>>77
積分の定義から
　∫ √{1 + f '(x)^2} dx
　= lim[n→∞] Σ[k=1,n]　√{1 + f '(y_k)^2} (x_{k+1}-x_k),
　ここに　x_k < y_k < x_{k+1},
だが、f(x) は微分可能だから 平均値の定理より
　f '(y_k) = [f(x_{k+1})-f(x_k)]/(x_{k+1}-x_k),
　x_k < y_k < x_{k+1},
となる y_k がある。それを使えば
　Σ[k=1,n] √{(x_{k+1}-x_k)^2 + [f(x_{k+1})-f(x_k)]^2}
すなわち、折線の長さになる。

区間を分割することで n→∞ とする場合は、単調増加する(△不等式)が、
上限になるかどうか････