[例2]　　lim[x→0] sin(x)/x = 1.

半径1なる円において弧 2x を張る弦が 2sin(x) である。
まず x>0 として証明をすれば十分である。
さて 0<x<π/2 なるときは　この円周上に
　A(cos(x),sin(x)),　B(cos(x),-sin(x)),　C(1,0)
をとれば、次の補題により
　0 < AB < 弧AB < ACB,
　0 < sin(x) < x < tan(x),
弧ABの長さは、弧に内接する折線の長さの上限として定義される(§40)から、
それは弦ABよりも大で，折線ACBよりも小である。従って
　1 > sin(x)/x > cos(x).　　　　　　　　　　　　　　　　(1)
さて 0<sin(x)<x から，lim[x→0] sin(x) = 0.
故に cos(x)^2 = 1 - sin(x)^2 を用いて lim[x→0] cos(x) = 1.
故に (1) から標記の関係を得る。　　　　　　　　　　　(証終)

高木貞治：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
　第1章, §9., [例2] p.21-22