メモ
成川淳（なるかわあつし）
”[4] 群と群から群を作る話
　群の直積・半直積を包括する bicrossed product という概念について紹介しています。 左作用・右作用が同等に扱われる定義が美しいです。”
http://www.ac.cyberhome.ne.jp/~narukawa/bicrossed.pdf
群と群から群を作る話
成川淳（なるかわあつし）
(抜粋)
数学の世界ではしばしば、2 つの群から 1 つの群を作る場面があります。方法としては、
「直積」という概念が最も自然で、最も頻繁に見かけるのですが、少し複雑な「半直積」とい
う概念も頻繁に見かけます。しかし、半直積の定義は 2 つの群それぞれの役割が非対称で、
気持ち悪いなという印象が私にはありました。その気持ち悪さを解消し、直積・半直積を包
括する概念として、群の Bicrossed Product というものがあります。この概念を知って感心
した覚えがあるので、ここで紹介することにしました。本稿では群の定義と直積の定義は省
略して、作用という概念の紹介から話を進めます。

5 最後に
私は半直積という非対称な概念が嫌いでした。しかし、一度 Bicrossed Product という概
念を知り、対称性の高さに感心しつつも厳しい条件 (11)-(14) を考えると、逆に半直積の有
用性が理解できました。半直積が素晴らしいのは、(13) が退化した (5) が「準同型」という
扱いやすい性質だからです。逆に (5) を仮定するためには、H の K への右作用が自明でな
ければなりません。つまり、半直積は二項演算としての対称性を犠牲にしつつも、扱いやす
い別の対称性を構成する手段と言えます。実用的ではなさそうな群の Bicrossed Product で
すが、半直積の特殊性を浮き彫りにできるだけでも、価値のある概念だと私は思います。
(引用終り)

つづく