前>>441問題>>346
四面体ABCDが頂点Aを半径1の円に触れながらぎりぎり通過するときBC,CDをt:1-tに分ける点P,Qがちょうど円に触れているとすると、AP=AQ,PQ=bとして、△BCDにおいて余弦定理より、
cos60°=(PC^2+CQ^2-PQ^2)/2PC･CQ
1/2=(7a/10)^2+(3a/10)^2-b^2/2(7a/10)(3a/10)
21a^2=49a^2+9a^2-100b^2
37a^2=100b^2
b=a√37/10
AからPQに垂線AHを下ろすと、△APHにおいてピタゴラスの定理より、
AP=√(AH^2+PH^2)
=√(a√3/2)^2+(a/5)^2
=√(3a^2/4+a^2/25)
=a√(75+4/100)
=a√79/10
AP=AQ=a√79/10
PQ=b=a√37/10より二等辺三角形を描き△APQの中心をOとすると、△APHにおいてピタゴラスの定理より、
AO+OH=√(AP^2-PH^2)
1+√{1-(a√37/20)^2}
=√{(a√79/10)^2-(a√37/20)^2}
1+√(1-37a^2/400)
=√(79a/100-37a/400)
1+2√(1-37a^2/400)+1-37a^2/400
=79a/100-37a/400
2√(1-37a^2/400)
=37a^2/400+79a/100-37a/400-2
800√(1-37a^2/400)
=37a^2+316a-37a-800
40√(400-37a^2)
=37a^2+279a-800
1600(400-37a^2)
=(37a^2+279a-800)^2
=1329a^4+20646a^3+(77841-59200)a^2-446400a+640000
1329a^4+20646a^3+18641a^2+59200a-446400a=0
a≠0より
1329a^3+20646a^2+18641a-387200=0
(予想)a=2.2……