>>405
>いま知りたいのは、>>395
>”なんで、PSL(2,16):2 が、ガロア逆問題が成立たないのか？

それは計算上というだけで証明されてはいないですね。
証明できれば少し大げさに言うと「歴史に残る」レベルの結果では。
かといって、数学科修士レベルが解けないとも言い切れない。
いい問題なのでは。

>PSL(2,16):2とは何か？

だから、それは>>329にあるようにPSL(2,16)とGal(F_q/F_p)の部分群との半直積群ですよ。
PSL(2,16)、PSL(2,16):2、PSL(2,16):4　の3つの群が生じてるわけですね。

http://galoisdb.math.upb.de/groups? によると
群によって発生確率が大きく違う。まずはその理由を知ることが基本でしょうね。
ガロア逆問題を本格的に勉強する必要がありますね。