/Iの素イデアルは全て極大イデアルになるので次元が0であることが従う。
以上より、O/Iが0次元ネーターであることが言えたのでアルティン環である。(終)

よかったらコメントお願いします

>>37
函数論分科会は和気あいあいだ

トリップの付け方がわからないのですが、これであってるんですかね..
明日代数幾何の講義があるので進捗を話せたら話します(^^)

結局Iの素因子が全部極大であれば十分なのかな？

Aを次数付き環とし、X=Proj(A)に対する、Serreのtwisting sheaf

O_X(n)

のアファイン開集合における切断が、具体的にどんな加群になるのかがわからない。


理解していない部分があると思うので、わかる範囲で正確に述べることを試みる。間違いがあったら、指摘して欲しい。

----
Aを次数付き環とする。

X = Proj(A)

とする。これは、集合としては、

X = { P ⊂ A; 斉次素イデアル }＼{ A自身, Aの1次の元全体で生成されるイデアル }

Xの開集合は、各斉次元f∈Aに対して、

D+(f) := { P∈X; f∉P }

で生成される。

各開集合D+(f)に対して、Xの構造層O_Xの切断は、

Γ(D+(f), O_X) = (乗法系f, f^2, f^3, ... によるAの局所化)の0次成分 （A[1/f]_0と書く）

fとして1次の元をとり、Xを各D+(f)に制限すると、

X|_D+(f) 〜 Spec(A[1/f]_0)

なので、Xはスキームになる。

----
引き続きAを次数付き環、X=Proj(A)とし、Mを次数付きA加群とする。
Mに付随するO_X加群の層M~が、以下のように定まる。

各斉次元f∈Aと、開集合D+(f)に対して、M~の切断は、

Γ(D+(f), M~) := (乗法系f, f^2, f^3, ... によるAの局所化)の0次成分

----
次数付きA加群Mに対して、n-th twisting M(n)を以下で定める

M(n)のd次成分 := Mのn+d次成分

----
Aを次数付き環、X=Proj(A)とする。
A自身を次数付きA加群とみなして、

O_X(n) := A(n)~

と定義する。

M~の切断のところ。

> Γ(D+(f), M~) := (乗法系f, f^2, f^3, ... によるAの局所化)の0次成分

これは

> Γ(D+(f), M~) := (乗法系f, f^2, f^3, ... によるMの局所化)の0次成分

の間違い

AをNoether環、BをA係数多項式環

A[x_0, x_1, ..., x_N]

とし、X=Proj(B)とする。

O_X(n) = B(n)~

まず、大域切断。
X=D+(1)、B(n)=B(n)_(1)と、Γ(X, O_X) = Aから、

Γ(X, O_X(n))
= B(n)の0次成分
= Bのn次成分
= (Bのn次単項式でA上張られる加群）

続いて、1次の斉次元x_0に対するD+(x_0)上の切断。

Γ(D+(x_0), O_X) = A[x_1/x_0, x_2/x_0, ..., x_N/x_0]
Γ(D+(x_0), O_X(n))
= { m/(x_0)^d; m∈B(n)のd次の元 }
= { m/(x_0)^d; m∈Bのn+d次の元 }

写像h: Γ(D+(x_0), O_X)*(x_0)^n → Γ(D+(x_0), O_X(n))を、

h(f*(x_0)^n) = f*(x_0)^n

で定めることができる。x_0は零因子でないから、hは単射。任意のm/(x_0)^nに対して、h(m/(x_0)^n * x_0) = m/(x_0)^nなので、hは全射。よって、

Γ(D+(x_0), O_X(n)) = Γ(D+(x_0), O_X) * (x_0)^n

----
より一般に、

次数付き環B、X=Proj(B)、1次の斉次元f∈Bに対して、

Γ(D+(f), O_X(n)) = Γ(D+(f), O_X) * (f^n)

よって、

O_X(n)|_D+(f) = (f^n) O_X|_D+(f)

となり、O_Xは可逆層になる。

さいご

> O_Xは可逆層になる。

は

> O_X(n)は可逆層になる。

に。

全射性のところ

> 任意のm/(x_0)^nに対して、h(m/(x_0)^n * x_0) = m/(x_0)^nなので

は

> 任意の
>
> m/(x_0)^d∈Γ(D+(x_0), O_X(n)) = { m/(x_0)^d; m∈Bのn+d次の元 }
>
> に対して、
>
> h(m/(x_0)^(n+d) * (x_0)^n) = m/(x_0)^d
>
> なので、hは全射。

に。

というわけで、自己解決しました。
スレ汚し失礼。

スタンダード予想

エタールコホモロジーはSuslin複体によって
グロタン位相を用いず定義することもできる

混合モチーフの導来圏から混合モチーフの圏を抽出
できるならその存在からスタンダード予想は解ける

局所化は分かるけど、完備化にはどんな意味があるの？

Lei Fuのalg-geomの2章を読み進めています。
effaceableやuniversalな関手などの概念が出てきていてどういう気持ちからそのような概念が必要なのかよく分かってない段階です。
一応導来関手がこのような関手の例になっているのでとりあえず先を読み進めてみようと思います。もし詳しい方がいらっしゃればご教示願えると幸いです。
今は環付き空間Xに対し、Ox-mod上の層のアーベル圏が十分単射的対象を持つことの証明について読み進めています。なかなか手強いです

代数幾何学で一番重要な定理は何ですか

>>39
これは間違いないね
思うに、数学で重要なのは、抽象的な一般論ではなく、各数学的対象が固有に持っている非自明な構造だ

たとえば、円分体の類体論は、Frobenius自己準同型という有限体が自然に持つ構造により記述される
その拡張である、虚二次体の類体論（虚数乗法）は、楕円曲線のモジュラー不変量と等分点という、こちらも自然な構造により記述される

特異コホモロジーもエタールコホモロジーも、単なる集合としてみれば、どちらも有限次元のベクトル空間であり、調べることは何もない……というわけには行かない
（l進）エタールコホモロジーにはGalois群が自然に作用するため、豊かな理論が生じる
特異コホモロジーも、ホモロジーのサイクルに対して積分が定義できることがde Rhamの定理に繋がる

>>56 さん

ガロア表現は確かに楕円曲線やエタールコホモロジーなどの本で見かけるという風にきいたことはあるのですが、実際にガロア表現を学ぼうと思ったら必要な前提知識や、おすすめの本などはありますか？

>>56
＞抽象的な一般論ではなく、各数学的対象が固有に持っている非自明な構造だ
＞調べることは何もない……というわけには行かない

ここにこそ鉱脈があるもんね

そもそもエタールコホモロジーを定義できたのは「アーベル圏」「サイト」といった抽象的な一般論を見出したからでは

誰かが整備してくれた道具立ては、便利なものだから、ありがたく使わせていただけばいいのだ
ただ、その背後には膨大な具体例の考察があるのだ

圏論やホモロジー代数は、「数学」というより「フレームワーク」だからな

道具

>>57
群の表現と保型形式じゃないかな

SerreのAbelian l-Adic Representations and Elliptic Curves
おれは読んだことないが

サイトに大幅な具体例があったようには思えない
むしろ位相を層に都合のいいように圏論的に書き直した、極めて自然な流れのように思える
これぞ数学の醍醐味だ

なんか変なスイッチ入っちゃった人がいるな

圏論もホモロジー代数も万人が数学って言ってるのに、
数学じゃないって言う方がおかしくないか？

内容か形式かというと形式寄りの議論だという意味だろう＞数学じゃない

・島を見つける
・標準航路を作る
・植民して開拓する

でいう後ろのほうという意味だろう＞数学でない

良スレを荒らしてすまん

グロタンディークは形式よりで大発見してるし数学じゃないと言われると違和感感じるが……
ちょっとむきになってしまったわ、すまん
ここで終わりにしてくれ

続けなさい

一元論で考えるのがよくない
形式と実体の二面性があるので

最近の流れは具象だよ

代数幾何というのは数論幾何のためにある
というかすべての数学は数論幾何のためにある
数論幾何以外は数学じゃないし単なる道具だよ

>>74
これは間違いないね
結局、数学の自然な発展って、数論幾何なんだよな

なんで？

それが現実だから

数論幾何を研究しても、なんの役にも立たない
タバコの煙の粒子の一秒後の位置を予測することさえできない

そう思うだろ？

【悲報】良スレ、終わってしまう

グレブナー基底ぐらいになると普通に具体的で実用性のある数学だけどね。
可換環とか代数幾何の共通部分なのに

数学の正確な定義は分からないが、少なくともwikipedia、arxiv、mathoverflowなどで数学として扱ってるものを、
どこかの誰かさんが数学でないと言ったところで間違ってるとしか言いようがないだろう

問題は、数学の本質が何であるかということ

ここは代数幾何やそれにまつわる数学を勉強するためのスレッドなので何が数学かとか、数論幾何が現実世界の役に立つのかなど話し合うのに興味のある人は是非他所でやっていただきたいのです。

今日もスレ主は気ままに代数幾何を勉強しています。Lei FuのAlgebraic Geometryの第2章 prop1.15あたりまで勉強しました。


(X,O_x)をringed space, FとGをO_x module としたときに、Ext^1 o_x(F,G)(←これを以下単にExt と書くことにする)と、FのGによる拡大の同型類の集合(これをSとする)の間にはone-to-one mapが存在する


ことの学習をしました。両側向きの写像を構成し、Ext →S→Ext と合成すると確かにidentityになることは証明できたのですが、逆にS→Ext →Sと合成してidentityになるかがまだ証明できていません。もう少し粘ってみようかとは思っています。

結局行間が埋まらなかったので、諦めて必要な可換環論の準備をしました。(飛ばしたところはセミナーで友達に尋ねます)
Artin-ReesのlemmaとKrullの交叉定理の証明を追いました。結構な時間がかかりましたが、ひとまず嬉しいです。

エタールコホモロジーは、特異コホモロジーのアナロジーだし、楕円曲線のTate加群の一般化だから、背景に具体的な考察があると思うけど

まあ、個人の解釈の問題だし、数学観で数学ができるようになるわけじゃないから、どうでもいいけど

代数幾何学以前の話だけど、Dummit and FooteのAbstract Algebraは、具体例が豊富でいいですね

やみくもに代数幾何を学んでも不毛なのだよ
数論幾何という明確な目標を目前に置くのだ

趣味でやるなら自己満足なんだから不毛とか関係ないよ
金にならなくてもポストを得られなくても仕事に繋がらなくてもそんなの関係ない
本人の満足だけが目的なんだから不毛という言葉が不毛

誰がハゲだ

禿げは無毛だろハゲ

数学は趣味でやれるほど甘いものじゃないのだよ
子供がやる数学モドキのお遊びとは違うのだから

>>89
>趣味でやるなら自己満足なんだから不毛とか関係ないよ
>金にならなくてもポストを得られなくても仕事に繋がらなくてもそんなの関係な

いや、趣味でやるにしても、ちゃんとストーリーや興味の核の紡ぐように学んで行かないと
数学の醍醐味が味わえずいずれ挫折する
というか、数学に「趣味でやる」「趣味でやらない」は関係ない。
本業でやるにしても、趣味でやるかのように取り組まないと、良い論文は書けない

>>88
>やみくもに代数幾何を学んでも不毛なのだよ
>数論幾何という明確な目標を目前に置くのだ

その通り、代数幾何は道具でしかない
というより、全ての数学は本来は数論を前提にしないといけない。

形式的なかっこよさで代数幾何に飛びついても最初だけでいずれ挫折する
というか挫折すべき。挫折するのも才能

毎日数学

>>94が数論好きなだけ定期

>96
数論が好きというより絡み具合がここまで有機的な知的構造物が
数論以外にない

数論幾何って、具体的にどんな分野があるの？
代数幾何なら、専門は双有理幾何ですとか、モジュライ理論ですとか言えるけど

>>92
そういう視点が無用なのが趣味じゃ？

>>93
＞本業でやるにしても、趣味でやるかのように取り組まないと、良い論文は書けない
禿禿しく同意

Lei FuのEtale Cohomology Theoryをかなりいい加減に読んでる
とりあえず、結構理解できたという実感があるので、DeligneのWeil Conjectureを読もうと思う

代数幾何学おぼえること多すぎ！

・超越拡大体
・可換代数
　・Noether環
　・局所化、Hom、テンソル
　・準素分解
　・整拡大、離散付値環
　・次数付き環、Hilbert多項式
　・完備化
　・Krull次元
　・Cohen-Macaulay環、Gorenstein環
・ホモロジー代数
　・導来関手
　・スペクトル系列
・スキーム論
　・加群の層、とくに連接層
　・固有射、射影射
　・Weil因子、Cartier因子、線形系
　・各種relativeな構成たち
・層係数コホモロジー
・複素多様体論
　・多変数函数論
　・ベクトル束
　・Kähler多様体

ハーツホーンはあかんよな
宮西が良い

グロタンディーク宇宙について分かりやすい新しい目の文献ありませんか

>>102
一通り理解してあとは必要に応じて使っていたら空気になる
「覚える」というのとはちょっと違うと思う

イタリア学派とか、こんな道具立てがなくても具体的なことやってたはずなんだよな
道具の勉強だけで1年以上かけるのはもったいないよね

代数幾何を勉強するためのスレッドで代数幾何の必須知識を勉強するのはもったいないとは

モチビィックガロア群と多重ゼータで数論幾何を超えた数学を作る、みたいな話は夢があるよね。古庄さん達がやってるみたい。さっぱり分からないから言葉尻の印象だけど…

こんなもん研究するには、SGA4とかDeligneのWeil Conjectureなんか、学部3年くらいまでに理解してなきゃ無理だと思えてくる

>>108
絶対数学とはまた違うのか？

そういう抽象的なのは専門家にまかせて、
俺、楕円曲線とか保型形式とかもっと具体的なことやるよ

>>106
そうそう
不勉強の言い訳にするのは論外だけどそこが本質だと思うよ

このスレの何人が多少は画期的な論文を書けるものやら
>>102とか道具に圧倒されて終わる典型で某教授が代数幾何は墓場と言ってたのを思い出す
数学人生が前提なら個人的には複素代数幾何（や複素幾何）の方がずっと実り多いと思うね

>>112
いや、スキーム論自体が数論的動機で生まれたのだから、
代数多様体自体を扱う【だけ】ならスキーム論なしでもあまり問題ないってだけ。
でも数論を代数幾何的に扱う時にはグロタンディーク数学が必要になる。

>>109
>こんなもん研究するには、SGA4とかDeligneのWeil Conjectureなんか、
>学部3年くらいまでに理解してなきゃ無理だと思えてくる

日本のように「少ないアカポス枠を無理やりゲットするため」には或いはそうかも知れないが、
研究自体には多分そんな事はないだろうし、
そもそも勉強と研究の境目を気にしてるようじゃダメだ
一生を準備だけで終わっても幸福と思えるくらいの人なら、なんとかなると思う

工学部なら学部生でも新しい結果を出したりするけど、
そういう他人からの評価を気にしないこと
勉強をしていて、「もう教科書にはあまり面白いレールがないな」と思ったら、
その時が自然に研究modeになる合図。
ずっと面白いレールがあり続けるのもそれはそれでいいかも知れない・・・。

>>113
でも複素幾何もスキームがないと無意味にゴタゴタする

>>113
川又本に代数多様体の性質を調べるのにスキームの圏まで広げて初めて得られる結果があった気がする

そりゃ一世代前の代数幾何を一生懸命習った人には苦かもしれないが、スキーム自体は別に難しいわけでも、著しく直感に反するわけでもないと思う

現在「日本国内の代数幾何の研究者」と言われている人を見ていると
必ずしも3〜4年生の時にハーツホーン読みましたという人だけではなく
いろんなバックグラウンド持ってる人が少なからずいる

よい研究テーマに出会うことと後から勉強する必要ができてた時に
自力で習得できる力があることが大切

これは、別にスキームを勉強したくないから言ってるわけじゃなくて、俺自身もうまく答えられないから、聞きたいんだけど
スキームが決定的に必要になる状況、あるいはあった方が圧倒的に見通しが良い状況ってどんなのなの？
つまり、古典的な代数的集合と座標環、あるいは複素多様体や複素解析空間では扱えないとか、すごく複雑になってしまうもの

>>119
base changeとかするときは決定的に必要だろな。
R上の問題をQとか代数体上の話に還元したり、有限体上の話に持って行ったりとか。
その手の作業してる時に座標環が既約でなくなったり被約でなくなったりするともは通常の幾何学的な理解は完全に不可能になる。

ハーツホーンは絶対に良くないよな

>>119
複素代数幾何に限っても
・特異点解消
・Geometric Invariant Theory
どちらも初期にスキームの優秀さが発揮された例

ブローアップなんてrelative Proj使えば一行で定義できちゃう

>>121
単位閉円盤で全単射か分かるから許して

たとえば将棋が好きな奴が覚えることが多いのを苦にしないだろうし、代数幾何やってりゃ誰でも標準的に学ぶことを学ぶのが苦に感じるなら、あまり向いてないんじゃなかろうか
あまり基礎を疎かにするのもまずいが、Hartshorneの2章をしっかり理解してりゃ、必要な知識は調べつつ論文読めるだろうし、そうすりゃいいと思う
覚えることが多いと言っても、ほとんどは、具体的な例で考えれば直感的に分かることを厳密に定式化するための概念なわけなので、やっぱり、重要な具体例を抑えることが王道だと思う

> ほとんどは、具体的な例で考えれば直感的に分かることを厳密に定式化するための概念
ほんとその通り

整数のスキーム
とか具体例の一番最初によく出てくるけど、直感で整数が正則関数だと分かったことはないのだが……

そうですか

ポエムを投下すると盛り上がるのは低レベルだからやめなさい

ハーツホーンに代わる新しい教科書は何を選びますか

>>130
Liuとか

けっきょく物理屋さんに日本タイプの駄目純粋数学信仰が駆逐されるだけのような気がする。
将来的に。

超ひも理論「おっ、そうだな」

>>133
バカっぽい実験物理学純血主義もご一緒にジェノサイドされてそうだよね。
その頃には。

>>134
> バカっぽい実験物理学純血主義

それはあなたの脳内にある藁人形

ウィッカーマンの中にでも実際に詰め込まれたのかな？。
それとも麦わらストローで甘い汁チューチューしてるのバレたくないのかな？。

>>136
この的外れな中傷が、私の指摘が妥当であることを物語る

>>137
おっ、そうだな

>>138
これもそう

どんと焼きで寄生虫が断末魔あげてるようなのは松くい虫の鳴き声とは言い難いな。

>>140
例えの拙劣さは低い知性の証である

>>132
君の数学は調子どうなの？

https://i.imgur.com/QWRGZeD.jpg

今日の午前は、Fuの本でスペクトル系列を勉強した

この本では、一般的にAbel圏の関手F: C→C', G: C'→C''の導来関手に対して論じているが、
まあ、要は、f: X→Yと、Xの層Fに対して、順像関手f*: Sh(X)→Sh(Y)と、大域切断関手Γ(Y, ・): Sh(Y)→Γ(Y, O_Y)-Modを考えて、

E^{p,q}_{2} = H^p(Y, R^qf*)
⇒ H^(p+q)(X, F)

が得られるわけだ

証明をぜんぶ読むのはかったるいので、午後は具体例計算する

これ、Hartshorneの副読本としてはいいと思うけど、つまらんやろ……

ネットに落ちてたAbel-Jacobiの定理の証明を読んだ
データ関数ってすごい

✕　データ関数
○　テータ関数

あと、Diamond-Shurmanは面白いよ
おすすめ

>>146
リンクギボン

おまえらハーツホーン読んでるの？
バカじゃね？

>>146
こういうやつ？
https://www3.nd.edu/~lnicolae/Printu.pdf

スペクトル系列の計算
Cech-DeRham複体と格闘してた
良い計算練習になった
ついでに、Poincareの補題とか、1の分割みたいな、可微分多様体の基礎も復習した

層の完全性の定義と、Poincareの補題から

0→R→Ω^1→Ω^2→……

が完全であることが従い、パラコンパクトな可微分多様体上のC^∞級関数が1の分割をもつことから、Ω^iがΓ(X, *)に関してacyclicであることが従う

0→R→Ω^0→Ω^1→...

です

ぬ？Ω^iがΓ(X,-)に対してacyclicとは？

大域切断関手に関する右導来関手の1次以上は消えること……あってるよね？

あれ？大域切断取る関手の導来関手がH^i(-)でコレがvanishするのは条件いるのでは？

もしかして
X^*のinjective resolutionが
0→X→I^0→I^1→‥
のときXを切り落とした
0→I^0→I^1→‥
が0番目を除いてacyclicになる話と混同してるんじゃないの？
コレが0番以外のとこexactとしてもΓ(x,-)は一般には完全関手じゃないからコレをI^*にヒットすると0番以外のとこに非自明なサイクル出てくるよ？
それを取り出したものが導来関手なんだから。

ご指摘ありがとう
解決できそうな文献をみつけたので、ちょっと整理してまた来ます

Ω^iは、acyclic

証明:
0→Ω^i→I^0→I^1→…をΩ^iの入射分解
F^i := Γ(X, I^i)とおく。
0→F^0 -d-> F^1 -d-> ……に対して、

H^i(X, Ω^i) = Ker(d: F^i→F^(i+1))/Im(d: F^(i-1)→F^i)

i≧1に対して、任意のs∈Ker(d: F^i→F^(i+1))は、あるs'∈F^(i-1)が存在して、s = ds'となっていることを示す。

Xの開被覆U={U_j}を、

1. Γ(U_j, I^(i-1))→Γ(U_j, I^i)→Γ(U_j, I^(i+1))が完全
2. 任意のx∈Xに対して、ある開近傍x∈V(x)があって、U_j∩V(x)≠∅となるjは有限個

となるようにとる。
(1)は、I^(i-1)→I^i→I^(i+1)の完全性から取れる
(2)は、Xがパラコンパクトなら取れる

(1)より、各U_j上では、ds'_j = s|U_jとなるs'_j∈Γ(U_j, I^(j-1))が取れる。
{u_j}を、supp(u_j)⊂U_jとなる1の分割とし、s'∈F^(i-1)を、

s' := Σ (u_j s'_j)

とおけば、ds' = s。□

適切な仮定のもとで正しいと思うけど、ホモロジー代数をちゃんと勉強してないので（まあ、代数幾何学もちゃんと勉強してないけど）、都合のいい仮定を暗に設けているかも知れない
自分でも、何が理解できてないかは知りたいので、ご指摘よろしくおねがいします

Ω^iはacyclicなのはそうだけどそこにΓ(X,-)をヒットさせてΓ(X,Ω^i)にするとacyclic性が消えてしまう。
Ω^iをOx-加群の列と考えたとき

Ω^iがacyclic Ox-moduleの列
⇔全てのx∈Xに対してΩ^i_xがacyclic

が成立してる、すなわち層がexactかどうかは各店のストークがexactかどうかで決まるのでlocalな問題になってしまう。
が、大域切断をとったchainがexactには一般には成立しない。
例えばX=S^1であるとき
Ω^1は各点の近傍でdθで張られる局所自明層。
Ω^2=0だから全部cycleだけど全ての点の近傍で原始関数を持つ、すなわちOx加群の層のchainとしてはacyclic。
しかしその大域切断はやはりΓ(X,Ω^1)=<dθ>だけどS^1全体で定義された関数Fを用いてdF=dθとなるものはとれない。
つまりdθはexact cycleでないcycle。
よってH^1(X,Ω^*)≠0。

ところで以上の話はΩ^*自体をOx加群の鎖と見たときの話でいわゆるドラームの定理の話。
ところがもう一つΩそれ単独をOx加群と見たときExt^1(Ox,Ω)が死ぬときがあってそれはなんかの条件下で成り立つ。
その時はいわゆるΩ^1から作られるKoszul complexをinjective resolution のかわりにとってcohomologyを計算できる。
もう少し一般化して

Thm

Aがenough injectiveなabelian cat.,X,Yがobjectで
0→Y→J^0→J^1→‥‥がacyclic、Ext(X,J^i)=0 のときExt^*(X,Y)はH^*(A(X,J^*))に一致する。

というのがある。
もちろんJ^*がinjectiveのときは前提条件は満たされて主張は自明だけど、必ずしもinjectiveでなくともXに対してだけExtが死んでれば良いというお話。
このお話は何に使うかというと、一般にはinjectiveな層は超巨大な層になって具体的に計算するのはほとんど無理でなんとかならんかというときに、injective sheafではなく、
考えてる表現関手に対してだけExtが死んでればいいだけならもっと小さいのが採れる場合があり、今の場合ならΩがそれに当たる。
因みにその場合にはΩはOxに対してrelative injectiveであるという表現の方が普通のハズ。

Γ(X, Ω^*)からなる複体のコホモロジーが消える、という主張はしていないと思ふ……

いや、Ω^*がΓ(X,-)に対してacyclicという言い方をされるとおそらくそうとる人が多いと思うんだけど。
その言い方は何かに載ってたの？

Abel圏Cは十分多く入射的対象をもつとして、Cの対象Aが左完全な共変関手Fに関してacyclic
:⇔ R^i F(A) = 0 for all i ≧1

じゃないの？

まず普通対象単独をacyclicと呼ぶことはほとんどない。
cycleは境界がないくるっと回ってる輪っかのイメージ。
acyclicはcycleがないという言葉。(a はないを表す接頭語)
つまりacyclicというのはそもそもなんかの境界作用素の定義されたものに対して呼ぶ呼び名。
なので
Ω^*がΓ(X,-)に対してacyclic
といってしまうとkoszul cpx Ω^*にΓ(X,-)をヒットしてできるchainであるΓ(X,Ω^*)、すなわちドラーム複体がacyclic問いう意味にしかとれないと思う。
任意のiに対してΩ^iがExt^k(Ox,Ω^i)=0 k>0 という事を表現する時にそのような言い方は普通しないと思う。

そうですか

複素数体上以外の代数曲線のJacobian vatietyは、どのように構成するのでしょうか
複素数体の場合は、複素トーラスになるので、abel多様体になることが分かりますが

非特異代数曲線に対して、次数0の因子の同型類として定義される

そいつにどのようにスキームの構造が入るの

代数幾何って物理では注目されていたけど
代数幾何で電子のスピンを表現してみても
なんかいまいちって感じでとてもじゃないけどスピンを完全に表現してるとは言い難い出来栄え

そんな話は初めて聞いた

>>169
なんか相当の駄目人間臭がする。コイツ。

代数幾何学の物理への応用なんて、（日本の）数学者は大して重要と思ってないだろう

位相幾何スレどこ?

なんで、代数的サイクルとエタールコホモロジー、はこのスレで話題にならないの？

>>174
このスレの住人には難しすぎて読めない

>>175
全くもってそのとおりだと思う
参考書並べて満足してる奴ばっか

>>176
アレは読める必要ないし
アレが読める人はアレを読む必要ない
素直にSGA4読むべき

2020年を目前にしてグロタンにまったく追いつけないんですが

小木曽啓示『代数曲線論』すら読めない

そのくらいは頑張って読もう

代数幾何、大好きか？

そもそも人類が代数幾何を大して理解していない
恥じることはない
一歩一歩、着実に学べばよい

代数幾何学の対象は、有限の次数の多項式のみですかね。

神戸大数学科のＯＢという人が学部での授業で、代数幾何位相幾何などは、最優秀の学生デモよく理解できないとかだったが

代数幾何は客観的に見てそりゃ難しいんだけど、そうは言っても、こう言ってる人って、「学校の勉強」の感覚が抜けてないんだと思うよ
「勉強ってのは、教科書があって、そこに書いてること覚えればいい」って意識のまま数学科入っちゃった人

数学が得意な人は、自分の関心のあること考えてたら自然と意味のある概念に行きついていた、という経験があるものだよ
微分積分をちゃんとやってたら、多様体や微分形式の概念は、学ばなくても既に知っていたというような

数学的に意味のある対象を考察することが数学なのだから、具体例は何かとか、同値な言い換えをするとどうなるのかとか、そういうこと考えてたら、自然とそうなるはずなんだよ

スキームの定義さえわかれば
あとのことは適当でいいだろ

勉強の方法も理解の仕方も人それぞれなのだから、本人がそれでいいならそれでいいよ

ハウスドルフがイッパイアッテナ

曲線と曲面・因子やベクトル束を複素数体上でわかっていたら
スキーム知らんでも研究はなんとかなる
その辺でずっと食ってる人も多い

小木曽の曲線とか今野の曲線束とか金銅のK3あたりが読めないレベルなら知らんが

3次元代数多様体の分類って進展してるの？

1245
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

ま、数学を理解する基本は具体例と証明だわな
でも、形式的に具体例考えても、あまり意味のないものはたくさんある（連続だがすべての点で微分不可能な関数とか）ので、
ある程度鈍感になって、さっさと応用を学ぶのも重要

>>187に賛成かな

＞あまり意味のないものはたくさんある（連続だがすべての点で微分不可能な関数とか）

フラクタルとか知らん阿呆の妄言

別に自分が興味を持って調べる分にはいいけど、教える立場になったときに価値観を押し付けないようにね

図で理解したいのですが、オススメのサイトがあったら教えて下さい。

多変数複素函数論が面白そう
カルタン偉大

>>192
確率解析なんかはそういう関数を研究対象にしてるんだが

>>197
詳しく
今でも発展してるの？

>>195
よくもわるくも研究レベルになると価値観のせめぎ合いなんだけどね。

>>200
価値観とか言っているうちは、まだまだこども。
妄想だけでは、なかなか結果を出せないよ。

スキームとコホモロジーがわかればよい

>>201
何が重要で何を枝葉と見るかは価値観の問題だろう

枝葉にこそ魂が宿る

>>204
それは一見枝葉に見えて実は重要だったという話でしょ？

ポエムになると盛り上がるの、恥ずかしいからやめような

スキームだコホモロジーだといってて
adjunction formulaも使えないバカ

愚弄耽溺はポエムじゃなくてありがたいダルマだろ。

>>207
使えても意味がわからなきゃダメだろ

まあでも意味がわかっても使えなきゃただの雑学、蘊蓄にしかならん
(高校までの)教員側に立つのなら話は別だが、研究者を目指すならまずは何より研究できなきゃ話にならんわけで、そのために必要なのは蘊蓄ではなく正しい運用力でしょ

個人的な意見を述べれば、蘊蓄とか数学観はどうでもよくて、運用力がすべてだと思う

運用もいいが、未来へのビジョンも示してほしい、グロタンのように

というか、薀蓄は必要ない
薀蓄で数学ができるか？

https://www.youtube.com/channel/UCrPJlgJeQ9quX-zxv28orOw

ニホンザルヒトモドキのハゲ池沼武田レイプ邦彦を睾丸を切り落としてゴミごと焼き殺して殺せ

代数幾何を勉強するならハーツホーンだスキームだと唱えるよりは
運用できる地道な力を身につけた方が健全
匿名掲示板だとゆるふわな話ばかりになりがちだが

台数幾何ゆるキャラ グロたん！

代数幾何は数論幾何のためにあるのだよ

代数幾何は代数解析のためにもある

代数解析も数論幾何のためにあるのだよ

>>219
嘘つけ

ほんとうに嘘なのか？

代数幾何学よりも代数解析学のが遥かに難しいよな

グロたんに聞いてみるとか

グロたんでも代数解析学は理解できまい

代数解析はD加群の理論だと思えばいいの？

おまえら、代数幾何学は何の本読んでんだよ？

宮西の1章とLiuだが

ハーツホーンは読んだんか？

>>225
そういうこと

おまえら代数解析学は分かるんか？

代数解析なんてD加群の理論だと思えばいいんだよ
そういう意味では代数解析も数論幾何のためにある

じゃあ、おまえら何のために代数幾何学やってんだよ
数論幾何学やれや
それか、高次元代数多様体やれよ

遠アーベル幾何学、と聞いた時点でわからなくなる。

数論幾何学なんて代数・幾何学・解析学すべて入り交じっててワケわからんしな
あんなん、理解不能だわ
おまえらも大人しく代数幾何学やってろ

>>233
一種の類体論

>>231
代数解析を狭く解釈しすぎだろ。
佐藤幹夫が生み出して目指した数学を代数解析と呼ぶならば、D加群の理論を直接使わなくても研究できるような可積分な場の理論なんかも入ってくる。三輪神保らの研究とか。

おまえら、アラケロフ幾何学理解できるの？

数論幾何の一種だろ

リジッド幾何学もそうだよね？

>>236
あんまり広げて考えるとかえってわかりにくくなるでしょ
直接数論幾何に関わらない部分は深入りしないほうがいい

おまえら数論幾何学分かるのか？

分かりにくくなる⇒深入りしないほうが良い

は論理の飛躍だ

論理なんてのは飛躍するためにあるのだろ？
というか、佐藤数学なんかにかぶれたってしょうがない

EGA 1の英訳がネットにアップされた

英訳読むのはヘタレ

おまえら、シンプレクティック幾何学やらないの？

宮西の代数幾何学って、相当難しくないか？

佐藤数学に深入りしなくてもよいが、
代数解析＝D加群
と臆面なく言うのは幼稚だよ。

おまえらにD加群が分かるわけないだろ
エタールコホモロジーでもやってろ

D加群はワイル代数の一般化だろ
量子ワイル代数というのもある

おまえらに代数解析学が分かるわけないだろ
佐藤超関数でもムリなのに

勉強するスレだよね？

いいや、勉強スレじゃないよ
理解できないなら諦めるスレだよ
だから、おまえらは微分積分でもやってろ

代数幾何を勉強するため今は線形代数を勉強しています

アホか
可換環論やれや

代数解析はマイクロ関数やら擬微分作用素
なんかを使った超局所解析のことだわな
所詮は一種の微分方程式論に過ぎんだろ

代数解析を勉強するため今は微分積分を勉強しています

微分積分いい気分

数オリ金メダルの中島さちこだよな

中島さちこは天才だよな
火災よりも格上だしな

さっさと病室に戻れよ

代数幾何学やるなら、先ずは数オリでメダル取ってからにしろ

>>244
これね
https://fppf.site/ega/ega1-auto.pdf

解りやすいタイヒミュラー理論解説本よろ

望月新一に聞けや

望月さんは宇宙人だからな
未来からの使徒だ

宇宙人の数学って、相当進んでいるらしいな

IUTに進展なんかあるのか？

全くないよ

IUTって、どういう手法で加法と乗法分けてるの？

>>246
ミラー対称性に関係するから当然やらないと

やれよ
グロモフ好きなんだろ、おまえ？

おまえら、モジュライ理論もやってんのか？

エタールコホモロジーやった
俺には簡単だったから佐藤超関数やってるよ

モジュライもコホモロジーも
D加群も全部やらんと数学にならん

アホか
双有理幾何学だけでいいんだよ
森重文がそうだろ？

導来圏〜K群〜指数定理の指数

指数定理なんてクソだろ
アティアもバカだったし

導来圏がひとつ与えられたとき
それに対応する代数多様体の双有理同値類
を復元することはできるのだろうか？

できないよ、定義より明らか

導来圏をどこまで狭めれば
代数多様体の双有理同値類を復元できるか

そんなこと考える暇あるなら、うんこのこと考えろよ

ブーリアン演算

マンフォードの本ってかなり難しくないか？
ハーツホーンのが簡単なんだが

そうなの？
読もうと思ってたんだが

おまえやめとけ
めっちゃ難しいぞ
宮西のにしとけ

おまえらじゃ、宮西すらも分からないだろうな

>>284
RED BOOKのこと？
あれコホモロジーないから微妙よね。だったら最初からハーツホーン読む

ハーツホーンなんて読むのムダだぜ
森の双有理幾何学読めや
てめーにはマンフォードは読めん、バカだから

コホモロジーは別で補うのも良いぞ
スキーム論が中核だしそういう意味でred bookは良い

森プログラムの4次元以上の場合はどうなってるの？

進展ないよ

遠アーベル幾何の高次元化ってないんだろうか？

>>293
低次元化しようよ

低次元のが難しいぞ

低次元て0次元のこと？

マンフォード難すぎワロタ
おまえら理解できるの？

ヴェイユの代数幾何本、再評価されるべきと思う

>>298
Weilの代数幾何学本というとAMSから出てるFoundations of Algebraic Geometryか

そうです
あと、ファンデアヴェルデンの
「Einfuhrung in die algebraische Geometrie」
もそれに関連して読んでみたい

ヴィイユは数論が専門だろ

代数幾何学って、大学院で学ぶ分野なの？

代数幾何学は、東大でしか学べないよ

>>303
京大は

京大なんて東大に比べたらカスだろ

Shafarevich, Basic Algebraic Geometryも捨てがたいな
代数幾何童貞wの多い5chはハーツホーンばかり言い過ぎる

EisenbudのThe Geometry of Schemes

代数幾何学なら、宮西が一番良いだろ

ハーツホーンはネタだから
本気で薦めてるわけじゃない

>>305
望月新一なめてんのか

学部の大講義室で受けた講義でお勉強するようなもんじゃないぞ
理論系数理分野は。

まあ京大タイプの圧迫自主ゼミもなんだかなあと思うが。

京大なんて偏差値低すぎだろ
あんなんバカでも受かる

>>306
ShafarevichのBasic Algebraic Geometryって２巻本だよね、あれ最初は１巻本だったのに
代数幾何の本ってどんどん分量が増えて行くイメージがある

Kuntzの1985年の「可換代数と代数幾何学」本の前書きによれば同じ内容を繰り返すことなく200シメスターも講義できる（ほど代数幾何学には
講義すべき内容が山ほどある）そうだから、分量が増えてしまうのは当たり前と言えば当たり前なのかも知れないが

因みにそのKuntzの英語版はMumfordも前書きを書いてるんだが、何故か著者のKuntz書いてるのがPrefaceでなくてForewordになっていて
MumfordがPrefaceを書いているという不思議なことになっている、更に英語版へのPrefaceはKuntzという実に不思議なことになっている

代数群の人いますか

いないよ

痴漢群なら

ハーツホーンの本はよく纏まってるよな
それときたら、マンフォードはスキームしかないし、ダメだよな

代数群です。

代数群って言えば堀田の『線形代数群の基礎』って本があるが、正直分かりにくかった。あれほどひどい本って和書でも滅多にないと思う。読みながら著者自身の代数群への素養を疑わずにはいられない、そういう本だった。

さっさと病室にもどれ

>>313
代数幾何もどんどん具体化のほうに向かうから
複素代数曲線だけでもやることはたくさんあるからね
高次元だと独自にできることがまだ少ないけどこれから何十年もかけて進展するだろ

そう思えば代数幾何だけでも一人で全部理解するのは無理になってきて
いろんなテーマで分厚い本がたくさん書かれていくんでしょう

代数的サイクルとエタールコホモロジーとかね

それクソ難しい本やんけ
おまえらじゃムリやぞ

自分はどうなんだ？

ワイの専門は数論幾何学だよ

日本語でこれだけの本が読める喜びを噛みしめよう

森脇淳　アラケロフ幾何
川又 雄二郎　高次元代数多様体論
加藤 文元　リジッド幾何学入門
寺杣友秀　リーマン面の理論
向井 茂　モジュライ理論 1,2

数論幾何にもいろいろあるでしょ
数論幾何に「学」を付けるとなんかアホっぽい
なんでだろう？

ワイはスペシャル幾何学やってるよ

今は情報幾何の時代
統計多様体の代数幾何でリーマン予想にアプローチ

>>329
kwsk

やっぱ、高次元代数多様体だべ

>>330
これが本物とは思ってないが
https://arxiv.org/abs/1802.06178

統計多様体は微分幾何じゃないのか？

>>332
英語できんから、日本語ので頼むわ

>>232
thx

代数幾何学なんておまえらじゃ理解できないだろ

ムリだよね
こいつら位相空間論ですら怪しいのに

数学科に進んだまではよかったが
才能の無さに気づいて愕然とするだろ

数オリも解けない奴が数学科に行くからダメなんよ
大学数学よりも数オリのが難しいしな

数オリみたいなパズル数学には一生関わらないほうがいい

何で？
理由は？

フィールズ賞候補の天才:ピーター・フランクルも数オリ推奨しているしな
フィールズ賞取るよりも数オリ金メダルのが凄いことだよな

>>341
時間の無駄
代数幾何・数論幾何にはやることが山ほどある
ピーター・フランクルは数学知らないタレント

フィールズ賞より数オリ金の方が上とか笑える意見だね

数オリと代数幾何学には、密接な関連があるんだよ
森重文がそうだろ？
大学への数学の学力コンテストやってたんだよ？

森重文みたいのは特殊な例だから

森重文って、京大だろ？
たいしたことないね
何で東大目指さなかったの？

東大でも京大でもどっちでもいいのでは？^ ^
そこからは先は本人の才能

アホか
京大なんてカスしかいねーぞ
東大だけなんだよ、別格なのは
それに森重文は数オリメダリストでもないし、数学はあんまできないだろ

ちょっと調べりゃ分かりそうなもんだが、森さんが大学受験した年は東大が入試を中止してる。
後、森さんの頃は日本は数オリに参加してない。
ドヤ顔で書き込む前にこれくらい調べろよ笑

ID:T3mqZ/kn　こいつはただのバカ・荒らしなんで無視してください

この人ってヒマラヤって言われてた人？

射影幾何学って、代数幾何学なの？

ハーツホーンのコホモロジー難すぎだろ、あんなん
おまえら分かるのか？

分からなきゃ数論幾何できないだろ

おまえら数論幾何学なんて理解不能じゃねーか
数学は天才のやるもんだよ
バカなおまえらには日本史が丁度いいんだよ
てか、その前に童貞卒業しとけや

数論幾何学って、どんな分野があるの？

モチーフの哲学

コホモロジーなんか使えりゃいいだろ

その前におまえ使えないじゃん

あほバカり
あんなかんたんなことがわからんのかね

スキームよりもコホモロジーのが難しいだろうが

コホモロビチッチ不連続面

グロタンの消滅定理って、凄いよな？

5時からマンの

4次元以上だと極小モデルの存在どうなるの？

どうにもならないよ
現実世界には何も関係ないから、どうでもよいことだよ

それじゃあ何のための代数幾何なのか？

現実より代数幾何のほうが難しいよ

恋愛の方が難しいよ

数学板住人にとって「恋愛は妄想」だろうがwww

おまえらって、童貞だろ？
おっぱい触ったことあんの？

さっさと病室に戻れよ

病院より風俗行けよ

おまえら貧乏なのに風俗いく金あるの？

このスレに、初等幾何学の面白さは分かるけど
代数幾何学は何が面白いのか分からないって言う
バカはいますか？

log幾何って進展してるの？

節分ね

進展してないよ

鬼は〜外ぉ！　福は〜内ぃ！！

ハーツホーンのコホモロジー難しすぎんだろ
あんなん、理解できないよな？
おまえら、どうなんだ？
スキームは分かるんだが

小平消滅定理

童貞消滅定理

スキーム

アフィンスキーム

Spec(A)

環A

素イデアル

Zariski位相

エタールコホモロジー

少女A

A: 可換環、1∈A

X := Spec(A) := {[P]; P⊂≠A, 素イデアル}


I⊂A: イデアル

V(I) := {[P]∈Spec(A); I⊂P}

{V(I)}_{I⊂A}は閉集合系:

X = V((0)), ∅ = V((1))
∩_{i} V(I_i) = V(農[i] I_i)
V(I)∪V(J) = V(IJ)　(⊃ ∵P: 素イデアル)


Zariski位相

O_X := {X＼V(I)}_{I⊂A}


Hilbert Nullstellensatz

k: 代数閉体
A = k[x1, ..., xn]/(f1, ..., fm)

m⊂A: 極大イデアル ⇔ m = ∃(x1 - a1, ..., xn - an)

i.e.
極大イデアルm⇔ 点x, s.t. f1(x) = ... = fm(x) = 0


h: A → B , ring homomorphism
P⊂B: 素イデアル ⇒ h^(-1)(P)⊂: 素イデアル
∴ ∃h~: Spec(B) → Spec(A)

but P⊂B: 極大イデアル ≠⇒ h^(-1)(P)⊂: 極大イデアル


構造層

D(f) := {[P]∈X; f∉P}は開集合基
∃A~: X上の層 s.t. Γ(D(f), A~) = A[1/f]
∀[P]∈X, 茎A~_P = A_P = (A＼P)^(-1)A


アフィンスキーム(Spec(A), A~)

(X, O): 局所環付き空間

X = ∪ U_i: 開被覆

∀i, (U_i, O|U_i) 〜 ∃(Spec(A_i), A_i~)

(X, O): スキーム

カカンカンカン可換環

A = k[x, y]
X := Spec(k[x, y])＼{(x, y)}

U = X∩D(x) = D(x) = Spec(A[1/x])
V = X∩D(y) = D(y) = Spec(A[1/y])
X = U∪V

∴ X: スキーム


(X, O_X): スキーム
U⊂X: 開集合
(U, O_X|U): スキーム

O_X加群

X: 環付き空間
O_X: X上の層

F: 層
U⊂X: 開集合

・Γ(U, F): Γ(U, O_X)加群
・V⊂U, a∈Γ(U, O_X), f∈Γ(U, F), (af)|V = (a|V)(f|V)


準連接加群

O_X^J → O_X^I → F: 完全（∃I, J）


M: A加群

Γ(D(f), M~) = M ⊗ _A A[1/f]
: 準連接A~加群

A: 可換環
I⊂A: イデアル

π: A → A/I
i: Spec(A/I) → Spec(A)
閉埋込


(X, O_X): スキー厶
I: O_X加群

O_Xイデアル
Γ(U, I): Γ(U, O_X)のイデアル


閉部分スキーム

Y := Supp(O_X/I) := {[P]∈X; (O_X/I)_P ≠ 0}
はXの閉集合
i: Y → X : 包含写像

(Y, i^(-1)O_X/I)

A = k[X], B = k[Y]
Spec(A) = Spec(B) = A^1_k
A^2_k = Spec(k[X, Y]) = Spec(A ⊗ _k B)


S上のスキーム・Sスキーム

X, S: スキーム
X → S

Sスキームの射
X, Y: Sスキーム
fx: X→S, fy: Y→S
f: X → Y
s.t. fx = fy *f


ファイバー積

S: スキーム
X, Y: Sスキーム

∃X ×_S Y: Sスキーム
px: ∃X ×_S Y → X, py: ∃X ×_S Y →Y
s.t.
∀Z: Sスキーム, ∀fx: Z → X, ∀fy: Z → Y
∃fz: Z → ∃X ×_S Y
s.t. px * fz = py * fy

X: 位相空間
X: Hausdorff
⇔ Δ: X ∋ x → (x, x) ∈ X × X, Δ(X): 閉集合(直積位相で)


分離射

X: Sスキーム
Δ = id ×_S id: X → X ×_S X
X: 分離的
:⇔ Δ(X): 閉集合（Zariski位相で）

有限型

X: Sスキーム
f: X → S

∃{U_i}_i∈I: Xのアフィン開被覆
s.t. I: 有限、∀i, f(U_i) ⊂ ∃V_i: Sのアフィン開集合
Γ(U_i, O_X)は、Γ(V_i, O_S)代数として有限生成

X: Hausdorff位相空間
X: コンパクト
⇔ ∀Y: 位相空間, X×Y→Y (x, y)→y が閉写像


固有射

X: Sスキーム
X: 固有
:⇔ 分離的、有限型、
∀Y: Sスキーム, X ×_S Y → Y が閉写像


A^1_kは、固有ではない
∵ A^1 ×_k A^1 → A^2において、
xy=1の像は閉でない

訂正

> ∵ A^1 ×_k A^1 → A^2において、

A^1 ×_k A^1 → A^1において、

base change

Proj construction

Serre twisting sheaf

ample line bundle

Cartier divisor

linear system

blowing up

Proj ってなんて発音してる？

ぷろじ
それか普通にprojective

スキームと多様体は違いはなんです

étale fundamental group

代数幾何学と数論幾何学って、どちらの方が難しいの？

étale cohomology

crystalline cohomology

l-adic cohomology

コホモロジーは難しすぎる
ここの奴らでは理解できまい

代数曲面論の基礎がコンパクトにまとまった文献教えて下さい

モチーフ

代数的サイクル

とエタールコホモロジー

固有射

X: Sスキーム

X: 固有
:⇔ 分離的、有限型
∀Y: Sスキーム, X ×_S Y → Y 閉写像

閉埋込は固有
固有射の合成は固有
固有射は基底変換で不変
f: X → Y, g: Y → Z, g*fが固有、gが分離的なら、fは固有


k: 体
X: k固有代数多様体
⇒ Γ(X, O_X): 有限次元kベクトル空間

:⇔ 分離的、有限型
∀Y: Sスキーム, X ×_S Y →