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メモ
”ガロア理論:単拡大定理の意義”
https://qa.itmedia.co.jp/qa7814220.html
ガロア理論:単拡大定理の意義 ITmedia 解決済みの質問 投稿日時 - 2012-11-24
(抜粋)
ガロア理論で,有理数体を係数体として,その根をx1,x2,...xnとしたとき,これらの根を添加した体Q(x1,x2,...xn)と単拡大定理を使った拡大Q(V(x1,x2,...xn)とはどこが違うのでしょうか.もちろん表現として違うことはわかりますが,この根を変数とするパラメータVが存在することによって,体を扱う上で何が違うのでしょうか.単拡大定理の存在理由が今一つわからないので,教えてください.

質問者が選んだベストアンサー kabaokaba 投稿日時 - 2012-11-25 09:00:26
たぶん，「有限次分離拡大は単拡大」の定理のことだと思うけど，
そういうときは，ちょっと保留して
先の議論を眺めるというのがよい方策でしょう．

わざわざ偉大なる先人達が「定理」として残しているからには
今は見えなくても何か裏があるものです．
ましてやGalois理論ですから，もうよってたかって整理されまくって
基礎的なところはとんでもなくすっきりしてるわけですので
＃私なんかは「Artinの教科書」には感動しましたよ・・線型代数すげーって＜なんか方向違う
＃＃いや。。実際はArtinすげーなんですけどね

とはいえ・・・これじゃあなんだから
例えば，記号の定義はなあなあにして
Q(x,y)が有限次分離拡大だとして，Q(x,y)=Q(x+y)なんてふうに
x+yによる単拡大になったとしましょう．
話が面倒だから・・・xもyもとりあえず二次にしちゃいましょう
そうすると
Q(x,y)の要素は形式的には 1,x,y,xy の四つで表現できる．
Q(x+y)だと x+y だけで表現できる．
この二つ・・・同じものだとしたら，どっちが「簡単」に見えますか？
つまり
Q(x,y)=Q(x+y)の要素zが
z=a+bx+cy+dxy = e+f(x+y)
と表した場合ですね，どっちが簡単かです

つづく