>>152
(1)
M=S^(N-1)とおき、Nの体積形式をηとする。
R×N→R^Nを(r,θ)=rθで定めればR^Nの体積形式はr^(N-1)ηdrである。
よって
∫[x∈R^N]f(|x|)dx
=∫[r>0,θ∈S^(N-1)] f(|rθ|)r^(N-1)ηdr
=∫[θ∈S^(N-1)]η∫[r>0] r^(N-1)f(r)dr
=vol(S^(N-1))∫[r>0] r^(N-1)f(r)dr
である。
一方で
ω_N
=∫[x≦1]1dx
=∫[0<r<1,θ∈S^(N-1)] r^(N-1)ηdr
=∫[θ∈S^(N-1)]η∫[0<r<1] r^(N-1)dr
=vol(S^(N-1))/N
により主張は成り立つ。
(2)
f(x)=exp(-x^2)とすれば
∫[x∈R^N]f(|x|)dx
＝(∫[t∈R]exp(-x^2)dt)^N
＝π^(N/2)、
∫[r>0]r^(N-1)exp(-r^2)dr
=∫[t>0]t^((N-1)/2)exp(-t)t^(-1/2)dt/2
=(1/2)∫[t>0]t^(N/2-1)exp(-t)dt
=Γ(N/2)/2
であるから(1)により
ω_N=2π^(N/2)/(NΓ(N/2))=π^(N/2)/Γ(N/2+1)。