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つづき

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H27-yokota.pdf
平成27年度(第37回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成27年8月3日〜8月6日開催
ポアンカレ予想とリッチフロー
横田 巧 (京都大学 数理解析研究所)
概 要
この公開講座では，1904年の H. Poincar´e の論文に由来するポアンカレ予想
と呼ばれる幾何学の予想と，2002〜03 年に発表された G. Perelman による
その証明を扱います．ここでは，ポアンカレ予想の歴史やその解決にまつわ
るドラマよりも，Perelman の証明の数学的な部分に踏み込み，その雰囲気
が伝わるような解説を試みます．

1. はじめに
大まかに言うと，現代の数学者が研究している幾何学には位相幾何学（トポロジー，
Topology）と微分幾何学（Differential Geometry）がある．次の予想は H. Poincar´e の
1904年の論文 [Po] に由来する位相幾何学の問題であるが，21世紀初頭に G. Perelman
がリッチフローとリーマン多様体の崩壊理論という微分幾何学の道具を用いて肯定的
に解決した．
予想 1 (ポアンカレ予想) 任意の単連結 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S^3 に同相であろう．

リッチフロー方程式 (7) は熱の拡散を記述する熱方程式
と幾つかの性質を共有する．

リッチフローの簡単な例として，Einstein 計量が考えられる．

つづく