>>711
つづき

任意の異なる二点に対し、それらを接続する直線がただ一つ存在する。
任意の異なる二直線に対し、それらのいずれとも接続する点がただ一つ存在する。
平面上の四点で、そのうちの二点よりも多くに接続するような直線は一つも存在しない、というものが存在する。
条件2は平行線が存在しないことを意味する。また条件3は退化する場合（後述）を除くためだけにある。

性質
射影平面においては、それが含む直線の数と点の数とが同じであることを示すことができる（有限でも無限でも）。有限射影平面は

N^2 + N + 1 個の点と、
N^2 + N + 1 本の直線を持ち、
各直線上に N + 1 個の点が載っていて、
各点を N + 1 本の直線が通る。
ここで、N >= 2 は射影平面の位数 (order) と呼ばれる整数である（有限幾何学も参照）。

前節に述べたような線型代数学的定義から生じる射影平面はどれも、本節に言う組合せ論的な定義に基づく射影平面として記述することができる。従って、位数 p^n の有限体から、位数 N = p^n の射影平面を与えることができる。

有限位数の存在
既に説明したように、各素数冪 p^n に対して同位数の射影平面が存在する。事実として、「知られている」全ての有限射影平面はその位数が素数冪である。

それ以外の位数についても有限射影平面が存在するかどうかというのは、未解決の問題である。
位数に関する一般的な制限として知られているのは、位数 N が法 4 に関して 1 または 2 と合同ならば、それは二つの平方数の和にならなければいけないというブルック＝ライザー＝チョウラの定理である。
これにより N = 6 が除外できる。次の場合は N = 10 が、大規模計算機の計算により除外された。それ以上の場合については知られていない（特に N = 12 も未解決である）。

射影平面の分類は全然終わっていない。いくつかの結果を位数の順に以下に示す。

つづく