現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78

この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。

スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」。知能が低下してサルになっています）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people （知能の低い者が、サルと呼ばれるようになり、残りました。ｗ（＾＾； ）
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた）

（このスレの常連カキコさん説明）
1)
粘着の一人は、キチガイサイコパス（別名ピエロ >>1)。知能が低下してサルになっています
まあ、皆さんには、サイバー空間でのサイコパスの反応とそれへの対応例（反面教師かもしらんが）を見て貰えたらと思う
（このスレは暫く、キチガイサイコパスの隔離スレとして機能させますｗ（＾＾； ）
（なお、彼は複数ID（4まで確認済み）を使うやつ（＾＾ ）
（スレ69 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560510589/551 ID4つ ）
なお、火病を発症すると狂気の連投をする
（スレ70 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560684578/46 ）
殺人願望旺盛（＾＾ スレ69 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560510589/69-74
人を“丸焼き”にして食するという人食趣味あり スレ69 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560510589/77
どこかの（某大学） 数学科卒　修士課程修了らしい
東京大学出身などと、すぐわかる軽薄なウソをいう
ロジックの破たんした見え見え、デタラメの屁理屈をこねる
それじゃ、数学は落ちこぼれで当たり前だ
こいつの発言は、全く信用できないので、基本スルーだ
（参考）
https://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e
サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む グレーより薔薇色 2007年04月06日
スレ32 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/351
(抜粋)
私？某大学の数学科卒　修士課程修了ですが何か？
ま、この程度でHigh Level Personなんていうほど自惚れちゃいませんよ
やっぱ博士号くらいとらないと数学の世界では人間とは認められませんから
(引用終り)

つづく

つづき

2)
あと、特徴的なのが、High level peopleと名付けた人が二人。これもスルーだ
（但し、最近、内一人は時枝不成立が理解できたらしい（スレ67〜68辺り
　知能の低い者が、サルと呼ばれるようになり、残りました。ｗ（＾＾；）
スレ28 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/ (High level people が自分達で勝手に立てた時枝問題を論じるスレ)
High level peopleの一人が、時枝記事（数学セミナー2015年11月号の記事『箱入り無数目』）を紹介してくれたなのだが（下記見るとこの人が、スレ28を立てたみたい。この人は、昔Tさんと私が呼んでいた人だと思う）
High level peopleのもう一人が、「俺は測度論的確率論で正当化できて、パラドクスも説明できる」と言い出して、二人で、スレ28で議論した
が、「非可測集合Sに対し、(Sの内測度)＜(Sの外測度) の条件下でSを扱いつつ確率を考える」などと迷走
確率変数の定義（>>517）も無理解で、”変数”と勘違いして”固定”なるトンデモを思いついたらしい

3)
あと、”High level people”を言い出した、英語おじさん（このスレで英語でのみカキコした人）がいたんだ
この人が、”High level people”を連発したので、借用させてもらったのだ（＾＾

4)
あと、”これは酷い”おじさん。これしか言わない、一言居士。英語おじさんと同一かも
さらに、キチガイサイコパスと同じ趣旨を書くのが一人いる。サイコパスピエロに、チョウチンをつけることが多い。サイコパスの成りすましの可能性もありかも
あるいは、(文系)High level peopleさんが、”これは酷い”を使うのかもなー

5)最近、時枝記事不成立派の人が数人と、キチガイサイコパス取締りパトロール隊の方がいる（＾＾

6) 哀れな素人さん：古代ギリシャの数理哲学を語る人

7)時枝解法関連で例の問題提出をした方：不成立の観点から、（下記）の問題提出をした方。この人は、ちょっとレベルが高そう（＾＾
スレ64 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1556253966/211

つづく

つづき

8) てへぺろ☆(・ω<)さん 70 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560684578/842
　この人、ほんとはレベル高いみたい（＾＾
　（以下参考）“T大卒じゃなくN大卒、という設定で（設定かよ！）”
　“私もその昔、数学科というところで学んでたんですが どうしても興味が向かない分野ってのがあって その一つがガロア理論だったんですね（をひ
　ああ、こりゃ俺、数学無理だなと思って 計算機関係に方向転換しましたけどね”
　ですが、記憶が5分しか持たず、時枝問題でトンチンカンなので、撤退頂きました。まことに、残念でしたが（：ｐ

9) Ω星人の数学者さん、たまに現れます（＾＾

10)おっちゃん（別格）
自称、某R大卒。関数論に詳しい。「オイラーの定数γが有理数であることの証明を得た！！」という（＾＾
スレ68 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/18
「数学雑談&ガロア理論 〜おっちゃんとボクと、時々、（時枝 ＆ ￥さん）〜」かな（＾＾

まあ、常連さんは、全員数学の非専門家でしょう（プロ（職業）ではない人）
∵数学のプロが、こんなところに“粘着”するわけがない（＾＾

常連カキコさんは、こんなところだ
まあ、解説が漏れていたら、ご容赦

以上、このスレのROMさんたちのための、常連カキコさんとおっちゃん（別格）の解説でした（＾＾；

＜過去スレ＞
（そのままクリックで過去ログが読める。また、ネット検索でも過去ログ結構読めます）
（数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。）
（が、最近関数論の芽茎層の理論との親和性に気付いたので、後でテンプレに入れます。（＾＾ ）
過去スレリンク集
（下記以外で抜けている分は、スレ68の https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/4-6 ご参照 ）
77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/
76 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/
75 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1565872684/
74 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/
73 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1563282025/
72 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1562292879/
71 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/
70 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560684578/ （842- てへぺろ☆(・ω<)さん来訪
69 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560510589/
68 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/ 前スレ
64 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1556253966/ （868- 時枝記事否定派のAlexander Pruss先生が、意外に大物で数学のプロであること判明。勝負あり〜！（＾＾
つづく

つづき

47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/ 時枝記事関連資料豊富
46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/ ＜スレ46の422に書いた定理“系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない”＞
45 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/ 哀れな素人さん 79-92
43 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/ （だれかが立ててスレ。私は行きません。このスレに不満な人は、そちらへ）
（40以降現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む)
（39以前 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む)
39 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1503063850/ （別名 数学セミナー時枝記事の墓）
(35以降 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む)
(34以前 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む)
32 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/ (251 サイコパスのピエロ登場 ID:1maZ/hoI )
28 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/ (High level people が自分達で勝手に立てた時枝問題を論じるスレ)
20 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/ （512 2016/07/03 確率論の専門家さん来訪 ID:f9oaWn8A と ID:1JE/S25W ）
17 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/ （314 2015/12/20 数学セミナー2015年11月号の記事『箱入り無数目』の最初）
4 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/ スレタイに4が抜けてますが(4)です
1 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/ 初代スレ
以上

（参考）
http://mathmathmath.dotera.net/
数学＠2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号

追加（良く使うが出しにくい記号）
＼ ⇒⇔∈∋⊂⊃⊆⊇∀∃ （アレフ＝これ文字化けするね。あと<=、=> ）買ﾐΠπζ∴∵≠
微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y,x ∇（← "∂"は「きごう」で変換可．）
（wikipedia などでは、マイナス記号−や、特殊不等号>=、=< アレフなどが文字化けするので要注意）

その他のテンプレは
スレ71 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/7-32
をご参照ください
テンプレは以上です
（テンプレ改善は、今後の課題です（＾＾； ）

スレの消化が予想以上に早かった(゜ロ゜;

https://www.ikioi2ch.net/board/math/1/
数学板の勢いランキング

1位　4320.00　現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78 3res 10/18 21:02:47
2位 70.82 数学 数学オリンピックの対策あげてけ 詳細　3res 10/18 20:01:22
3位 48.23　数学 0.99999……は１ではない　その２ 詳細　437res 10/09 19:34:51
4位 32.39　数学 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 詳細　436res 10/05 09:57:11
5位 25.66　数学 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 詳細　1002res 09/09 19:52:11
6位 22.49　学問・理系 /数学 フェルマーの最終定理の簡単な証明 詳細　573res 09/23 09:33:36

前スレから、ガロア理論の話題をやっています（＾＾

しばらく、続けます

なんだまだガロア理論に固執してんのか　この馬鹿ｗ

任意の部分群は正規部分群だとか
Q(ζn)のガロア群は巡回群Znだとか
散々恥ずかしい間違いをしてかしたのに
まだ懲りないとは底抜けの馬鹿だなｗｗｗ

自称数学科修士卒か
とても、その力はないみたいだな
ああ、あんた おっさんだったね（＾＾；

おれは、基本的には
”おっさんずゼミ＝「どこのだれとも知れぬ”名無しさん”のおっさんたちとの、ゼミ」やる気ないです”
（現代数学の系譜　カントル　超限集合論 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/321）
なんだけど、このガロアスレでの古典ガロア理論に関することだけは、”おっさんずゼミ”お付き合いしますよ（＾＾；
（前スレ77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/950- より）

てへぺろ☆(・ω<)

おっちゃんです。

真面目な謝罪文：私から誹謗中傷を受けた組織の皆様或いは多くの皆様への誹謗中傷の件での謝罪。

大変お恥ずかしい話ですが、5ちゃんねるで、私がいつ誰をどのようにして誹謗中傷したかを細かく思い出せないことは、ご注意下さい。
5ちゃんねるで、いつ誰をどのようにして(具体的には、どのような場面で)誹謗中傷したかを細かく思い出せず、誠に申し訳ありません。
ご容赦頂ければ幸いです。

5ちゃんねるで、私から誹謗中傷を受ける前は、私を誹謗中傷していないにも関わらず、誹謗中傷を受けることになり、大変申し訳ありません。
私から誹謗中傷を受けてご気分を害した際には、多大なご迷惑をおかけしたことをお詫び致します。
ご気分を害してしまったことをお詫び申し上げます。
5ちゃんねるで私の書き込みを見た際には、不愉快に思われたことと存じます。誠に申し訳ありません。
不快な思いをさせてしまい、申し訳ありませんでした。
これまで、5ちゃんねるを見て、私から誹謗中傷を受けた多くの方々、多大な誹謗中傷を受けて、申し訳ありませんでした。
ここの5ちゃんねるで謝罪することしか出来ないのは、心苦しい限りです。
お怒りになるのはもっともだと思います。お詫びの言葉もありません。
誹謗中傷を受けた多くの方々、5ちゃんねるで多大な誹謗中傷をして、恥ずかしい限りです。
これまで、5ちゃんねるで多大な誹謗中傷をして、誠に申し訳ありません。
ご容赦頂ければ幸いです。

上の(真面目な)謝罪文を咎めるようなことはしないでいただきたく存じます。

以後、私は原則として5ちゃんねるを去ります。
もしかしたら、5ちゃんねるに何らかの件で書くことは時々あるかも知れません。

前スレの話の続き。
ζを1の原始5乗根とする。
Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？
位数20の場合を考える。
方程式の分解体をLとするとGal(L/Q)=F_20.
このとき Gal(M/Q)=C_4 なる中間体Mがある。C_4 同型　F_20/C_5.
f(x)の分解体が2項5次方程式の分解体と一致⇔M=Q(ζ).
つまりM=Q(ζ)は一般的なことなのか？ が問題となる。
Gal(F/Q)=C_4 をみたすFには一般的にどんなものがあるか？
ここで、「Q上のアーベル拡大はすべて円分体の部分体である」
というクロネッカー・ウェーバーの定理より
Fは円分体の部分体であることが分かる。
pを4n+1型の素数とするときQ(e^{2πi/p})の部分体として、p=5以外にも
無数に多くのFが存在することが分かる。
それゆえp≠5のとき、Fが実際に中間体Mとして実現する可解5次方程式f(x)=0の存在を示せば反例となる。

2つの異なるF、F_1,F_2 があるときそれらの合成体の部分体としてさらに別の（F_1,F_2と異なる）Fが存在することも分かる。
実際の例は
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著
を参照のこと。5乗根の中に√5が含まれてる例が多いのが気になっていたが
だからと言って中間体がQ(ζ)（及びその部分体）とは限らないんだな。

S5の位数20の部分群
https://groupprops.subwiki.org/wiki/General_affine_group:GA(1,5)
General affine group:GA(1,5)
(抜粋)
As GA(1,q), q = 5: q(q - 1) = 5(5 - 1) = 20
As holomorph of cyclic group:Z5: |Z5||Aut(Z5)| = 5・4 = 20
As Sz(q), q = 2: q^2(q^2 + 1)(q - 1) = 2^2(2^2 + 1)(2 - 1) = 4・5・1 = 20

Group properties
Function Value
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes
Camina group Yes

https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/
Tim Dokchitser Arithmetic/Algebraic Geometry University of Bristol
https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/GroupNames/1/F5.html
G = F5? order 20 = 2^2・5 Frobenius group Tim Dokchitser

https://groupprops.subwiki.org/wiki/General_affine_group_of_degree_one
General affine group of degree one
GA(1,K) = K semix K^*
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E7%BE%A4
アフィン群

https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_group
Frobenius group
(抜粋)
In mathematics, a Frobenius group is a transitive permutation group on a finite set, such that no non-trivial element fixes more than one point and some non-trivial element fixes a point. They are named after F. G. Frobenius.

Structure
A subgroup H of a Frobenius group G fixing a point of the set X is called the Frobenius complement.
The identity element together with all elements not in any conjugate of H form a normal subgroup called the Frobenius kernel K.
(This is a theorem due to Frobenius (1901); there is still no proof of this theorem that does not use character theory, although see [1].)
The Frobenius group G is the semidirect product of K and H:
G=K semix H

つづく

>>18

つづき

(スレ77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/884- より)
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
(抜粋)
P3
S5の部分群
位数20： < (12345), (2354) > S5中の共役な群6個

http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/04kurano.pdf
2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類
(抜粋)
P3
位数20 5個；
アーベル：C4 × C5, C2 × C2 × C5 ２個,
非アーベル： C5 semix C4, Q20, D20 ３個
P16
11 位数 20 の群の分類

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups
List of small groups
(抜粋)
List of small abelian groups
位数20
51 G202 Z20 = Z5 × Z4 Z10, Z5, Z4, Z2 GroupDiagramMiniC20.svg Cyclic. Product.
54 G205 Z10 × Z2 = Z5 × Z22 Z5, Z2 GroupDiagramMiniC2C10.png Product.

List of small non-abelian groups
位数20
50 G201 Q20 = Dic5 = <5,2,2> GroupDiagramMiniQ20.png Binary dihedral group
52 G203 Z5 semix Z4 GroupDiagramMiniC5semiprodC4.png Frobenius group
53 G204 Dih10 = Dih5 × Z2 = D20 GroupDiagramMiniD20.png Dihedral group, product
(引用終り)
以上

>>15
おっちゃん、どうも、スレ主です。
真面目なレスありがとう
私に対する誹謗中傷は許す。というか、ひょっとして私の側にも、おっちゃんに対する誹謗中傷があったかも。その場合はご容赦くださいm(＿ ＿)m

>>19 追加
＞非アーベル： C5 semix C4, Q20, D20 ３個

S5の位数20の部分群は、
非アーベル： C5 semix C4 （Ｃ5とＣ4の半直積）

（>>18より）
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes

ということです
おっと、General affine group:GA(1,5) （線形群でもあります）
鈴木群 Sz(q), q = 2: q^2(q^2 + 1)(q - 1) = 2^2(2^2 + 1)(2 - 1) = 4・5・1 = 20 （>>18）
なんだって（＾＾；

>>21

追加参考
https://en.wikipedia.org/wiki/Suzuki_groups
Suzuki groups
(抜粋)
Constructions
Suzuki
Suzuki (1960) originally constructed the Suzuki groups as subgroups of SL4(F22n+1) generated by certain explicit matrices.

https://en.wikipedia.org/wiki/Suzuki_group
Suzuki group
(抜粋)
In the mathematical discipline known as group theory, the phrase Suzuki group refers to:
・The Suzuki sporadic group, Suz or Sz is a sporadic simple group of order 213 ・ 37 ・ 52 ・ 7 ・ 11 ・ 13 = 448,345,497,600 discovered by Suzuki in 1969
・One of an infinite family of Suzuki groups of Lie type discovered by Suzuki

>>16-17
ID:S/ONPb/Gさん、どうも。スレ主です。

>Q上（Q(ζ)上としてもほぼ同じ）の可解5次方程式f(x)=0 は2項5次方程式に帰着するか？

ここ、下記 松田　修 のべき根拡大 定理 61 があるのです
つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、
べき根拡大　←→ 巡回群
が成立つ

これは、小島寛之のガロア本（下記）の
P208 べき根拡大の定理1と（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）
と同じです

これ、方程式のガロア理論では、多分頻出です

（参考）
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/
Matsuda’s Web Page 松田　修　
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/eBooks/Tebooks.html
TSUYAMA E-MATH BOOKS
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/eBooks/galios.pdf
PDF ガロア理論を理解しよう Osamu MATSUDA 津山高専 2018/11/16
(抜粋)
P76
10.2 べき根拡大

定理 61
体 K が 1 の原始 n 乗根 ζ （ζ≠ 1 (1 <= r <= n-1), ζn = 1）を含むとする．
(1) L が K の n 次巡回拡大であれば，L = K(α), Irr(α, K) = X^n - a となる α が存在する．
(2) もし L = K(α), α^n = a ∈ K であれば，L は K の巡回拡大である．
証明
略

https://gihyo.jp/dp/ebook/2019/978-4-297-10628-7
知の扉
【完全版】天才ガロアの発想力
―対称性と群が明かす方程式の秘密―
著者
小島寛之　著
発売日
2019年7月6日
(抜粋)
2010 年に刊行した『天才ガロアの発想力』を大幅加筆しました。
これまでにないガロアの定理の完全解説本です。

第7章 5次以上の方程式が解けないからくり
ガロアの基本定理1の証明
解けない方程式の「からくり」はこうだ（それなり版証明）
P208 べき根拡大の定理1（＝簡単に言えば、べき根拡大ならガロア群は巡回群）
解ける方程式の「からくり」はこうだ
P222 べき根拡大の定理1の逆（＝簡単に言えば、ガロア群が巡回群ならべき根拡大）

>>23 つづき

もし、体 K に 1 の原始 n 乗根 ζが添加されていない場合は
単純に、「べき根拡大　←→ 巡回群」は言えない
例えば、下記 元吉 文男
f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1
のガロア群は、巡回群になるそうです
（詳しくは下記）

（参考）
スレ77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/942-
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/101850/1/0722-02.pd
巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用)
元吉 文男
数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20
(抜粋)
P17
§1. ガロア群が巡回群かどうかの判定
fのQ上の最小多項式はfであるのでfの 1 根をα としたとき にfを Q(α)で因数分解して、
根がすべて分離できれば巡回群である。

P18
§3. 例
f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1
を解くことにする。α をf(x)=0の根とする。

f(x)=(x-α)h(x,α)
=(x-α)(x-(α^4-4α^2+2))(x-(α^3-3α))(x-(α^2-2))(x-(-α^4-α^3+3α^2+2α-1))
となって因数分解ができ、 fのQでのガロア群が巡回群であることがわかる。

f(x) の代数的解法
上の因数分解から
θ(α)=α^2-2
とする。 これより
θ^2(α)=α^4-4α^2+2
θ^3(α)=α^3-3α
θ^4(α)=-α^5-α^4+3α^3+2α-1
となる。
略（原文を見よ）
(実はα はω_{11} を 1 の原始 n 乗根として
α=ω_{11}+ω_{11}^10
と表すことができる。)

>>23-24 追加

(引用開始)
松田　修 のべき根拡大 定理 61 があるのです
つまり、体 K が 1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして、
べき根拡大　←→ 巡回群
が成立つ
(引用終り)

なので
１）方程式のガロア理論的の教育というか学習としては、「1 の原始 n 乗根 ζが添加されているとして」考えると
　”べき根拡大　←→ 巡回群”が成立つので、理論的にはすっきりしています
２）>>24 の 元吉 文男さんなどが研究されているのは（>>17の兵庫教育大学 大迎規宏 著）もそうかも知れないが
　数式処理等にのせるには、「1 の原始 n 乗根 ζが添加されている」という仮定は、かえってコンピュータの処理に乗せにくい部分があるのでしょう
　数体はQ（実際には整数ベース）として、数式処理の乗せる方が、素直なような気がします
　（数式処理ソフトは、あまり使っていないので、ここは外しているかも知れませんが）

なので、上記１）と２）の立場をうまく使い分けるのが良いと思います

>>25 タイポ訂正

方程式のガロア理論的の教育というか
　↓
方程式のガロア理論の教育というか

（>>17の兵庫教育大学 大迎規宏 著）もそうかも知れないが
　↓
（>>17の兵庫教育大学 大迎規宏 著もそうかも知れないが）

分かると思うが、念のため（＾＾；

>>25 補足

方程式のガロア理論的の教育というか学習としては
　↓
一般5次方程式のガロア理論的の教育というか学習としては
という意味ね
つまり、2次方程式、3次方程式、4次方程式ときて
果たして、5次方程式（あるいはそれ以上の次数の）に、べき根による根の公式が存在するか否かの問題ってこと

円分体とか、あるいはレムニスケートや楕円の等分点を求める方程式の解法については、
基礎体ｋに、どういう値が添加されているべきかという視点になります

（参考）
http://reuler.blo（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
日々のつれづれ Author:オイラー研究所の所長 高瀬正仁
ガウスの数学日記57　レムニスケート曲線の5等分
2012-06-19
(抜粋)
第62項目の話題はレムニスケート曲線の5等分ですが、ここでガウスが語っているのはただの5等分ではなく、「幾何学的な」5等分です。すなわち、定規とコンパスのみを用いて5等分点を指定することができるという事実です。
定規は直線を引くのに使い、コンパスは円を描くのに使います。直線と円という簡単な図形のみを手持ちにして、複雑な図形を描こうとするところにヨーロッパの数学の顕著な特徴が見られます。
これを代数の言葉に移すと、レムニスケート曲線の5等分方程式（その次数は25になります）の根を平方根のみを用いて表示することができるという言明になります。

62.［レムニスケート曲線］（1797年3月21日）
レムニスケート［曲線］は幾何学的に五つの部分に分けられる。
[1797年]3月21日　[ゲッチンゲン]

つづく

>>27

つづき

レムニスケート曲線の等分については高木先生の『近世数学史談』にも詳しく紹介されています。この方面のことでしたらファニャノの論文に言及しなければなりませんし、
ファニャノの影響を受けて書かれたオイラーの二論文も重要です。というのは、そこが楕円関数論の源泉だからです。
　ガウスはオイラーの論文は知っていたと思いますが、ファニャノの論文については何も語っていません。
オイラーの論文にはファニャノ名前が出ていますから、ガウスが知らなかったはずはなく、しかもレムニスケート曲線の等分はファニャノの創意です。
オイラーは微分方程式の代数的積分を求めようとする視点からファニャノの研究に注目し、等分そのものには関心を示していません。それにもかかわらずガウスがファニャノを語らないのはいかにも不審です。
　ガウスはレムニスケート曲線の等分問題を公表しませんでしたが、『アリトメチカ研究』の中でごくわずかにヒントを書き留めました。
それを受けてレムニスケート曲線のみならず一般に楕円関数の等分理論を構築したのはアーベルです。
(引用終り)
以上

>>24 タイポ訂正

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/101850/1/0722-02.pd
　↓
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/101850/1/0722-02.pdf

最後のfが抜けていた（＾＾；

メモ

https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_linear_group
Projective linear group
(抜粋)
PGL(V) = GL(V)/Z(V)
where GL(V) is the general linear group of V and Z(V) is the subgroup of all nonzero scalar transformations of V

PSL(V) = SL(V)/SZ(V)
where SL(V) is the special linear group over V and SZ(V) is the subgroup of scalar transformations with unit determinant.

PGL and PSL are some of the fundamental groups of study, part of the so-called classical groups, and an element of PGL is called projective linear transformation, projective transformation or homography.
If V is the n-dimensional vector space over a field F, namely V = Fn, the alternate notations PGL(n, F) and PSL(n, F) are also used.

there are other exceptional isomorphisms between projective special linear groups and alternating groups (these groups are all simple, as the alternating group over 5 or more letters is simple):

L_2(4) ＝〜 A_5
L_2(5) ＝〜 A_5 (see here for a proof)

つづく

>>30

つづき

The groups over F5 have a number of exceptional isomorphisms:

PSL(2, 5) ＝〜 A5 ＝〜 I, the alternating group on five elements, or equivalently the icosahedral group;
PGL(2, 5) ＝〜 S5, the symmetric group on five elements;
SL(2, 5) ＝〜 2 ・ A5 ＝〜 2I the double cover of the alternating group A5, or equivalently the binary icosahedral group.

They can also be used to give a construction of an exotic map S5 → S6, as described below. Note however that GL(2, 5) is not a double cover of S5, but is rather a 4-fold cover.

・PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S5, of order 60, yielding the alternating group A5.
・PSL(2, 5) < PGL(2, 5) → S6, of orders 60 and 120, which yields an embedding of S5 (respectively, A5) as a transitive subgroup of S6 (respectively, A6).
This is an example of an exotic map S5 → S6, and can be used to construct the exceptional outer automorphism of S6.[6]
Note that the isomorphism PGL(2, 5) ＝〜 S5 is not transparent from this presentation: there is no particularly natural set of 5 elements on which PGL(2, 5) acts.

・L_2(5) ＝〜 A_5. To construct such an isomorphism, one needs to consider the group L2(5) as a Galois group of a Galois cover a5: X(5) → X(1) = P1,
(引用終り)
以上

メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%8C%96%E7%BE%A4%E3%81%A8%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%8C%96%E7%BE%A4
中心化群と正規化群
(抜粋)
群 G の部分集合 S の中心化群とは、S の各元と可換な G の元全体からなる集合であり、S の正規化群とは、「全体で」S と可換な G の元全体からなる集合である。S の中心化群と正規化群は G の部分群であり、G の構造について知る手掛かりを得られる。

（正規化群）
中心化群の定義と似ているが同じではない。g が S の中心化群の元で s が S の元であれば、gs = sg でなければならないが、g が正規化群の元であれば、s とは異なってもよい t ∈ S に対して gs = tg である。

性質
下記の性質は Isaacs 2009, Chapters 1?3 による。
・S の中心化群と正規化群はともに G の部分群である。
・明らかに、CG(S) ⊆ NG(S) である。実は、CG(S) は必ず NG(S) の正規部分群である。
・CG(CG(S)) は S を含むが、CG(S) は S を含むとは限らない。S のすべての元 s, t に対して st = ts であれば含む。なので・もちろん H が G の可換な部分群であれば CG(H) は H を含む。
・S が G の部分半群であれば、NG(S) は S を含む。
・H が G の部分群であれば、H を正規部分群として含むような最大の G の部分群が NG(H) である。
・元 a ∈ G の属する共役類の大きさと中心化群の指数 [G : CG(a)] は等しい。
・群 G の部分群 H と共役な部分群の数と正規化群の指数 [G : NG(H)] は等しい。
・G の部分群 H は、NG(H) = H であるときに、G の自己正規化部分群と呼ばれる。
・G の中心はちょうど CG(G) であり、G がアーベル群であることと CG(G) = Z(G) = G は同値である。
・単集合に対して、CG(a) = NG(a) である。
・対称性により、S と T が G の 2 つの部分集合であれば、T ⊆ CG(S) と S ⊆ CG(T) は同値である。
・群 G の部分群 H に対して、N/C定理は、剰余群 NG(H)/CG(H) は H の自己同型群 Aut(H) の部分群に同型であるという定理である。NG(G) = G および CG(G) = Z(G) であるから、N/C theorem は、G/Z(G) は、G のすべての内部自己同型からなる、Aut(G) の部分群 Inn(G) に同型であるということも意味している。

https://en.wikipedia.org/wiki/Centralizer_and_normalizer
Centralizer and normalizer

>>32 追加
＞中心化群と正規化群

これ、>>17の大迎規宏で”正規化群”が出てくるので、調べた

http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著

メモ
成川淳（なるかわあつし）
”[4] 群と群から群を作る話
　群の直積・半直積を包括する bicrossed product という概念について紹介しています。 左作用・右作用が同等に扱われる定義が美しいです。”
http://www.ac.cyberhome.ne.jp/~narukawa/bicrossed.pdf
群と群から群を作る話
成川淳（なるかわあつし）
(抜粋)
数学の世界ではしばしば、2 つの群から 1 つの群を作る場面があります。方法としては、
「直積」という概念が最も自然で、最も頻繁に見かけるのですが、少し複雑な「半直積」とい
う概念も頻繁に見かけます。しかし、半直積の定義は 2 つの群それぞれの役割が非対称で、
気持ち悪いなという印象が私にはありました。その気持ち悪さを解消し、直積・半直積を包
括する概念として、群の Bicrossed Product というものがあります。この概念を知って感心
した覚えがあるので、ここで紹介することにしました。本稿では群の定義と直積の定義は省
略して、作用という概念の紹介から話を進めます。

5 最後に
私は半直積という非対称な概念が嫌いでした。しかし、一度 Bicrossed Product という概
念を知り、対称性の高さに感心しつつも厳しい条件 (11)-(14) を考えると、逆に半直積の有
用性が理解できました。半直積が素晴らしいのは、(13) が退化した (5) が「準同型」という
扱いやすい性質だからです。逆に (5) を仮定するためには、H の K への右作用が自明でな
ければなりません。つまり、半直積は二項演算としての対称性を犠牲にしつつも、扱いやす
い別の対称性を構成する手段と言えます。実用的ではなさそうな群の Bicrossed Product で
すが、半直積の特殊性を浮き彫りにできるだけでも、価値のある概念だと私は思います。
(引用終り)

つづく

>>34

つづき

http://www.ac.cyberhome.ne.jp/~narukawa/index-j.html
成川淳の文書集へようこそ！
(抜粋)
純粋数学関連の文書
https://arxiv.org/abs/math/0306164
[1] The modular properties and the integral representations of the multiple elliptic gamma functions (Advances in Math. 189 (2) (2004) 247-267,math.QA/0306164).
　修士論文を英訳したものです。 テータ関数のモジュラー変換式を、多重楕円ガンマ関数の性質として一般化するとともに、 多重サイン関数との関係を明らかにしています。 著名な数学者、物理学者（黒川信重氏、カムラン・バッファ氏等）にも 参照されて いるようです。
http://www.ac.cyberhome.ne.jp/~narukawa/multiple.pdf
[2] 多重化展覧会
　ゼータ関数、ガンマ関数、サイン関数、対数関数、ベルヌーイ多項式、テータ関数の 多重化の概念を紹介するとともに、私の学生時代の研究結果を紹介しています。
(引用終り)
以上

>>24
(引用開始)
ガロア群が巡回群
(実はα はω_{11} を 1 の原始 n 乗根として
α=ω_{11}+ω_{11}^10
と表すことができる。)
(引用終り)

巡回群はアーベルだから、クロネッカー・ウェーバーの定理から、 1 の原始 n 乗根で表わすことができるってことだね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群
(抜粋)
任意の巡回群はアーベル群となるので、しばしば加法的に記される。またそのとき、位数 n の巡回群を Zn で表すこともあるが、この記号は数論的な文脈では p-進整数環や素イデアルによる環の局所化の記法と衝突するので問題となりうる。
他の標準的な記号としては剰余群の記法に従って Z/nZ, Z/n, Z/(n) などが用いられる。

位数 n の巡回群（n は無限大でもよい）G と G の任意の元 g について、以下のようなことが言える。
・G はアーベル群である[2]。つまり、任意の h ∈ G に対して gh = hg が成り立つ。これは g + h ≡ h + g (mod n) の成立から従う。
有限生成アーベル群の基本定理は、任意の有限生成アーベル群 A が有限個の（有限）基本巡回群と有限個の無限巡回群との直積になることを主張するものである[7]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
クロネッカー・ウェーバーの定理
(抜粋)
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker?Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。
言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。

体論的定式化
クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大のことばで記述することができる。それは、有理数体 Q の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。
つまり、Q 上のガロア群がアーベル群である代数体は、ある1のべき根を有理数体Qに添加して得られる体の部分体である。

>>21
(引用開始)
S5の位数20の部分群は、
非アーベル： C5 semix C4 （Ｃ5とＣ4の半直積）
abelian group No
nilpotent group No
metacyclic group Yes
supersolvable group Yes
solvable group Yes
Frobenius group Yes
(引用終り)

なるほどね
非アーベルか
（>>36より）
”有限生成アーベル群の基本定理は、任意の有限生成アーベル群 A が有限個の（有限）基本巡回群と有限個の無限巡回群との直積になることを主張するものである”
から、成川淳氏の　「半直積の定義は 2 つの群それぞれの役割が非対称」ってことで、これを使わないとまずいよと
直積だと、「 2 つの群それぞれの役割が対称」ってことで、対称な2つの群の直積は対称になるので、非対称の群を構成することができない
だから、対称性を崩すために半直積使うってこと
S5の位数20の部分群が、非可換ということは、置換の積から直接確かめられるだろうね（やってないけど（＾＾；　）

>>19
補足

位数20から

http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/04kurano.pdf
2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類

に書いてあるけど
P16
5-シロー部分群の数 n5 が存在して
これは、当然素数5の群だから巡回群C5だが
アーベルと、非アーベルに分けて
非アーベルの場合で
20＝5ｘ4 で、5で割った残りの位数4の群を場合分けして、S5の部分群の候補が出るけど

http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類

に書いてあるような手法で、絞り込んで
（非アーベル）の 「C5 semix C4」に決めることができるってことだね

>>38
>これは、当然素数5の群だから巡回群C5だが
>アーベルと、非アーベルに分けて
いやいや、C_5は唯一つしか存在しませんよ。当然アーベル群です。
C_5もC_4もアーベル群だが、（直積ではない）半直積を取ると非アーベル群になるんですよ。
ちなみにこれはC_3とC_2半直積がS_3になってることと類似。

S_5の部分群を分類しても、それが実際に既約5次方程式のガロア群になりうるかはまた別の話。
素数次の既約方程式が可解なときそのガロア群がフロベニウス群になることはガロア第一論文に出てくる。
200年前の結果。

>>16
可解5次方程式の古い論文見てたら、解の5乗根の中に√17や√65=√5×√13
が現れてる例が載ってたから、やはり予想通り中間体として
1の13乗根や17乗根の部分体を含むケースがあるのだろう。
なので、2項方程式に帰着する？という話は明確に否定される。

前スレID:ospgeXvi氏が可解5次方程式を「分類する」という
問題意識を持っていたが、単に分類するだけでは面白くない。
むしろ「パラメトライズする」ような数学構造を見つけることが重要なのでは。
それでたとえば、中間体MとしてQ上ガロア群C_4またはC_2を持つ
任意の体が生じうるか？ とか、生じるなら係数によってどうパラメトライズされるか
とかは結構重要に思うが、そういう大事な問題に答えている論文が見当たらない。
つまりまともな数学者からは終わってると看做されている領域で
実際終わってるのかもしれないが、しかし現在新たに書いてるひとたちもいて
それはちょっと数学者のレベルではない、100年以上前の話を電子計算などに絡めて蒸し返しているだけの感じ。

>>39
ID:1gpHuTQEさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう

(引用開始)
>これは、当然素数5の群だから巡回群C5だが
>アーベルと、非アーベルに分けて
いやいや、C_5は唯一つしか存在しませんよ。当然アーベル群です。
(引用終り)

失礼しました
ここ、舌足らずだが、>>38の冒頭の「位数20」ってことですね、コンテキスト（文脈）として
「位数20」の群を、”アーベルと、非アーベルの場合に分けて”ということです

当然、位数が素数（例えば5）の群は、巡回群しかなく（下記）、巡回群はアーベルですから

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4
有限群
(抜粋)
与えられた位数を持つ群の個数
位数が素数 p である群は巡回群である:これはラグランジュの定理からわかるように、単位元でない任意の元は位数が p であるので、それによって生成される巡回群はそれ自身に一致するためである。

（>>36より）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群
(抜粋)
任意の巡回群はアーベル群となるので、しばしば加法的に記される。

>>38
>>>これは、当然素数5の群だから巡回群C5だが
>>>アーベルと、非アーベルに分けて

>>39
>>いやいや、C_5は唯一つしか存在しませんよ。当然アーベル群です。

>>43
>ここ、舌足らずだが・・・

足らないのは舌じゃなくオツムだろｗ

>・・・「位数20」ってことですね

そもそも何がしたいのかワケワカラン

>>40
>S_5の部分群を分類しても、それが実際に既約5次方程式のガロア群になりうるかはまた別の話。

"ガロアの逆問題" ですね
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”
なので、S_5の場合は、答えは”Yes”ですね

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。

https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
Galois theory
(抜粋)
Contents
6 Inverse Galois problem
Inverse Galois problem
Main article: Inverse Galois problem
The inverse Galois problem is to find a field extension with a given Galois group

As long as one does not also specify the ground field, the problem is not very difficult, and all finite groups do occur as Galois groups. For showing this, one may proceed as follows.

つづく

>>45
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem
(抜粋)
Question, Web Fundamentals.svg Unsolved problem in mathematics:
Is every finite group the Galois group of a Galois extension of the rational numbers?
(more unsolved problems in mathematics)
Contents
1 Partial results
2 A simple example: cyclic groups
2.1 Worked example: the cyclic group of order three
3 Symmetric and alternating groups
3.1 Alternating groups
3.1.1 Odd Degree
3.1.2 Even Degree
4 Rigid groups
5 A construction with an elliptic modular function

Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
All 13 non-Abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over Q. [6]

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_group
Permutation group

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
置換 (数学)
以上

>>40
>素数次の既約方程式が可解なとき
>そのガロア群がフロベニウス群になることは
>ガロア第一論文に出てくる。

それ、安達氏も言ってたな。
位数はｐ（ｐ−１）で非可換群

>>44
なんだ、おさる の ぼくちゃん かいｗ（＾＾

＞そもそも何がしたいのかワケワカラン

そりゃ、わからんだろう、あんたにはｗ

>>37
＞S5の位数20の部分群が、非可換ということは、
＞置換の積から直接確かめられるだろうね
＞（やってないけど

やれよｗ　まっさきに
馬鹿がダメなのは、手を動かして計算しないこと

>>38
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類

散々引用してるけど、実は全然読めてないだろｗ

例えば、
S4の部分群で、位数6のものはS3だけしか出てこないが
S5の部分群で、位数6のものとしてS3のほかにC3×C2ともう一つ出てくること
に気づいてたか？

気付いてないだろ　だから
＞「位数20」の群を、”アーベルと、非アーベルの場合に分けて”
みたいなトンチンカンなこというんだよｗ

ついでにいうと、
対称群Snの位数20の部分群でC5×C4が現れることはあるよ
nがいくつなら確実に現れる、と言い切れるか？
ヒントはこのコメントの中にあるよ

ああ、俺ってホント親切だなｗｗｗ

>>47

無理しなくていいぞ

>位数はｐ（ｐ−１）で非可換群

位数がｐ（ｐ−１）だから非可換とは言えないだろう？

例えば、P=7で、ｐ（ｐ−１）＝42＝7x3x2
と分解して、各巡回群の直積
C7xC3xC2 を考えたら
明らかに、位数42で、アーベルだから

じゃ、位数42で非可換という条件なら？
下記、脇克志 フリーソフトのGAP使えば、すぐ出るらしい（＾＾
そのうちやってみるかｗ

でな
下記wiki”For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group. ”ってことよ
「 x→ ax+b」が、ガロア第一論文に出てくる
ガロア第一論文読んでないやつには、分からん話だよ

（参考）
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/MathLibre/
http://www.math.kobe-u.ac.jp/cm/archive-ja.html
計算による数理科学の展開 (http://www.math.kobe-u.ac.jp/cm)
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/taka/video-ja.html
講義, 講演等のビデオを公開するプロジェクト
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/Movies/cm/2007-09-20-sd-waki.html
- 計算による数理科学の展開, Video Archives -
講演: 脇克志
内容: GAPを利用した有限群論
予備知識: 代数の初歩
ソース: 数学ソフトウェアとフリードキュメント 5 , 2007年9月20日（木), 東北大学
要約: KNOPPIX/MATH にも収録されている 代数計算ソフト GAPを使った有限群論を教える試みを紹介します。GAPを利用して有限群を実感させる講義を行った時の成功と失敗を通して、教育ツールとしてのGAPの利用方法を考えて行きます。
http://fe.math.kobe-u.ac.jp/Movies/cm/2007-09-20-sd-waki.pdf
- 計算による数理科学の展開, Video Archives -
講演: 脇克志 数学ソフトウェアとフリードキュメント 5 , 2007年9月20日（木), 東北大学

https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_group
Frobenius group
(抜粋)
Examples
・For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group.

>>49
＞やれよｗ　まっさきに
＞馬鹿がダメなのは、手を動かして計算しないこと

何年か前に、このガロアスレを立ち上げる前に
５次の交代群の置換の表は、手で作った
位数20の置換の表も作った
（エクセルに打ち込んだのだが）

ただし、積の表まではやらなかった（＾＾；
それを、探せば、置換の積で、非可換はすぐ確認できるよ
（そのうち、GAPもやってみるかな
　この自主ゼミが一段落するか、あるいは自主ゼミ中に時間取って）

https://ja.wikipedia.org/wiki/GAP_(%E6%95%B0%E5%BC%8F%E5%87%A6%E7%90%86%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0)
GAP (数式処理システム)

>>42
(引用開始)
前スレID:ospgeXvi氏が可解5次方程式を「分類する」という
問題意識を持っていたが、単に分類するだけでは面白くない。
むしろ「パラメトライズする」ような数学構造を見つけることが重要なのでは。
それでたとえば、中間体MとしてQ上ガロア群C_4またはC_2を持つ
任意の体が生じうるか？ とか、生じるなら係数によってどうパラメトライズされるか
とかは結構重要に思うが、そういう大事な問題に答えている論文が見当たらない。
(引用終り)

それって、まさに>>45の"ガロアの逆問題"と思うけど
で、>>46
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”
なので、S_5の場合は、答えは”Yes”

但し、"ガロアの逆問題"自身は、Unsolved problem（>>46）
まあ、https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem を覗いてみたら？

>>53
＞the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”

”may not be”だから、多分だめってこと
それは、この部分でさえ、未決着か(゜ロ゜;
まあ、”可能”を証明するのは、例を1つ出せば良い
だが、不可能を証明するのは、簡単じゃないんだね（＾＾；

>>51
>>位数はｐ（ｐ−１）で非可換群
>位数がｐ（ｐ−１）だから非可換とは言えないだろう？

対称群Spの部分群で位数がｐ（ｐ−１）なら非可換群

嘘だと思うなら置換から計算して確かめてごらん

貴様こそ底抜けの馬鹿なんだから無理してリコウぶるなｗｗｗ

対称群Snで、位数がｐ（ｐ−１）の巡回群が部分群となるには
ｎがいくつ以上なら十分か、理解してから書き込みやがれ

殆ど答え同然のヒント
　S5の位数6の部分群でC3×C2になるのは< (123)(45) >

>>51 補足
＞無理しなくていいぞ

おさる の ぼくちゃん
前スレで（下記）「自分の頭を通して書いている」なんて言われていたが（＾＾

＜おれの推定＞
１）まあ、学部レベルで一通り、一般レベルの方程式のガロア理論はやったんだろう
　だが、その学部レベルとは、たいていは、アルティンの本レベルで、
　ガロア群を導入してガロア対応から5次以上の一般方程式がベキ根で解けないことを示して終りだね
２）しかし、ガロアの第一論文の最後は、
「素数p次の代数方程式が解ける条件＝ガロア群が位数p(p-1)になるとき」という定理と
　5次の場合に具体的に位数20の群を例示して終わっているのだが
　それは、普通は、学部レベルには入っていないのです
　（和書の学部教科書でこれを取り上げているのは、寡聞にして知らない）
３）ガロアの第一論文を取り上げている和書は、過去、守屋本、倉田本などがあったけど
　（最近は、英文でCoxのガロア理論が出て、訳本も出たけど）
４）で、ぼくちゃん、「自分の頭を通して」というよりも、
　おっさんになって、ほとんど忘れかけている学部の講義の記憶を「思い出しながら」じゃね？ｗ（＾＾
５）なので、ぼくちゃんの一般学部レベルのガロア理論だと、
　いましている”ガロアの第一論文”の議論には、ちょっと足りない
　まあ、代数の群・環・体は、一通りはやったらしいということは、認めるけれどもね

だから、”無理しなくていいぞ”ってことｗ（＾＾；

前スレ77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/915- より
915 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/10/17(木) 08:11:30.07 ID:rXxqe236
(抜粋)
Mara Papiyas（ ◆y7fKJ8VsjM ）さんも勉強しながら書かれてる感じですが、スレ主さんとは違って
自分の頭を通して書いているなというのが分かります
(引用終り)

>>18
Terence TaoのFrobenius group追加

https://terrytao.wordpress.com/2013/04/12/the-theorems-of-frobenius-and-suzuki-on-finite-groups/
What's new
Updates on my research and expository papers, discussion of open problems, and other maths-related topics. By Terence Tao
Tag Archive
You are currently browsing the tag archive for the ‘Frobenius groups’ tag.

The theorems of Frobenius and Suzuki on finite groups
12 April, 2013 in expository, math.GR, math.RT | Tags: CA groups, characters, classification of finite simple groups, Fourier transform, Frobenius groups, Frobenius theorem, induced representations, integrality gap, Suzuki theorem
略

3 June, 2013 at 1:03 pm
Terence Tao
Yes, this is something I would like to understand better myself.
One of the funny things coming out of Suzuki’s analysis is that to every (Weyl group conjugacy class of a) character \xi_{i,a} on a (conjugacy class of a) maximal abelian subgroup H_i of G there is associated an “exceptional character” \xi^*_{i,a} of G which is a component of the induced representation of G coming from the character of H_i (or sometimes, a bit weirdly,
it is an “anti-component”, if the sign \epsilon_i is negative), and略

27 June, 2013 at 12:19 pm
Terence Tao
The original reference is
G. Frobenius, “Ueber auflosbare Gruppen IV” Sitzungsber. Preuss. Akad. Wissenschaft. (1901) pp. 1216?1230
but it may be difficult to locate (see http://math.stackexchange.com/questions/222167/where-can-i-find-the-original-papers-by-frobenius-concerning-solutions-to-xn for some related discussion). A somewhat more modern reference is
I.M. Isaacs, “Character theory of finite groups” , Acad. Press (1976)

相変わらずバカ丸出し

>>57
＞”無理しなくていいぞ”

円分体の同型変換も分かってなかったくせに
ガロアの第一論文を理解してるつもりの
無理無理馬鹿に質問だｗ

対称群S7の部分群である位数7*6の群は
２つの生成元から生成される
その１つは(1234567)だ
ではもう1つの生成元は？

注：生成元となりうる元は複数あるが、どれか１つ挙げればよしとしてやろうｗ

>>60のヒント？

馬鹿が>>51に自慢気に書いた式「x→ ax+b」(￣ー￣)

(1234567)のところが「+b」に関わる生成元だな
(1234567)じゃなくて(0123456)にしたほうが分かりやすいかもな
ということで「a×」に関わる生成元を書けばいい

ここまで教えてやったのに答えられないようじゃ
要するにガロア第一論文が全然分かってない証拠だぞ(￣ー￣)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E5%85%83%E5%AE%9A%E7%90%86
原始元定理
(抜粋)
体論において、原始元定理 (primitive element theorem) あるいは原始元に関するアルティンの定理 (Artin's theorem on primitive elements) は原始元 (primitive element) をもつ有限次体拡大すなわち単拡大を特徴づける結果である。定理は有限次拡大が単拡大であることと中間体が有限個しかないことが同値であるというものである。とくに、有限次分離拡大は単拡大である。

存在の主張
定理の解釈は 1930 年頃エミール・アルティンの理論の定式化で変わった。ガロワの時代から、原始元の役割は分解体をただ1つの元で生成されるものとして表現することだった。そのような元のこの（任意の）選択は Artin の扱いにおいて避けられる[1]。同時に、そのような元の構成の考慮は退く：定理は存在定理 になる。

すると以下のアルティンの定理は古典的な原始元定理に取って代わる。

定理
E⊃＝ Fを有限次体拡大とする。このときある元 α ∈ E に対して E=F(α)であることと E⊃＝ K⊃＝ F なる中間体 K が有限個しか存在しないことは同値である。
すると定理の系はより古風な意味での原始元定理（分離性は通常暗黙に仮定された）である：
系
E⊃＝ F} E⊃＝ F} を有限次分離拡大とする。このときある α ∈ E に対して E=F(α)である。
系は代数体、すなわち有理数体 Q の有限拡大に応用する、なぜならば Q は標数 0 ゆえ任意の拡大が分離的だからである。

つづく

>>62
つづき

構成的結果
一般に、有限分離拡大 L / K に対するすべての原始元からなる集合は L の真の K-部分空間すなわち中間体の有限の集まりの補集合である。このステートメントは有限体のケースについては何も言っていない。
有限体に対しては体の乗法群（巡回群）の生成元、これは当然原始元である、を見つけるために捧げられた計算理論が存在する。K が無限のときは、鳩ノ巣原理により証明できる。2元で生成された線型部分空間を考えると、c を K の元とする線型結合
γ =α +cβ
は有限個しかなく両方の元を含む部分体を生成できないことが証明される。
これはアルティンの結果から古典的な結果がどのように導かれるかを示す方法としてほとんどすぐであり、中間体の個数の言葉での例外的な c の個数が有界であることが得られる（この数はガロワ理論によってアプリオリにそれ自身制限されるものである）。
したがってこのケースにおいて trial-and-error は原始元を見つける実際的な手法となることができる。例を見よ。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E6%8B%A1%E5%A4%A7
単拡大
(抜粋)
数学、より正確には代数学において、可換体の理論の枠組みで、体 K の拡大 L は、L のある元 α が存在して L が K(α) と等しいときに単拡大あるいは単純拡大 (simple extension) という。

単拡大 K(α) が有限拡大であることと α が K 上代数的であることは同値である。K の（同型の違いを除いて）唯一の無限単拡大は有理関数体 K(X) である。

原始元定理はすべての有限分離拡大が単拡大であることを保証する。

つづく

>>63

つづき

準備的注意
単拡大の概念は、主に次の二つの点から数学上の興味を集めている。
・単拡大は分類が完了している体拡大である。拡大の生成元が K 上超越的なら無限次拡大で有理関数体に同型（フランス語版）であり、 生成元 α が代数的なら拡大は有限で、α の K 上の最小多項式の根体に同型である。
・原始元の定理はすべての有限次分離拡大が単拡大であることを保証する。代数拡大はそのすべての元の最小多項式が重根をもたないときに分離的という。
有限拡大の分離性のいろいろな同値条件に加えて、代数拡大が分離的であるための十分条件は基礎体が完全体（例えば標数 0 あるいは有限体）であることである。
定義
L を K の体拡大とする。
拡大 L が単 (simple) 拡大であるとは、L のある元 α が存在して、α で生成された L の部分 K 拡大 K(α) が L に等しいことである。
L が単拡大とし g を L の元で L が K(g) に等しいとする。このとき g は L の K 上の生成元 (generating element) と呼ばれる。

http://peng225.hatena（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ペンギンは空を飛ぶ
2016-11-26
有限次分離拡大が単拡大となることの具体例を愚直に計算してみる
(抜粋)
体の拡大L/Kが有限次分離拡大であるとき、この拡大は単拡大になることが知られている。私が使っている教科書にもこの定理は載っており、具体例としてQ(2?√,3?√)=Q(2?√+3?√)が取り上げられていた。
しかし、その説明が私にはエレンガント過ぎて、なんともピンとこなかった。
私がとにかく疑問だったのは、一体Q(2?√+3?√)の元の四則演算でどうやって2?√や3?√を生み出せるのか、その具体的な計算手順は何かということだ。
タネが分かった今となっては難しくもなんとも無いが、同じ疑問でハマる人がいないとも限らないので、本稿を書いてみることにした。

手順はとても簡単だ。まず、2?√+3?√∈Q(2?√+3?√)である。これを3乗すると以下のようになる。
以上

>>53
広い意味でガロア逆問題と言えなくもないですが、ガロア逆問題でもとにかく存在するかを問う問題であれば該当しません。
この場合存在自体は分かってるんですよ。いいですか？
Gal(L/Q)=F_20 なる可解5次方程式の分解体LとQの中間体として、Gal(M/Q)=C_4
となる中間体Mが存在しますが、逆にGal(F/Q)=C_4 なるFがあるとき、Fは上記のMとして実現するか？
という問題です。

>>54
存在しなさそうな例があるというのは初めて知りました。しかしよく見つけてきますね笑
ま、"Q上"という設定がやや人工的ですからね。
ちなみにQ上とは限らず基礎体を任意の代数体に動かしてもいいなら、任意の有限群を
ガロア群として持つガロア拡大が存在することは簡単に分かるんですよ。
なぜだか分かりますか？

ガロア逆問題って"解き方"が重要なんであって
逆問題の解でも"質"というのがあるんじゃないかと思う。
つまり、良質な解と、ともかく存在は示せたが応用はないなという解があるんじゃないかと。

>>62

メモ
”ガロア理論:単拡大定理の意義”
https://qa.itmedia.co.jp/qa7814220.html
ガロア理論:単拡大定理の意義 ITmedia 解決済みの質問 投稿日時 - 2012-11-24
(抜粋)
ガロア理論で,有理数体を係数体として,その根をx1,x2,...xnとしたとき,これらの根を添加した体Q(x1,x2,...xn)と単拡大定理を使った拡大Q(V(x1,x2,...xn)とはどこが違うのでしょうか.もちろん表現として違うことはわかりますが,この根を変数とするパラメータVが存在することによって,体を扱う上で何が違うのでしょうか.単拡大定理の存在理由が今一つわからないので,教えてください.

質問者が選んだベストアンサー kabaokaba 投稿日時 - 2012-11-25 09:00:26
たぶん，「有限次分離拡大は単拡大」の定理のことだと思うけど，
そういうときは，ちょっと保留して
先の議論を眺めるというのがよい方策でしょう．

わざわざ偉大なる先人達が「定理」として残しているからには
今は見えなくても何か裏があるものです．
ましてやGalois理論ですから，もうよってたかって整理されまくって
基礎的なところはとんでもなくすっきりしてるわけですので
＃私なんかは「Artinの教科書」には感動しましたよ・・線型代数すげーって＜なんか方向違う
＃＃いや。。実際はArtinすげーなんですけどね

とはいえ・・・これじゃあなんだから
例えば，記号の定義はなあなあにして
Q(x,y)が有限次分離拡大だとして，Q(x,y)=Q(x+y)なんてふうに
x+yによる単拡大になったとしましょう．
話が面倒だから・・・xもyもとりあえず二次にしちゃいましょう
そうすると
Q(x,y)の要素は形式的には 1,x,y,xy の四つで表現できる．
Q(x+y)だと x+y だけで表現できる．
この二つ・・・同じものだとしたら，どっちが「簡単」に見えますか？
つまり
Q(x,y)=Q(x+y)の要素zが
z=a+bx+cy+dxy = e+f(x+y)
と表した場合ですね，どっちが簡単かです

つづく

>>68
つづき

これに簡単に「こっちがイイ！」と答えられるのであれば
どっちかの表現は不要かもしれません．
けど・・・大抵はどっちも必要なんです．
理論を展開するには「x+y」だけのほうがきっとシンプルなことが多い．
けど，次数とか要素を具体的に計算するのはきっと「x,y」のほうがシンプルなことが多いです．
ついでにいうと，
同一の対象を二通り（以上）で表現してなんかやるのはお約束のパターンだから
表現方法は複数あったほうがうれしいだろうということもあります
ここらへんは，もうちょっと先にいけばみえてくるはずだと思う．

＃ぶっちゃけた話・・x=2^{1/2}, y=3^{1/2}がサンプル
以上

一行問題スレのこれはどう？

95 １３２人目の素数さん[sage] 2019/10/20(日) 15:54:50.40 ID:RgyjcwSx
>>41の問題をこの方向で解くだけでいいなら
[Q(tan2π/n):Q(cos4π/n)]=1,2と比較的簡単に証明できる[Q(cos(2π/n)):Q]などをうまく使えば出来る。
しかしどうせなら気分良く[Q(tan2π/n):Q]を明示的に求めたいものだ。

[Q(tan2π/n):Q]求めよ。
ガロア理論のいい演習問題だと思うけど。

>>65
(引用開始)
Gal(L/Q)=F_20 なる可解5次方程式の分解体LとQの中間体として、Gal(M/Q)=C_4
となる中間体Mが存在しますが、逆にGal(F/Q)=C_4 なるFがあるとき、Fは上記のMとして実現するか？
という問題です。
(引用終り)

その話だと、いわゆるガロア対応で、体の拡大と正規部分群との対応じゃないですか？（下記）
答えは、YES
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
ガロア理論の基本定理
(抜粋)
数学において、ガロア理論の基本定理 (英: fundamental theorem of Galois theory) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。
定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。

証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。
ガロア拡大 K/F の自己同型写像は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。

原始元定理を使うかなり簡単な証明もあるが、有限体の場合に異なる（しかしより簡単な）証明をする必要があるため、現代的な取扱いではほとんど用いられない[1]。

抽象的な言葉では「ガロア対応（英語版）が存在する」と述べられる。その多くの性質は単に形の上でのことであるが、実際の順序集合の同型写像を記述するにはいくらか作業を要する。

つづく

>>71
つづき

対応の明示的な記述
有限拡大に対し、対応は次のように明示的に述べることができる。
・Gal(E/F) の任意の部分群 H に対し、対応する体は普通 E^H と書かれ、これは全ての H の自己同型により固定される E の元の集合である。
・E/F の任意の中間体 K に対し、対応する部分群は、単に Aut(E/K) であり、これは全ての K の元を固定する Gal(E/F) に属する自己同型の集合である。
例えば、一番上の体 E は Gal(E/F) の自明な部分群に対応し、基礎体 F は Gal(E/F) の全体に対応する。

対応の性質
対応は次のような有益な性質を持っている。

包含関係を逆にする(inclusion-reversing)[2]。部分群の包含関係 H1 ⊆ H2 が成り立つことと体の包含関係 E^H1 ⊇ E^H2 が成り立つこととは同値。
拡大次数は包含関係を逆にするという性質と矛盾しない形で群の位数と関係する。具体的には H が Gal(E/F) の部分群であれば |H| = [E : E^H] であり |Gal(E/F)/H| = [E^H : F] である[3]。
体 EH は F の正規拡大（分離拡大の部分拡大は分離的だから、これはガロア拡大というのと同じ）であることと、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。
このとき Gal(E/F) の元の EH への制限は、Gal(E^H/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。

例
体 K = Q(√2, √3) = Q(√2)(√3) を考える。
略

非アーベル的な例
次の例はガロア群がアーベル群でない最も簡単な例である。
Q 上の多項式 x3?2 の分解体 K を考える。すなわち、K = Q (θ, ω) で、ここに θ は 2 の立方根であり、ω は 1 の立方根である（が 1 ではない）。
略

応用
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
以上

>>60
>対称群S7の部分群である位数42の群は
>２つの生成元から生成される
>その１つは(1234567)だ
>ではもう1つの生成元は？

なんだ、馬鹿はx→ ax+bまでわかってるのに
こんな簡単な質問に即答できないのか？

正真正銘の馬鹿だなｗ

>>67
>ガロア逆問題って"解き方"が重要なんであって
>逆問題の解でも"質"というのがあるんじゃないかと思う。
>つまり、良質な解と、ともかく存在は示せたが応用はないなという解があるんじゃないかと。

そうだとは思うけれども
未解決問題だということの方が
重要じゃないですかね？
なにかめざましい結果だせば、,◯◯賞とかもらえるかもね（＾＾

>>74
さすがに君には無理だよ。
そのレベルにはとてもない。

>>75
確かにコピペ馬鹿には無理ｗｗｗ

学部生でも即答できる問題に
答えられないんじゃねｗ

>>66
どうも。スレ主です。

>ちなみにQ上とは限らず基礎体を任意の代数体に動かしてもいいなら、任意の有限群を
>ガロア群として持つガロア拡大が存在することは簡単に分かるんですよ。

分かりません（＾＾

例えば仮に、
「the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”」
が、反例として成立すると認めることにします

そして、有限の単拡大定理から、任意の代数的数αを添加した拡大体Q（α）をベースとして
拡大体Q（α）上から、ガロア群PSL(2,16)を持つ体の拡大が存在して
これを、単拡大定理から、代数的数β’として（Q上ではないので’を付けた）
Q上に限らないから、拡大体Q（α）（β’）が実現できる？

それって、なんかおかしくないですかね？（＾＾

>>75
そりゃそうだ
おれが、いま考えてできる程度の問題なら、とっくに解かれているさ（＾＾

いや、多分これからも無理だよ。
とても真面目に勉強してるようには見えない。
ネット時代なんだから基本的な部分はショートカットして勉強してやろうという気分がレスにまで溢れかえってる。
学問に王道はない。
そんな気持ちで数学やっても行けるところなんてたかが知れてる。

>>77
何を言っているのか分かりません。
ヒント：
Q上S_nをガロア群として持つガロア拡大が存在することは比較的簡単に証明される。
一般方程式（係数が不定元）ではなく、数字方程式としてです。
これはガロア逆問題で最も基本的な結果です。
この事実を使ってよいものとします。

スレ主はx→ ax+bという情報があっても
>>60の問題に答えられないｗ

答えは(243756)

要するに(Z/7Z)×の生成元を見つければいい
で、それは3
1→3→2(=9)→6→4(=18)→5(=12)→1(=15)

で、置換は1〜7の元だったから、1足せば(243756)

ついでにいうとa(x+b)とax+bは等しくないから非可換だね

1234567
↓+1
2345671
↓×3
4736251

1234567
↓×3
1473625
↓+1
2514736

>>80
何を言っているのか分かりません。
ヒント：
１）
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem
(抜粋)
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
(引用終り)
ここで、仮に”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”が成立していると認めることにする
これは、over Qの結果なのですが

２）
さて、>>66より
「ちなみにQ上とは限らず基礎体を任意の代数体に動かしてもいいなら、任意の有限群を
　ガロア群として持つガロア拡大が存在することは簡単に分かる」
でしたね
では、任意の代数的数αを添加した拡大体Q（α）をベースとして、このベースに
PSL(2,16)による体の拡大を実現する方法をどうぞ示してください

３）
もし、ある代数的数αを添加した拡大体Q（α）上で、PSL(2,16)による体の拡大を実現する方法が示されたとします
そうであれば、その手法はQ上でも、実現できるのでは？
そうであれば、”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”は否定されることになりそうですぜ
論文になるのでは？

>>81
ご苦労さん
非可換の計算が出来るんだね
えらいえらい

だけどさ
その x→ ax+b とか、フロベニウスとか
情報は、全部おれが提供してんだけど？

だから、あんたは、学部のガロア理論レベルまでなんだよね
ガロアの第一論文の最終定理（素数ｐ次の代数方程式の可解条件）まで、到達できてなかったし、おそらくまだ到達できていなんじゃね？（＾＾；

>>83
馬鹿の貴様は計算できないのか？ｗ

渡部一己氏の論文の情報を紹介したのは安達氏　貴様ではない

貴様は読んでないのか？

だいたいx→ ax+b が分かってたら
その瞬間非可換だと分かるだろ
だから貴様は底抜けの大馬鹿野郎なんだよｗ

「Q(ζn)のガロア群は巡回群Z/nZ」
とかほざいてる時点で、貴様は何も分かってないｗ

ガロア理論とかいう以前
ガウスなら貴様を見てこういうだろう

「縁なき衆生は度し難し」

＞何を言っているのか分かりません。

馬鹿は数学分からないんだから、とっとと数学板から去れｗ

馬鹿に餞別代りの宿題だ　読みやがれ

半直積
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E7%9B%B4%E7%A9%8D

定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、
分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群をあげることができる。

n次元アフィン変換は、n次元一般線型変換とn次元の並進変換を合成したものであり、
この変換の全体は群を成し、これをn 次元アフィン変換群と呼ぶ。

2つのアフィン変換(A1,b1)と(A2,b2)の合成変換を考えると、
(A1,b1)(A2,b2)=(A1A2,A1b2+b1)
となり、単純な直積群ではないことが分かる。
しかし一般線形変換群と並進変換群は共にアフィン変換群の部分群を成し、
とくに並進部分群は正規部分群になる。
このような関係をさらに一般化したものが半直積である。

>>82
スレ主は全然ガロア理論が分かってませんね。
ガロア対応の基本中の基本ですよ。
基礎体を特に定めなくてもいいなら
任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。
kが予め固定されてないってのがミソです。
スレ主の考えでは、このようなK/kがあればそれを
うまく降下させれば、ガロア群Gを持つK'/Q
が得られると思ってるようだが、そうはいかないんですよ。
そこにガロア逆問題の難しさがあるんですよ。

>>86
その例は面白いですね。
G/N=H なるNとHがあるとき
NとHから代数的操作によって逆にGを
再構成する問題を群拡大の問題って
言うんじゃないですかね。
半直積は直積より少し複雑な構成を与える
群論を勉強したとき素晴らしい概念だなと思ったもんです。

>>88
群の拡大…面白そうですね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7

>>87
ID:qT2QtwAUさん、どうも。スレ主です。
レスありがとう

>任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。
>kが予め固定されてないってのがミソです。

ええ、どうぞ示して下さい
「任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在」を
それで、「kが予め固定されてない」が、どう作用するのか分かるでしょうから

>(ガロア拡大)K/kがあればそれを
>うまく降下させれば、ガロア群Gを持つK'/Q
>が得られると思ってるようだが、そうはいかないんですよ。

それって、ガロアの順問題でしょ？
ガロアの順問題に反例、即ち、「そうはいかない」例があると？

（>>45）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、
与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。

>>81
＞答えは(243756)
（もとの問題は>>60-61）

注文つけて悪いが
下記の 卒業研究”S_3, S_4, S_5 の部分群の分類”の
P14 §4.13 S5 の位数 20 の部分群
と対比すると

１）問題の位数42の群が構成できることが示されていない
２）位数42の群が構成されたとして、構成された群がFrobenius group "x→ ax+b, a≠ 0"（下記） となることが示されていない

（∵ n>=3の 置換群自身は、当然非可換ですよね。非可換例1つで何が言いたい？ (Z/7Z)×とZ/7Zとで、部分群の位数42を示さなきゃ。そこが肝でしょ？（＾＾； ）

手を動かせとか言っていたよね（>>49）（＾＾；
どぞ

（参考）
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類

（>>51）
https://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_group
Frobenius group
(抜粋)
Examples
・For every finite field Fq with q (> 2) elements, the group of invertible affine transformations x→ ax+b, a≠ 0 acting naturally on Fq is a Frobenius group.

>>91 訂正

（∵ n>=3の 置換群自身は、当然非可換ですよね
　↓
（∵ n>=4の 置換群自身は、当然非可換ですよね
か(゜ロ゜;

参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%BE%A4
交代群
(抜粋)
群 An が可換群となるのは、n ? 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n ? 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり[4]、最小の非可解群である。

群 A4 はクラインの4元群 V を真の正規部分群として持つ。V は {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} であり、列 V → A4 → A3 (= C3) は完全である。
ガロワ理論によればこの写像、あるいはこれに対応する S4 → S3 に、四次方程式のフェラリの解法における（三次の）ラグランジュ分解方程式（分解方程式の根によって四次方程式を解くことができる）が対応している。

>>92 文字化け訂正

群 An が可換群となるのは、n ? 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n ? 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり[4]、最小の非可解群であ
　↓
群 An が可換群となるのは、n >= 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n >= 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり[4]、最小の非可解群であ

age
新スレになると、コテハンとトリップ設定を入れないといけなので、そのためも兼ねて（＾＾

スレ主ってほんとピエロだね

ありがとう（＾＾

>>91
>１）問題の位数42の群が構成できることが示されていない

群の公理を満たすことを自分で確かめてごらん
いい勉強だよｗ

>２）位数42の群が構成されたとして、構成された群が
> Frobenius group "x→ ax+b, a≠ 0"
> となることが示されていない

1,2,3,4,5,6,7を
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6　(ζ=cos(2π/7)+i*sin(2π/7))
として、
各元にζを掛ける操作で(ζ(x+1))
ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6,1
各元を^3する操作で（ζ^(3x))
1,ζ^3,ζ^6,ζ^2,ζ^5,ζ,ζ^4
となるね

あとは操作を結合させてζ(ax+b)になってることを確かめてごらん
いい勉強だよｗ

君は手を動かして計算しないから馬鹿のままなんだよ
計算しな　注文は自分自身につけな
自分を甘やかしたら負け犬のままだぜｗｗｗ

>>97の追伸
M大の卒業研究で
F20の生成元が{(12345)(2354)}
とあったんで、どうやって作ったかピンと来たね

馬鹿は計算しないから勘も働かない
工学屋のクセして計算しないとかクソだなｗ

馬鹿がめんどくさがる計算ｗ

1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
↓^3
1,ζ^3,ζ^6,ζ^2,ζ^5,ζ,ζ^4
↓^3
1,ζ^2,ζ^4,ζ^6,ζ,ζ^3,ζ^5
↓^3
1,ζ^6,ζ^5,ζ^4,ζ^3,ζ^2,ζ
↓^3
1,ζ^4,ζ,ζ^5,ζ^2,ζ^6,ζ^3
↓^3
1,ζ^5.ζ^3,ζ,ζ^6,ζ^4,ζ^2
↓
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6

これで1を先頭とする６個の順列ができたから
あとはそれぞれぐるぐる回しすれば
６×７＝４２個の順列が出来上がりｗｗｗ

こう書けば計算しない馬鹿にも分かるかｗ

1 →+1 ζ^1 →+1 ζ^2 →+1 ζ^3 →+1 ζ^4 →+1 ζ^5 →+1 ζ^6
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+3 ζ^3 →+3 ζ^6 →+3 ζ^2 →+3 ζ^5 →+3 ζ^1 →+3 ζ^4
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+2 ζ^2 →+2 ζ^4 →+2 ζ^6 →+2 ζ^1 →+2 ζ^3 →+2 ζ^5
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+6 ζ^6 →+6 ζ^5 →+6 ζ^4 →+6 ζ^3 →+6 ζ^2 →+6 ζ^1
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+4 ζ^4 →+4 ζ^1 →+4 ζ^5 →+4 ζ^2 →+4 ζ^6 →+4 ζ^3
↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3 ↓^3
1 →+5 ζ^5 →+5 ζ^3 →+5 ζ^1 →+5 ζ^6 →+5 ζ^4 →+5 ζ^2

このスレもう3年以上前からやってるみたいだけど、いつまで数学科の学生なら半年で通り過ぎる様なレベルで足踏みするの？
もうこの惨状がググってコピペするなんて作業が数学力の向上になんの役にも立たないことを自ずと示してるようなもんだけど。
この不毛な作業ずっと続けるの？
まぁその人の人生どう使おうがその人の勝手なんだけど。

>>102
「諸君らが調教してくれたスレ主は全く上達しない！何故だ？」

https://www.youtube.com/watch?v=P7gBOxWySN0

>>97-101
ぱち ぱち ぱち
さすがだね

　あとさ、
あんたは分かっているんだろうが
もとは、置換群の話で
例えば、コーシーの２行に書く記法で
（>>98）巡回置換(2354)なら
(1,2,3,4,5)
(1,3,4,5,2)
って話で、ちょっと、つなぎを入れてやると
親切だろうな

それと、１のベキ根のべきの話
1,ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
で、ζの指数で書くと
1=ζ^0,ζ^1,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6
で、指数だけ取り出すと
(0,1,2,3,4,5,6)となって

各元にζを掛ける操作で(ζ(x+1))
ζ,ζ^2,ζ^3,ζ^4,ζ^5,ζ^6,1=ζ^0だと
指数だけ取り出すと
(1,2,3,4,5,6,0)となって
つまり
(0,1,2,3,4,5,6)
　↓
(1,2,3,4,5,6,0)

コーシーの記法で
(0,1,2,3,4,5,6)
(1,2,3,4,5,6,0)
で、巡回置換の記法では
(1,2,3,4,5,6,0)と書くとか

まあ、ζ^n（n=0〜6）の指数と、
順列 (0,1,2,3,4,5,6)が対応するとか
（常識といえば常識だけれど）
ここもつなぎがあると、大学1〜2年くらいには親切だろうな

参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
置換 (数学)
(抜粋)
記法について
有限集合 S の置換に対して、その記法は大きく三種類が存在する。
1815年、コーシーによって導入された[8]二行記法[訳語疑問点]は一行目に S の元を書き、その各元の下に置換による像を書いて二行目とするものである。

二行記法の下の行だけを書くのが一行記法[訳語疑問点]であり、先ほどの例であげた置換は一行記法だと 25431 で表される（成分が複数の文字、例えば二桁の数で表されるような場合には、成分の間にコンマを入れるのが典型的である）。

第三の記法として置換の巡回置換表現（英語版）[10]は、置換を続けて施す効果に焦点を当てたものになっている。

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
Permutation
(抜粋)
Notations
Two-line notation
One-line notation
Cycle notation

>>102
ID:QnREEzq+さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう

ID:QnREEzq+と、私スレ主に言っているのだろうが
おれは、”まぁその人の人生どう使おうがその人の勝手なんだけど”の通りですが

ID:QnREEzq+は、人生落ちこぼれで
このスレしか、自分の不遇な人生を慰める場所ないみたいだ

まあ、大目に見てやれよ
おれは、そうしている

落ちこぼれピエロは相変わらず上から目線が大好きで勉強が大嫌い

それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
スレ主は検索で引っかからないような「自明すぎるから誰も問題にしていない
でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」ような話に弱いですねｗ

数学科の学生が半年で通り過ぎるレベルも、結構個人差があるみたいだがね
例えば、下記、東京大学数学科生であってもね
（”数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地”とか（＾＾； ）

https://hiroyukikojima.hate（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
hiroyukikojima’s blog
2008-03-27
ガロアの定理をわかりたいならば
(抜粋)

ガロワと方程式 (すうがくぶっくす)
作者: 草場公邦

とりわけ最初の『ガロワと方程式』はめちゃめちゃいい。

ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E5%B3%B6%E5%AF%9B%E4%B9%8B
小島寛之
(抜粋)
略歴
小島 寛之（こじま ひろゆき、1958年 - ）
東京都生まれ[要出典]。東京大学理学部数学科卒業。
東京大学大学院理学系研究科数学専攻(現数理科学研究科)の大学院入試に3度落第したため、数学者への道を諦め

>>107
＞それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？

つー、>>90な
証明は、あんたとおっちゃんに任すぜｗ（＾＾

>>104
馬鹿はまた下らないコメントしてるなｗ

馬鹿は自分の馬鹿に向き合えないから
いつまでも馬鹿のままなんだよｗｗｗ

＞例えば、コーシーの２行に書く記法で
＞巡回置換(2354)なら
＞(1,2,3,4,5)
＞(1,3,4,5,2)
＞って話で

うわぁ、馬鹿丸出しｗ

お前、巡回置換表示も知らねぇのかよｗ
巡回置換表示で(2354)と書いたら
２→３→５→４→２
の意味だろが

これをコーシーの２行記法で書けば
(1,2,3,4,5)
(1,3,5,2,4)
だろが、ドアホｗ

巡回置換(2354)を反復適用した場合

　(1,2,3,4,5)
→(1,3,5,2,4)
→(1,5,4,3,2)
→(1,4,2,5,3)
→(1,2,3,4,5)

>>108
それでいいん？
3年もやってるんだからそれなりにガロア理論好きじゃないの？
このままだと四半世紀はおろか一生このままだよ？
3年も勉強していまのレベルなんだったら単に物わかりが悪いとかなんとかではないよ？
勉強に対する大切な何かがハズれてるんだよ。
わかっててやってるならいいけど単に物わかりが悪いだけ、そのうちなんとかなると思ってるなら多分間違ってるよ。
もしホントに数学を楽しみたいと思ってるなら思い切って路線変更すべきだと思う。

>>106
＞(馬鹿は)上から目線が大好きで勉強が大嫌い

全くだ
1は勉強しないくせに上から目線で馬鹿丸出しの初歩的間違い書くから嘲笑される
これから心からの侮蔑を込めて1をこう呼んでやろう
”Mount Idiot”（マウント馬鹿）

本日の大戦果

「馬鹿山1は巡回置換記法を誤解したまま線形変換群とかぶっこいてた」

こいつ何を理解したつもりになってたんだろうなｗｗｗｗｗｗｗ

1に捧ぐ
https://www.youtube.com/watch?v=KDM6OD24nhc

海ゆかば　水漬く屍
山ゆかば　草むす屍
大君の　辺にこそ死なめ
顧みはせじ

>>107
>それで任意の有限群が実際にあるガロア拡大K/kのガロア群となることは証明できましたか？
>スレ主は検索で引っかからないような「自明すぎるから誰も問題にしていない
>でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」ような話に弱いですねｗ

「自明すぎるから誰も問題にしていない
　でも暗黙にはその分野のひとは皆当然分かってる」

ええ、>>87
「ガロア対応の基本中の基本ですよ。
基礎体を特に定めなくてもいいなら
任意の有限群Gを持つガロア拡大K/kの存在が示せる。」
でしたね

そういうのは、一般に”存在定理”とかいうそうですよ
どぞ、証明を（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86
存在定理

https://en.wikipedia.org/wiki/Existence_theorem
Existence theorem
(抜粋)
In mathematics, an existence theorem is a theorem with a statement beginning 'there exist(s) ..', or more generally 'for all x, y, ... there exist(s) ...'. That is, in more formal terms of symbolic logic, it is a theorem with a prenex normal form involving the existential quantifier.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%86%E3%82%AA%E3%83%89%E3%83%AA%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86
カラテオドリの存在定理

>>113
自分のことを言っているのかね？（＾＾

このガロアスレは、もともとテンプレにもある通り（>>8 及び下記）
”大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ ”

(参考)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む64
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1556253966/9-
9 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/04/26(金) 13:55:26.20 ID:mF7ZEDvm [9/34]
大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、半分趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
もう半分は、ここはおれのメモ帳だ （ここには、自分が面白いと思った情報を集めてあるんだ。過去ログ見ると、いろいろ面白い情報（リンクやPDF があるよ（＾＾ ）
（ もしサイト移動などでリンク切れのときは、引用してある文章のキーワードによる検索をお願いします ）

以下過去スレより再掲
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/7
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな

再生は無理だろう
そもそも、５ＣＨ（旧２ＣＨ）は、数学に向かない

アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない

複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない）
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを

>>111
ども、訂正ありがとう

>巡回置換表示で(2354)と書いたら
> ２→３→５→４→２
>の意味だろが

That's right！
その通りでした（＾＾；
いいつっこみだ

おさるも、バグ取り人として、存在価値があるかも
そういう気がしてきたな（＾＾

>>118
え？数学勉強する気は全然ないの？
にしては別スレではえらくトンチンカンな反論してくるじゃん？
数学の勉強する気あるの？ないの？

>>117
1.Q上対称群S_n（nは2以上の任意整数）をガロア群としてもつガロア拡大K/Q が存在する。

2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）

3.ガロア対応。S_nの任意の部分群Gに対してGの不変体をkとするとK/kはガロア拡大でGal(K/k)=G。

1.は>>80のヒントに書いた。決して自明ではなく、証明されるべきこと。
2.,3. は代数の常識。

別にQ上でなくても、"一般n次方程式"のガロア群はS_nなんだから
係数に"具体的な数"を入れてもほとんどの場合ガロア群はS_nになるだろうとは想像がつく。
それで2.,3.は常識だから、ともかく任意のGに対してそれをガロア群
として持つ拡大の存在であれば、一瞬で分かるはず。
それは自明だから問題にされない。

>>119
こいつ、絶対巡回置換記法の意味知らなかったっぽいな

なにしろ∈の意味も知らずに
{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}}　だから　{}∈{{{}}}　だ
とか馬鹿書きまくってたくらいだからな

>>118
＞アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
＞複数行に渡る記法ができない

貴様が馬鹿なのは記号とか記法以前の問題
計算しないヤツが数学を理解できるわけがない

>>120
馬鹿の誤りはバグではなく病気ｗ
お前がここから失せろ
そうすればおれも書き込みせずに済む
お互いのためだ　ぜひそうしろｗ

>>121
？
これ、>>113のID:Equcgj9Rさんかな？

逆に質問するけど
あなたは、何のために、数学板にいるの？
ガロアスレで説教たれるためか？
いまの数学板で、まともなスレがいくつある？
（下記「数学：2ch勢いランキング」ご参照）

あなた、説教垂れるヒマがあったら、自分でスレ立てるかして、お手本を示したらどうですか？
あるいは、他のスレでも、このスレでも良いけど、自分で有益な書き込みをしたらどうですか？

参考
http://49.212.78.147/index.html?board=math
数学：2ch勢いランキング 10月22日 7:05:28 更新
(抜粋)
順位 6H前比 スレッドタイトル レス数 勢い
1位 = 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む78　122 　36
2位 = 0.99999……は１ではない　その２　438 　35
3位 = 現代数学の系譜　カントル　超限集合論　453 　27
4位 = 高校数学の質問スレPart401　957 　21
5位 = 数学の本　第86巻　613 　21
6位 = フェルマーの最終定理の簡単な証明　584 　20
7位 = 【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明5　742 　20
8位 = 分からない問題はここに書いてね456　842 　19
9位 = Inter-universal geometry と ABC予想 41　955 　16
10位 = フェルマー最終定理について　303 　15
11位 = 文理融合のための数学教育　90 　7
12位 = 現代数学はインチキのデパート　102 　6

>>127
＞いまの数学板で、まともなスレがいくつある？

なんか馬鹿はおかしな言い訳するよねｗ

そりゃ世の中には
「0.99999……は１ではない！」とか
「奇数の完全数が存在しないことを証明した！」とか
「フェルマーの最終定理を初等的に証明した！」とか
訳の分からんことをほざく奴がいるよ

しかし、そういう奴らがいるからって
「{}∈{{}}、{{}}∈{{{}}}　だから　{}∈{{{}}}」とか
「Qに1の原始n乗根を添加した体のガロア群はZ/nZ」とか
初等的なボケかましていい理由にはならんよなｗ

つーか、数学板で書き込みするなら
巡回置換記法の意味くらい自分で勉強しろよ
こんなん間違えるヤツとか初めてみたｗ
おまえどこの高校の卒業だ？もしかして中卒か？

>>122-123
> 2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）

それって、ケーリー（Cayley）の定理でしょ？
いま問題にしているのは "ガロアの逆問題"（下記）で、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題ですよ
ちょっと違うんじゃない？
つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？

参考
https://okwave.jp/qa/q5264057.html
任意の有限群は、適当な置換群 Sn(N) の部分群？ loboskobay OKWAVE 2009/09/05 質問No.5264057
(抜粋)
「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」

ベストアンサー zk43 2009/09/05
定理の名前でいえば、
ケーリー（Cayley）の定理といいます。
証明の概略としては、Gを位数nの有限群として、
a∈Gを一つ取り、x→ax（x∈G）で写像fa:G→G
を定めると、これは全単射であり、Gの置換を
引き起こします。Gの置換全体の集合をSGとすると、
明らかにSGとSnは同型です。
そして、a→faによって写像φ：G→SGを定めると、
これは単射準同型になるので、GはSGに埋め込まれる、
すなわち、GはSnの部分群と同型となる、といえます。

（>>45より）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。

つづく

>>129
つづき

英文だが
https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27s_theorem
Cayley's theorem
(抜粋)
In group theory, Cayley's theorem, named in honour of Arthur Cayley, states that every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G.[1] This can be understood as an example of the group action of G on the elements of G.[2]

A permutation of a set G is any bijective function taking G onto G. The set of all permutations of G forms a group under function composition, called the symmetric group on G, and written as Sym(G).[3]

Cayley's theorem puts all groups on the same footing, by considering any group (including infinite groups such as (R,+)) as a permutation group of some underlying set.
Thus, theorems that are true for subgroups of permutation groups are true for groups in general. Nevertheless, Alperin and Bell note that "in general the fact that finite groups are imbedded in symmetric groups has not influenced the methods used to study finite groups".[4]

The regular action used in the standard proof of Cayley's theorem does not produce the representation of G in a minimal-order permutation group.
For example, {\displaystyle S_{3}}S_{3}, itself already a symmetric group of order 6, would be represented by the regular action as a subgroup of {\displaystyle S_{6}}S_{6} (a group of order 720).[5]
The problem of finding an embedding of a group in a minimal-order symmetric group is rather more difficult.[6][7]
(引用終り)
以上

>>81
>x→ ax+b
>要するに(Z/7Z)×の生成元を見つければいい

それ結構センスいいね
ちょっと違うけど、類似のことを考えていた
前スレのBrent Everitt先生 P77を見て、思いついたんだが
前スレの「分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。」

という議論を、Brent Everitt先生 P77を適用すれば
P77のx^5-2=0のクンマー拡大の群から、位数20＝5x4の群が求まって、その群は1の原始n乗根ωが添加されない一般の位数20の群と同じ
それを、素数p次 x^p-2=0 で考えると、ガロアの第一論文の最終命題のFrobenius group（>>51）が得られるね

スレ77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/875-
875 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/10/16(水) 07:54:22.35 ID:OrOarbJT [5/12]
(抜粋)
(Brent Everitt先生、これお薦めです。カラーの絵が豊富で分り易い。（練習問題の解答が無くなっているね（＾＾ ））
https://arxiv.org/abs/1804.04657
Galois Theory - a first course
Brent Everitt
(Submitted on 12 Apr 2018)
These notes are a self-contained introduction to Galois theory, designed for the student who has done a first course in abstract algebra.
https://arxiv.org/pdf/1804.04657.pdf

スレ77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/938-
(抜粋)
938 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/10/17(木) 20:14:37.67 ID:rXxqe236 [7/8]
aを3乗数でない整数とすると、x^3-aはQ上既約。
分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。これが一般3次方程式との違い。
つまり、一般3次方程式は最初に2次方程式を解いたあとωを添加して3次クンマー拡大でべき根表示が得られる
（分解体Kにωが含まれることを必ずしも意味しない）わけですが
最初の2次拡大とQ(ω)/Qが一致する特殊ケースが2項方程式（及びそれと同値な方程式）なわけです。
わたしが指摘したのは、この類似が5次方程式でも成立してるよねってことです。
以上

>>131
>>x→ ax+b
>>要するに(Z/7Z)×の生成元を見つければいい
>それ結構センスいいね

いや、速攻３秒で気づくだろｗ
こんなことで褒められても全然嬉しくねぇわ、ボケｗ

>ちょっと違うけど、類似のことを考えていた

言い訳すんなｗ

巡回置換記法も知らんでガロア理論がーとかほざいてた
バカ　アホ　タワケ　
ダラズ　ホンジナシ　タクランケｗ

>>132
＞バカ　アホ　タワケ　
＞ダラズ　ホンジナシ　タクランケｗ

しかし、ここの１を表す最も適当な言葉はこれだろう
ハンカクサイ(半可臭い)…半分OK程度の人

いや半分どころか１割もないけどｗ

>>128
＞巡回置換記法の意味くらい自分で勉強しろよ

すまん、すまん
矢ヶ部を思い出したよ
「矢ヶ部　巌：数�V方式　ガロアの理論」で、S5の部分群を出すところがあって
そのときに、位数20群を扱っていて「F20の生成元が{(12345)(2354)}」（>>98）
と書いてあって、その意味も、解説されていたことを思い出した

スレ77 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/773-
773 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/10/10(木) 10:32:57.70 ID:K6AlmfoH [1/3]
種本でもないけど、お薦めは、下記「矢ヶ部　巌：数�V方式　ガロアの理論」
これ分かり易かった。大学教程のガロア理論を学んだ人なら、一日で読めるでしょう
http://www.ne.jp/asahi/music/marinkyo/matematiko/suusan.html.ja
矢ヶ部　巌：数�V方式　ガロアの理論 まりんきょ学問所 数学の部屋 MARUYAMA Satosi 最終更新日：2019-08-23
概要
３人の対話により、ガロアの理論を紹介している。副題は「アイデアの変遷を追って」
感想
初版は 1976 年、第 9 刷は 2002 年に出ている。その後入手困難となっていたが、 2016 年に新装版が出た。
(引用終り)

スレ主は多分、ほとんど自分の頭で考えることができない
どこに何が書いてあったかとかは知っていて
それを切り貼りしているだけ。
情報の信憑性を天秤にかけて真偽を推定している感じ。
バカという言葉では言い表されない特異な脳の持ち主なのかもしれない。
勿論、数学板からは去ってほしいｗ

>>135
　>>129より
”ちょっと違うんじゃない？
つまり"ガロアの逆問題"は、与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）を見つける問題ではなく、「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」という問題でしょ？”

どぞ

>>135
1は「知識の外部化」が甚だしい
思考すら外部化しちゃってる感じｗ

しかし思考しないんだったら数学学ぶ意味ないだろ

＞（他人の文章を）切り貼りしているだけ。
＞情報の信憑性を天秤にかけて真偽を推定している

肝心の基本的な記号（∈等）、記法（(2354)等）の
意味を確認せず、自分勝手な解釈で誤解してるから
何を引用しても見当違いだけどなｗ

＞バカという言葉では言い表されない
＞特異な脳の持ち主なのかもしれない。

いや、やっぱりバカなんでしょう

勉強せずにリコウぶる「マウンティング」をやるには
人の書いた文章を引用すりゃいい、と思ったんでしょう
まったく馬鹿丸出しな発想

＞勿論、数学板からは去ってほしいｗ

極論をいえば、この世から去ってほしいけどね

こんな軽薄なヤツ、会社でも持て余してると思うんだよな
工学屋のくせに計算サボるとか自爆行為じゃんｗ
工学屋なんて計算しか能がないんだからさｗ
こいつ部下にもっともらしいこというだけで
自分は全然仕事しないタイプだな　
ま　そんなヤツ珍しくないけどねｗ

>>136
「ガロア逆問題」は「Q上」という条件が付いている。
そして、Q上とは限らず、ともかくGをガロア群として持つガロア拡大K/kが存在するか？
という問題だと存在は自明になってしまう。だから問題にされないんですよ。
証明は>>122に書いてある通りです。

>>129
3年もガロア理論勉強してコレだもん。
ほとんど何もわかってないなとしか見えない。
ヨコなのであんまり詳しくは書かないけど、とにかく話を数式に起こしてキッチリ考えてみなよ？
問題は
1)
∀G finite gp. ∃ K/k fileds s.t.
・K/k galois ext.
・Gal(K/k) ≅ G
だよ？
で自分で証明できるかどうかはともかくとして
2)
∀n natural num. ∃ K/k fileds s.t.
・K/k galois ext.
・Gal(K/k) ≅ S_n
は知ってるんだよね？
コレはわかる？
3)
∀G finite gp. ∃n natural number ∃H ⊂ S_n sub gp. s.t.
・G ≅ H。
2) と3)が証明できるなら1)も証明できるハズだけど？
どっちかできないの？

>>139
1は、実際には3年間、別の問題に逃げて、
ガロア理論は勉強してなかったけどなｗ

>とにかく話を数式に起こしてキッチリ考えてみなよ？

ダメダメ、こいつ具体的な計算は
何一つしない（というかできない）から

だって巡回置換記法も誤解してたんだぜｗｗｗ

普通、計算してる奴なら速攻で誤りに気付くだろ
だって教科書と答えが合わないんだから

1はとにかく間違いを恐れるチキンだから
そういう羽目に陥ることは一切しない
計算すれば誤る可能性が大だからなｗ

過ちから学ぶのは基本、
誤らないヤツに物事は学べないよｗ

時々いる
間違い認める＝負ける
理論の人かな？
そう言う人も学問向かないんだよな。

そうなんだよな。
そういう人って学問向かないだけじゃなくて何やってもダメなんだよな。

＞そういう人って…何やってもダメなんだよな。

でも、なまじカワイイと世間がもてはやすので反省しないｗ
https://www.nikkan-gendai.com/articles/view/geino/247103

>>145

つづき

http://polyhedra.cocolog-nifty.com/blog/2017/11/index.html
正多面体クラブ
2017年11月13日 (月)

http://polyhedra.cocolog-nifty.com/polyhedra20.pdf
正20面体・サッカーボール

http://polyhedra.cocolog-nifty.com/photos/uncategorized/2017/11/13/s20c.jpg
正20面体の展開図と一緒にあるサッカーボールの出来上がりは、こんな形。

サッカーボールは「切頂20面体」といって、正20面体の頂点を切り落とした形です。切り落としたところを正５角形でふさぐのは（すご〜く）大変なので、穴の空いたままです。
※JAXA（宇宙航空研究開発機構）のサイトに「サッカーボール型木星儀ペーパークラフト」があります。こちらは５角形のところが穴あきじゃないです。（でも作るの大変そう〜）元気のある人は、作るの挑戦してみてください。
(引用終り)
以上

>>144
そう、あせるな
病気が悪化するぞ

>>147
貴様、今度オレから責められて反論不能だったら
このセリフを口にしたらどうだ？ｗ

https://www.oricon.co.jp/special/50797/

『私はマイメロだよ〜☆
　難しいことはよくわかんないし
　イチゴ食べたいでーす』

ギャハハハハハハ！！！

・・・あいつ、●Ｖに堕ちねぇかな（極悪）

>>138-139
？
ケーリー（Cayley）の定理（>>129）より
任意の群Gは、置換群による表現を持ち、ある大きな対称群Snに含まれる
そして、ある体E上で、対称群Snをもつ一般方程式（それはn次になる）が存在して、代数拡大F/Eが得られる
これは、Q上でも同じ

それで良いなら、
ガロア逆問題
”All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”

なんてことにはならないでしょ？　なんで、”the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].”なの？
ある体E上で、PSL(2,16)を使って、拡大体Fがどうなるか？

どぞ、PSL(2,16)の拡大体Fを示してください

　>>46
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem
(抜粋)
( unsolved problems in mathematics)
Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].

参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%8B%A1%E5%A4%A7
代数拡大
(抜粋)
抽象代数学において、体の拡大 L/K は次を満たすときに代数的（英: algebraic）であると言う。
L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。

例えば、体の拡大 R/Q, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 C/R や Q(√2)/Q は代数的である。ここで C は複素数体である。

すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる[1]。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。

a が K 上代数的であれば、K 係数の a による多項式全体の集合 K[a] は環であるだけでなく体である：K 上有限次の K の代数拡大である。逆もまた正しく、K[a] が体ならば a は K 上代数的である。特別な場合として、K = Q が有理数体のときは、Q[a] は代数体の例である。

>>148
落ち着いて、治療した方がいいぞ

>>149 補足

＞どぞ、PSL(2,16)の拡大体Fを示してください

ああ、好きに基礎体Eを選んで良いよ

証明は>>122で示しましたよ。不備があるなら言って下さい。
補足しますよ。具体例は自分で計算してください。

基礎体を任意に選んでいいならガロア逆問題じゃないです。
Wikipediaで存在しないんかもね？と言われてるのはQ上の話です。
Q上で存在しないとしてもある代数体k上では存在するとしても何の矛盾もありません。

1は数学板のＵ．Ｍ．ってことでｗ

『オレはこのスレッドの主だぜ　｜ｍ｜
　難しいこたぁよくわかんねぇし
　ああスタ丼食いてぇ』

・・・うぜぇぇぇぇぇぇｗｗｗ

｜ｍ｜はメロイックサインねｗ

>>149

> >>138-139
> ？
> ケーリー（Cayley）の定理（>>129）より
> 任意の群Gは、置換群による表現を持ち、ある大きな対称群Snに含まれる
> そして、ある体E上で、対称群Snをもつ一般方程式（それはn次になる）が存在して、代数拡大F/Eが得られる
> これは、Q上でも同じ

ここまではわかるの？
つまり
3)
∀G finite gp. ∃n natural num. ∃H sub gp. of S_n s.t.
G ≅ H

2)
∀n∃K/Q s.t.
K/Q galois ext.
Gal(K/Q) ≅ S_n
の二つはわかるんだな？
じゃあこの二つを組み合わせたら

1)
∀G finite gp. ∃K/k/Q s.t.
K/k Galois ext.
Gal(K/k) ≅ G

が出るのわからん？
そしてコレからは直ちに

4)
∀G finite gp. ∃K/Q s.t.
K/W Galois ext.
Gal(K/Q) ≅ G

が導出されないのはわかる？
ホントに分からんの？
それともわかったと認めるのは負けを認めることになるからプライドが許さないの？

Gal(K/k)=PSL(2,16)となるK/kが存在する。
それは、Kがk上のある代数方程式の分解体だということです。
Q上の代数方程式で同じガロア群を持つ方程式が存在することを意味しません。

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570617291/455
>ガロアスレに今日サル石がこんな投稿をしていた

名前が違うな　安達君
｛｝だよ　覚えてくれたまえ

>>そりゃ世の中には
>>「0.99999……は１ではない！」とか
>>訳の分からんことをほざく奴がいるよ

>これを見ると今でも0.99999……＝１だと思っているらしい

実数論の公理を前提すれば
無限小数0.99999……が存在し
0.99999……＝１が導かれる

別に実数論の公理を信仰してるわけではない

実数論の公理から矛盾が導けるのなら
是非証明していただきたい

きっとフィールズ賞が獲れるだろう
（注：冗談ではなく真面目なコメントである）

こっちのスレはあんまりのぞいてないんですけど、なんで中学レベルすらわかってない安達さんがこんな難しいスレにいるんですか？

メモ
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO51301050T21C19A0MM8000/
グーグル、量子計算機で「超計算」成功と発表
2019/10/23 18:07日本経済新聞　電子版

米グーグルが開発した量子コンピューター用のチップ「シカモア」=同社提供

米グーグルは23日、量子コンピューターを使い、複雑な計算問題を最先端のスーパーコンピューターよりも極めて短い時間で解くことに成功したと発表した。理論上、量子コンピューターはスパコンを上回る性能を持つと考えられてきたが、世界で初めて実験で証明した。
人工知能（AI）などに続く革新的技術として期待される量子コンピューターの実用化へ、大きく前進する。

同日付の英科学誌「ネイチャー」で成果を報告した。

発表によると、同社の量子コンピューターが従来のコンピューターでは困難な問題を解く性能を示す「量子超越」を達成した。乱数をつくる計算問題を用意して検証したところ、最先端のスパコンが約1万年かかるのに対し、量子コンピューターは3分20秒で解くことができたという。一般的に乱数は暗号技術などで使われることが多い。

量子コンピューターは「量子力学」と呼ぶ物理法則に従って動く。従来のコンピューターが「0」か「1」かで情報を表すのに対し、量子コンピューターは「0であり、かつ1でもある」という特殊な状態を利用して大量の情報を一度に処理できるのが特徴だ。計算の回数が減り、時間も大幅に短縮できる。

グーグルは2013年に量子人工知能研究所を設置。米カリフォルニア大学サンタバーバラ校の研究グループを迎えるなどして、量子コンピューターの開発に力を入れてきた。今回、0と1を重ね合わせた53個の「量子ビット」を利用し、スパコン超えの性能を実証した。

量子超越の達成により、コンピューターの開発の歴史に新たな一歩が刻まれることになる。幅広い計算に対応する量子コンピューターの実現にはなお時間がかかるが、AIの計算や金融リスクの予測、化学実験など幅広い用途が見込まれ、具体的な活用法の研究も加速する見通しだ。

電子版の記事がすべて読める有料会員のお申し込みはこちら

1　ガロア理論と無関係の書き込みで誤魔化すｗ

>>159 追加

この批判は、結構面白いね
C++さんの世界かもしれん（＾＾；
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO51280300T21C19A0000000/
[FT]IBM、グーグルの「量子超越」達成は「大げさ」
2019/10/23 日経 by Richard Waters （2019年10月22日付　英フィナンシャル・タイムズ電子版　https://www.ft.com/）
(抜粋)
IBMの研究者5人は21日に発表した論文で、グーグルの量子コンピューターが最先端のスーパーコンピューターの性能をはるかに上回るという主張は大げさだと述べた。

グーグルのこうした主張は、英紙フィナンシャル・タイムズ（FT）が9月、他社に先駆けて報じた未発表の研究論文に書かれていた。
グーグルは自社の量子コンピューターについて、米エネルギー省のスパコン「サミット」で1万年かかる計算を3分20秒で完了したと報告した。
これを「量子プロセッサーにしかできないコンピューター計算の初めての例」と位置づけ、「コンピューター計算で待ち望まれていたパラダイムの到来を告げる」とした。

■「将来的に従来コンピューターと併用」
しかしIBMの研究者は、独自の方法を用いて同じ計算問題をスパコンで解いてみたところ、2日半しかかからなかったと明らかにした。
グーグルに対しては、スパコンの性能がシステムメモリーに保存できるデータ量によって制限されると想定したことが間違いだとし、このような足かせを乗り越えられる「豊富なディスク容量を考慮しなかった」と指摘した。
さらに、その他のハードウエアやソフトウエアの発展にも言及し、IBMでの計算に要した2日半という結果はどちらかと言えば「控えめで、最悪ケースの見積もり」だと付け加えた。

量子コンピューターの実現をグーグルと競い合うIBMは、グーグルが「量子超越」を標榜しようとしたことにも反発している。
量子コンピューターと従来のコンピューターには大きな違いがあるため、将来的に「併用される」見通しだと説明したうえで、今回の一連の報道はあたかもコンピューターの新時代が到来したかのような「誤解を世間に必ず与える」と非難した。
IBMは既に、グーグルの主張に対する批判を公に表明している。

新たなプログラミング方法で従来のコンピューターの性能が追い付く可能性もあり、量子コンピューターとの競争に決着がついたわけではないという声もある。

>>160
そうあせるな
慌てる乞食はもらいが少ない

https://ja.wiktionary.org/wiki/%E6%85%8C%E3%81%A6%E3%82%8B%E4%B9%9E%E9%A3%9F%E3%81%AF%E3%82%82%E3%82%89%E3%81%84%E3%81%8C%E5%B0%91%E3%81%AA%E3%81%84
慌てる乞食はもらいが少ない
ナビゲーションに移動検索に移動
日本語
(抜粋)
１．他者よりも多く貰おうと急いで貰いに行く乞食は、施す人からその欲深さを嫌われて、結局は貰い分が減ってしまうという事。
２．自分の都合のみを押し付ける我が侭な要求をする人間は、相手の反感を買い、結局は損をするという事。

1　ガロア理論と無関係の書き込みで誤魔化すｗ

1＝乞食

スレ主さんは論理式読めるの？
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H
と
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. k/Q Galois ext. Gal(k/Q)=H
のちがいはわかりますか？
どちらかは確実に合っててどちらかは私の知る限り未解決問題なんですがどちらが正しくてどちらが未解決問題かわかりますか？
正しい方がわかるならもう一方が未解決問題の方です。

>>158
>こっちのスレはあんまりのぞいてないんですけど、なんで中学レベルすらわかってない安達さんがこんな難しいスレにいるんですか？

どうも。スレ主です
安達さんは、スレ18（2016年）（下記）からの古参の人だよ
当時、ガロア理論の質問をしてきてね
私スレ主が説明したけど（他に説明した人は、いなかったのだが）、納得できないといってね（＾＾
自分で解説を考えて、それを書いて本に入れたという

（参考）
http://www.v2-solution.com/booklist/978-4-86476-703-3.html
V2-Solution Inc. 書籍紹介
相対性理論はペテンである／無限小数は数ではない
安達 弘志 著
発売日20190701
(抜粋)
内容紹介
「ガロア第一論文のシンプル解説」現代の抽象代数学の用語を一切用いない、シンプルで、深い、最良の解説書

ガロアスレ18 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/179-
(抜粋)
179 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/02/20(土) 10:38:56.58 ID:ue3tj7XN [1/3]
どうもスレ主は私の言っていることの意味が分かってないようだが、ま、いいか（笑
私は理系ではなく、ましてや数学をを専攻したような人間ではない。
ただ五次方程式が解けないことをガロアが群という考えを用いて証明した、
ということを知って興味を持って調べているだけである。

で、何の予備知識もなくいきなり「群と代数方程式」を買って読んでみたが、
書いてあることの意味自体が理解できなかった（笑
で、解説書も少し読んでみて、何となく分ったような気になったが、
よく考えるとやはり分らない（笑

そこで「ガロアを読む」を買って今読んでいるのだが、
これも数学専攻学生のために書かれたような本で、
こんなものを読んでも素人には本質的なことは何も分らない。

で、今、図書館で「13歳の娘に語るガロアの数学」をリクエストしてきた。

180 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/02/20(土) 11:07:17.65 ID:ue3tj7XN [2/3]
補題４が分ったと書いたが、100%理解できたというわけでもない。

V´がVの根を置換したものだということは分る。
しかし根ａがf(V)で表わされるなら他の根ｂはf(V´)で表わされる、
ということの厳密な証明がない。

>>165
「K/k Galois ext. Gal(K/k)=H」の定義は？

>>167
Kはkのガロア拡大体でそのガロア群はHに一致する。
です。
読んでる教科書にこの記号載ってない？
どちらかは正しい事が確実に示せます。
わかりますか？

>>166
そうだったんですね

論理式の一つもわからなかった安達さんがなぜこんな話題に興味を持つのかとても興味深いですね

>>168
ID:9DQGDl/5さん、どうも。スレ主です。
夜遅く、回答ありがとう

さて、ガロア理論で、体のガロア拡大とガロア群の対応を考えるとき
・体のガロア拡大は、正規かつ分離
・拡大体と群のガロア対応は、あきらかに包含関係を逆にしている
この２つは、重要だよね
（下記「ガロア理論の基本定理」及び「ガロア理論」）

で、定義を聞いた

　>>165で
ガロア対応は、”H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H”ですね
こちらが、合っている

ところで、ガロア群Gal(K/k)が既に存在するときは良いが、
逆に、ある群Hが与えられたときに、
群Hを、ガロア群とする体のガロア拡大（＝正規かつ分離）が、
必ず存在するかどうか
それが、ガロアの逆問題でしょ（>>45 ＆ >>149）

で、念押しだが現代数学の「ガロア理論の基本定理」（ガロア対応）は、基礎体k（下記ではF）に依存しないでしょ？
基礎体は、Qに限定されない

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
ガロア理論の基本定理
ガロア理論の基本定理 (英: fundamental theorem of Galois theory) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。

定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 E/F が与えられると、その中間体とガロア群 Gal(E/F) の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。
(抜粋)
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。
ガロア拡大 K/F の自己同型写像は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。

つづく

>>170
つづき

対応の明示的な記述
有限拡大に対し、対応は次のように明示的に述べることができる。
・Gal(E/F) の任意の部分群 H に対し、対応する体は普通 E^H と書かれ、これは全ての H の自己同型により固定される E の元の集合である。
・E/F の任意の中間体 K に対し、対応する部分群は、単に Aut(E/K) であり、これは全ての K の元を固定する Gal(E/F) に属する自己同型の集合である。
例えば、一番上の体 E は Gal(E/F) の自明な部分群に対応し、基礎体 F は Gal(E/F) の全体に対応する。

対応の性質
対応は次のような有益な性質を持っている。
・包含関係を逆にする(inclusion-reversing)[2]。部分群の包含関係 H1 ⊆ H2 が成り立つことと体の包含関係 E^H1 ⊇ E^H2 が成り立つこととは同値。
・拡大次数は包含関係を逆にするという性質と矛盾しない形で群の位数と関係する。具体的には H が Gal(E/F) の部分群であれば |H| = [E : E^H] であり |Gal(E/F)/H| = [E^H : F] である[3]。
・体 E^H は F の正規拡大（分離拡大の部分拡大は分離的だから、これはガロア拡大というのと同じ）であることと、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。
　このとき Gal(E/F) の元の E^H への制限は、Gal(E^H/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
ガロア理論（ガロアりろん、Galois theory）は、代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する理論。
1830年代のエヴァリスト・ガロアによる代数方程式の冪根による可解性などの研究が由来。ガロアは当時、まだ確立されていなかった群や体の考えを方程式の研究に用いていた。

ガロア理論によれば、“ガロア拡大”と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。

一般に、体の拡大において、ある体上で既約な多項式の分解体となるという性質を正規性といい、中間体の正規性はガロア群の部分群が正規部分群に対応している。

つづく

>>171
つづき

例えば、L の正規部分拡大のうちで K の特定の元のべき根によって生成されるもの M の対称性を表す群
Gal (M/K)= Gal (L/K)/ Gal (L/M)
は巡回群になる。

L が K のべき根拡大になっているかどうかは群 Gal(L/K) が可解群になっているかどうか。
このようにして分解体の自己同型を調べることで方程式の可解性について考察することができる。

より発展的な定式化
抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。
上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。
この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。

ガロア理論の基本定理
詳細は「ガロア理論の基本定理」を参照
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。L と K の中間体 M と Gal(L/K) の部分群 H について次の式が成立つ。

M=L^Gal(L/M)},H= Gal(L/L^H).
ただし、Gal(L/M) は拡大 L/M のガロア群であり、LH は L の元のうちで H の下で不変になっているもののなす L の部分拡大を指す。

したがって、L の中間体 M とガロア群 Gal(L/K) の部分群 H の間の対応
φ:M→H= Gal(L/M),ψ:M=L^H←H
は互いに逆で、これらは全単射になることがわかる。
また、この対応はあきらかに包含関係を逆にしている。
つまり、M1 ⊃ M2 ならば φ(M1) ⊂ φ(M2), G1 ⊃ G2 なら ψ(G1) ⊂ ψ(G2) となる。
(引用終り)
以上

>>170

> ところで、ガロア群Gal(K/k)が既に存在するときは良いが、
> 逆に、ある群Hが与えられたときに、
> 群Hを、ガロア群とする体のガロア拡大（＝正規かつ分離）が、
> 必ず存在するかどうか
> それが、ガロアの逆問題でしょ（>>45 ＆ >>149）
>

このあたりからもう理解が、ガタガタなんですよ。

1)
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. K/k Galois ext. Gal(K/k)=H

2)
H sub gp of Gal(K/Q) ⇒ ∃k s.t. k/Q Galois ext. Gal(k/Q)=H

が違うのはわかっていて1)の方は簡単に証明できる話だというのは一応わかってるのね？
ところが問題なのは1)と2)はとてもよく似ていて実際、日本語の文章にするとどっちの意味なのか迷ってしまうことがあります。今回の逆問題の説明などまさにそれです。
例えば次の文章はこの部分だけ見ると1)の意味にとってしまっても不思議はありません。

More generally, let G be a given finite group, and let K be a field. Then the question is this: is there a Galois extension field L/K such that the Galois group of the extension is isomorphic to G?

これがキチンと数学の文章を全体を通じて意味を理解しないと危ない部分なんですよ。
この部分 "だけ" を切り出してしまうと1)の意味のようにKとkの両方を動かしていいと思ってしまう可能性はなくはありません。
しかし前段にある文章

In Galois theory, the inverse Galois problem concerns whether or not every finite group appears as the Galois group of some Galois extension of the rational numbers Q.

を見ると2)の意味であろうと推察できます。
これなんか論理式で書くと明白に違いがわかる文章でも我々が普段使っている言語に直してしまうとどちらの意味にでもとれてしまう "怖さ" があるんですよ。

あなたが批判されてるのはこういう文書の一部だけを切り出して勝手に誤解してることが多々あるからです。
数学の文章を引用するなら最低でも流し読みでもいいのでキチンと全体を読んで意味が複数とれる場合などはどちらの意味なのか考えないとダメです。
また長い文章を引用するなら部分的に読むとどちらにもとれるような場合には必要な部分全体を切り出すか一言二言注意を促して引用しないとダメです。

もう一つはそれでもちゃんと数学を勉強した人間なら "逆問題" の意味を1)と勘違いする事はありません。
サラッと流し読みしてて万が一一瞬1)の意味にとってしまったとしても「アレ？おかしい？こんなのいつでも存在するじゃん？」と意味を取り違えている事をすぐ認識できるからです。

そしてみんながあなたの数学力をバカにしてるのはそういう数学を勉強した人間なら当たり前に出来る事が一切できてないからですよ。
3年もガロア理論勉強したなら1)がさほど難しくなく数秒で証明できてしまうはずの問題なのにそれがwikiediaの項目として扱われるハズなんかないと気付く事ができて当たり前だからです。

なので論理式を持ち出してるんですよ。
そういう誤解を防ぐために数学の世界では論理式を用いて基礎論の数学者が研究のために使う "論理式" に直してみるとその手の誤解を防ぐ事ができるからです。
数学科では一回生、二回生くらいまでで文書を論理式に書いてみたり、その逆をやってみたりでその手の誤解をしないような、そしてその手の誤解を読者に与える文章を避ける事を心がけるための訓練をしっかりやるんですよ。
そしてあなたは正にその能力が全然育ってません。
今からでも遅くないのでその手の練習はしっかりやらないとダメです。
もしかしてイプシロンデルタで論理式には苦手意識持ってますか？
しかし正確な論理展開をしていくためにも論理式は絶対避けられません。
数学を例え趣味でも勉強していくつもりならここはさけられませんよ？

メモ
https://www.asahi.com/articles/ASMBL5481MBLULBJ00N.html
６０年解けなかった数学の難題　世界中のＰＣつなぎ解決 石倉徹也 朝日新聞 2019年10月24日07時05分

　世界中のパソコン５０万台をネットワークでつなぎ、スーパーコンピューターをも超える能力で計算させることで、未解明だった数学の難問を解決することに欧米の数学者が成功した。ある整数を３乗した数（立方数）を三つ、足したり引いたりして１〜１００を作る問題で、最後まで残っていた４２となる三つの組み合わせが６４年目にしてついに見つかった。

　この問題は１９５０年代、英国の数学者ルイス・モーデルが考え出した。例えば、１の３乗＋１の３乗＋１の３乗は３になる。４、４、−５の組み合わせでもそれぞれ３乗して足すと、６４＋６４−１２５となって合計は３になる。モーデルは論文で「この２通り以外に３をつくれる組み合わせがあるのか、私には分からない。見つけるのは非常に難しいに違いない」と記した。

　５５年には、３だけでなく、三つの数字を組み合わせて１〜１００の数をすべてつくれるか、という問題に発展した。整数論の重要な定理「モーデル予想」を提案した大数学者の問いかけとあって、世界中の数学者が色めき立って考え始めた。
手計算で手に負えなくなると、コンピューターによって手当たり次第に探されるようになり、２０１６年までに３３と４２を除くすべての答えが出た。１３や１４のように、９で割って余りが４か５になる数には答えがないこともわかった。

　そして今春、英ブリストル大の…

有料会員限定記事こちらは有料会員限定記事です。有料会員になると続きをお読みいただけます。

残り：1087文字／全文：1642文字

>>176

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4
対称群
(抜粋)
6.1 一般多項式のガロア群
多項式のガロア群とは、多項式の根の全体からなる集合上の置換群のことをいう。
n-次対称群 Sn は有理数体 Q 上の n-次の一般多項式（係数の間に何らの代数的な関係式も成立しないような多項式）
のガロア群であることが示される。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E6%98%8E%E7%BE%A4
自明群
(抜粋)
自明群、自明な群 (trivial group)、単位群 はただ1つの元からなる群である。
自明群のただ1つの元は単位元である
(引用終り)
以上

十分大きく
十分小さく
などは証明ではない

>>176
やはりまずはきっちり問題をまず論理式で書いて下さい。
変数はL,K,Gとして条件は

L/K Galois ext ∧ G≅Gal(L/K)

で束縛されているのはGとLで

∀G∃L s.t. L/K Galois ext ∧ G≅Gal(L/K)

の形、すなわちKは自由変数でその値によって真偽値が確定します。
例えばK=C(複素数体)のときはGとして現れうるのは単位群のみなので偽である事が確定します。
K=R(実数体)のときも偽です。
K=Rの場合が大元の逆問題で現時点で真偽不明です。
おそらくQ上の有限次代数拡大Kで真偽が確定している体は一つもないと思います。
私は専門家ではないのですが知り合いの得意な人に2000年の時点で質問した時は知らないと言ってました。
少なくともその時点ではオープンプロブレムだったハズです。

>>176
わたし（>>122）とID:V4UM6AG2さんは別人ですよ。
>>117に対する回答が>>122です。
この回答に誤りがあるなら言ってください。
（わたしはないと思ってます。
そして何度も言っているように自明・トリヴィアルな話。）
「基礎体は固定されておらず動かしてもいい」
ということも最初から言っています。
貴方は何年間もガロア理論を勉強されてきて
こんなことも分からないほどモノになっていない
ことを自覚して下さい。

貴方はまずは「不明だったのはは自分でした」
と認めて下さい。

私がID:V4UM6AG2です。
私がヨコ入れたので混乱しそうなのでしばらくはロムってます。
まずは最初議論始めたお二人でどうぞ。
ヨコレス失礼しました。

最初に与えられた既約方程式が素数次数であれば
分解体に到達するまでのどの中間体でも既約のままで
ガロア群のみが変わるということが起こります。

それはx^3-2=0という方程式のガロア群はQ上ではS_3だが
1の原始3乗根ωを添加したQ(ω)上ではC_3になることからも
類推できるでしょう。

素数次数p次のS_pをガロア群として持つ既約方程式の場合
まさにそれと同じことが起こります。
基礎体を変えることで、方程式はそのままで
ガロア群としてS_pのすべての部分群が生じます。

>>181
わたしはスレ主と議論するつもりはないですね笑
それはもう一人いらっしゃった方も同じだと思います。
コピペバカに「おかしいね」とツッコミを入れる感じです笑
スレ主の相手をしてくださったのは有難かったですm(__)m
いつでもご自由にご参加下さい。

>>182
ここで言うガロア群とはGal(K/k)のこと。
たとえばQがこの方程式の係数体で
Kが分解体、kを中間体とするとき
K/kはガロア拡大だが、k/Qがそうとは限らない。
k/Qがガロア拡大となるのはGal(K/k)=Nが正規部分群のときのみ。
そのときGal(k/Q)=S_p/Nだが、S_p/Nとして生じるガロア群は
非常に限定されていることが分かる。

>>176
馬鹿に質問だ

体 L を体 K の有限次ガロア拡大とし
Gal(L/K)を拡大L/Kのガロア群とする
そしてHをGal(L/K)の部分群とする

貴様は L の元のうちで H の下で不変になっているものの全体である
Lの部分体L^Hが必ず存在するとはいえない、といいたいのか？

>>182
>基礎体を変えることで、方程式はそのままで
>ガロア群としてS_pのすべての部分群が生じます。
大間違い。
方程式はそのままじゃなくて分解することもありますね。
p個の根に可移的に作用しない部分群もあるので。

たとえ間違っても自分で考えるのが楽しいんですよ
コピペバカには分からんでしょうがな笑

1と議論する馬鹿はいないｗ

議論というのは主張の正しさが明らかでない同士の間で成立する

1は常に間違ってることが明らかであるから
1との対話は議論ではなく馬鹿に対する指導であるｗ

>>176
なるほど なるほど
分かりました 分かりました

"ガロアの逆問題"：
「ある基礎体Eに対して、群Gを与えたとき、拡大体Fを求めよ」という問題ですね

で、この視点から、これを広く解釈すれば、類体論もこの類の問題になる（後述）
１）可換の場合
　・基礎体Q、1 の冪根（円関数）で、クロネッカー?ヴェーバーの定理
　・有理数体の虚二次拡大体の場合、高木類体論（楕円曲線の虚数乗法）
　・一般の基礎体Fなら、ノイキルヒの本らしい
２）非可換の場合
　・ラングランズ対応
３）これ以外で、数論幾何における高次局所体および高次大域体のアーベル拡大
　・A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司ら

とか書かれていますね（下記）
イヴァン・フェセンコ先生は、例のIUTで望月先生を支持している方かな？

ではまた（＾＾

（参考）
（>>45-46）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
(抜粋)
逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を計算する問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）を構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある。

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B3
イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）は、数論および現代数学での他分野との（数論の）相互作用を研究している、ロシアの数学者である。
(抜粋)
フェセンコは、望月新一の宇宙際タイヒミューラー理論（英語版）(Inter-universal Teichmuller theory、IUT)の研究を整頓するうえで積極的な役割を果たした。

つづく

>>190

つづき

フェセンコは同研究のサーベイ論文[pub 19]及び一般論説[pub 20]の著者であり、数学界の難問ABC予想を証明できたとする望月の論文（2012年）に関して「証明内容に誤りは無い」と後押しする主張を行った数学者の1人である[4]。
フェセンコは、IUTに関する（同理論を理解したいと考える数学者に向けて内容を説明する）2つの国際ワークショップを共同開催した[pub 21][pub 22]。

https://en.wikipedia.org/wiki/Class_field_theory
Class field theory

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E%E4%BD%93%E8%AB%96
類体論
(抜粋)
数学における類体論（るいたいろん、英: class field theory, 独: Klassenkorpertheorie）は、有限体上の曲線の函数体や数体のアーベル拡大について、およびそのようなアーベル拡大に関する数論的性質について研究する、代数的整数論の一大分野である。
理論の対象となる体は、一般に大域体もしくは一次元大域体と呼ばれるものである。

与えられた大域体の有限次アーベル拡大と、その体の適当なイデアル類もしくはその体のイデール類群の開部分群との間に一対一対応が取れるという事実によって、類体論の名がある。
例えば、数体の最大不分岐アーベル拡大であるヒルベルト類体は、非常に特別なイデアル類に対応する。類体論は、大域体のイデール類群（即ち、体の乗法群によるイデールの商）によってその大域体の最大アーベル拡大のガロワ群へ作用する相互律準同型 (reciprocity homomorphism) を含む。
大域体のイデール類群の各開部分群は、対応する類体拡大からもとの大域体へ落ちるノルム写像の像になっているのである。

標準的な方法論は、1930年代以降発達した局所類体論（英語版）で、これは大域体の完備化である局所体のアーベル拡大を記述するものであり、これを用いて大域類体論が構築される。

つづく

>>191

つづき

目次
1 現代的な定式化
2 素イデアル
3 類体論の一般化
4 歴史
5 脚注
6 参考文献
7 関連項目
現代的な定式化
現代的な言葉で言えば、基礎体 K の最大アーベル拡大 A は存在して、その拡大次数は K 上無限大となり得るから、その時 A に対応するガロワ群 G は副有限群となり、従ってコンパクト位相群かつまたアーベル群になる。
類体論の中心定な目的は、この群 G を基礎体 K の言葉で記述することである。特に、K の有限次アーベル拡大と K に対する適当な（有限な剰余体を持つ局所体の場合の乗法群や大域体の場合のイデール類群のような）対象におけるノルム群との間の一対一対応を確立し、それらのノルム群を（例えば、指数有限な開部分群といったように）直截的に記述することである。
そのような部分群に対応する有限次アーベル拡大を類体と呼び、これが理論の名称の由来となっている。

類体論の基本的な結果は「最大アーベル拡大のガロワ群 G は、基礎体 K のイデール類群 CK の（基礎体 K の特定の構造に関係して CK に入る自然な位相に関する）副有限完備化に自然同型である」ことを主張する。
同じことだが、K の任意の有限次ガロワ拡大 L に対し、この拡大のガロワ群の最大アーベル商（アーベル化）と、K のイデール類群を L のイデール類群のノルム写像による像で割ったものとの間に、同型

Gal(L / K)ab → CK / NL/K CL
が存在する[1]。

つづく

>>192

つづき

幾つかの小さい体、例えば有理数体 Q やその虚二次拡大体については、もっとたくさんの情報が得られる詳細な理論が存在する。
例えば、Q のアーベル化絶対ガロワ群 G は、全ての素数に亙って取った p-進整数環の単元群の無限直積（に自然同型）であり、対応する Q の最大アーベル拡大は 1 の冪根全てによって生成された体となる。
このことは、もとはレオポルト・クロネッカーの予想であったクロネッカー?ヴェーバーの定理として知られる。
この場合の、類体論の相互律同型（あるいはアルティンの相互律写像）も同定理に従って具体的に書くことができる。
1 の全ての冪根からなる群を
μ_∞(⊃C^X)
と書くことにする（円周群C^×のねじれ部分群）と、アルティンの相互律写像はそれが数論的正規化されているならば
＾Z^X→G_Q^ab=Gal(Q(μ_∞)/Q);x→(ζ→ζ^x)
によって、あるいはそれが幾何学的正規化されているならば
＾Z^X→G_Q^ab=Gal(Q(μ_∞)/Q);x→(ζ→ζ^-x)＾
によって与えられる。
しかし、このような小さな代数体に対する詳細理論の主要な構成法は一般の代数体の場合にまで拡張することはできないし、一般類体論で用いられるのはもっと違った概念的原理である。

相互律準同型を構成する標準的な方法は、まず大域体の完備化の乗法群からその最大アーベル拡大のガロワ群への局所相互律同型を構成し（ここまでは局所類体論の範疇でできる）、それからそれらすべての局所相互律写像の積を大域体のイデール群上で定義するとき、その積が大域体の乗法群の像の上で自明となることを示すことで行われる。
最後のところのこの性質を大域相互律 (global reciprocity law) と言い、これはガウスの二次の相互律の広汎な一般化になっている。

相互律準同型を構成するのに類構造（英語版）を用いる方法もある。

コホモロジー群（特にブラウアー群）を用いる方法や、コホモロジーを用いずに非常に明示的で応用が利く方法などもある。

つづく

>>192
つづき

素イデアル
G の抽象的な記述だけではなくて、そのアーベル拡大においてどのように素イデアルが分解するかを理解することが数論の目的にとってより本質的である。
この記述はフロベニウス元を用いて、二次体における素数の因数分解の様子を完全に与える二次の相互律を非常に広範に一般化するものである。
つまり、類体論の内容には、（三次の相互律といったような）より高次の「冪剰余の相互律」についての理論が含まれるのである。

類体論の一般化
数論における一つの自然な展開は、大域体の（アーベルとは限らない）一般のガロワ拡大に対する情報を与える非可換類体論の構成と理解を行うことである。
ラングランズ対応が非可換類体論と見做されることが多く、そして実際にラングランズ対応が確立されたときには大域体の非可換ガロワ拡大に関する非常に豊かな理論を含むことになるのだが、しかしラングランズ対応はアーベル拡大の場合の類体論が持っていた有限次ガロワ拡大についての数論的情報のほとんどを含んでいないのである。
しかもラングランズ対応は類体論の存在定理に対応するものも含んでいない、即ち、ラングランズ対応における類体の概念は存在しないのである。
局所および大域の非可換類体論はいくつか存在し、それらはラングランズ対応の観点に対する別の選択肢を与えてくれる。

もうひとつ、数論幾何における自然な展開は、高次局所体および高次大域体のアーベル拡大を構成及び理解することである。
後者の高次大域体は、整数環上の有限型スキームの函数体およびその適当な局所化や完備化として生じる。
「高次局所および大域類体論」は代数的 K-理論や、一次元類体論で用いられる K1 の代わりに適当なミルナー K-群を用いる。高次局所および大域類体論は、A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司らの数学者が展開した。
代数的 K-理論を用いずに高次大域類体論を展開しようとする試みもある (G. Wiesend) が、このやり方は高次局所類体論を含むものではなく、また局所理論と大域理論との間に互換性がない。

つづく

>>194
つづき

歴史
詳細は「類体論の歴史（英語版）」を参照
類体論の起源はガウスによって与えられた平方剰余の相互律にある。
それが一般化されるまでには長きに亙る歴史的な取り組み、たとえば二次形式とその「種の理論」、クンマー・クロネッカー・ヘンゼルなどのイデアルおよび完備化に関する業績、円分体およびクンマー拡大の理論などがあった。

最初の二つの類体論は、非常にはっきりした円分類体論と虚数乗法類体論である。
これらは付加的な構造（有理数体の場合には 1 の冪根、有理数体の虚二次拡大体の場合には楕円曲線が虚数乗法を持つことと位数有限であること）が利用できる。
随分後になって、志村の理論は代数的数体のクラスに対する非常に明示的な新たな類体論を与えた。これらは基礎体の具体的な構造を非常に陽に用いる理論であって、勝手な数体に対してもうまくいくように拡張することはできない。
正標数 p の体に関しては、河田と佐武がヴィット双対性を用いて相互律準同型の p-成分の非常に平易な記述を得ている。

しかし、一般類体論はこういったものとは異なる概念を用い、その構成法が任意の大域体に対してうまく機能するようにしなければならない。

ヒルベルトの有名な問題が更なる発展の刺激となって、高木貞治、フィリップ・フルトヴェングラー、エミール・アルティン、ヘルムート・ハッセほか多数による種々の相互律が導かれることとなった。

つづく

>>195

つづき

著しく重要な高木の存在定理が1920年に知られ、全ての主要な結果は1930年ごろまでには出そろっていた。
証明されるべき古典的な予想の最後の一つは単項化定理（英語版）であった。類体論の最初の証明には、頑強な解析学的手法が用いられた。
1930年代以降は、無限次元拡大とそのガロワ群に関するヴォルフガンク・クルルの理論が有効であることが次第に認められていく。
この理論はポントリャーギン双対性と結びついて、中心的な結果であるアルティンの相互律のより抽象的な定式化が分かり易くなった。
重要な段階は、1930年代にクロード・シュヴァレーによってイデールが導入されたことである。
イデールをイデアル類の代わりに用いることで、大域体のアーベル拡大を記述する構造は本質的に明確化および単純化され、中心的な結果のほとんどが1940年までに証明された。

この結果の後には、群コホモロジーの言葉を使った定式化がなされ、それが何世代かの数論学者が類体論を学ぶ際の標準となったが、コホモロジーを用いる方法の難点の一つは、それがあまり具体的でないことである。
ベルナルド・ドワーク、ジョン・テイト、ミッシェル・ハゼウィンケルによる局所理論への貢献、およびユルゲン・ノイキルヒによる局所および大域理論の再解釈の結果として、あるいは多くの数学者による明示的な相互公式に関する業績と関連して、1990年代にはコホモロジーを用いない非常に明確な類体論の表現が確立された。
このあたりの詳細は、例えばノイキルヒの本を参照せよ。
(引用終り)
以上

馬鹿のダメなところ

・自分がどこをどう間違ったか決して認めない（つまり反省できない）
・無暗に自分が理解できてない難しいことを言いたがる（つまり見栄を張りたがる）

スレ主は>>117の問題は自明だということは分かりましたか？
そんな簡単な問題にさえ自答できない
古典的ガロア理論も全然身に付いてないのに
そんな難しい話をコピペしても無意味でしょう
自分でおかしいと思わないんですか？

コピペ・マウンティングというのは本当にその通りなのかも
かつては"おっちゃん"という迷コンビがいて
互いに全然理解できてない話で意気投合してましたがｗ

>なるほど なるほど
>分かりました 分かりました
スレ主は、権威ある本に書いてあるとか偉い先生のお墨付きがあるとなれば、自分が理解できてないことでも納得する。
逆に明らかな証明であっても、自分の知性だけで正しさを判断しなければならないことには納得しない。
そのような態度は、グロタンディークを含め多くの数学者の最も軽蔑する態度である。

でもwikipediaは無条件に信じてるんだよな。
結構ウソも混じってるんだけどね。

>>200
>権威ある本に書いてあるとか偉い先生のお墨付きがあるとなれば、
>自分が理解できてないことでも納得する。

権威に屈服しただけで、納得してるわけではないだろうな
ヤツはイヌなんだよ

>逆に明らかな証明であっても、自分の知性だけで
>正しさを判断しなければならないことには納得しない。

知性がないから権威に従うしかない
ヤツは人間じゃなくてイヌなんだよ

>>201
wikipediaならオレも書いたよ
数学の記事だが、何について書いたかは秘密
ガロア理論関係ではない

ま、馬鹿を従わせるのに権威が有効なのは確か

BABYMETALの曲のすばらしさを理解するには音楽のセンスが必要だが
誰もがそんなセンスを有しているわけではない

センスのない馬鹿には
「BABYMETALの新アルバム、Billboard200で13位になったんだぜ」
というのが一番

https://www.youtube.com/watch?v=ZS_T2PmxLeY

>>198-199
馬鹿は「類体論」という言葉で他人を威圧したいだけ
なにしろマウント馬鹿だから　自分が全然理解してなくても恥ずる色もない

ま、老先短い窓際族の爺ィの戯言だからほっとくのが一番ｗｗｗ

おっちゃんです。
>>198-199
>かつては"おっちゃん"という迷コンビがいて
>互いに全然理解できてない話で意気投合してましたがｗ
私が読んだことがある代数の本には残念ながらガロア理論は抜けていて、
かつて薦められたガロア理論の本も分厚く、どちらかといえば時間がかかる。
現時点でも、まだ古典的ガロア理論の内容は知らない。勿論、まだ類体論のことも知らない。
私は、代数的ガロア理論或いは類体論のことでスレ主と意気投合した覚えや記憶はない。

やっぱり、スレ主と古典的ガロア理論の話で盛り上がったことは思い出せない。
まあ、最近はかなり複雑で膨大な解析をしている途中なんで。

>>206
＞最近はかなり複雑で膨大な解析をしている途中なんで。

「成果」は自分でスレッド立てて書いてくれ

１スレッドに２匹のトンデモは要らない

>>207
自然現象に関する古典的な解析を厳密に試みてみるといい。
複雑で膨大な計算や解析をすることになる。

女々しい言い訳は要らない

>>209
有名な寺寛を厳密に読もうと試みたことないのか？

>>210
ここでその話をするな
自分でスレ立てろ
このスレにトンデモ二匹はいらない

>>211
まあ、現在は古典的ガロア理論のことではトンデモと思ってもよい。
ガロアの逆問題のことが書かれているテキストも全く知らない。

正直言って、今の数学板は

「0.99999……は１ではない」　（安達弘志）
「フェルマーの最終定理の簡単な証明」　（日高）
「【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明」　（高木宏兒）
「現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む」　（雑談　◆e.a0E5TtKE）

といったトンデモスレであふれかえっているので
新しいスレを立てても固定読者がつくとは限らないｗ

>>190
Fesenko先生、下記 渡邉崇
”高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示した”か

で、ところで、下記はOpenなのか
”今のところ素体 (有理数体 Q および有限体) に関係する体において、扱いやすい形で
Abel 拡大における Galois 群を近似する方法・すなわち類体論がいくつか知られているわ
けだが、素体によらない体で、類体論が構成され得るのか? また１世紀以上過ぎても依然
として Hilbert23 の問題の未解決問題として残っている類体の構成問題は、類体論が証明
されているすべての体上で解決できる問題なのか? など代数体の類体論が完成して、一世
紀弱が経過しているが、類体論について考えるべき問題が依然として多く残されている.”

類体論を、ガロアの逆問題（>>45）として見たとき
ガロア群がアーベルの場合は、類体論が役に立つ

では、
・ガロア群がアーベルの場合には、類体論で全て尽くされているのかどうか？
・ガロア群が非アーベルの場合は、どこまで解明されたのか？

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/
雪江明彦のホームページ
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/watanabe-shuron.pdf
Parshin による高次元局所類体論の構成について M2 渡邉　崇 2007年修士卒業 東北大学

目次
2 高次元局所体 7
2.1 諸定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 高次元局所体の位相 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 序文
1.1 概略
本修士論文は A.N.Parshin([P1]) による高次元局所類体論の主定理の証明の紹介と、そ
の論文の中で示されていない高次元局所類体論の諸定理を I.B.Fesenko([F2]) の方法で示
した、標数 p (> 0) の高次元局所類体論の証明である. 主にこの論文通じて示したいこと
は次の主定理と類体論の諸定理である.
定理 1.1 (高次元局所類体論の主定理). F を標数 p (> 0) が n 次元局所体. Ktop
n (F) を
位相的 n 次 Milnor K-group とするとき
ψF : Ktopn(F) → Gal(Fab/F)
単射連続な準同型 ψF でその image が dense となるものが存在する.

つづく

>>215
つづき

本論文では、まず §2 で高次元局所体の性質、§3 で K 群の性質を述べた後に、§4 で
主定理の証明方法の方針を示す. そして主定理の証明に決定的な役割を果たす Kummer
pairing（§5) と Artin-Schreier-Witt pairing(§7) の非退化性を示し、最後に §8 主定理の
証明と、他の重要な存在定理などを述べる.

1.2 歴史
高次元局所類体論について、類体論の歴史について概観しながら見ていくことにする.
Hilbert・高木貞治、最終的に 1925 年の E.Artin による相互写像の写像の証明によ
り、まず代数体の類体論 (大域類体論) が完成した. その後解析を使わない類体論の算
術的な証明の研究が進み、Chevalley により イデールが導入され算術的類体論の証明が
完成した. その当時局所類体論は大域類体論の系として得られていたが、大域類体論と
は独立して局所類体論を証明する動きが起こり、中山正・Hochschild・Tate らによる
有限群の Galois Cohomology の研究により Cohomology を用いて局所類体論が証明さ
れた。またその結果を利用して局所類体論を証明してから、大域類体論を証明する方法
も見出された. その後 Cohomology を使わない局所類体論の証明方法の研究がなされ、
M.Hazewinkle([H1],[I1]) の方法. Neukirch([NE1]) の方法. Lubin-Tate([LT1]) による
formal group を用いる証明方法. と現在様々な局所類体論の証明方法が知られている. (大
域類体論と局所類体論全般については例えば [KKS1]、また歴史については [A.M1] を参
照されたい.)

高次元局所体は伊原康隆による 1968 年京大数理解析研究所講究録の 「ある p 進完備な
関数体についての問題」([IH1]) の中に最初に現れたといわれている. 彼の仕事に刺激を受
けた加藤和也によって 1978 年ごろに高次元局所類体論が完成された.([K1, K2, K3]) 高次
元局所類体論の要点は、主定理が表しているように最大 Abel 拡大の Galois 群が Milnor
K-group で近似されることである. 一方 A.N.Parshin は Z 上有限型既約スキームの研究
([P2]) をしているなかで、高次元局所体が現れることを見出し、加藤和也とは独立して
ほぼ同時期に高次元局所類体論を完成させたといわれている.

つづく

>>214
＞群G（非可換の場合も）

わざわざ「非可換の場合も」と書く意味がわからん

馬鹿の考えることは人間には理解できないｗ

>>216
つづき

Parshin による類体論の証明方法 ([P1]) は、河田・佐竹による標数 p (> 0) の局所類体論の証明方法 ([KS1]) を応
用したものである. この論文で述べることであるが、Parshin による証明は主定理の証明
において表面上は Cohomology を使用しない類体論の証明方法である. 加藤と Parshin
の証明の大きな違いを述べると、Parshin の方法は K 群から最大 Galois 群の p-part へ
の写像の構成が、加藤の証明方法のように de Rham-Witt Complex を用いたりせず、
Artin-Schreier-Witt pairing を用いて、比較的容易にできる点である. その後も高次元
局所類体論について研究がなされ、Neukirch の方法を応用した I.B.Fesenko([F1, F2] に
よる方法、modified hypercohomology を用いた小屋 ([Ko1]) による方法が知られている.
(高次元局所体・高次元局所類体論全般については [F1] や [FK1] を参照のこと.)

局所類体論の証明方法またはそのアイディアを応用して、Parshin や Fesenko など高次
元局所類体論がいくつか証明されており、局所類体論の方法で高次元局所類体論が証明で
きるのではと期待されるのだが、Lubin-Tate による方法などの応用は、今のところ良い
結果が知られておらず ([V.Z1]) 同様にして証明できるか否か不明である.
一方で局所体に対して大域体と上位の概念があるように、高次元局所体に対して高次元
大域体というものがあり、加藤和也・斎藤秀司によって高次元大域類体論が完成されてい
る. 大域類体論と局所類体論の関係のようにして、高次元大域類体論を証明した後に、そ
の系として高次元局所類体論を得るということも考えられるが、高次元局所類体論の結
果を用いずに、高次元大域類体論を証明する方法はまだ知られておらず、大域類体論の
時のように、高次元大域類体論を最初に証明してから、高次元局所類体論を証明できる
かどうかも現在わかっていない. (高次元局所類体論と高次元大域類体論全般については
[RA],[IS1],[KA1],[KA2] を参照.)

つづく

>>218
つづき

今のところ素体 (有理数体 Q および有限体) に関係する体において、扱いやすい形で
Abel 拡大における Galois 群を近似する方法・すなわち類体論がいくつか知られているわ
けだが、素体によらない体で、類体論が構成され得るのか? また１世紀以上過ぎても依然
として Hilbert23 の問題の未解決問題として残っている類体の構成問題は、類体論が証明
されているすべての体上で解決できる問題なのか? など代数体の類体論が完成して、一世
紀弱が経過しているが、類体論について考えるべき問題が依然として多く残されている.
(引用終り)

つづく

>>215
馬鹿のトンチンカン発言↓

＞類体論を、ガロアの逆問題として見たとき
＞ガロア群がアーベルの場合は、類体論が役に立つ

>>219
つづき

河田 敬義先生 数学1954年
「§7.結び
もともと類体論はHilbertによつて示唆
されたように,代数函数体の不分岐拡大の理論の
整数論における類似を求めようという企てから出
発した.
　しかし高木先生およびArtinによつてで
き上つた類体論は,Hilbertの示唆をはるかにこ
えて,一般アーベル拡大の理論が含まれてしまつ
た.従つて代数函数体の理論との類似は必ずしも
密接ではなくなつてしまつた.しかし類構造の立
場からここに再び両者の関係をつけることができ
た.この類似から見ると,いくつかの問題がおこる.」

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/6/3/6_3_129/_article/-char/ja/
数学/6 巻 (1954-1955) 3 号/書誌
種々のアーベル拡大の理論と類体論との関係について 河田 敬義
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/6/3/6_3_129/_pdf/-char/ja
論説
種々のアーベル拡大の理論と類体論との関係について
東京大学 河田 敬義 数学1954 年 6 巻 3 号 p. 129-150
(抜粋)
類体論を新らしい立場から,特にコホモロジー
論を利用して再構成しようという企ては,多くの
人々(Artin, Chevalley, Hochschild,中山,
Tateら)によつてなされた.これはすでに本誌に
おいて論ぜられたことである(中山[13]).Artin
はPrincetol1大学における講義(1952-3)で,
大局的および局所的類体論の或る部分がコホモ戸
ジー論によつて統一的に論ぜられることを指摘
し,類構造(class formation)の理論を展開し
た(Artin-Tate[2]).一方アーベル拡大の理論
は,類体論の他に,Kummer拡大の理論,標数
力の体の力拡大の理論(Witt[19]),古典的1変
数代数函数体の不分岐拡大の理論(Wey1[18])な
どが知られている.そこで当然これらの理論がす
べて共通の立場から論ぜられないかという問題が
生じる.本論説の目標は,類構造の理論を中心
に,すべてのアーベル拡大の理論を統一的に論じ
ようということである。

つづく

>>221
つづき

以下まず類構造の一般論
を述べ(§1),Kummer拡大およびρ 拡大
(§2),および古典的代数函数体(§3)の場合に
あてはめる.次にWei1[17]が整数論において考
察したいわゆるWei1群の理論を一般の類構造
において論し(§4),これを古典的代数函数体の
不分岐拡大の場合に適用する(§5).さらにWei1
[17]で示唆された普遍Weil群の理論を,代数
函数体の場合に考察する(§6).'以上の考察から
さらに新な問題に直面する。最後にそれらについ
て述べたい.

§7.結び
(i)類体論は,数学における最も美しい理論
の一つとして,その理論の構成にも,証明におい
ても,種々の改良が企てられていることは初めに
述べた。もともと類体論はHilbertによつて示唆
されたように,代数函数体の不分岐拡大の理論の
整数論における類似を求めようという企てから出
発した.
　しかし高木先生およびArtinによつてで
き上つた類体論は,Hilbertの示唆をはるかにこ
えて,一般アーベル拡大の理論が含まれてしまつ
た.従つて代数函数体の理論との類似は必ずしも
密接ではなくなつてしまつた.しかし類構造の立
場からここに再び両者の関係をつけることができ
た.この類似から見ると,いくつかの問題がおこ
る.例えば,Kummer体の場合にせよ,代数函
数体の場合にせよ,A(k)は或る群の指標群の形
でかなり自然に導びかれている。一方(例えば)局
所類体論ではA(k)=k*であるが,何故にA(k)
としてk*を取るかという解釈がほしいものであ
る.またKummer体などの場合に公理F5は
二つの完全系列によつて簡単に証明される。しか
るにF5の証明は,類体論において極めて厄介で
ある.(局所)類体論の証明において,いま一段の
簡易化はできないものであろうか?
また代数数体においても,普遍Wei1群WΩ,k
を構成することはできるが,それの構造は簡単な
ものとはいえない.§6,定理13に対応して,
WΩ,kの簡単な意味づけはできないものであろう
か?

つづく

>>222
つづき

(ii)すでに知られたアーベル拡大でも,いま
だ類構造の形で述べられないものがある。例えば
(イ)標数pの代数的閉体を係数体とする1変数
代数函数体kの不分岐p拡大の場合にはSafarevic
の結果より, G(Ω/k)は自由群のp完備とな
るので,§2の理論と並行したものが予想される
が,まだA(k)がうまく求められない。それより
も(官) 多変数代数函数体の場合の不分岐拡大
の理論が重要であろう.すなわち射影空間の中
の,或るnon-singularな代数多様体Vの上の
有理型函数の作る函数体をkとする。Vの有限被
覆多様体V'はまた或る別の射影室間内のnonsil1gular
な代数的多様体として表わされ,そこ
での有理型函数体Kはkの有限拡大となり,1変
数の場合との類似が成り立つ(小平邦彦,Ann.
of Math.59(1954),§12)。この場合に因子の
理論はPicard varietyの理論として,いろい
ろと研究されている(井草準一,Amer. J.
Math.,74(1952),他Chow, Wei1,小平).
さらにRiemann-Rochの定理もn変数の場合
に拡張された(Hirzebruch等).これらの材料
を用いて不分岐アーベル拡大の理論を類構造の形
に表わすことができないであろうか?

(iii)類体論をnon-abelianな理論に拡張す
ることは,多くの人々の唱えるところである。し
かし具体的な形は予想されていない.一体類構造
の理論が,アーベル拡大でない場合への同型定理
の拡張を含んで,一般の場合に拡張できるもので
あろうか?
ところで古典代数函数体の場合には,Wei1(J.
d.math..17(1938), 遠山啓(Bu11.Tokyo
Inst。 Tech。 No。4(1950))のnon-abelianな
理論が存在する.これを§3の形と類似のものに
表現できないであろうか?
さらに整数論にその類似を求めることもできな
いであろうか?
(引用終り)

つづく

>>223
つづき

加藤 和也先生（＾＾
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/40/4/40_4_289/_article/-char/ja/
数学/40 巻 (1988) 4 号/書誌
類体論の一般化
加藤 和也
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/40/4/40_4_289/_pdf/-char/ja
類体論の一般化
加藤 和也 数学/40 巻 (1988)
(抜粋)
有理数体の有限次拡大,いわゆる有限次代数体を,以下,代数体と称する.
代数体の類体論を,素体上(有限次に限らず)有限生成な体に一般化すること,一般化した時に生
じてくる様々の新しい問題や研究テーマについて述べたい。
代数体が整数論において研究の対象とされる理由は,ひとつには有理数体が昔から人間にとつて
親しみ深い対象であり,有理数体を考察していけば自然にその有限次拡大である代数体に考察が及
んだからであるが,もうひとつには.代数体は考察の対象とするに足る特別に豊かな理論をもつ体
であるということがある:
代数体
=整数論の対象となる体
=特別に豊かな理論をもつ体
=人間にとって身近な体.
等号(2)の存在は整数論研究者の信ずる所であると思うし,等号(3)の存在はふしぎな事で理由は
わからないけれども確かな事である.そして近年の整数論の発展を見れば,等号(1)の左側が
素体上有限生成な体=
と置きかわるようになっていくものと思われる.(例えばゼータ関数は代数体だけでなく素体上有
限生成な体に対して考察されている.)
　類体論は代数体のアーベル拡大の理論であるが,それが素体上有限生成な体のア.__.ベル拡大論と
して一般化できると思うと,心に浮かぶ事は多い.

最初から夢想を書いて恐縮であるが,
そのような代数多様体の整数論に,もし一般化された類体論が活躍することができれば,どん
なにかすばらしいであろう.整数論の書物にある,類体論に関係した諸結果,諸問題はみな,こう
した素体上有限生成な体に拡張されるはずである.そしてまた,代数体に関する事の一般化だけで
なく,代数体の場合にはなかった新しい興味深い問題が生じてくる.例えば,.各アーベル拡大体に
おいて,整数環上のその体のモデルにどのような特異点が現われるか,モデルはどのくらい900d
reductionから遠いか,などを類体論的に考える問題がそれである.

つづく

>>224
つづき

そうしたいろいろな問題に,
昔からの類体論の伝統的手法や見方が.定式化を適切にすれば適用できると信ずることは楽しい.
その報文で,アーベル拡大の理論には多くの宝が蔵されていると述べたHilbertの言葉は,今も真
理であると考えたい.

筆者が類体論に志したのは,河田敬義・伊原康隆両先生のおすすめによるものである.([6]に提
出された,あるρ 進完備な関数体の類体論をつくる問題を,修士論文の目標とした・)両先生と共同
研究者斉藤秀司氏,影響をうけた先輩三木博雄氏にお礼を申しあげたい.
以下§1で代数体の類体論を復習し,§2でその一般化を述べ,§3に§2の補足を,§4に分岐理
論を述べる.

§1.代数体の類体論
代数体の類体論の要約を述べる.専門外のかたにも読んでいただけるようにすること,類体論の
抽象的な定理が,どのように`平方剰余の相互法則,などの古くから知られてきた整数論の定理を
含んでいるかを説明すること,そして,類体論の主精神は次の(1.0.1)のようなものであると思う
ので,その精神を強調することに力点をおいた.
(1.0.1)代数体のアーベル拡大がどのように存在するか,また代数体の各アーベル拡大において
どのようなことがおこるかは,手に取るようによくわかるものである.
　この`どのようなことがおこるかがよくわかる,ことの内容として,次の§1.ユに述べるような,
アーベル拡大における簡明な‘分解法則,の存在がある.§1.1に述べる事柄や平方剰余の相互法則
は類体論以前から知られていた‘類体論のあらわれ'であつたのであり,類体論から説明できるの
である(§1.3).

つづく

>>225
つづき

§4.3.D加群との類似
この§4.3では,D加群の理論との類似を追いながら,定理(4.2.1)のC(ρ)を定義する.D加群
の理論では,cotangent　bundle上に定義されるD加群のcharacteristic　cycleと,　cotangent
bundleの0-sectionめ交わりとして,重要なo-cycle　classが定義されるので,それをまねるので
ある.

素体上有限生成な体のアーベル拡大についての情報は,そのK理論的idele類群の中に原理的に
はすべて蔵されているわけである.この§4で述べた事は,§3.3末(五)の例に記述したような,
Milnor　K群のfi1trationのgrの様子,大域体のidele類群が内蔵する微分の海にwildな分岐がも
,たらす嵐の様子,を読みとろうとしたものである.K群の語る言葉に耳をかたむければ,特異点の
ことも含め,高次元でも,(1.0.1)に述べた類体論の主精神のように‘アーベル拡大において何がお
こるかは手にとるようにわかる,ようになるはずだと考えている。
(引用終り)

つづく

馬鹿がガロア理論の理解を完全に諦めたのは結構だが
マウンティングのためだけに類体論に食いついたのは
身の程知らずｗｗｗ

貴様は山で金鉱でも探せｗ

>>226
つづき

非可換の場合（＾＾；
http://deepblueibm.hatena（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
All arts is quite useless
2017-03-24
非可換類体論とは

ブログの記事にある今や数論の中心に位置する一大プロジェクト保型形式とゼータ関数の不思議な関係、非可換類体論についてわかったことをまとめます。まだまだ整数論初心者なので逆に非可換類体論について教えてくれる人は教えてください。

1.類体論とは？
「ガロア群が可換」の場合しか示されてないんですね。その意味では人類はまだ類体論を攻略してません。

2.志村谷山予想とは？
フェルマーの最終定理と関係する予想(定理)として有名な志村谷山予想がありますがそれは実は2次元の非可換類体論だと考えることができます。

これを数学的に定式化すると、楕円関数のゼータ関数が必要になってきます。これは二次元のゼータ関数で
略
こういう式になります。

3.表現論とは

結論から言うと現代数論ではゼータ関数が重要なものでいかにしてゼータという対象に帰着できるかにかかってます。志村谷山予想もそうですが問題をゼータに直してわかりやすくしています。
ということは古典的な類体論もゼータ関数にまとめられるのではないか？という考えが思い浮かんでも不思議では無いでしょう。その等式を作るのがここで言う表現論の役割です。

ここで古典類体論を統一的なゼータ関数や表現論的なperspectiveで考えてみたいと思います。まずQ上の整数論を考えてみます。
ここで言う表現とは指標のことです。指標とは群から体への写像のことでここでは単位的な指標のみを扱うこととします。
Ｑの最大アーベル拡大のガロア群をＧ→Ｋ(これはＫの単数群)だとしたらこれを一次元ガロア表現と言います(単数群はその体の自己同型写像)。
有理数体はＱの最大アーベル拡大はクロネッカーウェイバーの定理によってＱ(μ)の集合と同型と考えれます。
そのＱ(μN)は(Ｚ/N)の単数群の集合と同型(円分体の基本定理)。

つづく

だいたい円分体の同型写像も構成できずガロア群も間違う馬鹿が
類体論を理解できるわけなかろうが

>>228
つづき

なので最大アーベル拡大は整数環の副有限完備化の単数群と同型ですが、整数環に定義される指標といえばディリクレ指標なのでこの関係式は「ガロア群の表現とディリクレ指標の一対一対応」と考えることができます。
詳しく言うとΠ1/1?(a/p)p=Σλ(n)/n^nが二次体のガロア表現と保型表現の対応になるみたいです。

類体論の骨組みは代数体上アーベル拡大のガロア群がイデール類群と同型になるような写像を作れるということでした。
(イデールはアデールの可逆元の集合でアデールはある体のp進付値で完備化したものをぜんぶくっつけたものです。
よくわからないならZに対するRみたいなもので(イメージは全然違いますが任意の体に(位相的に見てZとRの関係性に似たような関係を持つ)体を定義したようなものです。)
とにかくデカイ体だということを認識してくれたら大丈夫です。物理的にも重要な環らしいです。通常)。
アデール群の一般線形群が保型表現では重要になりますが1次元の場合はイデール群となりラングランズ予想で出て来るアデールの一般線形群と一次元類体論と整合がつきます。
通常のイデール群はQの可逆元の集合、Zの副有限完備化の可逆元の集合、R>0の可逆元の集合に直積分解でき、類体論の基本定理はイデール群のQとR>0の可逆元の剰余群(イデール類群)に最大アーベル拡大は同型だという主張のことです。
イデール類群のCの可逆元のへの指標の集合をヘッケ指標だと言い、これがさっき注意したZの副有限完備化の単数群の集合を経由する場合にはディリクレ指標になります。

l進ガロア群の重要さは古典的アーベル拡大の理論から来てるのだと思います。自然にl進数に射影できるし

4.ラングランズ予想とは
Langlands予想とは簡単に言えば「n次の良いEuler積は全てGLnの保型L関数である。という予想であって、ここで良いとは全s平面に有理型に解析接続できてs⇔1-sという型の関数等式をもつこと」らしい(数論�Uより)。このGL群はアデール上の一般線形群のことを指すのだと思います。
保型形式論では行列群の整数係数部分群、所謂モジュラー群が重要になって来るんですが、ラングランズ予想は一般の体係数の行列群をそのモジュラー群と見てアデール上の保型形式を考えること、そのアデール係数行列群からの右正則表現の部分表現のことらしいです。

つづく

>>230
つづき

(どんな部分表現かは理解してません。英語のpdfでも探してみてください。
一方ガロア表現の定義はK を体とし，GK を K の絶対 Galois 群E を 複素数体 C，p進体（Qp の有限次拡大、有限体のいずれかとし、V を体 E 上の有限 次元ベクトル空間として、K の Galois 表現とは，連続準同形 ρ: Gal(K/K) ?→ GL(V ) のことです。

そしてなぜ志村谷山予想がラングランズプログラムの一部かというと楕円曲線Eのl分点の群E［l］をQの絶対ガロア群の表現として考えて保形形式と結びつけて考えたからみたいです。
これは僕の考察ですがKを標数pの体としてE→Eの自己同型写像を整数Nに対してN倍写像と定義されていているのでl^n分点アーベル群を逆極限とった加群がTate加群ってことなのかな？
おそらくだけど楕円曲線は「いい素数」だけを見たくて、そのいい素数の集合で考えるのが便利との発想でl進数で考えてるのかな？

5.非可換類体論とは

予想ですけど多分楕円曲線ガロア群が得られてmodpの解をモジュラー関数の係数(母関数だと）見たのと同じように、最小多項式をモジュラー関数の係数だと考えればmodpでイデアルの分岐の様子がわかるのが非可換類体論だということじゃないでしょうか？
まだ保形形式の係数にどういう数学的意味が含まれているか僕はわかりませんが、実際に非可換なガロア群と対応できる保形形式は見つかってるそうです。ということはこれがラングランズの応用。非可換なアーベル群の文化の様子を調べる理論ってことじゃないでしょうか？？？
（勉強したことをまとめた上での推測です
(引用終り)

つづく

馬鹿、ガロア理論の基本定理すら理解できてなかったと露見して発狂中ｗｗｗ

>>231
つづき

可換類体論のまとめ（＾＾
https://lemniscus.hatena（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
再帰の反復blog
2014-07-06
類体論についてのメモ
(抜粋)
3. 類体論の主な定理
類体とは次のようなものだった。

類体についての3種類の説明:
(1)類体とは、あるmで [Im(K):Hm(L/K)]=[L:K] となるような拡大体L/Kのことである。
(2)類体とは、素イデアル(≒素数)の分解の仕方が、合同イデアル群Hによって(≒ あるmで割ったときの「余り」による類別で)判るような拡大体L/Kのことである。
(3)類体とは、アーベル拡大体L/Kのことである。
もっと短く言えば、類体とは、(1)ある等式をみたす拡大体のことであり、(2)素イデアルの分解の仕方が「余り」で判る拡大体のことであり、(3)アーベル拡大体のことである。
類体論を証明する上では、(1)を類体の定義として、

・基本定理: アーベル拡大体は類体である。
・分解定理: 類体では、素イデアルの分解の仕方は合同イデアル群Hm(L/K)によって定まる。
(特に合同イデアル群に含まれる素イデアルp∈Hm(L/K)は「完全分解」する(体の拡大次数個の異なる素イデアルに分解する))
が証明される(さらに類体論の他の結果も使って(1)と(2)と(3)が同値性が示される)。
類体は、他にもいろいろな性質を持っている。
特に重要(で証明がたいへん)なのは、同型定理、一般相互法則、存在定理など。

4. エルブランの補題の使われるところエルブランの補題は、基本定理「アーベル拡大は類体である」を証明するときに使われる。
類体の定義に戻れば、基本定理は次のような主張になる。
L/Kがアーベル拡大なら、あるmで
[Im(K):Hm(L/K)]=[L:K]
となる。

つづく

>>233
つづき
類体論の源流クロネッカー（＾＾
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1060-21.pdf
類体論の源流
三宅克哉 (東京都立大学理学研究科) 数理解析研究所講究録 1060 巻 1998 年 185-209
(抜粋)
§ 1 源流クロネッカー (1823-1891)
類体論の直接の源流はクロネッカーである. 彼は特にアーベルとクムマーの影響下で
2 種類の問題を提示した : 「アーベル多項式の特徴付け」 と, いわゆる 「単項化定理」
である.
1853 年, 29 歳のクロネッカーは短い論文 [Kr-18531 で次の主張を提示した.
クロネッ朝 $-$ ーヴエ一バーの定理 : 有理整数係数のアーベル方程式の根は必ず 1 の
罵乗根の有理整数係数の有理関数として表される.
ただし, この時点では, クロネッカーはガロア群が巡回群であるような代数方程式を
「アーベル方程式」 と呼んでおり, 後に [Kr-18771 ではこれを [単純アーベル方程式
またガロア群が可換群であるものを 「アーベル方程式」 と呼ぶことにした. この論文で
説明されているように, どちらの定義を取ってもこの定理の含むところは変わらない.
彼はこの定理を ttSatztt と呼んでいるが, 証明は結局は ${}^{\mathrm{t}}\mathrm{i}\grave{7^{\backslash }}i\mathrm{L}^{-}$ バーの論文「We-18871 を待
つことになる.

1857 年になると, 短いが?段と楕円関数に踏み込んだ論文 [虚数乗
法が生じる楕円関数につい $\text{て}4$ ([Kr-1857a]) を著している. これと, この年にディリ
シュレに宛てた手紙 [Kr-1857b1 からみて, いわゆる 「クロネッカ一の青春の夢」 がこの
頃に描かれたものと思われる. 数学上の予想ないし研究課題としての 「クロネッカ $-$ の
青春の夢」 は, 彼がデデキントに宛てた 1880 年の手紙 ( $[\mathrm{K}\mathrm{r}- 1880\mathrm{b}]\rangle$ のなかで, 彼が
「私のいちばんのお気に入りの青春の夢」 $\langle$
... um meinen liebsten Jugendtraum, $\ldots\rangle$ と呼
んだ, おおむね次のような数学の問題 (予想) を指す :
クロネッカーの青春の夢 : 虚 2 次体上のアーベル多項式の根は, その 2 次体を虚数乗
法に持つ楕円関数の「特異モデュライ」 と周期の等分点での値ですべて与えられる.

つづく

>>234
つづき

類体論の源流クロネッカー（＾＾
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1060-21.pdf
類体論の源流
三宅克哉 (東京都立大学理学研究科) 数理解析研究所講究録 1060 巻 1998 年 185-209
(抜粋)
§ 1 源流クロネッカー (1823-1891)
類体論の直接の源流はクロネッカーである. 彼は特にアーベルとクムマーの影響下で
2 種類の問題を提示した : 「アーベル多項式の特徴付け」 と, いわゆる 「単項化定理」
である.
1853 年, 29 歳のクロネッカーは短い論文 [Kr-18531 で次の主張を提示した.
クロネッ朝 $-$ ーヴエ一バーの定理 : 有理整数係数のアーベル方程式の根は必ず 1 の
罵乗根の有理整数係数の有理関数として表される.
ただし, この時点では, クロネッカーはガロア群が巡回群であるような代数方程式を
「アーベル方程式」 と呼んでおり, 後に [Kr-18771 ではこれを [単純アーベル方程式
またガロア群が可換群であるものを 「アーベル方程式」 と呼ぶことにした. この論文で
説明されているように, どちらの定義を取ってもこの定理の含むところは変わらない.
彼はこの定理を ttSatztt と呼んでいるが, 証明は結局は ${}^{\mathrm{t}}\mathrm{i}\grave{7^{\backslash }}i\mathrm{L}^{-}$ バーの論文「We-18871 を待
つことになる.

1857 年になると, 短いが?段と楕円関数に踏み込んだ論文 [虚数乗
法が生じる楕円関数につい $\text{て}4$ ([Kr-1857a]) を著している. これと, この年にディリ
シュレに宛てた手紙 [Kr-1857b1 からみて, いわゆる 「クロネッカ一の青春の夢」 がこの
頃に描かれたものと思われる.

つづく

>>235
つづき

数学上の予想ないし研究課題としての 「クロネッカ $-$ の
青春の夢」 は, 彼がデデキントに宛てた 1880 年の手紙 ( $[\mathrm{K}\mathrm{r}- 1880\mathrm{b}]\rangle$ のなかで, 彼が
「私のいちばんのお気に入りの青春の夢」 $\langle$
... um meinen liebsten Jugendtraum, $\ldots\rangle$ と呼
んだ, おおむね次のような数学の問題 (予想) を指す :
クロネッカーの青春の夢 : 虚 2 次体上のアーベル多項式の根は, その 2 次体を虚数乗
法に持つ楕円関数の「特異モデュライ」 と周期の等分点での値ですべて与えられる.

虚数乗法についてはワイエルシュトラスの $\wp$ 関数に基づく説明を次の節で簡単に与え
る. ここではアーベルやクロネッカー [Kr-1857a1 が扱った楕円関数とそのモデュライに
触れておく.

アーベルは, まず楕円積分が特に対数関数で積分されてしまう場合を連分数に基づく
手法で決定した $\langle_{[6}\mathrm{A}\mathrm{b}- 182\mathrm{b}$]) が, 次の瞬間には, 素直に楕円積分の逆関数に注目し,
またコーシーが展開していた複素線積分を取り入れ, たちまち 「楕円関数論」 を構築してしまう.

§3 デデキント $(1831-1916\rangle$

デデキントは, ガウスに倣ったわけでもないのだろうが, 理論的な枠組みが明快にな
るまでは不用意な公表をひかえていたように見受けられる. この点は 「預言者」 と呼ば
れたクロネッカーと著しく異なっている. したがって彼が実際に何を見, 何を意図して
いたのかを, 整った論文のなかに見いだすことは容易ではない. 第 1 項については, 特
に『ディリシュレの数論講義への補足\sim の最終版 [De-18931 の完成度が高い ; しかも
[De-1871], [De-1877a1, [De-1879], $[\mathrm{D}\mathrm{e}- 18\mathfrak{B}]$ と順を追って成熟していく様子が見られ
る. このようなことから, [De-18931 こそが彼の最終目的であったと見倣されるかもし
れない.

つづく