>>393
>0,1,...,qの上に推移的に作用している。

そこは間違いです。F_qの元は0,1,...,qではないので。
単に「F_qの上に推移的に作用している」でOK。

>直接 PSL(2, q) の群の位数が、PGL(2, q) を経由しないで、出せる？

出せるんじゃないですか？ 16×16×16-16=4080でしょ？
なぜそうなるかはご自分で考えてみられては。

>そもそもは（以下略）

完璧な解答は>>324にありますよ。
自然に作用する空間がF_q∪{∞}だからですよ。
∞というのも同次座標によって厳密に定義されるものです。
その辺をちゃんと書くと長くなるので簡易的に書いてるんです。
数学科では常識でしょうね...