メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%8C%96%E7%BE%A4%E3%81%A8%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%8C%96%E7%BE%A4
中心化群と正規化群
(抜粋)
群 G の部分集合 S の中心化群とは、S の各元と可換な G の元全体からなる集合であり、S の正規化群とは、「全体で」S と可換な G の元全体からなる集合である。S の中心化群と正規化群は G の部分群であり、G の構造について知る手掛かりを得られる。

（正規化群）
中心化群の定義と似ているが同じではない。g が S の中心化群の元で s が S の元であれば、gs = sg でなければならないが、g が正規化群の元であれば、s とは異なってもよい t ∈ S に対して gs = tg である。

性質
下記の性質は Isaacs 2009, Chapters 1?3 による。
・S の中心化群と正規化群はともに G の部分群である。
・明らかに、CG(S) ⊆ NG(S) である。実は、CG(S) は必ず NG(S) の正規部分群である。
・CG(CG(S)) は S を含むが、CG(S) は S を含むとは限らない。S のすべての元 s, t に対して st = ts であれば含む。なので・もちろん H が G の可換な部分群であれば CG(H) は H を含む。
・S が G の部分半群であれば、NG(S) は S を含む。
・H が G の部分群であれば、H を正規部分群として含むような最大の G の部分群が NG(H) である。
・元 a ∈ G の属する共役類の大きさと中心化群の指数 [G : CG(a)] は等しい。
・群 G の部分群 H と共役な部分群の数と正規化群の指数 [G : NG(H)] は等しい。
・G の部分群 H は、NG(H) = H であるときに、G の自己正規化部分群と呼ばれる。
・G の中心はちょうど CG(G) であり、G がアーベル群であることと CG(G) = Z(G) = G は同値である。
・単集合に対して、CG(a) = NG(a) である。
・対称性により、S と T が G の 2 つの部分集合であれば、T ⊆ CG(S) と S ⊆ CG(T) は同値である。
・群 G の部分群 H に対して、N/C定理は、剰余群 NG(H)/CG(H) は H の自己同型群 Aut(H) の部分群に同型であるという定理である。NG(G) = G および CG(G) = Z(G) であるから、N/C theorem は、G/Z(G) は、G のすべての内部自己同型からなる、Aut(G) の部分群 Inn(G) に同型であるということも意味している。

https://en.wikipedia.org/wiki/Centralizer_and_normalizer
Centralizer and normalizer