あれ？でもC^∞しか仮定してないと計量の引き戻しが死んでしまうところが死ぬほどでてくるのでは？
例えば

f(x)=exp(-1/x) (x>0)
=0 (x=0)
=-exp(1/x) (x<0)

みたいな原点で何回微分しても0みたいな関数途中に通過させると像がとんがったトゲみたいなの持ってるやつとか作れちゃうけど。
そういうとこでは計量テンソル引き戻してきても死んでるので曲率もへったくれもない。