まず実数の公理を必要な分だけ

∀x∀y∀z
x+0=0+x=x (和の単位元の存在)
x+y=y+x (和の交換則)
(x+y)+z = x+(y+z) (和の結合則)
x+(-x)=0 (和の逆元の存在)
x・1=1・x=x (積の単位元の存在)
x・y=y・x (和の交換則)
(x・y)・z = x・(y・z) (和の結合則)
x(y+z)=xy+xz (分配則)
x≠0 ⇒ (1/x)・x=1 (和の逆元の存在)

等号公理
x=x (反射律)
x=y ⇔ y=x (反射律)
x=y ∧ y=z ⇒ x=z (推移律)

以上を認めて例えば
0=0+0 (∵ 和の単位元の存在)により
x・0=x・(0+0)=x・0+x・0 (∵分配則)
から
0=(x・0)+(-(x・0)) (∵ 和の逆元の存在)
=(x・0+x・0)+(-(x・0))
=(x・0)+((x・0)+(-(x・0)) (∵ 和の結合則)
=(x・0)+0
=x・0
によりx・0=0とわかる。

以上を認めた上で1/0の存在を認めてしまうと例えば
(1/0)・0=1
の両辺に0をかけて
((1/0)・0)・0=1・0=0‥‥(1)。
ここで
((1/0)・0)・0
=(1/0)・(0・0) (∵積の結合則)
=(1/0)・0
=1 (∵(1))‥‥(2)。
(1)、(2)により0=1。
のように矛盾が生じる。

現代数学に矛盾があると言うならまず、実数論の公理な何があって循環小数が有理数と仮定しだ場合どのように矛盾した式が導かれるのか明示しないと通用しない、
上の話は中学生の教科書に載ってるレベル。
あなた議論はこのレベルにすら到達できていない。
誰でもわかるとか、小学生でもわかるとかクソ幼稚な言動繰り返してるだけ。
学問は愚か義務教育修了したレベルにすら到達していない。