面白い問題おしえて〜な 30問目

過去ログ置き場(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3〜6「datが存在しません。」
7 http://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/

なお、削除依頼は不要です。

この物語は、ある数学者の借金滞納に闘いを挑んだ熱血債権者たちの記録である。
実業界において全く無名の弱体債権者が、最後の一念で屈強な暴力団を雇い、わずか数日でワイン浣腸制裁を
成し遂げた奇蹟を通じて、その原動力となった不屈の執念を、余すところなくドラマ化したものである。

「面白い問題おしえて〜な」からお願い

・数学的知識よりも発想の転換やひらめきが必要な問題
・見た目に面白い問題
・解法に目から鱗が落ちるような問題
をお願いします。
[面白スレ２問目.001]

楕円Eをx^2/9+y^2/16=1とし、焦点の一方Fをとる。
楕円の内部の点Pを一様分布で選ぶ時FPの長さの期待値を求めよ。

あ、数値設定間違った。
ま、いいやw
出るのは出るし。

>>4
(1/3)(1/4)/(1/4+1/3)=1/7
勘で。

ハズレ

じゃ、俺も直感だけでトライしてみる。

円の場合、OPの期待値は半径の2/3なので、
長半径の2/3でE[FP]=8/3に１００ペリカ。

ハズレ。
用意してる解答では2/3は出てきますが‥‥

E[FP] = (8π +60 -10/π)/27 = 3.035171939514

上半分での平均　(9π +20 +15/π)/27 = 1.964777117595
下半分での平均　(7π +100 -35/π)/27 = 4.105566761433

x が正の有理数であるとき、x = (i=1~n) 1/a_i を満たすような相異なる n 個の自然数の組 a_1, a_2, ... , a_n が必ず存在することを示せ。

x = p/q = Σ[i=1〜p] 1/q,　(17字)

>>14 「相異なる」

13だけど、今PCから見たらΣ表示されてないので念のため追記

誤　x = (i=1~n) 1/a_i
↓
正　x =Σ (i=1~n) 1/a_i

>>11
ハズレ
答えは有理数値になります。
下がメッシュ法で力業で近似値出す方法。
実行すれば答の近似値でます。
理論値と合ってます。

Prelude> let {a=4;b=3;c=(sqrt$a^2-b^2)}
Prelude> let isIn x y = (x^2/a^2) +(y^2/b^2)<1
Prelude> d x y = sqrt $ (x-c)^2 + y^2
Prelude> let ds = [d x y | x<-[-a,(-a+0.01)..a],y<-[-b,(-b+0.01)..b], isIn x y] in (sum ds)/(fromIntegral $ length ds)

>>13

x = p/q とする。(gcd(p, q) = 1)
q = ps + r とすると、(sは自然数、0 < r < q)

x = 1/(s+1) + (p-r)/{q(s+1)}

p' = p-r (<p)
q' = q(s+1)
としてこの操作を繰り返していけば、いずれ分子は1となる。

>>18
訂正
0 < r < p

二次元平面は円盤の直和で表せないことを示せ

>>11 >>12
　E[FP] = 13/4 = 3.25

上半分での平均　π -2 +7/(3π) = 1.884315721352
下半分での平均　-π +17/2 -7/(3π) = 4.615684278648

>>18
不十分です

例えばxが2以上の整数の時その方法は無効

∪Ci=R^2なるdisjointな円周の組みI={Ci}があるとする。
Diを周がCiである円盤としIにCi≧Cj ⇔ Di⊂Dj で順序を入れる。
WをIのwell ordered subsetとする。
C0∈Pを選びW^ = {Di | Ci∈W、Ci≧C0}とすればW^は有限交差性を持ち、すべての元はD0のsubsetだから∩[W^]Diは空でない。
P∈ ∩[W^]Diを選びP∈CjをとればCjはWの上界である。
以上によりIは帰納的順序集合とわかるからZornの補題により極大元Cmをもつ。
この時Cmの内部の点は全てのCiに含まれる事ができない。

>>21
アタリ

>>4
の用意してた解答。
Fを極とする楕円の極方程式は
r=d/(1-e cos(θ)) (d=b^2/a、e=c/a)。
微小領域 a<θ<a+ΔにおけるFPの平均値は(2/3)r(a)+O(Δ)。
微小領域の面積は(1/2)r(a)^2Δ+O(Δ^2)であるから
E(FP)=∫(1/3)d/(1-e cos(θ))^3 dθ/(πab)=13/4。

>>26
そっか
x>1でも貪欲でよかったのか
分母がダブるものとばかり…ひどい勘違い

>>25
r = d/(1-e･cosθ) = a(1-ee)/(1-e･cosθ),
d = a(1-ee)　････ 通径

(r/a)^3 = {(1-ee)/(1-e･cosθ)}^3 = (1/2)e(1-ee){-2e +cosθ +e(cosθ)^2}/(1-e･cosθ)^3
　+ (3/2)e(1-ee)(cosθ-e)/(1-e･cosθ)^2 + (1/2)(1-ee)(2+ee)/(1-e･cosθ),
不定積分は
∫{(1-ee)/(1-e･cosθ)}^3 dθ = (1/2)e(1-ee)sinθ/(1-e･cosθ)^2
　+ (3/2)e(1-ee)sinθ/(1-e･cosθ) + (2+ee)√(1-ee)･arctan(√{(1+e)/(1-e)}･tan(θ/2))
-π<θ<π で積分すると右辺1，2項は周期性で消え、arctan はπずれる。
∫[-π,π] (1/3)r^3 dθ = (1/3)(a^3)･π(2+ee)√(1-ee),
これを楕円の面積 πab = πaa√(1-ee) で割ると
　E(FP) = (a/3)(2+ee),

ee = 1 - (b/a)^2,
E(FP) = (aa-bb/3)/a,
a=b (円)のときは
　e=0,　E(FP) = (2/3)a,

どの辺が面白いのか解説きぼん

0<e<1に対し
c[k]=∫[-π,π](1-e cosθ)^(-k)dθ
とおく。
|t|が十分小さい時に
Σ[k=0,∞]c[k]t^k
を求めよ。

|t| < 1-e とする。
c[0] = 2π,
Σ[k=1,∞] c[k] t^k = ∫[-π,π] t/(1-t-e･cosθ) dθ
　= [ (2t/√{(1-t)^2 -ee})･arctan(√{(1-t+e)/(1-t-e)}･tan(θ/2)) ](θ=-π,π)
　= 2πt /√{(1-t)^2 -ee},

早いね。
正解。

>>32
一様収束を言っておかないと

>>33
問題の背景とかってあります？

任意の二つの滑らかな閉曲面上には平行移動、回転をして一致するような閉曲線がそれぞれに描けることを示せ

エジプト分数の流れで。

a[1] = 2
a[n+1] = a[1]a[2]…a[n] + 1
で数列{a[n]}を定める。
この時、
Σ[n=1 -> ∞]1/a[n]
を求めよ。

>>35
特にないです。
勉強してたら、あ、計算できるなぁと気づいたので。

>>36
曲面はどれくらいの事が仮定できるの？
ずらして重なり部分考えるんだろうけど、単に二次元連続多様体二つの重なり部分が閉曲線の和に必ずなるといえるとは思えない。

>>38
あ、今思い出した。
∫1/(1-e cos x)^ dx
の話はケプラー問題とかBessel関数の勉強してた時に山ほどでてきてその時ちょっと勉強しました。

>>39
サードの定理みたいなの使うんじゃない？

>>37
Σ[k:1〜n]1/ak=1-1/Π [k:1〜n]ak
を示す。
n=1で容易。
n=Nで正しいとしてn=N+1のとき
Σ[k:1〜n]1/ak
=1-1/Π [k:1〜n-1]ak+1/an
=1-1/Π [k:1〜n-1]ak+1/(Π [k:1〜n-1]ak+1)
= 1-1/Π [k:1〜n-1]ak(Π [k:1〜n-1]ak+1)
= 1-1/Π [k:1〜n]ak。
よって求める極限は1。

>>41
でもサードの定理にしたって可微分性くらいは仮定してるからなぁ。
単なる連続関数だけだと病的なのいくらでもあるから重なり部分が閉曲線の和になるとか簡単に示せるととても思えない。

>>42
正解です
ちなみに有限項で止めるとn項で表せる1のもっとも良いエジプト分数近似となります

>>37 より
a_{k+1} -1 = a_k (a_k -1),

1/a_k ＝ 1/(a_k -1) - 1/(a_{k+1} -1),

Σ[k=1,n] 1/a_k = 1/(a_1 -1) - 1/(a_{n+1} -1),

>>42 と同じだが。

>>39
>>41
>>43
「滑らか」が曖昧でしたかね
C^∞を仮定してます

>>32
|t| < 1 とする。

Σ[k=0,∞] c[-k] t^k = ∫[-π,π] 1/{1-t(1-e･cosθ)} dθ
　= [ (2/√{(1-t)^2 -(et)^2})･arctan(√{(1-t+et)/(1-t-et)}･tan(θ/2)) ](θ=-π,π)
　= 2π/√{(1-t)^2 -(et)^2},

c[1] = 2π/√(1-ee),
c[0] = c[-1] = 2π,
c[-2] = (2+ee)π,
c[-3] = (2+3ee)π,

>>47
|t| < 1/(1+e) とする。

>>26

例)　x=1

自明な解
　x = 1/1,

貪欲算法 (フィボナッチ=シルヴェスターのアルゴリズム) による解
　x = 1/2 + 1/3 + 1/6,

分母が奇数のみで、項数が最小(9)の解 ････ 5通りある。
　x = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/15 + 1/35 + 1/45 + 1/231,

分母が奇数のみで、最大分母が最小(105)の解
　x = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/33 + 1/35 + 1/45 + 1/55 + 1/77 + 1/105,

>>46
閉曲面MがC^∞とはM自身C^∞級多様体で埋め込みもC^∞級というだけ？
次は仮定できる？

Mの任意の点PのR^3での近傍Uで定義された滑らかな関数fが存在して
M∩U = f^(-1)(0)
が成立する。

前者の条件満たすけど後者の条件は満たさない例があるので困ってるんだけど。
後者の条件満たさないで前者の条件しか満たさないやつだとかなり病的なやつが作れてしまう。

>>50
仮定は前半だけです

多様体としてC^∞かつ埋め込みもC^∞

>>51
見つけないといけない閉曲線はC^∞級でないこダメ？
単にS^1からの連続単射でおけ？

>>52
ジョルダン曲線で大丈夫です

>>53
ダメだ。
全くできる気がしないorz
ヒントおながいします。

>>55
ヒントはガウス曲率です

ガウス・ボネの定理から必ず閉曲面にはガウス曲率が正の部分が存在する

しかも一点ではなくてある近傍で正です

近傍のガウス曲率が真に0より大きければその断面は閉曲線です

あれ？でもC^∞しか仮定してないと計量の引き戻しが死んでしまうところが死ぬほどでてくるのでは？
例えば

f(x)=exp(-1/x) (x>0)
=0 (x=0)
=-exp(1/x) (x<0)

みたいな原点で何回微分しても0みたいな関数途中に通過させると像がとんがったトゲみたいなの持ってるやつとか作れちゃうけど。
そういうとこでは計量テンソル引き戻してきても死んでるので曲率もへったくれもない。

例えば>>57のf(x)を使って

x=f(t)
y=|f(t)|

とかするとこれはR→R^2のC^∞埋め込みになってるけど像はy=|x|でとんがってしまう。
そのトンガリがRの方に伝わらないようにこういう細工ができてしまう。
ここでは計量の引き戻しが正定値はおろか完全に死んでしまう。
二次元多様体のR^3へのC^∞埋め込みでも同じくとげだらけの埋め込みができてしまう。

>>58
それ、埋め込みって言う？

>>59
今wikiでみてきたら可微分の埋め込みは誘導される微分も単射である事を要求するのね。
微分幾何の勉強たりてないからこんな要求あるの知らなかった。
1日悩んでしまった。

平行移動のやつ。
diagM=d(p,q)となるp,qをとり、z軸がpqに平行になるようにとり、p,qの近傍でMがz=f(x,y), z=g(x,y)となるようにとる。
p,qのxy座標は(0,0)として良い。
h=g-fの非臨界値cをg(0,0)-f(0,0)に十分近い値に取ればh^(-1)(c)のある連結成分Cが閉曲線となるようにとれる。
C1={(x,y,f(x,y))|(x,y)∈C}, C2={(x,y,g(c,y))|(x,y)∈C}
ととればコレが求める閉曲線である。

安藤美姫＜安藤なつ

(1)複素関数fをf(z)=πcot(πz)/(1+z^4)とする
R>0に対して、
C_Rを複素平面上で中心0、半径Rの円周を反時計回りに周る経路とする

このとき、lim(R→0)∫_(C_R) f(z) dz=0を証明せよ


(2)級数Σ_(k=-∞,∞) 1/(1+k^4)を求めよ

>>63
(1)訂正

lim(R→∞)∫_(C_R) f(z) dz=0

です

(2)
S = Σ_(k=-∞,∞) 1/(1+k^4)
　= (π/√2){[sinh(π√2) + sin(π√2)]/[cosh(π√2) - cos(π√2)]}
　= 2.156955159334273676636044386491
ついでに
S = 2 + 2_(k=2,∞) 1/(1+k^4)
　< 2Σ_(k=2,∞) 1/k^4
　= 2ζ(4)
　= (π^4)/45
　= 2.164646467422276383032

　1/(1+k^4) > 1/[(k-1)k(k+1)(k+2)] = 1/[3(k-1)k(k+1)] - 1/[3k(k+1)(k+2)],
から
S = 2 + 2/17 + 1/41 + 2/257 + 2Σ_(k=5,∞) 1/(1+k^4)
　> 2 + 2/17 + 1/41 + 2/257 + 1/180
　= 2.15537496

　1/(1+k^4) < 1/[(k-2)(k-1)k(k+1)] = 1/[3(k-2)(k-1)k] - 1/[3(k-1)k(k+1)],
から
S = 2 + 2/17 + 1/41 + 2/257 + 2Σ_(k=5,∞) 1/(1+k^4)
　< 2 + 2/17 + 1/41 + 2/257 + 1/90
　= 2.1609305

　1/(1+k^4) < 1/{kk(kk-1/4)} = 4/(kk-1/4) - 4/kk = 4/(k-1/2) - 4/(k+1/2) - 4/kk,
から
S = 2 + 2/17 + 1/41 + 2Σ_(k=4,∞) 1/(1+k^4)
　< 2 + 2/17 + 1/41 + 16/7 - 8Σ_(k=4,∞) 1/kk
　= 2 + 2/17 + 1/41 + 16/7 - 8{ζ(2) -1 -1/4 -1/9}
　= 2 + 2/17 + 1/41 + 16/7 + 10 - 4ππ/3
　= 2.15716794

S' = Σ_(k=-∞,∞) 1/(1+kk)
　= (i/2)Σ_(k=-∞,∞) {1/(i+k) - 1/(-i+k)}
　= (iπ/2){cot(iπ) - cot(-iπ)}
　= (π/2){coth(π) - coth(-π)}
　= π coth(π)
　= 3.1533480949371623482681015895


　1/(1+kk) < 1/(kk-1/4) = 1/[(k-1/2)(k+1/2)] = 1/(k-1/2) - 1/(k+1/2),
から
S' = 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2Σ_(k=5,∞) 1/(1+kk)
　< 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2Σ_(k=5,∞) {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2)}
　= 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 4/9
　= 3.1620915

　1/(1+kk) > 1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1),

S' = 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2Σ_(k=5,∞) 1/(1+kk)
　> 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2Σ_(k=5,∞) {1/k - 1/(k+1)}
　= 2 + 2/5 + 1/5 + 2/17 + 2/5
　= 3 + 2/17
　= 3.11764706

f(x)を既約なモニックな整形数の多項式とする。
素数pに対し
n(p)={n∈N | n≦p, f(n)≡0 (mod p)}
とおく。
この時
lim [N→∞] Σ[p≦N] f(p)/#{p | p≦N} = 1
を示せ。

>>56
ガウス曲率使う解答キボン

京大の過去問
https://pbs.twimg.com/media/EI2CmOrU8AAi0l_.jpg

>>70
1っぽいな〜
無限回試行した時を考えると明らかに1が高頻度で出る（2は1に加えて青が出なきゃいけないし、3は1に加えて赤が出なきゃいけない）
これを20回に制限したらさらに1が有利になるからどのみち1が答えかな
全然厳密じゃないけど…

いくら時間かけてもいいならなんでもないけど、一問30分前後の縛りがある受験問題と考えると難しいよね。

>>71
> 無限回試行した時を考えると明らかに1が高頻度で出る

続けたまえ

>>73
無限回試行なら順番は関係ないでしょ？1はBRRRR、2はBRRRRB、3はBRRRRRとしていいから明らかに1が有利

2,3は1を含むから1っしょ

2が1を含むのは許してもらえるだろうけど3が1を含むからってのは許してもらえないでしょうね。

2は1より制限が厳しいことになるから明らかに1より起きにくい
1は青赤赤赤の前に赤、3は青赤赤赤の後ろに赤赤ってことだから3の方が制限が厳しいので3の方が起きにくい
一番起きやすいのは1

>>77
答えは勘でも1と分かりますね。
私は別スレで話題になってた問題を引っ張ってきただけで採点基準もなんもわからないですが、それをスッキリ厳密に示しなさいでしょうね。
1と3の比較を厳密に書くのは案外ムズイ。

青赤赤赤が出る確率を基準にして考えればいいんじゃないのかな

∃i (xi〜xi+3)=(brrr) ∧ (xi+4,xi+5)=(r,r)
と
∃i (xi〜xi+3)=(brrr) ∧ xi-1=r
て∧の第二項の条件が第一項と独立でそれぞれ単純に1/9,1/3をかければいいだけならそれでいいでしょうけど独立ではないのでは？
多分許してもらえない。

赤青の並びが一度でも出ればそれ以降1は3に含まれる

違ったわ>>83は無視して

前>>6
>>70
１と比べて、２は１が起こる前に2/6=1/3の確率で青が出んなんで、１より確率が低い。
３は赤が5回連続で出んなんで、途中に青を挟んでるぶん２より確率が低い。
∴起こりやすい順番は、
１＞２＞３

>>82
ちょっとミスあるけどほぼ正解ですね。
赤と青の確率は1/3と2/3です。
私の解答(もちろん京大の用意した解答なんかしらん)

P(1のブロック出る)>P(2のブロック出る)は明らか。
確率変数Xiをi〜i+5が2のブロックになるとき1, そうでないとき0を取るものとする。
この時
P(2のブロック出る)
=E(1-Π(1-Xi))
=Σ(-1)^i Σ[#F=i]E(Π[t∈F]Xt)。(ここまでは一般論)
ここでp=E(X1)とおくとき添え字の有限集合Fに対して
E(Π[F]Xi)
=p^(#F) (Fの相異なる元の差が6以上の時)
=0 (そうでないとき)
であるから
Σ[#F=i]E(Π[F]Xt)
=C[20-5i,i]p^i
=15p-45p^2+10p^3
同様にして1〜6個目までが3のブロックとなる確率をqとすると
P(3のブロックが出る)
=15q-45q^2+10q^3。
あとは15x-45x^2+10x^3の増減をちょっろっと調べて完。

2のブロック出る確率が1のブロック出る確率より低いのは明らかなので2は何も関係ないと思いきや、1と3直接調べるよりワンクッション2を挟む方が楽なのがミソかな？
直接でもできなかないけど。

>>70
何年度の問題なんですかね？

単なる講演で出された問題
https://twitter.com/Dr_Kano/status/1192753084025339904
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

>>85
これで満点やろ

>>88
そうなん？
別スレのスレタイで京大の講師の出した問題って書いてあったから過去問だと思った。

例の方法だと3だな

>>82
大失敗....orz
　p = (4/6)^2･(2/6)^4 = 64/(6^6) = 0.0013717421125
　q = (4/6)･(2/6)^5 = 128/(6^6) = 0.002743484225

6連Aを1回以上含む場合
　配置： 15回から１つ選んでAとする。C[15,1] = 15 とおり
　s1 + 2･s2 + 3･s3 = 15p or 15q,

6連Aを2回以上含む場合
　配置： 10回から2つ選んでAとする。C[10,2] = 45 とおり
　s2 + 3･s3 = 45p^2 or 45q^2,

6連Aを3回含む場合
　配置： 5回から3つ選んでAとする。C[5,3] = 10 とおり
　s3 = 10p^3 or 10q^3,

P(2．) = s1 + s2 + s3 = 15p -45p^2 +10p^3 = 0.02049148206

P(3．) = s1 + s2 + s3 = 15q -45q^2 +10q^3 = 0.04081376811

>>70
を一般化して

独立な試行をn回繰り返す。
試行の結果は各回RまたはBでその確率はr,b (r+b=1,r<b)。
1型の連:RR‥RB
2型の連:RB‥BB (いずれもRB合わせて長さl)
とするとき
P(1型が現れる)<P(2型が現れる)
を示せ。

面白いかどうかはともかく片を付けとこう。

-1か0か1を合計k個足してnの倍数にする方法は何通りあるか？

ただし、足す順番は区別するものとする

>>94
行列の添字はZ/nZでとるとして行列Aと列ベクトルvを
Aij = 1 if j=i,i+1,i-1
. =0 otherwise
vi = 1 if i=0
. =0 otherwise
で定める。
この時求める場合の数は
v^A^kv 、
ただしv^はvの転置ベクトル。
ζ=exp(2πi/n)とおけば、計算して
v^A^kv =(1/n)Σ[t](1+ζ^t+1/ζ^t)^k

>>95
素晴らしい 正解です

ほぼ同じだけど想定していた解法は足す行為をZ/nZの元を頂点に持つグラフの辺を渡る行為だと思って隣接行列のスペクトルを計算する方法でした

ちなみにn→∞とすればリーマン和→積分が出てきて複素積分使って計算出来ます
そうすれば足して0にする方法の組み合わせ数が分かる
(それだとたぶん純粋な組み合わせ論で解けるだろうけど)

rを正の実数とする。
xyz空間の半球B:x^2+y^2+z^2=r^2（z≥0）について以下の問に答えよ。

（1）nを2以上の自然数とする。
平面H_kをz=kr/n（k=0,1,...,n-1）と定め、H_kとBの交線である円をC_kとする。
C_kを底円とし高さがr/nである円筒の側面積をS_kとするとき、それらの和
T_n = Σ[k=0,1,...,n-1] S_k
を求めよ。

（2）lim[n→∞] T_n とBの側面積は一致しないことを示せ。

lim T_nはBの側面積のπ/4倍。
君らが普段やっとる薄切りスライス体積積分は、表面積には使えんのやで！（意訳）

なんだっけ、シュワルツの提灯？
似てるね

受験レベル+αだけどうまくやらないとシンドイやつ。

曲線C:x^2-y^2=1, x>0 上の2点P,Qに対し、Cと直線PQで囲まれる部分の面積をS(P,Q)とする。
A(1,0), B(5/3,4/3)とする。
P,QをC上を動かすときS(A,P)+ S(P,Q)+ S(Q,B)の値が最小となる時のP,Qの座標を求めよ。

前>>85
>>101
x^2-y^2=1はx>0だから、
x^2=y^2+1
x=√(y^2+1)=(y^2+1)^(1/2)
x'=(1/2)(y^2+1)2y=y^3+y
x軸を鉛直上向きにとった双曲線Cのグラフの傾きは、
点A(1,0)において0,
点B(5/3,4/3)において4/3？ で、
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)の値が最小となるのは、A,P,Q,Bが等間隔になるときで、その座標は、
P(√(p^2+1),p),Q(√(q^2+1),q)として、
64p^3+64p-615=0
128q^3+128q-615=0

前>>102
>>101
計算すると、
64p^3+64p-615=0
(p^2+1)=615/64p
=615/p8^2
128q^3+128q-615=0
(q^2+1)=615/128q
=615/2q8^2
p=1.969525……
√(p^2+1)=2.208852355……
q=
√(q^2+1)=
なんか違うかも。

>101-103
はい、違います。
等間隔というのはいいキーワードだけど。
ある話しを使うと計算らしい計算しなくても解けます。
普通に面積計算しても大した手間ではないけど。

前>>103
>>104計算禁止かぁ。
そんなこったろうと思ったぜ。

いや、ちょっとは計算しないとムリです。

具体的に言うと実際に面積を計算せずともある事を知ってるとある関数が凸であるとわかり、それから "等間隔のとき" 最小と分かります。

前>>105
x^2-y^2=1がx＞0で上に凸なのはxを微分したらx'＞0なんで、あ間違えた、-1/2乗だ。
x=√(y^2+1)=(y^2+1)^(1/2)
x'=(2y){(y^2+1)^(-1/2)
=-2y/√(y^2+1)
y＞0のとき、
xは単調減少。

まぁまともに面積計算してもそこまで大変ではないけど。
積分実行しないでやる場合のヒント。
x^2-y^2=1はあるベクトル場Xの積分曲線で、exp(tX)は一次変換になっています。
その事から少し議論をすればA,P,Q,Bが "等間隔" に並ぶことがわかります。
普通に積分しても受験問題にはやや難しすぎる程度ですが。

前>>108
曲線とx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積は16/27
折れ線APQBとx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積は、これよりやや小さい。
今日で11月が終わる。

>>111
正解です。
では面積出さない方法。

X=y∂/∂x + x∂/∂yとおけば
exp(tX)=[[cosh t,sinht][sinh t,cosht]]
でありP(t):=(cosh t,sinh t)=(exp tX)(1,0)である。
exp(tX)はP(u),P(v)をP(u+t),P(v+t)に移し、直線を保存するからS(P(u),P(v))=S(P(u+t),P(v+t))であり、Sの値はパラメータtの値の差のみによる事がわかる。(←key point)
さらにf(t)=S(P(0),P(t))とおくとき
f(t)=S(P(-t/2),P(t/2))=2∫[0,t/2](sinh τ)^2dτ
で(sinh τ)^2は短調増加であるからf(t)は凸関数である。
よってA=P(0), B=P(log3)であるから最小値を与えるP,Qは
(P,Q)=(P(log3/3),P(2log3/3))
=((a+1/3)/2,(a-1/a)2),((3/a+a/3)/2,(3/a-a/3)/2)
のとき。ただしa=3^(1/3)。

key pointが成立するのは他にも
単位円のとき
f(t)=t/2-(1/2)sin t
放物線のとき
f(t)=(1/6)t^3
となって同様の現象が起こります。

xy平面を考える。
生命体Zは、最初1匹だけが(1,1)にいる。
a,bを正の整数とする。座標(a,b)にいる生命体Zは、(a+1,b)と(a,b+1)に生命体Zが存在しない時に限り、以下に示す〈ルール〉に従って分裂することができる。ただし、分裂が可能であれば必ず分裂しなければいけないというわけではない。

〈ルール〉
(a,b)にいる生命体Zは消滅する。(a+1,b)と(a,b+1)に生命体Zが1匹ずつ生まれる。

第一象限の格子点を要素に持つ集合Sを考える。
命題Pを「ある格子点s∈Sに生命体Zが存在する」と定める。
以下の問に答えよ。

(1)S=｛(s,t)｜1≦s,t≦3 , s,t∈ℕ｝とする。命題Pの真偽を調べよ。
(2)命題Pを満たすSのうち、その要素数が最小であるものを1つ求めよ。

前>>110
APQBのx座標が等間隔になるとき、
√(p^2+1)=(5/3-1)/3+1
=11/9
p=√{(121-81)/81}
=2√10/9
√(q^2+1)=√(p^2+1)+2/9
=(-1+4√7)/9
q=4/9-p
=4/9-{(-2-2√7)/9}
=(6+2√7)/9
P((-1+4√7)/9,(-2+2√7)/9)
Q((-1+4√7)/9,(6+2√7)/9)
これは近いけど違うと。
どうやって計算しないで解くか。

>>113
問題の文章めちゃくちゃだけどエスパーして
(1)
「どんな分裂の仕方を選んでもS上に生命体を消す事は出来ない。」
は真
(∵) 第一象限の格子点のみ考える。
格子点(i,j)に(1/2)^(i+j)の得点をつけて生命体のいる場所の得点の総和は保存される。
Sに全て生命体がいる状態の得点の総和は49/64点。
S以外の点の格子点の得点の総和は15/64点。
∴S全てから生命体が消えるように分裂させることはできない。

>>113
の問題で
◯
　◯
　◯ ◯
の配置のとき>>115の得点で配置の得点が5/4点。
配置から逃げられる部分の得点の総和が5/4点だからこの配置は全消し不能とわかる。
三ヶ所の場合が分からん。
◯
◯ ◯

　 ◯
◯ ◯

◯ ◯ ◯
以外の三ヶ所配置は全て全消し可能だけどこの３つが全消し可能か不可能か分からん。
誰かできる？

>>116
◯
◯ ◯
の配置2点で外部の配置も2点だからコレも不可能ですな。
二ヶ所以外は全消し可能だから求める最小値は3だ。

>>117
〇
〇〇
が最小のSってこと？オセロで実験したけどこのSからは逃げられたぞ

>>118え？マジで？
手自由教えて。
再計算しても初期の配置も外側の配置も2点になる。

x≧0、y≧0で考えるとして
S={(0,0),(1,0),(0,1)}のときSの得点の総和は
1+1/2+1/2=2点。
格子点全体の得点は4点だからSの外側の得点も2点。
釣り合うときはギリギリ無理だと思うんだけど。

たぶん
◯◯◯
も無理だと思う。
CBA
として一手目はA。
この先Bを分裂させるまではこのAの子孫ばかりを分裂させる事になるけど、それらの分裂は先にBを分裂させても可能なので二手目はBとして良い。
同様に三手目はCとして良い。
この時点で
XYZ
. PQR
の形でPQの地点を消せるか？だけどPを(0,0)としてYZPQRで5/2点。
消さないといけないPQが3/2点で計4点。
x≧0,y≧0全体が4点なので不可能。
同じ理由で
　◯
◯◯
も不可能だと思う。

>>119
(1,1)(1,2)(2,2)(2,1)の順でやれば逃げられない？
〇
〇〇
って(1,1)(1,2)(2,1)の3つだよね？

どんな分裂の仕方を選んでもSからZを消すことができない、そういうSを探せって問題だよね

(1,1)を1点、(1,2)(2,1)をそれぞれ0.5点…というふうにしてどんな分裂の仕方をしても総和は1点、という発想イイネ。
この点数の付け方だと、級数を取って格子点にある点数の総和は4点と分かる。したがって、Sが3点以上なら逃げられない。(1)はそれで証明出来る。
でも、この発想で行くと
〇〇
〇〇〇
〇〇〇
が限界じゃないか？この配置だと3点だから有限回の操作では追い出せない。

>>122
あれ？
(1,1),(1,2),(2,1)
の状態から(1,1)
は分裂できないのでは？

あ？
今問題読み返して誤解してるのやっとわかった
Sは初期配置じゃなくてそこから逃げないとダメな集合ね。

>>124
そうだ、そうだね。
3x3は得点論法だけで無理なのすぐわかるね。
次は
◯
◯◯
◯◯◯
かな？

とりあえず
◯
◯◯◯
と
◯◯
◯◯
は可能。
ノートで徒然なるままにやつてみた範囲内でおそらく
◯◯
◯◯◯
は不可能っぽい。
答えは5くさいけど、コレは計算機マターだな。

前>>114
>>101
P(p,√(p^2-1))
Q(q,√(q^2-1))とおくと、
S(A,P)=∫[x=1→p]√(x^2-1)dx-{√(p^2-1)/(p-1)}(x-1)dx
S(P,Q)=∫[x=p→q]√(x^2-1)-{√(q^2-1)-√(p^2-1)}/(q-p)+{√(q^2-1)-√(p^2-1)}/(q-p)dx
S(Q,B)=∫[x=q→5/3]√(x^2-1)dx-/{(5/3)-q}
放物線y=√(x^2-1)とx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積16/27から、折れ線APQBとx軸とx=5/3で囲まれた領域の面積を引くと、
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=16/27-(5/3-p/2-1/2)√(p^2-1)-(5/3-p/2-q/2){√(q^2-1)-√(p^2-1)}-(5/3-q){(4/3-√(q^2-1)}(1/2)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2
面積出して微分したら決まると思ったけど、未知数がpとqの2つある。
条件が足りないんでしょうか？
直線ABの傾きは2
直線PQの傾きはもう少し大きくてそのぶん直線QBの傾きがうんと小さいと思うんですが。
三角関数は面白くないんで、なしでお願いします。

それでやるなら二変数関数の最小値求めるテクニックで出来るかもしれません。

例
x^2+2xy+2y^2+4yの最小値

ますyを定数として
f(x)=x^2+2xy+2y^2+4y
の最小値を求める。
f'(x)=2x+2y=0すなわちx=-yのとき最小値
f(-y)=y^2+4y
次にコレら最小値の中で最も小さいものを求める。
g(y)=y^2+4yとおけばコレは
g'(y)=2y+4=0のとき最小値g(-2)=-4
のように。
計算死ぬけど。

ちなみに最小値をとるのはAQとPでの接線が平行かつBPとQでの接線が平行のときです。
そこから方程式立てれば式二つできます。
解くのは難しいけど確かめ算には使えるかもしれない。

前>>132
>>134それ直感的にあってそう。式が2つも増えて答えすぐ出るんじゃないの？

前>>135
>>101
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2――�@
直線APの傾きは、
√(p^2-1)/p
点Qでの曲線の傾きは、
(1/2)2q/√(q^2-1)=q/√(q^2-1)
これらが等しいから、
√(p^2-1)/p=q/√(q^2-1)
√(p^2-1)(q^2-1)=pq
(p^2-1)(q^2-1)=p^2q^2
p^2+q^2=1――�A
点Pでの曲線の傾きは、
(1/2)2p/√(p^2-1)=p/√(p^2-1)
直線QBの傾きは、
{4/3-√(q^2-1)}/(5/3-q)={4-3√(q^2-1)}/(5-3q)
これらが等しいから、
p/√(p^2-1)={4-3√(q^2-1)}/(5-3q)
p(5-3q)={4-3√(q^2-1)}√(p^2-1)
5p-3pq=4√(p^2-1)-3√(p^2-1)(q^2-1)
�Aの1行前の式を代入すると、
5p=4√(p^2-1)――おかしい。なんでpが虚数になるんだい？

前>>136訂正。よくミスるねぇ。風邪引いてんのかな？　節々のboneが痛い。
>>101
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2――�@
直線AQの傾きは、
√(q^2-1)/(q-1)
点Pでの曲線の傾きは、
(1/2)2p/√(p^2-1)=p/√(p^2-1)
これらが等しいから、
√(q^2-1)/(q-1)=p/√(p^2-1)
√(q+1)/√(q-1)=p/√(p^2-1)
√(p^2-1)(q+1)=p√(q-1)((p^2-1)(q+1)=p^2(q-1)
p^2-q-1=-p^2
2p^2-1=q――�A
点Qでの曲線の傾きは、
(1/2)2q/√(q^2-1)=q/√(q^2-1)
直線PBの傾きは、
{4/3-√(p^2-1)}/(5/3-p)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
これらが等しいから、
q/√(q^2-1)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
q(5-3p)={4-3√(p^2-1)}√(q^2-1)
5q-3pq=4√(q^2-1)-3√(p^2-1)(q^2-1)
�Aを代入すると、
5(2p^2-1)-3p(2p^2-1)=4√{(2p^2-1)^2-1}-3√(p^2-1){(2p^2-1)^2-1}
10p^2-5-6p^3+3p=4√(4p^4-4p^2)-3√(p^2-1)(4p^4-4p^2)
-6p^3+10p^2+3p-5-2p√(p^2-1)+3･2p(p^2-1)=0
10p^2-3p-5=2p√(p^2-1)
100p^4-60p^3-91p^2+30p+25=4p^2(p^2-1)
96p^4-60p^3-87p^2+30p+25=0

>>125
(1,1)に分裂を適用して(1,1)が消え(1,2)と(2,1)に生まれる
次に(1,2)に分裂を適用して(1,2)が消え(1,3)と(2,2)に生まれる
次に(2,2)に分裂を適用して(2,2)が消え(2,3)と(3,2)に生まれる
最後に(2,1)に分裂を適用して(2,1)が消え(3,1)と(2,2)に生まれる
これで(1,1)(1,2)(2,1)からは逃げ出せる

前>>137
>>101
96p^4-60p^3-87p^2+30p+25を微分して=0とすると、
384p^3-180p^2-174p+30=0
128p^3-60p^2-58p+10=0
64p^3-30p^2-29p+5=0
p≒1.2

前>>139
>>137からやりなおし。
>>101
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2q/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√(q^2-1)}+{p√(q^2-1)-q√(p^2-1)}/2――�@
2p^2-1=q――�A
�Aを�@に代入すると、
S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=2√(2p^2-1)/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-√{(2p^2-1)^2-1)}+[p√{(2p^2-1)^2-1}-(2p^2-1)√(p^2-1)]/2
=2√(2p^2-1)/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)+[2p^2√(p^2-1)-(2p^2-1)√(p^2-1)]/2
=2√(2p^2-1)/3-14/27+(5/6)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)+√(p^2-1)/2
=(2/3)√(2p^2-1)-14/27+(4/3)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)――�B
点Qでの曲線の傾きは、
(1/2)2q/√(q^2-1)=q/√(q^2-1)
直線PBの傾きは、
{4/3-√(p^2-1)}/(5/3-p)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
これらが等しいから、
q/√(q^2-1)={4-3√(p^2-1)}/(5-3p)
q(5-3p)={4-3√(p^2-1)}√(q^2-1)
5q-3pq=4√(q^2-1)-3√(p^2-1)(q^2-1)
�Aを代入すると、
5(2p^2-1)-3p(2p^2-1)=4√{(2p^2-1)^2-1}-3√(p^2-1){(2p^2-1)^2-1}
10p^2-5-6p^3+3p=4√(4p^4-4p^2)-3√(p^2-1)(4p^4-4p^2)
-6p^3+10p^2+3p-5-4･2p√(p^2-1)+3･2p(p^2-1)=0
10p^2-3p-5=8p√(p^2-1)
100p^4-60p^3-91p^2+30p+25=64p^2(p^2-1)
36p^4-60p^3-27p^2+30p+25=0
左辺を微分すると、
144p^3-180p^2-54p+30=0
24p^3-30p-9p+5=0

>>113
(2)の答えは５だ。
〇〇
��〇〇
が全消し不可(上が虫ね。)
４か所以下ならすべて全消し可能。
証明ながい。
気力がわけば書きます。

>>113
まず以下の証明の図の読み方の説明。
生命体を虫と呼ぶ。
◯は虫のいる点。
ーは虫を駆除する必要のある点、
㊀はその駆除する必要がある点に虫が現時点でいる状態である。
この虫を分裂させて㊀を消去する手順の有無を議論する。
コレらを格子状にならべた図式でAにおいて、そのような手順があるとき、その手順の最小値を最小駆除手数と呼ぶ。
存在しないときは無限大とする。
そのような図式X,A,B,C,‥においてXの最小駆除手数がA,B,C,‥の最小駆除手数の最小値以上のときXはA,B,Cに還元されると呼び、X|A,B,C,‥と表す。
左辺の最小駆除手数が右辺のそれの最小値より真に大きいとき強還元と呼ぶ。

証明を完成させる。
Aの図の最小駆除手数が有限とする。
�@によってAはBに還元されるらBのそれも有限である。
還元を"合成"することにより�A〜�FによってBはB自身に還元される。
すなわち
B|B
なる形の還元を得る。
当然左辺の最小駆除手数と右辺の最小駆除手数は等しい。
しかし先の"合成"において右辺のBへの還元は少なくとも�F以外の還元を一回以上含むので強還元である。
よって左辺の最小駆除手数は右辺の最小駆除手順より真に大きい。
これは矛盾である。

後は全ての要駆除地点数が4か所以下の場合駆除可能を示せば>>113の(2)は終わり。
それはさほど難しくない。

お？記念パピコ

前>>140つづき。
>>101
S=S(A,P)+S(P,Q)+S(Q,B)
=(2/3)√(2p^2-1)-14/27+(4/3)√(p^2-1)-2p√(p^2-1)――�B
24p^3-30p^2-9p+5=0――�C
�Bを微分すると、
S'=(2/3)(1/2)4p/√(2p^2-1)+(4/3)(1/2)2p/√(p^2-1)-2√(p^2-1)-2p(1/2)2p√(p^2-1)
=(4p/3)√(2p^2-1)+(4p/3-2-p)√(p^2-1)
=(4p/3)√(2p^2-1)+(p/3-2√(p^2-1)=0
4p√(2p^2-1)=(6-p)√(p^2-1)
16p^2(2p^2-1)=(p^2-12p+36)(p^2-1)
32p^4-16p^2=p^4-12p^3+36p^2-p^2+12p-36
31p^4+12p^3-51p^2-12p+36=0――�D

ω_Nを半径1のN次元空間球({x∈R^N | |x|=1})の体積(N次元ルベーグ測度)とする

(1) 急減少関数f:[0,∞)→Rに対して、
∫_R^N f(|x|) dx=Nω_N ∫_0^∞ r^(N-1) f(r) dr
となることを示せ

(2)ω_Nを求めよ

球？球面？

>>153
すみません
修正します
球{x∈R^N | |x|≦1}です

>>152
(1)
M=S^(N-1)とおき、Nの体積形式をηとする。
R×N→R^Nを(r,θ)=rθで定めればR^Nの体積形式はr^(N-1)ηdrである。
よって
∫[x∈R^N]f(|x|)dx
=∫[r>0,θ∈S^(N-1)] f(|rθ|)r^(N-1)ηdr
=∫[θ∈S^(N-1)]η∫[r>0] r^(N-1)f(r)dr
=vol(S^(N-1))∫[r>0] r^(N-1)f(r)dr
である。
一方で
ω_N
=∫[x≦1]1dx
=∫[0<r<1,θ∈S^(N-1)] r^(N-1)ηdr
=∫[θ∈S^(N-1)]η∫[0<r<1] r^(N-1)dr
=vol(S^(N-1))/N
により主張は成り立つ。
(2)
f(x)=exp(-x^2)とすれば
∫[x∈R^N]f(|x|)dx
＝(∫[t∈R]exp(-x^2)dt)^N
＝π^(N/2)、
∫[r>0]r^(N-1)exp(-r^2)dr
=∫[t>0]t^((N-1)/2)exp(-t)t^(-1/2)dt/2
=(1/2)∫[t>0]t^(N/2-1)exp(-t)dt
=Γ(N/2)/2
であるから(1)により
ω_N=2π^(N/2)/(NΓ(N/2))=π^(N/2)/Γ(N/2+1)。

ID:PHS8a67O
お疲れ様です。すごい！

>>155
正解です

(1)は測度論的にするのであれば
H^(N-1)を(N-1)次元ハウスドルフ測度として
Coarea formula
∫_R^N f(x)|∇u(x)|dx=∫_R∫_{u=t} f(x) dH^(N-1)(x)dt
においてu(x)=|x|とすれば極座標の積分が導けます

(H^(N-1)({x∈R^(N-1) | |x|=t })=(d/dt){ω_N t^N} となることもCoarea formulaから導ける)

R^3\{0}は直線の直和か？

>>81
１００万回のシミュレーション結果

> k=1e6
> re=replicate(k,sim())
> mean(re[1,])
[1] 0.124957
> mean(re[2,])
[1] 0.08093
> mean(re[3,])
[1] 0.04078

直感通り、１，２，３の順番になった。

>>92
　p = 256/(6^6) = 0.0054869684499314
　q = 128/(6^6) = 0.0027434842249657
より
　P(re[2,]) = 15p -45p^2 +10p^3 = 0.0809513716761635
　P(re[3,]) = 15q -45q^2 +10q^3 = 0.0408137681123003

1. の５連(B)は、複数回現れる場合は重複しうる。

5連Bを1回以上含む確率
s1 + s2 + s3 + s4 = 32 / 243 = 0.1316872428

5連Bを2回以上含む確率
　s2 + 3s3 + 6s4 = 408/243^2 = 0.006909515825

5連Bを3回以上含む確率
　s3 + 4s4 = 2368 / 243^3 = 0.000165408747842

5連Bを4回含む確率
　s4 = 4912 / 243^4 = 0.000001408747842

よって 1．の起こる確率は
　P(re[1,]) = s1 + s2 + s3 + s4 = 435643544 / 243^4 = 0.124941348

訂正
5連Bを1回以上含む確率
s1 + ２s2 + ３s3 + ４s4 = 32 / 243 = 0.1316872428

二次元平面上の閉曲線Aに対して、
Aの直径をA上の2点間の距離の最大値としたとき、
(Aの長さ/Aの直径)を「A周率」と定義する.
Aが凸閉曲線であるとき、A周率の最大値を求めよ.

また、その最大値を達成する曲線の中で、囲まれる面積を最小にするものを求めよ.

∞じゃないの？
直径1の円盤内にいくらでも長さの長い単純閉曲線いれられるのでは？

>>169
「凸」

i see

まずJordan凸閉領域Δに対しΔ(t)を
Δ(t)={p | d(p,Δ)≦t}
で定める。
この時vol(Δ(t))はtの多項式で
vol(Δ(t))=πt^2+l(∂Δ)t+vol(Δ)
である。(l(∂Δ)は∂Δの長さ)
実際折れ線の時明らかで一般のJordan凸領域の場合には折れ線近似で示される。
今Δが直径dの円盤Dに含まれる時
vol(Δ(t))≦vol(D(t))
が任意のt>0について成立するから特に
l(∂Δ)≦l(∂(D))=πd/2
である。
よって周率の最大値はπ/2である。

>>172
円の時、周率はもちろんπなので不正解です

>>172
それに、曲線の直径がdだからといって、その曲線が直径dの円に入るとは限りません(正三角形とか)

πとπ/2まちがえたのは単なる勘違いです。
そうか、直径がdだから直径dの円盤に入るとは限らないか。

前>>159
>>101【問題】
>>111>>165
x^2-y^2=1,x＞0
A(1,0)
P({3^(1/3)+1/3^(1/3)}/2,
{3^(1/3)-1/3^(1/3)}/2)
Q({3^(2/3)-1/3^(2/3)}/2,
{3^(2/3)-1/3^(2/3)}/2))
B(5/3,4/3)
5/3=(3+1/3)/2
4/3=(3-1/3)/2
AB間に面積的に等間隔にP,Qをとると、三乗根とその逆数の相加平均――という結果を受け入れるしかないなぁ。

前>>176
>>101正攻法で解く。
y=√(x^2-1)≧0,x≧1
=(x^2-1)^(1/2),x≧1
A(1,0)
P(p,√(p^2-1))
Q(q,√(q^2-1))
B(5/3,4/3)
S(A,P)=∫[x=1→p]{(x^2-1)^(1/2)-(p^2-1)^(1/2)(x-1)/(p-1)}dx
=[x=1→p]{(x^2-1)^(3/2)/(3/2)}/(2x)-(p^2-1)^(1/2)x^2/2(p-1)-x/(p-1)
=(p^2-1)√(p^2-1)/3p-(p^2-1)^(1/2)p^2/2(p-1)-p/(p-1)
-1/3+(p^2-1)^(1/2)1^2/2(p-1)+1/(p-1)

S(P,Q)=∫[x=p→q][(x^2-1)^(1/2)-{(q^2-1)^(1/2)-(p^2-1)^(1/2)}(x-p)/(q-p)-(p^2+1)^(1/2)]dx

S(Q,B)=∫[x=q→5/3][(x^2-1)^(1/2)-{(4/3)-(q^2-1)^(1/2)(x-5/3)}/(5/3-q)-4/3]dx
S(A,P)=S(P,Q)より、
――�@
S(A,P)=S(Q,B)より、
――�A
�@�Aより、p=　,q=
∴P,Qの座標は、
P(　,　),Q(　,　)

>>168がどう解けばいいのか分からん...
とりあえずx^p+y^p=1のハイパー楕円で数値計算してみたけどp=2が最小になりそうではあった

>>178
最小→最大

面白いかどうか人に依るけど、これの逆行列って手計算でいける？
https://i.imgur.com/TWuw4wX.jpg

>>168
とりあえず前半ができたかな？
適当に近似してC^∞で考える。
diam=2とする。
領域はa(-π/2)=a(π/2)=0である関数を用いて領域
-1+a(t)≦xcos(t)+ysin(t)≦1+a(t)
にあるとしてよい。
直線族xcos(t)+ysin(t)=1+a(t)の包絡線を計算すると
x=acos(t)-a'sin(t)、y=asin(t)+a'cos(t)
となりこの包絡線の長さは
∫(1+a+a'')dt
である。
同様に直線族xcos(t)+ysin(t)=-1+a(t)の包絡線の長さは
∫(1-a-a'')dt
となり、これら二曲線の長さの和は2πである。
よって元の曲線の長さも>>172により2π以下とわかる。
以上により周率の最大値はπである。□

>>180
・ブロック分割して直接計算（左下の漸化式）
・基本に戻って？掃き出し法
・>>181をチラ見した後（）なら、見当をつけて帰納法
自分で言うのもアレだが、どれもつまらない
Cartan行列もどきなので、何か上手い手があるのかもしれない

>>182
例えばa(t)=cos(t)とすれば
包絡線は(x-1)^2+y^2=1になってしまい、直径2の凸図形が全て入るとは限らないと思うのですが

>>184
すみません勘違いしました

つまり直径2の凸図形を任意に用意して、内部の点Oからx軸となす角度tの直線L(t)を引いて凸図形との二交点ABの距離は常に2以下なので|OA|≦1+a(t)、|OB|≦1-a(t)となるように関数a(t)が取れて、

さらに、その凸図形内の点(x,y)をL(t)に射影したときのOからの長さが常に1-a(t)、1+a(t)で抑えられるということですか？

>>185
そうです。
周の長さがa(t)の取り方によらず常に2πになるみたいです。

>>186
なるほど 素晴らしい解答ありがとうございます

ちなみに想定していた解法は以下の通りです

凸曲線C上の点pにおける接線lの平行線l’がC上の別の一点のみと交わるとき、lとl’の距離をW(t)とする.(Cの点pにおける幅)

曲線を{p(t)}_{t∈[0,2π]}として、p(t)における内向き法線ベクトルn(t)がn(t)=(cost,sint)となるようにパラメータ付ける. このとき、W(t)=-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)となる.

したがってLをCの長さ、vを単位接ベクトル、kを曲率とすれば、
∫_0^π W(t)dt
=∫_0^π {-p(t)・n(t)-p(t+π)・n(t+π)}dt
=-∫_0^(2π) p(t)・n(t) dt
=-∫_0^L p(s)・n(s) k(s) ds (孤長パラメータに変換)
= -∫_0^L p(s)・v’(s) ds
= ∫_0^L p’(s)・v(s) ds
= ∫_0^L v(s)・v(s) ds
=L となる.

よって、max_{t∈[0,2π]} W(t)≦直径 に注意すれば、

周率=長さ/直径≦ ∫_0^π W(t)dt/ max_{t∈[0,2π]} W(t)
≦π* max_{t∈[0,2π]} W(t)/max_{t∈[0,2π]} W(t)=π. ◽︎

ちなみにこのことから、等号が成立する必要十分条件は凸曲線が定幅曲線、ということになります

したがって>>168後半の問題は「直径固定の定幅曲線で囲まれる面積が最小のものを求めよ」という問題になります

>>187
後半ヒントおながいします。

前>>177
>>111なんで急にlog3が出てきたの？
1/xを積分したの？
積分したら負けって言ったのに。気にlog。
log3/3=0.159040418……
2log3/3=0.318080836……
グラフを描いたらなんかわかる可能性はあるけど。なにかを知ってて意図的に出したとしか思えない。

前>>189
>>112は公約どおり積分してないみたいだけど、
expのとこが怪しい。
気にlog出したりはしてないけど、気に3^(1/3)を出してる。
数学は答えを言い当てる理科や社会とは違うはず。
論理的なつながりで答えを導かないと説得力がない。
正解とは言えない。

cosh(t)=5/3を解いてるだけやん

>>188
すみませんがこれは前半ほどサクッとは解けません
というより名前の付いた定理です(ググれば出ます)
ポントリャーギンの最大値原理を使って示します

前>>190
急に(きゅうに)を書きこむと、なぜか文字化けして、
× 気に(きに)になるけど、
○ 急に(きゅうに)です。

>>191点Bのx座標が5/3というのはわかります。
なにを解いてlog3が出てきたのかがわかりません。1/xを積分したのがlog|x|だというのは知ってます。

だから
cosh(t)=(e^t+e^(-t))/2=5/3
sinh(t)=(e^t-e^(-t))/2=4/3
を解く。

0630
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

n個の実数 a_i (i=1,2,...n) から任意のx,y を選んでリストから消し、f(x,y)を付け加える操作を繰り返す
と最終的に一つの実数が残ります。最終的に残る値が選び方によらずに同一の値になるような
f(x,y)の必要十分条件を求めてください。

(R,f)が可換半群になること

前>>193
>>194cosやsinやeが出てくるとわかりにくいので、3つの領域の面積を足すか、等しいとおくか、そっちの方針で積分の仕方を教えてもらえませんか？
S=∫[x=1→p](x^2-1)^(1/2)dx+∫[x=p→q](x^2-1)^(1/2)dx+∫[x=q→5/3](x^2-1)^(1/2)dx
-(1/2)(p-1)√(p^2-1)
-(1/2)(q-p){√(p^2-1)+√(q^2-1)}
-(1/2)(5/3-q){√(q^2-1)+4/3}
積分関数は微分したもの(2x)で割るんじゃなく、微分したもの(2x)を掛けるんでしたか？　割るとすべての項が負になったので、これは違うなと。

>>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。

>>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。

>>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。

>>198
面積だすならその式で合ってる。
どうしても積分したいならそこで普通は
x=cosh(t)
で置換する。
x=(1/2)(t+1/t)
と置換する手もある。
しかし求めたいのは面積ではなく、面積の最小値を与えるp,qの値なのだから求めたあとp,qどっちかの関数として微分する事になる。
その瞬間苦労して積分した∫√(x^2-1)dxのところは消えてしまう。
残るのは>>198の式の三角形や台形の面積(の導関数)。
なので∫√(x^2-1)dxのとこは無視できる。
やりたければどうぞ。

スマソ。
あまりの重さに連投になってしまった。orz

前>>198え、あってんの!?
やったー!!　やっぱ積分したら負けなんですね。積分しないで解けるってことですね。せやて積分したら3項とも負になったでね。連投いいですよ。べた褒めみたいでとてもいいです。

で、どうやってp,qを出すかですが、どうしたらいいんですか？　eとかcosとかsinとかなしで。置換してもいいけどcosとかはやめて。ていうか積分なしで。

>>204
だから>>198のS=の右辺をp,qの2変数関数とみなして増減を調べる。
第1項〜第3項の和はp,qに無関係な定数。
未知数二つなので式二つ必要。
まずqを定数とみなしてpのみの関数とみなして微分して0が必要でそれで一個。
次にpを定数とみなしてqのみの関数とみなして微分して0が必要で二個目。
正しく解けは解ける。

前>>204
>>205
S'(p)=0より、――�@
S'(q)=0より、――�A
�@�Aより、p=　q=　
積分したら負け、微分したら勝ち。
なるほど。面白い。

nを自然数とする。ある多項式F(x)について、xの次数がnの倍数である項の係数の和をf(n)とする。ただし定数項はxの次数が0である。
(0) F(x)=(1+x)^7 のとき f(2), f(3)の値を求めよ。また
(1) 素数pについて、
f(p)=(1/p)*{Σ[k=1→p] F(cos(2kπ/p)+isin(2kπ/p))}
で表されることを示し、
(2) f(n)=(1/n)*{Σ[k=1→n] F(cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n))}
で表されることを示せ。

>>207
各nについてf(n)を多項式環からの写像と見なせば線形写像であるから単項式について示せば十分。
以下ζ=e^(2πi/n)とする。
F(x)=x^tとする。
tがnの倍数でないとき
(1/n)ΣF(ζ^k)=(1/n)(1-ζ^n)/(1-ζ)=0=f(n)。
tがnの倍数のとき
(1/n)ΣF(ζ^k)=(1/n)n=1=f(n)。

>>208
すいません、高校数学の言葉に焼き直すとどうなりますか...？

nを2以上の整数、kを0以上n以下の整数とする。部屋には男子と女子が何人かいて、どの男子と女子についても、互いに知り合いであるか知り合いでないかのどちらかである。
どの男子もちょうどn人の女子と知り合いであり、どの女子もちょうどn人の男子と知り合いである。
また、どの2人の男子においても、共通の知り合いである女子はちょうどk人である。このときどの2人の女子においても、共通の知り合いである男子はちょうどk人であることを示せ。

>>196
f(x,y)=F^(-1)(F(x)+F(y)) (F^(-1)は逆関数、F(x)は任意の関数)
Σ(i=1,2,...n)F(a_i)　が入れ替えの操作で不変量となるから

日本シリーズは先に4勝したチームが優勝。
勝率はそれまでの通算勝率に従うとする。引き分けはないものとする。
勝負がつくごとに次回の勝率が変化する。
シリーズ開始前の通算成績はA:2勝、B:4勝であった。
今シリーズでAが先勝（第一試合に勝利）した。
この時点でどちらが優勝するか賭けをする。
A,Bのどちらに賭ける方が有利か？"

＞勝負がつくごとに次回の勝率が変化する。

前>>206
Bで。

>>210
男の人数をp、女の人数をqとしてp行q列行列Aを
Aij=1 男iと女jが知り合いのとき
. 0 otherwise
で定める。
またAの転置行列をA~で表すとする。
条件より全行ベクトルの和は全成分がnの1行q列のベクトルであり、その成分の和はqnである。
同様に全列ベクトルの和は全成分がnのp行1列のベクトルであり、その成分の和はpnである。
これらが等しいからp=q。
p次単位行列をI、全成分が1のp次正方行列をBとすれば条件より
AB=BA=nB
AA~=(n-k)I+kB
である。
よってAはBと可換であり、したがって(n-k)I+kBとも可換である。
ここでBはrank1の行列でその固有値pは(k-n)/kと一致しないから(n-k)I+kBは可逆である。
よってAも可逆であり
A~=A^(-1)((n-k)I+B)
もAと可逆である。
以上によりA~A=(n-k)I+B
であり主張は示された。□

>>213
第二試合にAが勝つ確率は通算勝率の3/7
Aが勝ったら第三試合に勝つ確率は4/8
Aが負けたら第三試合に勝つ確率は3/8
になるという設定。

>>212
同じになった
計算間違えているとするとなかなか奇跡的ｗ

>>217
私の計算でも0.5になった。

じゃあ合ってるのか
何かうまい考え方をすると簡単に五分五分だとわかることなんだろうか

100万回のシミュレーションでも0.5みたい。

> rm(list=ls())
> N_series <- function(A=1,B=0,w=4,a=2,b=4,k=1e6){
+ sim <- function(){
+ while(A < w & B < w){
+ p=(A+a)/(A+B+a+b)
+ g = rbinom(1,1,p)
+ if(g==1){
+ A=A+1
+ }else{
+ B=B+1
+ }
+ }
+ A > B
+ }
+ mean(replicate(k,sim())) # Pr[A wins]
+ }
> N_series()
[1] 0.500051

>>219
実はそれが知りたくて投稿してみた。

nを2以上の自然数として(2n-1)戦でn勝した方が勝ちというシリーズで1戦目を負けた方のチームの勝率がn/(2n-1)になるとシリーズ優勝の確率は同率になるのかな？

>>212

不透明な壺と透明な壺を用意し、どちらにも、ｎ個の白玉とｍ個の黒玉を入れておく。（ｎ、ｍは正整数）
「不透明な壺に手を入れ、よくかき混ぜて球を一つ取り出し、色を確認して戻し、
　同じ色の球を透明な壺から不透明な壺へ一つ移す。」
という操作を繰り返し行い、不透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？

（恐らく）答え　ｎ，ｍの値に関係なく　１／２

という問題の具体例版　だと思う。

誤：という操作を繰り返し行い、不透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？
正：という操作を繰り返し行い、　透明な壺から白玉の方が先に無くなる確率は？

前>>214
>>212え、Bのほうが有利なんじゃないの？
先にAが勝っただけで通算だとBのほうが勝率いいじゃん。第2戦は4/7の確率でBが勝つよ。Bが勝った場合、第3戦は5/8の確率でBが勝つ。Bが勝った場合、第4戦は6/9=2/3の確率でBが勝つ。Bが勝った場合、第5戦は7/10すなわち7割の確率でBが勝って日本一。
そろともなにか？　負ける場合も考えると勝つ確率は変わると言うのか？　じゃあ考えたら負けだ。7割勝つ。信じるしかない。

>>225
>先にAが勝っただけ
という時点で運命が決まったんじゃないの？

０．５を算出する前提

Aが優勝する以後の勝敗の順列（１を勝ちとする）は以下の２０通り。

> (dat3=dat[apply(dat,1,sum)==3,]) # Aあと３勝の仕方　末尾に連続する0は無視
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 0 0 0 1 1 1
[2,] 0 0 1 0 1 1
[3,] 0 0 1 1 0 1
[4,] 0 0 1 1 1 0
[5,] 0 1 0 0 1 1
[6,] 0 1 0 1 0 1
[7,] 0 1 0 1 1 0
[8,] 0 1 1 0 0 1
[9,] 0 1 1 0 1 0
[10,] 0 1 1 1 0 0
[11,] 1 0 0 0 1 1
[12,] 1 0 0 1 0 1
[13,] 1 0 0 1 1 0
[14,] 1 0 1 0 0 1
[15,] 1 0 1 0 1 0
[16,] 1 0 1 1 0 0
[17,] 1 1 0 0 0 1
[18,] 1 1 0 0 1 0
[19,] 1 1 0 1 0 0
[20,] 1 1 1 0 0 0

Aが優勝する以後の勝敗の順列＝Aが優勝するときの第二試合以後の勝敗の順列

>>223
続き

白玉がｎ個出る前に、黒玉がｋ(k<m)個でる確率は
黒玉が連続してk個出て、白玉が連続してn個出る確率のC[n+k-1,k]倍なので、

C[n-1+k,k]*{m*(m+1)*...*(m+k-1)}*{n*(n+1)*...*(2n-1)}/{(n+m)*(n+m+1)*...*(2*n+m+k-1)}
=C[n-1+k,k]*P[m+k-1,k]*P[2n-1,n]/P[2n+m+k-1,n+k]

黒玉が0個からm-1個までの和を取れば、求める確率なので、

Σ[k=0,m-1]{C[n-1+k,k]*P[m+k-1,k]*P[2n-1,n]/P[2n+m+k-1,n+k]}

が求めるもの。
m,nに適当な数字を入れてWolfram先生に計算してもらったところ、
m,nに関係なく、　1/2　になるようです。予想は正しそうですが、証明はちょっと難しい。

前>>225
>>226それはどうかな。
俺は俺が勝つために投げたし、みんな勝つために打ったり守ったり走ったりしたと思う。結果的に7割勝つとわかった。それ以上でもそれ以下でもない。
最初Aに負けて、どうなるかと思った。もうだめなんじゃないかとさえ思ったよ。
それで運命が決まったとは思わないけど、運命というものがあるのなら、あるいはそうかもね。

超幾何定理の香りが漂うような‥‥

>>230
優勝するにはAはあと３勝必要だがBはあと４勝必要と運命づけられちゃったと言えない？

ポリヤの壺っていう有名問題？

前>>230
>>232だから、運命なんてわかんないよ。勝ってるうちに強くなるかもしれないし、試合の前とあとではもう違うんだぜ。運命なんて変えてやるよ。みんなそう思ったと思う。

>>229
ｍ，ｎを１〜１０からランダムに選んで１０万回のシミュレーションをしてみました。

Polya_Urn <- function(k=1e5){
mn=sample(1:10,2)
m=mn[1]
n=mn[2]
a=rep(0:1,c(m,n))
b0=b1=0
sim <- function(){
while(b0<m & b1<n){
b=sample(a,1)
a=c(a,b)
if(b==1){b1=b1+1}else{b0=b0+1}
}
b1==n
}
c(Prob=mean(replicate(k,sim())),m=m,n=n)
}

> Polya_Urn()
Prob m n
0.50125 8.00000 10.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.50022 9.00000 5.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.50065 3.00000 8.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.49939 2.00000 4.00000
> Polya_Urn()
Prob m n
0.49657 1.00000 9.00000

ｍ，ｎに関わらず、０．５になるようです。

>>234
ターミネーターのセリフだな。
The future is not set. There is no fate but what we make for ourselves.

計算するまでもなく1/2になるとわかるような考え方がありそうに思えるのだが全然思いつかない

確率 n/(n+m)　で白玉を引いて壺の中の白玉が一つ増える、あるいは、
確率 m/(n+m)　で黒玉を引いて壺の中の黒玉が一つ増える、と言う操作（現象）を

確率1で、白成分が、n/(n+m)、黒成分が、m/(n+m)　で構成されているキメラ玉を壺に投入する操作と同等
と考えると、白玉が2n個(相当)になるのと、黒玉が2m個(相当)になるのは、同時なので、
どちらが勝つのかが 1/2 づつになるのは当然と　強弁できる　かな．．．？

ポリアの壺問題の帰納法も計算も要らない証明

http://shiatsumat.hat　enab　og.com/entry/2014/12/08/183943　（空白は除去してください）

ってあるのだけど、私には理解できなかった。

>>239

urlがうまく貼れなかったので

ポリアの壺問題の帰納法も計算も要らない証明

で検索してください。

>>239-240
この問題はポリヤの壺の発展形。
残念ながらそのリンクの先の証明だけでは無理です。

>>225
優勝するにはAは現時点の勝率3/7であと３勝、Bは現時点の勝率4/7あと４勝しなくちゃいけない

どちらが有利か、という問題だと思う。

前>>234
>>242Bのほうが有利だね。たとえAが第1戦から3連勝したって最終戦に勝つ確率は6割。それに比べBは先にも言ったように7割。わずかだがBの監督が宙に舞う姿を想像するね。

前>>243
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Aが勝って優勝する確率は(3/7)(4/8)(5/9)=5/42――�@
第2戦Aが勝って第3戦A級が勝って第4戦Bが勝って第5戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)=1/21――�A
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Bが勝って第5戦Bが勝って第6戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)(5/11)=5/231――�B
第2戦Aが勝って第3戦Aが勝って第4戦Bが勝って第5戦Bが勝って第6戦Bが勝って第7戦Aが勝って優勝する確率は、(3/7)(4/8)(4/9)(5/10)(6/11)(6/12)=1/77――�C
�@+�A+�B+�C=1/6+8/231=93/462=31/154
Aが優勝する確率は3100/154=1050/77＜(2割ない)
Bのほうが有利。

>>243
>たとえAが第1戦から3連勝したって

Aはシリーズ開始後はあと３勝すればいいのだから
Aの勝ちを１負けを０で表示すると
Aが優勝するには第２試合以後は
> dat3[17:20,]
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 1 0 0 0 1
[2,] 1 1 0 0 1 0
[3,] 1 1 0 1 0 0
[4,] 1 1 1 0 0 0
の４通り

Bはあと４勝しなくちゃいえないからAが第1戦から3連勝したら
２戦目以後は
1 1 0 0 0 0 （Aの勝ちが1)
でしか優勝できない。


前者は0.1991342
後者は0.01515152
となる。

計算式は
g <- function(x){ # Aの勝敗数列の起こる確率
(tva=cumsum(x)+3) # Aの通算の勝利数
win=c(3,tva)/(7:13) # 試合前の勝利確率
lose=1-win # 負ける確率
(y=rbind(win,lose)[,1:6]) #最終勝率は不要なので除く
p=rep(1,6)　# p : 通算勝率の入れ子
for(i in 1:6){
j=ifelse(x[i]==1,1,2) # 勝負によりwin/loseを選択する
p[i]=y[j,i]
if(tva[i]==6) break #　シリーズ前２勝＋シリーズ４勝で終了
}
cat(p,'\n') # 通算勝率の変遷
return(prod(p)) # その変遷が起こる確率
}
sum(apply(dat3,1,g)) # 可能な順列の確率を総和

>>244
>218ですが、計算ありがとうございました。
きりのいい数字になってびっくりしました。

>>244
>各因子を分数として見ると、各々は異なるが、分子側全体、分母側全体として見ると、これらは数字の並べ替えに過ぎず、全て同じ値を持つ。

全く気づきませんでした、プログラムできればいいと愚考してましたので。

>>244
正解だと思うのですが
5/42+1/7+10/77+25/231=1/2
って偶然でしょうか？
>219の疑問は残ります。

>>245
いつも楽しいレスをありがとうございます

>244が正解だと思います。

A:現時点での勝率は3/7であと3勝が必要
B:現時点での勝率は4/7であと４勝が必要
勝率は通算成績で決まり現時点でA３勝B４勝である。

>>249

>>244の内容は　>>223の投稿時に作っていたものです。数字の羅列が主なので、結論としては同じ、>>223
のみの投稿にしました。しかし、その内容や考え方は、>>229で生かされています。
よかったら、過去の投稿も読み直してみてください。

偶然か？　との疑問がありましたが、一定の条件下で起こる必然現象でしょう。
これが「ポリアの壺問題」の帰結です。

あるいは、もっとシンプルに、次のような思考実験が考えやすいかもしれません。

直方体型の水槽がある。水槽には水が入れられており、水は「（垂直な平面による）仕切り」により
二つの区画に分けられている。この仕切りは、自由に動くようになっている。単に位置が可変というだけでは無く、
二つの区画に分けられている水の「高さ」が同じになるように、自動的に動くようになっている。

この水槽に水を入れ、外に置いておいた。昨夜、雨が降っていたので、水槽に入っている水の量が増えているはずだが、
仕切りの位置は、どうなっているだろうか？　
（仕切りの右側に雨粒が入るか、左側に入るかは、各区画の面積に比例、つまり、各区画に入っている水の量に比例する）

答え　ほとんど動いていないはず。

そう？
どっちかにビチャってよっちゃってそうだけど。

https://i.imgur.com/JwmkoBt.jpg

30°

>>253

じゃ、こんなのはどう？

交換してもらった名刺が１０００枚ある。五十音順に並べることにした。
１００枚ほど並べ終わった時、何を思ったか、自分の名刺も加えてみた。
上から３０％位の位置に挿入された。
さて、１０００枚全てを並べ終わったとき、自分の名刺は、どの辺りにあるか？

>>254
どうするのかね？

>>256
それならいけるのかな？
しかし本問は最初の発生した偏りが系に正帰還して偏りを拡大させていくモデルだからなぁ。
例えば今回は(a,b)の状態から始めてa+b-1回目の時点では
Aが起こる回数がa回以上の確率
=Bが起こる確率がb回以上の確率
=1/2
という事が成り立つようだけど、この状態は本当にずっとたもたれるのかな？
例えばna+nb-1回やったとき相変わらず
Aが起こる回数がna回以上の確率
=Bが起こる確率がnb回以上の確率
=1/2
という関係はたもたれ続けるのかな？
yesのような、noのような‥‥

今(a,b,n)=(2,1,2)でやってみたらわずかにaが4回以上起こる確率の方がbが2回以上起こる確率を上回ってる気がする。
手計算だから間違ってるかもだけど。
やっぱり偏りは拡大していく気もする。

正弦定理から
sine(?) = sine(36°)/sine(72°)*sine(84°- ?)
これをコンピュータで解いて?=30

>>260
角度を計算するRのスクリプト
foo <- function(x=36,y=24){
sine <- function(x) sin(x/180*pi)
f <- function(z) sine(z) - sine(x)/sine((180-x)/2)* sine(180-y-(180-x)/2-z)
round(uniroot(f,c(0,180))$root,3)
}

> foo(36,24)
[1] 30

>>254
複素平面で考えた方が楽かな？

複素数平面でもベクトルでも三角比でも初等幾何で解く事にこだわらなければ似たり寄ったり。
でも初等幾何のテクニック勉強するのってどっかで見切りつけないとキリないんだよな。

https://i.imgur.com/5h7NnER.jpg

前>>265
>>254ありきたりな正弦定理はおもしろくないんでこのスレじゃNG。
いよいよメネラウスやっとくれ。

前>>266
84-？=24+？
2？=84-24
？=60/2=30
疑う余地はない。
その前の二等辺三角形をメネラウスでお願いします。

>>266
俺はありきたりな偏角とプログラムを使うとこういうのが図示計算できて楽しめた。

https://i.imgur.com/RMvD2IF.jpg

>>263
パターンは絞れるんじゃない？
正三角形を作るとか

>>264
0.851606

>>269
それが数学を勉強していくのに不可避ならやるんだけど、少なくともこの手の問題は解答するためのアルゴリズムも見つかってるので数学の研究のメインに上がってる事もないし。
ソロバンみたいなもの。
勉強して無駄とは言わないが、あまり不必要に難しすぎるやつやってもしょうがない。

>>264
ω=exp(2π/3i)、log(x)を0以下の実数を除くところで定義するとして
Σω^n/n=-1/ωlog(1-ω)‥‥�@
Σω^(2n)/n=-1/ω^2lig(1-ω^2)‥‥�A
(ω�@-�A)÷(1-ω)=答え

前>>267
>>254題意の図を内角が左上A72°左下B96°右下C78°右上D84°となるよう4頂点を決め、ABの中点をE、ADの延長線とBCの延長線の交点をF、ACとBDの交点をGとし、BAの延長線とCDの延長線の交点をH、AE=BE=1、BG=xとすると、
ADは一辺ABの正五角形の対角線だから1+√5
AD=BD=BC=1+√5
Aを起点にメネラウスの定理より、(AG/GC)(CB/BF)(DDA)=1――�@
Bを起点にメネラウスの定理より、(BG/GD)(DA/AF)(FD/DB)=1――�A
F(12°)を起点にメネラウスの定理より、――�B
H(6°)を起点にメネラウスの定理より、――�C
�@�A�B�Cより、x=2
△ABGはAB=GBの二等辺三角形で∠BAG=∠BGA
84°-？=？+24°
2？=84°-24°=60°
∴？=30°
�Aと�Bが同じになったから�Cが必要で、これでできるだろう。正弦定理でもいいよ。x=2が言えれば。けどチェバとメネラウスだけで解けたらおもしろい。

前>>273
AB=GBさえわかれば答えは出る。メネラウスと考えるのが自然。AE=BE=1として、AD=BD=BC=1+√5
実際に比がわからなくても△ABGは二等辺三角形になるしかない。時間なければx=2しかない。チェバとメネラウスで二等辺三角形でいい。
∠BAG=∠BGA
84°-？=24°+？
2？=84°-24°
？=30°あってる。

前>>274わかったからこっちにも書く。
>>254別解。
折れ線の左上をA、右上をB、左下をCとすると、
AB=BC、∠ABC=36°
AB=BC=CD、∠BCD=36°となるDをとり、
AB=BC=CD=DE、∠CDE=36°となるEをとると、
AB=BC=CD=DE=EA、∠DEA=36°となる。
∠BAEの二等分線を引くとCDと直交し、折れ線の端に達するから、
？=90°-(36°+24°)
=30°
∴示された。

東京で高さ10mの垂直な梯子に上ると、地上にいる人より何秒早く初日の出を見ることができるか。
【条件】
地球を半径6400kmの完全な球体とする。
ビルなどの建物はない。
東京を北緯35度とする。
自転軸は23.4度傾いている。
公転による影響は無視する。
観測者の身長は無視する。
１日を23時間56分4秒とする。

>>276
地球半径をRとすると、高さhのところから地平線を見下ろす
角度θは、地心と観測者と地平線を結ぶ直角三角形を作れば
tanθ＝√(2hR-h^2)/R　
h/R<<1, θ<<1で近似すれば
θ≒√(2h/R)
ラジアンを秒角に直せば、
θ（秒角）≒2.06×10^5√ (2h/R)
h=10m,R=6.4×10^6mを代入して計算すると
θ≒364秒角
（ちなみに、地平線までの距離が√(2hR)≒3600√h メートル
　ってのは、豆知識）
あとは、しちめんどくさいので、だいたいで。
太陽の赤緯は無視して、緯度φでの、相当する日周運動の
回転角だけ求めると、
θ/cosφ ≒387秒角
地球の自転の角速度は360度/日=15度/時=15秒角/秒
で近似できるので、
387/15≒26秒だけ早く初日の出を拝める。

>>277
あ、間違えた。φに23.4度を入れちゃってたわ。 35度で計算
しなおすと、
θ/cosφ≒444秒角なので、
444/15=30秒だけ早く初日の出を拝める。

前>>275
30秒で10mは登れると思うけど、木登りするよりは地上で30秒待って拝むかな。

狼男が何人いるかが気になる。だれか明確な答えを出してほしい。スレは20ぐらいで埋もれてる。

三日目終わって村人全員死んだらしい。毎夜12時に集まって狼男をつきとめようとしたみたいなんやが衆人監視のもとやと襲いよらへんらしい。
でも変身したらわかるはずやし、俺は村人の4人に1人が狼男や思うんやが、正解はなんなのか、だれかが出した3人という答えはなんなのか、解答する村人が俺以外死んだのかおらんなってしもて、今なぞのまま年が暮れようとしとります。

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前>>279
>>253せやろ。俺も何べんか言うたんやで。Bのほうにビチャッて寄ってまうやんなぁ。

やっと>>223できた。
めちゃめちゃ難しい解答になったけど。
今日帰ったらできた解答あげます。

災害が発生していたるところに重症被災者がいる。消防署から出動して救急センターに患者を搬送する
消防署から救急センターへの距離は100km　救急車のガソリンは50L、患者を乗せない状態では燃費は10km/L、患者を乗せての燃費は5km/Lである
患者を救える地域の面積はいくらになるか？

3Lあれば10km往復できるという意味？

いや違う。
消防署と救急救命センターは離れてるのか。

燃費が同じなら消防署と病院を焦点とする楕円内になる
ところをひねったわけね。

現実問題としてはガソリンの残量でも燃費が変わるけど。

>>286
そういうことです。

>>286
＞ガソリンの残量でも燃費が変わる

どんな関係になるのでしょうか？

それが分かればそれを組み入れて計算してみたいので。

>>285
消防署から被災地に赴いてそこで被災者を収容して救急センターに送るという設定。

>>288
ちょっと、調べてみた

例えば、ガソリンタンクが60Lだとすると、レギュラーガソリンの1Lの重さは0.75kgなので、60Lが満タンになると45kg、半分の30Lだと22.5kgとなる。

　その差22.5kgがどのくらい燃費が悪化するのか気になるところだが、実は満タンにした場合と半分にした場合とでは、0.84％ほどしか燃費は悪化しないのだ。

https://bestcarweb.jp/feature/column/97520

カウンタックみたいに軽量本体＋大容量タンク＋ガソリンバラ撒きだと案外無視できないんでね

>>289
理解しますた。
つまりa=100kmとして

極方程式
r/10+√(r^2+a^2-2arcosθ)/5≦50
を満たす領域の面積を求めよ。

ですな。

消防署を原点、被災地の座標を(x,y)として
√(x^2+y^2)/10 + √((x-100)^2+y^2)/5 ≦　50
なのはわかるけど、
極形式は？？？

方程式　√(x^2+y^2)/10 + √((x-100)^2+y^2)/5 = 50をWolfram先生に解いてもらって
y=f(x)の形にして、積分して面積を求めると

> integrate(y,-100,700/3)$value*2
[1] 83693.05

１億回モンテカルロシミュレーション結果は
> k=1e8 ; mean(replicate(k,gc(runif(2,-Gas*FE1,Gas*FE1))))*(2*Gas*FE1)^2
[1] 83691.74

消防署から患者までの距離と患者から病院までの距離の２倍の和が、
消防署からたどり着ける最大距離に等しい地点の内側にあればいい。

なので、到達最大距離が病院までぎりぎり行ける程度だと、病院周
りのほぼ円形の領域をカバー（消防署からの距離はほぼ一定だから）。
到達最大距離が病院のはるかむこうまで行けるくらいあると、中間
点を中心にしたほぼ円形の領域をカバー（どっちの地点からの距離
もほぼ一定だから）。

最大到達距離が病院までの距離の２倍に等しい場合が一番円形から
はずれそう。

wolfram先生に書いてもらうとほぼ円なのはわかる。
でも円じゃないよね？
多分。

前>>281
>>283なんで円なのかわからんな。牧草を食む山羊か？　杭につながれた。
救命救急は急がないかんのだろ。せやで速い計算以外はいらんだよ。可能性のみ考えよう。
救急車のガソリンは50L。めいいっぱい使うとして、行きが(50/3)Lで(500/3)�q、現場から救急センターまでが(100/3)Lで(500/3)�qの直線軌道。だれがそげなときに円形に迂回するもんか。二等辺三角形が描ける。
消防署と救急センターの中間地点は双方から50�qの地点。その道から垂直に、ピタゴラスの定理により、√{(500/3)^2-50^2}�q遠ざかった地点が救急できる最遠方地。
∴救える面積=50×√{(500/3)^2-50^2}
=50^2√{(100-9)/9}
=2500√91/3
=7949.49335(k�u)
0.01k�u=1ヘクタールだから、79万4949ヘクタール救える。車道まで搬送してくれ。それが条件で。

>>296
ガソリン２０リットルという条件でやってみそ。（消防署からの
最大到達距離が病院までの距離の２倍ってケース）
カスプができるから。

>>298
やってみました。

https://i.imgur.com/ZXyRNxb.jpg

前>>297
>>299まさに8000k�uぐらいじゃね？　80ヘクタール行くか行かないかぐらいじゃないかな？

前>>300訂正。
80ヘクタール→80万ヘクタール

>>289
ヒントギボン。
どうあがいても楕円積分になるorz。

一辺の長さが1の正方形が重ならずに7個入る最小の正方形の一辺の長さはいくらか

>>302
すいません、確固たる正解すら持ってない自作問題なので何がヒントになるのかすらわかりません。

>>298
ガソリン量を１０から３０まで救えるエリアを描かせてみました。

https://i.imgur.com/FHA0vfv.jpg

５０まで増やしてみた。

https://i.imgur.com/5hFKvzw.jpg

>>294
俺もwolfram先生の助けでやってみたけど（y^2に関する２次方程式になるから、それを解くだけ）
y = ± (1/3 sqrt(-9 x^2 + 2400 x - 10000 (2 sqrt(6 x + 2200) - 113)))
というグラフの内部。
-100≦x≦700/3で積分するとたしかに83693.046になるね。
グラフを描かせてみると、長半径500/3,短半径160で中心が (200/3,0 )にある楕円で極めて
よく近似できる（求める領域より若干膨らんでいるが）。この楕円の面積は83776で、誤差0.1％未満。

>>305,306
乙です。

結局面積はどうあがいても完全楕円積分になる。
一般解は楕円関数使わないと表示できない。
パラメータに特殊な値を入れた場合特殊値が綺麗な値で出る事もあるだろうけど作者が適当な直で作ってみたという問題で偶然キレイな特殊値になる事は考えづらいね。

>>296
ガソリン50Lで描画すると横径（消防署と病院を結ぶ方向）　360、　縦径347.5505の結果が返ってきたから、円じゃないね。

>>309
とりあえず、カスプができる形（ガソリン20l）の場合には極座標形式で
r≦800/3{cosθ- 1/2)
と、きれいに書ける。こういう曲線って名前あるんだっけ？

面積も高校数学レベルで積分できて
∫[-π/3->π/3] (800/3)^2(cosθ-1)^2dθ=(800/3)^2(2π-3√3)

>>311
写し間違えた、面積は
∫[-π/3->π/3] (1/2)(800/3)^2(cosθ-1)^2dθ=(1/8)(800/3)^2(2π-3√3)

>>309
それならパスカルの蝸牛曲線

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E8%9D%B8%E7%89%9B%E5%BD%A2

>>310
だから、楕円でよく近似できる。つ>>307

>>313
へー、パスカルのカタツムリかぁ。
lが負だから、内側のほうに対応するね。

ありがとう。

>>313
か…かぎゅう曲線 （鼻ホジ）

ガソリン２０L曲線とパスカルの蝸牛を重ねてみた。

https://i.imgur.com/L2wwgOJ.jpg

前>>301
>>303
3個のブロック直列で並べその両サイドに2個のブロックを並べると、
2個のブロックと3個のブロックの対角線はピタゴラスの定理により、
最小限√(3^2+2^2)=√13ないといけない。
一辺3の正方形より小さくはできない。
底辺2高さ3の平行四辺形が一辺3の正方形に入らないのと同じぐらいできない。
∴最小の一辺の長さは3

3っぽいのはともかく、↑って解答になってるの？

ガソリン20 L のときは

√(x^2+y^2)/10 + √((x-100)^2+y^2)/5 = 20から x=rcosθ y=rcosθとして

r について r/10 + 1/5 sqrt((r cos(θ) - 100)^2 + r^2 sin^2(θ)) = 20 を解けば

r = 400/3 (2 cos(θ) - 1)

んで、パスカルの蝸牛になるのか。

ようやく、理解できました。

イナの解答で数学の世界で通用するものがでた事はない。

wikiによると>>303の答えは3みたいだけどまぁ簡単な面白い証明があるのかないのかはどうなんだろうねぇ？
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Square_packing_in_a_square

>>322
( ﾟ∀ﾟ)つhttps://www2.stetson.edu/~efriedma/squinsqu/

>>303は前>>318で俺が証明した。

相変わらず馬鹿だなぁ

>>303の答え＝３

なぜなら、なるべく狭い範囲に、重ならないように、並べるためには、
少なくともどこか１箇所は、縦方向（あるいは横方向）に、
３個並べなければならないが、その場合、どうしても、
１辺の長さは３になってしまうから。

あるいは、なるべく狭い範囲に、重ならないように、並べるためには、
円に近いような並べ方をするしかないが、
その場合、>>318のような並べ方をするしかなく、
その場合、辺の長さをｘとすると、３≦ｘ≦5√2/2

>>283
っちゅうことで、問題をこう変えてはいかが？

砂漠の基地Aからもうひとつの基地Bに向かって出かけた戦車がGPSの故障で
進路を見失ってさまよった挙げ句にガス欠で止まってしまった。別の戦車で
基地Aからこの戦車へ救助に向かい、燃料を分け与えて一緒に基地Bに行く
ことになった。しかし、戦車にはAB間をちょうど往復できるだけしか燃料
は積めない。AB間の距離をRとして、Aを原点とする極座標形式で救出可能な
領域を示し、その面積をRを使って表しなさい。
ただし、戦車の燃費はいずれも同じものとする。