面白い問題おしえて〜な 30問目

>>37
Σ[k:1〜n]1/ak=1-1/Π [k:1〜n]ak
を示す。
n=1で容易。
n=Nで正しいとしてn=N+1のとき
Σ[k:1〜n]1/ak
=1-1/Π [k:1〜n-1]ak+1/an
=1-1/Π [k:1〜n-1]ak+1/(Π [k:1〜n-1]ak+1)
= 1-1/Π [k:1〜n-1]ak(Π [k:1〜n-1]ak+1)
= 1-1/Π [k:1〜n]ak。
よって求める極限は1。