>>111
正解です。
では面積出さない方法。

X=y∂/∂x + x∂/∂yとおけば
exp(tX)=[[cosh t,sinht][sinh t,cosht]]
でありP(t):=(cosh t,sinh t)=(exp tX)(1,0)である。
exp(tX)はP(u),P(v)をP(u+t),P(v+t)に移し、直線を保存するからS(P(u),P(v))=S(P(u+t),P(v+t))であり、Sの値はパラメータtの値の差のみによる事がわかる。(←key point)
さらにf(t)=S(P(0),P(t))とおくとき
f(t)=S(P(-t/2),P(t/2))=2∫[0,t/2](sinh τ)^2dτ
で(sinh τ)^2は短調増加であるからf(t)は凸関数である。
よってA=P(0), B=P(log3)であるから最小値を与えるP,Qは
(P,Q)=(P(log3/3),P(2log3/3))
=((a+1/3)/2,(a-1/a)2),((3/a+a/3)/2,(3/a-a/3)/2)
のとき。ただしa=3^(1/3)。

key pointが成立するのは他にも
単位円のとき
f(t)=t/2-(1/2)sin t
放物線のとき
f(t)=(1/6)t^3
となって同様の現象が起こります。