大学学部レベル質問スレ 13単位目

大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 12単位目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1531805974/

明けましておめでとうございます。

複素関数 1/sin²(z) を不定積分すると -cot(z)+C になると思いますが、この場合、始点をpi/2、終点を-pi/2にすると直線で結んだ場合は途中の経路に原点が含まれて正則じゃない点を通るのでこの経路では積分不可能で、そこを避けるように経路を取ることになり、直線経路にならないのですが、それでもそのことは気にせずに直線の時と同じような積分で良いのでしょうか。

そもそも複素積分で直線経路など要求してない

何言ってんだコイツ

テイラー級数を見て思ったんですが、単項式って何かの空間の基底になってますか？

単項式しだいだろ

Pr(θ)をポアソン核、ポアソン積分をPr*f(θ) := ∫_0^{2π} (Pr(θ-Φ))f(Φ)dΦ とします
ここからが分からないのですが、次の変形
( Pr*f(θ) ) - f(θ) = ∫_0^{2π} Pr(θ-Φ)（f(Φ)-f(θ)）dθ
が成り立つのは何故なのでしょうか
特に、何故 f(θ) がPr(θ-Φ)で括られるのかが分かりません

>>7
単項式は1, x, x^2, x^3, ...でう

>>8
∫Prdθ=1だからじゃね？

複素数の超越数ってあんの？

>>6
つルジャンドル多項式

>>9
それらで張られる空間はk[x]
無限和も許すような基底であればC^ωかな

>>10
しばらく悩んで理解しました
言われてみれば単にこれだけですね
ありがとうございます

A, B が正定値エルミート行列で、AB=BAをみたすとき、
行列の平方根 (√A) と (√B) が (√A)(√B) = (√B)(√A) をみたすことを証明できないんですが、教えてください。

対角化したら

>>16
ありがとうございます。積年の疑問が雲散霧消しますた。

次のフーリエ変換を求めよ
1. f(x) = 1 (if |x|≦1)
f(x) = 0 (if |x|≧0)

2.f(x) = sinx*cosx/x

どなたかよろしくお願いします

おいおい同時対角化できるんかよ
まあ、できるんだが

質問です
z=0の周りで次の周回積分を正の向きに計算したい

�兎xp(z) sinz/(z^2) dz

abs(z)=r
なる円を考え、かつ、rが十分小さいとき、
sinz≒zより

�兎xp(z) sinz/(z^2) dz
≒�兎xp(z) /z dz
=2πi

とやっていいものでしょうか…

理由がダメ
(sin z - z)/z^2 が正則にしとけ

>>13
テイラー展開の係数は点ごとに代わるから、C^ωというのは1点における茎みたいなやつになるんでしょうか？

知恵袋
https://chiebukuro.yahoo.co.jp/my/myspace_quedetail.php?writer=1043512917
https://chiebukuro.yahoo.co.jp/my/myspace_quedetail.php?writer=1147736549
二つのハンドルで質問しまくったがバカにされ始めたことを気づいたのか
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13218505343
で ID を非公開にwwwwwwwwwwwww

ここでも FFT

教えてgoo　venomctun、 captain06
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11433028.html
ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/11423826.html
ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/11426289.html
ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/11418282.html
ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/11418068.html
ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/11417112.html
ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/11417088.html
ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/11418410.html
ttps://oshiete.goo.ne.jp/qa/11420102.html

質問です
z=0の周りで次の周回積分を正の向きに計算したい

�兎xp(z) sinz/(z^３) dz

abs(z)=r
なる円を考え、かつ、rが十分小さいとき、
sinz≒zより

�兎xp(z) sinz/(z^) dz
≒�兎xp(z) /z＾２ dz
=０

とやっていいものでしょうか…

>>24
>>21を使いましょう。

D={x=x(t):x∈C^2([a,b]),x(a)=x(b)=0}と定め、Dにおける対称な二階線形微分作用素Tを
Tx=px''+p'x'+rx (p=p(t))と定めるとき、
Tの固有値はp(t)>0なら上に有界、p(t)<0なら下に有界であることを示せ
お願いします

>>26
rは定数？

>>27
すみません
特に指定が無かったのですが出題範囲的に恐らくr(t)の略かと

あれ？p=1,r=0で反例になるような？

>>21
>>23

ありがとうございます
理解できた気がします

https://i.imgur.com/Tz4KZkR.jpg

誰やねん

>>13
k[[x]]

>>22
1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+…
がC^ωと？

<u,n,k,o|unko=1>
うんこ群

R:微分作用素のレゾルベント、{φ_k}:Rの固有関数列
このとき、任意の連続関数fに対してParsevalの等式
納k=0] |(f,φ_k)| = || f ||^2
が成立、つまり{φ_k}が完全であることを示して下さい

>>35
門外漢でよくわからないんですが、このような設問の場合、関数空間は自動的に決まるんですか？
微分作用素Dと固有方程式Df=λfについて‥で自動的にヒルベルト空間は指定されるんですか？

質問
数学をするのにもし次のどちらかを使うとするならどっちを選ぶ？
液晶タブレット
DPT-RP1等のデジタルペーパー

ノートとしての使い勝手を考えたらデジタルペーパーの方がいいけど値段が高いし用途がかなり限定される
一方液晶タブレットは5万円台もあるし用途は数学以外もある

>>37
デジタルペーパーって店で触ったことしかないけどメリットあるのかな
「iPadよりしょぼいものがiPadより高く売られている？！なぜ？！」ってびっくりした

多変数の複素積分ってRからR^nに一般化するみたいに普通にやったらいいんですか？
ネット上にPDF落ちてませんか？

>>36
決まらないから出題者を忖度するしか無いわな

リュウビル型微分方程式の固有関数の直交性問われてるのかな？

>>41
その話だとするとどんな空間になるんですか？

>>38
宣伝されてた情報によると、バッテリーが数週間持つ、書き味が紙に近い らしい

髪に書く方が楽じゃあないかね？
探すときも早いし。

写真3枚目の�Aフーリエ正弦級数を求めるところでどのようにこの値を出したのか、途中計算込みで教えていただけないでしょうか、、、
https://i.imgur.com/3YINhDc.jpg
https://i.imgur.com/G78rDwM.jpg
https://i.imgur.com/vdjnc63.jpg

英語で検索したらわかったんだけど多変数の複素積分はかなりレベルが高いらしい
まだやめとく

賢明な判断です

来世で頑張れ

来週頑張れ

多変数の積分の変数変換の公式（ヤコビ行列式のやつ）ってシンプルで短い証明ないんですか？

つ微分形式

Xを(0,2)で有界連続関数全体とするとき、||f||=sup|f(x)|とノルムを定めてバナッハ空間とする
ここで次の線形作用素TがX上でも有界線形作用素となるか判定して下さい
以下、全てx∈(0,2)です

Tf(x)=f(x)/x, Tの定義域は{xg(x);g∈X}
Tf(x)=∫[0,x]f(t)dt, Tの定義域はX
Tf(x)=f'(x), Tの定義域は{f∈C^1(0,2);||f'||<∞}

全て成立してるような気がするのですが判定せよなので1つくらい不成立例が混ざっててもおかしくないんですよね
どなたかわかる方いたらお願いします

一番最初はムリやろ
f(x)=min{ax,1}
が任意のaで||f||≦1だけど||Tf||は非有界じゃね？

最後もムリ。
fx)=sin(ax)
でダメじゃね？

命題1
https://imgur.com/a/RkqdHXj

系
https://imgur.com/a/UCtEdJr
https://imgur.com/a/6Bzz4dA

系の証明が端折ってて不明瞭なので質問
系の証明で命題1はどのように使われてますか？

>>53
>>54
有界性ってこの場合fに依存しないように上から評価出来ないとでしたね
ありがとうございます解決しました

>>50
線形変換の体積比が行列式になることの証明て複雑か？

>>57
線形性と交代性から

そもそも行列式が符号つき体積なので

非線形の話だっつうの
線形代数じゃねえよ

>>60
線形変換だろ？

ふざけていやがる
証明しようとしてみれば分かるけど、変数変換の写像(一般に非線形)によって直方体が直方体に移らない上に
点によって拡大率(ヤコビ行列式)が違うから分割が分割に綺麗に対応しない
局所的な議論に比べてかなり複雑になる

そもそも微分てのは局所的に線形ってことだがなー

>>62
>局所的な議論に比べて
フンパン
局所的な議論をするのだが

次のRのイデアルIが極大イデアルか判定するのはどうすれば

R=Z[i]に対してI=(97)
R=Z[X](多項式環)に対してI=(7,X)

すみません下のは解決しました

皆さんありがとうございます
上も自決しました

p,q:Z[i]→Z/97
をp(i)=22、q(i)=-22で定めるともちろん(97)の原点はどちらも0イデアルに移されるのでIはkerp、kerqの両方に含まれる。
しかしp(22+i)=44≠0、w(22-i)=0によりkerp≠kerq。
もし(97)が極大イデアルなら(97)=kerp=kerqとなって矛盾。
∴(97)は極大イデアルではない。

97 = (4 + 9i)(4 ? 9i)で既約元じゃないから素元じゃない

次の普遍被覆空間を求めて下さい
簡単な説明もあると助かります

R^2\{(0,0)}
S^2
S^2\{(0,0,1)}

>>70
π:R^2→R^2-O:(x,y)→e^x(cosy,siny)
S^2, S^2-Nは自明

任意に与えられた超越数から、新たな超越数を構成する手続きって存在しますか？

>>72
T:=超越数全体のなす集合
Map(T):={写像ｆ:T→T全体}としたときの、Map(T)の性質やf∈Map(T)が連続である時のfの性質とか気になるんだが、なんか分かってる事ってありますか？

>>72
x:超越数→x+1:超越数

無限少数で表して各桁に0を挟む
これが超越数って証明はどうすればいいのだろう？

>>75
どゆこと？
f(x)が十進表示の各桁の間に0を挟む関数
f(123.4567‥)=10203.4050607‥)
としてxが超越数→f(x)も超越数を示すの？
そもそもそんなの成立するん？

成立するんじゃない？
循環小数に0をはさんでも有理数になることをしめせばいい

0.10402080507010…
は有理数か。

成り立ちそう

>>77
何で有理数？

しかも→逆だし。
有理数⇔有理数は自明だけど超越数、超越数はどっち向きも相当ムズイ。
無理数と超越数の違いもわからんカスの自作問題か？

具体的な数学の問題ではないのですが、他学部出身ですが数学に興味があって、高校数学の復習が終わって、微分積分、線形代数、集合・位相、微分方程式まで学習しました。
数学科卒の最低レベルまで数学の知識を広めたいのですが、数学科卒といえるには、あと《最低限》何を勉強すれば宜しいでしょうか？

近い将来、転職する際に、数学科卒業程度の数学を独学した旨のアピールをしたいです。

>>79
あー(´・ω・`)
たしかに無理数なのは言えそうだけど
超越数は難しそうですね

でも真偽がかんたんにはわからない問題ってそれだけで価値ありそうじゃないですか？

群論　環論　体論　ガロア理論　数論　ホモロジー代数　代数幾何
ベクトル解析　複素解析　フーリエ解析　測度論　関数解析　偏微分方程式　確率論
多様体論　位相幾何　微分幾何　微分位相幾何　表現論

>>81
真偽が分からない問題なら腐るほどある
価値があるかどうかは問題に取り組んでみて
話が発展していきそうかそうでないかで考えるべき
難易度とはまた別のパースペクティヴで見るよ

>>83
おっしゃる通りなんですが、
超越数かどうかの判定ってのがさほど話が広がるものじゃないイメージもあったりします

まだ未発達な分野だろうから開拓は大変だね

∫dx 1/(x^2+1)=∫dx (1/(x-i)-1/(x+i))/2

みたいな感じで定積分求められますかね(´・ω・`)

複素対数関数がわかってればね

>>86
>)/2
２？

>>87
logz=log|z|+iargz
から導出して

>>86
求めたいのは不定積分でした

やってみます

>>90
0からxまでの定積分を求めるよ

漸化式が綺麗な形で表すことの出来る一般校を持つかどうかを判定するアルゴリズムなり定理ってありますか？

一般校には無理

この世には何にも綺麗な形なんて、ない！

審美眼ないのね

デデキント切断で実数を切断するとき下組に最大値か上組に最小値があることの証明ってありますよね？
これを証明なしで公理として扱ってるサイトが多いのはなんでなのですか？
上限下限の存在も公理としてる場合が多いですがこれも証明できますよね？

同値となる公理が多いからどれを公理とするかで変わる

実数の定義にその事実使ったからわからん

証明面倒くさいから

>>98
定義には使わないでしょ
実数の定義は有理数の切断からだから

自然数が上に有界であることの証明に上限を使って背理法で示していますがコレって必要なんですか？
自明に見えるんですけど？

間違えました。上に有界でないですね。背理法で有界と仮定してたから混乱してた

自然数の定義はどうしている？

定義というか1から始まって無限に続くという理解でした
高校でも普通にn->∞としてましたから自明だと思っていました

自然数とは何かがちゃんと定義できないと数学ではないですね

ここって大学レベルなんだよね

そだよ

そだねー

Michael Spivak著『Calculus on Manifolds』を読んでいます。

この本を読んでいて、思いついた以下の問題の解答をお願いします：


A を R の部分集合とする。
f を R から R への関数とする。
f は A の各点で微分可能とする。

A を含む開集合 B で以下の性質をもつものが存在するか？

B から R への微分可能な関数 g で g(a) = f(a) for all a ∈ A を満たすものが存在する。

>>109
小平の解析入門では、その定理が成り立つことを持ってAで微分可能の定義

Loring W. Tu著『トゥー多様体』を読んでいます。

実解析的な関数は C^∞ 級です。

C^∞ 級でないとテイラー展開できないからです。

ところが、Tuさんは

「
実解析的な関数は必ず C^∞ 級である。なぜなら、実解析で学んだように、収束べき級数は
収束範囲で項別微分できるからである。
」

などと理由を書いています。

これはナンセンスではないでしょうか？

C^∞と解析的は違う。
何冊解析の教科書よめばわかるん？

知能の低いやつに言っても無駄
こいつはきちんと理解することはできない
数学の理解にある程度の知能は必要

マルチは相手すんな

新入生に 「幼稚園に入園おめでとう！」 って、誰（数学者）の言葉だっけ？

複素積分による求積法について教えてください。
∫[-∞,+∞] dx sin(x)/x = lim{ε→0} ∫[-∞,+∞] dz sin(z)/(z - iε)
= lim{ε→0} ∫[C+] dz exp(+iz)/2i(z - iε) - ∫[C-] dz exp(-iz)/2i(z - iε) = π - 0 = π

単にコーシーの積分公式使うだけの後半部分はどうでもいいです。
最初の等式の ε→0 で一致するという箇所が気になっています。
そりゃあ一致するだろ...と直感が囁くものの、どうしたら数式で示せるのか分かりません。

>>116
まず最初の積分もεついてる方も広義積分可能である事を示す。
コレできなきゃ話しにならん。
すると任意のe>0に対してR>0を

|∫[|x|>R]sin(x)/xdx|, |∫[|x|>R]sin(x)/(x-iε)dx| < e

ととれる。
sin(x)/(x-iε)→sin(x)/x
は一様可積分に収束するから

lim∫[|x|<R]sin(x)/(x-iε)dx=∫[|x|<R]sin(x)/xdx

よって

limsup∫[|x|<R]sin(x)/(x-iε)≦∫[|x|<R]sin(x)/xdx+e,
liminf∫[|x|<R]sin(x)/(x-iε)≧∫[|x|<R]sin(x)/xdx-e。

>>117 ありがとうございます
(|x| > R) 部分の見積もり、これは複素積分の積分路変更でいけますね。
ですが...
(|x| ≦ R) sin(x)/(x-iε)→sin(x)/x これは一様収束ではありませんよね？
sin(0)/(0-iε) = 0 <　1 = sin(0)/0 (= lim{x→0} sin(x)/x の意味で)
このギャップをどう処理すべきでしょうか

>>118
一様可積分なのでlimは中に入ります。(Lebesgueの収束定理)

ああ、すみません「一様収束」とは違うのですね。
「一様可積分」ちらっと調べて見ましたが難しいです...、もうちょっと解析初歩の知識で示せないのでしょうか？

|sin(x)/x|, |sin(x)/(x+iε)|≦1
より任意のe>0に対し十分小さいrをとれば
|∫[|x|<r]sin(x)/xdx|<e, |∫[|x|<r]sin(x)/(x+iε)dx|<r
を用いてさっきと同じように示せなくはないけど一様可積分くらい使いこなせないとどのみち話にならない。
この問題はなんとかなってもいつか破綻する。

https://agree.5ch.net/test/read.cgi/sec2chd/1580220578/354
どうやら板の管理人が見ていないようだ
板の管理人が見ている場所を知っている人がいたら教えて欲しい、もしくは代わりに取り次いで欲しい

>>121
ありがとうございます。なんとか納得できました。

一様可積分って記憶にないからググってしまった
確率変数族の話なのね

>>121 氏の 「一様可積分」て、どうも確率論のそれとは違うようで
広義積分の一様収束 (広義一様収束) を指しているようですね
杉浦 解析入門I p.319 に定義があり、少し先には sin(x)/x の積分も出てきます。
ほぼ積読本でしたが、ちゃんと勉強しようと思いました。

まあ確率変数族でも関数族でも同様か

質問があります。
統語論的完全性がいまいち掴みきれません。
演繹システムとそれに対応するモデルがあるとして、モデルにおいて論理式となるものａに対応するのが演繹システムの論理式＃ａとする。
統語論的完全性とはａが閉論理式のとき演繹システムで＃ａまたは¬＃ａのどちらか一方を演繹できる。
という理解でよい？

完全である
⇔ 任意のモデルで真であるものは証明できる

の話ではなく？

>>128
うん。
あるサイトとかの説明をみるとざっくりこんな感じで説明してあって。

＞閉論理式AについてAが証明できるか¬Aが証明できるかのどちらかである。

なんかわかるようでわからないというか。

仕事中だから短いレスすまん。
また夜に。

>>129
それはあってるとも間違ってるとも。
数理論理学で完全性、不完全性といったらゲーデルの定義したそれだと思うけど、その場合

Lが完全⇔Lの任意のモデルで真であるものは証明可能。

Lが不完全⇔Lの命題でそれ自身もその否定も証明できないものが存在する。

の事を指す事が多いけど、その場合"不完全"が"完全でない"の事を意味してない。
例えば自然数論は上の意味で"完全"(１階述語論理は完全)かつ"不完全"(不完全性定理)。
しかしそのサイトは"不完全でない"事を"完全"と言ってるみたい。
間違いではないんだろうけど、どうなんだろ？

>>130
付き合ってくれてありがとう。
前提として、完全にも色々あるのはうっすらとは理解している。
あとそのサイトがあれなのではなくて理解できてないこちらが全面的に悪い。

＞しかしそのサイトは"不完全でない"事を"完全"と言ってるみたい。
＞間違いではないんだろうけど、どうなんだろ？

一応そのサイトの説明では。（省略した形で）

＞意味論的完全性　モデルにおいて真である命題に対応する論理式は証明できる
＞統語論的完全性　全ての閉論理式ＡについてＡが証明できるか¬Ａが証明できるかのどちらかである

＞完全性定理の方は「１階述語論理では健全性および意味論的完全性が成り立つ」というもの。ただしこのとき「真」というのはその形式的体系に当てはまる全てのモデルについて「真」であるという意味。
＞ゲーデルの第一不完全性定理は「自然数の公理系を含む無矛盾な公理系」についての統語論的完全性を否定したもの。

とある。
なおサイトではここから掘り下げていく形になってる。
けれどもそこはまだ読んでない。

で、自分が躓いたのは上記の統語論的完全性のとこ。
「全ての閉論理式」ってのがなんとなく掴めない。
モデルにおいて閉論理式となるＡ→演繹システムで＃Ａまたは＃¬Ａのどちらか片方を演繹できる。
という捉え方でよいのかな？と。

とんちんかんなことを言っていたらごめん。
こちらモデルとかの概念をいまいち把握できてないから。

>>131
私の理解の上では"モデルにおいて閉論理式になる"という考え方は無いと思う。
ある論理式φが閉論理式⇔φに現れる変数か全て束縛記号∀か∃のどちらかで束縛されている。
したがって閉論理式はかくモデルごとに真であるか偽であるかが決まる。
統語論的完全性とは

どんな閉論理式φを持ってきてもφかnotφのいずれかが証明できる。

という意味だと思う。
記号や言葉の定義が人によって微妙に違ったりするみたいだからなんとも言えないけど。

>>132
本当にありがとう。

＞私の理解の上では"モデルにおいて閉論理式になる"という考え方は無いと思う。

うん、無いのだと思う。
こちらが大きな勘違いをしてる。
勘違いをしているから理解できない。

助言を乞いたいところだけどとりあえず本にあたってみる。
感謝！

基礎論はかっこいい

統語と意味との区別をつけるところからですかね

普通の日本語とかの言語では、文法的には正しいけど何言ってるかよくわからんみたいなことがありますよね

言語には、記号の並べ方が規則通りかという面と、その意味は何かという二つの側面があるわけです

形式論理も同じです

論理式を作る際にどのようなものが論理式になれて、また論理式をいじる操作としてはどのようなものがあるのか、という統語的な側面

できた(閉)論理式の真偽はどうなっているのか、という意味的な側面

ここで大事なのは、統語的な側面は誰にとっても不変的ですが、論理式の意味、すなわち論理式の真偽というのは人によって変わるということです

各論理式に真偽を当てはめる規則がモデルですね

車は左側通行である
日本では真の命題ですが、アメリカでは違いますね
モデルが違えば、真偽は変わるというわけですね

論理学入門できない(；´Д`

>>135さんありがとうございます。

>>139
＞統語論的完全性が成り立てば意味論的完全性(任意のモデルで成り立つ)も成り立つ


意味論的完全性誤解してません？

証明可能なものが任意のモデルで成り立つというのは、健全性定理で、これが成り立つのはある意味当たり前なんですけど

非自明なのはその逆で、正しいものが全て証明可能かどうかです

>>139
ということは>>137のノリで良いということだろうか。
致命的に間違ってたら誰か違うとツッコミいれてくれれば嬉しい。

＞統語と意味との区別をつけるところからですかね
＞論理式を作る際にどのようなものが論理式になれて、また論理式をいじる操作としてはどのようなものがあるのか、という統語的な側面
＞できた(閉)論理式の真偽はどうなっているのか、という意味的な側面

自分はこの区別を誤ってたんだと思う。

＞統語論的完全性が成り立てば意味論的完全性(任意のモデルで成り立つ)も成り立つ

この辺りのことはこれから読んでいこうかと。
話に参加したいけれどもモデルってのがなんかモヤモヤしてるという。

上で書いたように、簡単に言えばモデルは論理式に真偽を付与する規則なわけですね

日本とアメリカで車が左側通行して良いかが変わると


統語と意味が異なるということさえ頭に入れておけば、モデルの定義くらいなら難しくないはずですから勉強してみると良いでしょう

それが統語と意味の理解にも繋がるはずです

レス本当にありがとう。

>>142
＞上で書いたように、簡単に言えばモデルは論理式に真偽を付与する規則なわけですね

こう言い切ってくれると、なんだかもうわかった気がしてくる。
>>135を念頭において読み進めてみる。

「証明」は
シンタックスの世界では特定の文字列変換で移りあうこと
セマンティクスの世界では真か偽かを公理から導けること

でいいの？

>>144
多分違う。
セマンティックスとは意味論、実際に言葉に"集合"や"写像"を割り当てて主張が成立しているかどうか実験してみる事。
推論規則で公理から演繹できるかどうかではなく、実例で確かめてみる事が意味論。

だからセマンティックスの意味では証明などありません。
実例で成り立ってるからどうかダイレクトにみる。

>>141
「論理システム」のモデルとは特殊例のこと
大抵は集合論を基にして特殊な集合だけを集めてモデルを作る
「論理システム」の公理系を満たすような集合だけでモデルを作るから
元の「論理システム」で証明できることは全部成り立つが
特殊な集合の選択により証明できない事も成り立つようにできる
「ある命題」が成り立つモデルも否定するモデルも作れたなら
その命題は元の公理系と独立なことが証明される

トポロジーっていったら一般的には代数的トポロジーのことをいうの？

>>147
レスありがとう。

趣味の独学なので躓くとそこで止まってしまって。
本音ではモデルについて納得できるまで会話したいところだけれども。
知識が不足しているのでとりあえず地道にまずは自分で。

＞「論理システム」のモデルとは特殊例のこと
＞大抵は集合論を基にして特殊な集合だけを集めてモデルを作る

持ってる本が初心者向けのためかモデルについても説明があるんだけど集合とか使って説明してないという。
とりあえず集合論を絡ませたとこまで自分でまずはやってみることにする。

集合論を基にしてたのは昔の話だからなー
その後、圏論を基にするのが流行ったはずだけど、今はどうなんだろ？

>>150
結局集合論だよ

数理論理学関連でちょっと気になった質問があるんだが、
命題結合子はシェーファーの縦棒　｜　だけで足りるという事実はよく知られてますが、
命題の公理(公理図式)は最小で何個必要なんですかね？
ヒルベルトの公理系では公理図式は3個なのだが、1or2個で済むような公理系ってあり得るんですかね？
当然だが、1階述語論理と同等な公理系という条件の下での最小の公理の数の話です。

>>152
あ、このような質問の仕方だと、ゲンツェン流のシーケントを使った体系だと、(推論規則が沢山あるおかげで)公理図式がA⇒Aのたった1つですね。
じゃあ、質問を変えてみます。
公理図式と推論規則を合わせた総数が最小となる1階述語論理の体系ってどんなのがありますか？

全然詳しくないですけどなんか最小論理とかいうのがあるみたいですよ

あなたのいう意味で最小かは知りませんけど

>>154
古典論理と同等になるための最小のという質問だろう
最小論理は排中律も爆発律もない
最小論理が最小ということもなく
もっと減らしたものを考えるのに妨げはないよ

>>153
一階述語なん？
∀とか∃とかの推論則も入れたら一個や二個じゃ済まない希ガス

最小論理から更に減らした原始論理(primitive logic)てのもあったな
書物では見た事ないが名古屋大学で名誉教授の小野勝次さんの講義で研究中と言ってた
否定がなくても結構いろいろできるとか

出鱈目逝ったもん勝ちのスレ

命題論理だけに限って考えたら
論理記号は1つで足りるから
それに関する導入と除去の公理を2つ用意すれば
あとは二重否定の除去とMPだけで何とかならんか？

>>158
思考停止のゴミは要らないから引っ込んどけ

wikiには公理３つ、推論則１つの命題論理が紹介されてるな。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%91%BD%E9%A1%8C%E8%AB%96%E7%90%86

あら？演繹定理の項には公理２つ、推論則１つの体系が紹介されてる。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E6%BC%94%E7%B9%B9%E5%AE%9A%E7%90%86

そういえば必要な公理の数というのは公理の独立性の話ですね、結局は。
ヒルベルトの公理系の3つの公理図式は確か独立だったから減らしようがない

>>163
それはどうかな
爆発律＋排中律＝二重否定除去
だけど
爆発律と排中律は独立
爆発律と排中律を持っていても
独立だから外せないけど
両方外して二重否定除去を入れれば問題ない

推論規則でMPあるいはそれに同等なものは流石に外せないと思う
他の推論規則からMP出せるような気がしないけど
論理包含の代わりになる論理演算で同等なモノはできるのかな？

ID:OWHQ5GSG　＝　知ったかニワカ

>>164
>爆発律＋排中律＝二重否定除去
ML上での話です
LK=ML＋爆発律＋排中律＝ML＋二重否定除去

線形の部分空間がよくわからないなあ
次元が一つ減って原点を通る斜めに傾いたものだと考えていいんでしょか？

原点通るのはそうだと思いますけど、そこは別にって感じで次元が減るってことですよね、まあ

今までa1e1+a2e2+....+anenと書いてたものを制限してa1e1+...+amemだけを考えると(m＜n)

ここは「大学学部レベル質問スレ」です

f : R^n → R^m が C^1 級であることの定義ですが、

f が微分可能で、

f' : R^n → L(R^n, R^m)

が連続である

という定義を採用している本があります。

その本では、

f : R^n → R^m が C^r 級であることの定義は、

f の成分函数が C^r 級であることと定義しています。

一貫性がないですよね。だったら最初から

f : R^n → R^m が C^1 級であることの定義を、

f の成分函数が C^1 級であることとすればいいのにと思います。

>>171

に関連した話ですが、

f : R^n → R^m の高階の導関数は定義しないんですね。

>>168
なんでR^3とかの見える範囲で考えてみらんの？
あるいはR[x]_nとかで

集合Xの元の有限列全体の集合ってどういう風に構成すればいいですか？
∪_{n∈N}X^n　(Nは自然数全体のなす集合)
でいいんですか？
でも、この集合はつまり、χ:= { X^n | n∈N }　という集合が構成できるからこそ、和集合公理によって
∪χ = ∪_{n∈N}X^n
が構成できるという理屈だと思います。
では、χが構成できる根拠は何ですか？

置換公理じゃないの？
Nからある一定の方法で構成する集合を要素とする集合の存在

>>174
まず命題φ(f)を
φ(f):=
fは関数で有限集合
∧∀i,j∈ω∀x<i,x>∈f ,j≦i⇒∃y<j,y>∈f
(iが定義域にはいってたらjも入っている)
で定めておく。
すると分出公理から
χ={f∈ω×X | φ(f)}
が存在するけどこれが定義域が有限順序数であるXへの関数全体のなす集合、すなわちXの有限列の集合を与える。

>>176
{ X^n | n∈N }の形を経由せず一挙に有限列全体の集合を作ってますね。ちょっと気に掛かる。

さっき検討しましたが
P(x,y) := x∈N∧y=X^x
と置けば、置換公理により、∃χ∀y(y∈χ⇔∃n∈N P(n,y)) つまり χ={ X^n | n∈N } ですね

>>176
dom(z) := { x | ∃y (x,y)∈z } とすれば
{ f⊆ω×X | fは関数∧dom(f)∈ω } がもっと直接的な解ですね

>>178
それだとfの全体はωの部分集合からXへの関数全体の集合になるので
数列の全体よりでかい。

あ、⊂と∈を見間違えた。>>179は撤回します。

>>168
もっと次元が減っていいぞ

部分空間が分からないというやつのことが俺には分からないよ

「わからない」と「よくわからない」は違うぞ

n次元複素ベクトル空間Vについて
W={dim(Im(f)∩Ker(f)):fはV→Vとなる線形写像}
とWを定めるとき、Wの最大元を求めよ

問題文のみで途中送信してしまいましたが
上記の問題の方針など教えて頂ければ幸いです

自決しました

切腹禁止！

>>184
>Wの最大元
dim(Im(f)∩Ker(f))の最大値のコトね
dimImf+dimKerf=dimV
dim(Im(f)∩Ker(f))≦min(dimImf, dimKerf)≦[dimV/2]
V=U+W dimU=[dimV/2]≦dimW
j:U→U'⊂W
f:V=U+W→W+0⊂V
Imf=U' Kerf=W Imf∩Kerf=U' dim(Imf∩Kerf)=dimU'=dimU=[dimV/2]

V=U+Wの意味がもうわからんのは俺だけか

素朴な疑問

ガンマ関数Γってxが自然数の時、Γ(x+1)=x!なのだが、
なんでΓ(x)=x!となるように定義の調節しなかったんですか？

>>189
ならR^nでm=[n/2]として
f(a_1,,,,a_n)=(0,,,0,a_m,,,,a_1)
で

>>190



>>190
>ガンマ関数Γってxが自然数の時、Γ(x+1)=x!なのだが、
>なんでΓ(x)=x!となるように定義の調節しなかったんですか？

定義の積分の式の綺麗さを優先したのでは？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E9%96%A2%E6%95%B0
ガンマ関数

ガンマ関数（ガンマかんすう、英: Gamma function）とは、階乗の概念を複素数全体に拡張した特殊関数である。互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、1729年、数学者レオンハルト・オイラーが無限乗積の形で、最初に導入した[1]。

定義
実部が正となる複素数 z について、次の積分で定義される関数
Γ(z)=∫ 0〜∞ t^(z-1)e^(-t) dt (Re z>0)
をガンマ関数と呼ぶ[2]。

元は階乗の一般化としてオイラーが得たもので、Γ という記号は、1814年にルジャンドルが導入したものである[1]。それ以前は Π(x) などと表記していた（ただし Π(x) = Γ(x + 1)）。

>>192
積分の定義式の綺麗さを優先するなら、なお一層
Γ(z)=∫ 0〜∞ t^(z-1)e^(-t) dt
ではなく
Γ(z)=∫ 0〜∞ t^z e^(-t) dt
と定義すべきですよね？
後者の場合、zが自然数ならΓ(z)=z!となる。

は？
極見たら一発で分かろう

極を原点に合わせたかったんだろうなー

>>194
もう少し詳しく

>>194
というか一々国語力使ってこっちが補って理解するの面倒なんでやっぱ要らない

説明出来る国語力ある人に求む

ガンマ関数は任意の複素数の階乗を表すねんで

>>193
Γ(z)=∫ 0〜∞ t^(z-1)e^(-t) dt は Γ(z)=∫ 0〜∞ t^z e^(-t) t^(-1)dt
と読むんだよ
e^(-t)は加法指標， t^zは乗法指標， t^(-1)dtが乗法不変測度
すなわち，実数体上のガウス和な

>>199
ガウス和はガンマ関数の有限体における類似物である。　(wiki)

ちょっと期待してた回答じゃないっぽいです

不偏分散s^2は
s^2=1/n * Σ[k=1,...,n](x_k - x^\bar)^2
ではなく
s^2=1/(n-1) * Σ[k=1,...,n](x_k - x^\bar)^2
であることは合理的理由がありますが、それと同じような感じで理由を期待してたんですがね。

一般の 1/(n-k) になる場合を見た方がわかりやすいとか？

sin2ydx+sin2xdy=0の積分因子ってどうやって見つければいいですかね

>>203
dx/sin2x+dy/sin2y=0
∫dx/sin2x+dy/sin2y=C
あとは頑張って積分するだけ

dx/sin2x=dx/(2sin x cos x)=cos x dx/(2sin x cos^2x)
=d(sin x)/(2sin x(1-sin^2x))

質問の仕方が悪かったようなのでもういいです

うん、もう来なくて良いよ

この板来るの初めてだからスレ違い・既出だったらすまん
この証明ってあってる？

数学記号の集合を狽ﾆする。このとき任意の数式は*に属する。
また、狽ﾍ有限集合だから*の濃度は可算濃度である。
ここで無理数の集合Iの濃度は連続体濃度であるから、*からIへの全射は存在しない。
よってどんな数式でも表せない無理数が存在する。

「有限集合のクリーネ閉方の濃度は可算濃度」っていうのがちょっと自信ないんだけど

悪いなんかｼｸﾞﾏが文字化けしとる

数学記号の集合をSとする。このとき任意の数式はS*に属する。
また、Sは有限集合だからS*の濃度は可算濃度である。
ここで無理数の集合Iの濃度は連続体濃度であるから、S*からIへの全射は存在しない。
よってどんな数式でも表せない無理数が存在する。

何度もすまん

S*って何？

lim[->]ΠSi のことかな？

それをxとおく
はい表せた

>>209
問題とは関係ないがUnicodeの(U+2211)は機種依存文字で文字化けする
ギリシャ文字のΣを使えば文字化けしない

>>211
>>212
S*はSのクリーネ閉方。調べたら数学の用語じゃなかったわ。すまん。
>>214
サンクス

閉方じゃない、閉包だ
ずっと間違えてた

>>210
屁理屈じみた結論言ってるけど、
数式から全ての実数への対応付けを一挙に与える事ができないというだけであって、
数学における議論は、常に有限個の数式の使用で収まる(=人間は有限個の記号列しか追えない)訳だから、そのような対応付けは必要としない。
>>213の言うように、今その時点で言及したい無理数が現れる度にそれを(今までの議論(証明)に現れてこない)xで表せば、議論に何の障害も起きない。
当然、より大きい濃度を持つような任意の集合I’に対しても、全く問題が無い。

>>210は単純に

Lが実数論、Mをその標準モデル、TをLの項の全体とするとき、M(L)は常にRの真部分集合であるか？

でないの？
それなら正しいのではないかと。

>>217
ありがとう、確かに無意味っちゃ無意味な証明だったなw
ただなんか、「数直線上に確かにあるはずなのに言葉で表せない(？)数がある」っていうのがなんか気持ち悪くてな

>>218
聞いたことない言葉が多くてニュアンスしかわかんなかったけど、主張自体は正しかったみたいでよかったわ
レスありがとう

>>219
全然気持ち悪くない
つーかZの部分集合の全体とか
Zの数列の全体とか存在感がないかな？
全部を個別に表せないのは当然だと思うけど

可算無限だけを特別扱いするとかある場面では有限しか認めないとか
そういうのの方が違和感あるなあ

うーん、大学じゃあんまり数学やってないからな
こういうことへの直感って言うか、勘？みたいなのが普段から数学やってる人とは違うのかも

定数記号を非可算個用意するって議論はよくありますけどね

>>219
>、「数直線上に確かにあるはずなのに言葉で表せない(？)数がある」
間違ってる。
どんな実数も議論に出てきた時に適切な数式を使って表すことが出来る。
記号列の集合から全ての実数を"一挙に"対応づけさせることができないだけ

>>225
あーなるほど…
そうか、全部に式を当てる必要はないのか…

でも議論に出てきうるのって、文字列使って議論してたら加算無限個じゃないの？

x∈R
とするとする場合xは1個と考えるのかってコトよ

>>227
人間が作る･読む証明は常に有限の記号列
でも使える記号列が有限個しか無かった場合、その有限個より1個多く必要とする議論が出来なくなるから無限個の記号は使えなきゃいけない
よって可算無限個の記号列が必要十分な記号の個数

義務教育というテスターで検知された優秀児のうち、支配階層に都合の悪い子供達は、冤罪を着せてでも潰される。コロされる。日本の悲劇。

Y軸がX軸の微分値になっているグラフって、数学界では一般に何と呼ばれるのですか？両逆対数グラフみたいに。

>>228
それは>>225の言う「数式を使って表せる」とは違うんじゃないの？

>>229
その必要十分な記号で可能な議論に出てきうる実数は加算無限個じゃないのかってのが疑問なんだけど
議論に出てきうる実数が加算無限個なら、
>「数直線上に確かにあるはずなのに言葉で表せない(？)数がある」
っていうのが正しいように思うんだけど

>>231
その認識であってるよ。
ただし数理論理学てきに少し曖昧なところはある。
まず公理的な実数論の項として出てくる"実数"とその理論のモデルとして出てくる"実数"は切り分けて考えないとダメだし、一つの理論に対してはモデルは一つとは限らないんだから、話しの最初として実数論Lと標準モデルMを持ってこないと。
その上でLの項のモデル上の元とモデルの中に出てくる実数の全体を比較することになる。
オレ専門家じゃないから詳しくは知らないけど標準モデルでないモデルならそのモデルの全部の実数がLの項で書けるモデルも存在するんじゃなかろか？
誰かの定理で必ず可算無限集合上のモデルが存在するってのがあって、その時の証明で項全体の集合からなんかモデルを作るんだったと思うけど、その構成で作ったモデルなら全ての現在がLの項になるモデルも作れる希ガス。
標準モデルでは濃度がちがうからもちろん一致しない。

>>231
>それは>>225の言う「数式を使って表せる」とは違うんじゃないの？
違って問題はない
>>227
>でも議論に出てきうるのって、文字列使って議論してたら加算無限個じゃないの？
議論に出てきうるのが
x∈R
で1個と考えるかそうでないかってことよ

>>233
問題ないかどうかは人次第だけど
元々の疑問と一連の流れは数式を使って表せるかどうかの話だから問題あるよね

>>234
>問題ないかどうかは人次第だけど
元々の問題設定と>>227の
「議論に出てきうる」ということが
異なる意味を持っていることは問題ないということ

>>235
>>227は
>どんな実数も議論に出てきた時に適切な数式を使って表すことが出来る。
を受けて書いたもので、「数式を使って表せる」というつもりで書いてるし、元々の問題設定と同じ意味のつもりで書いてるよ
誤解させてたらごめんね

>>236
つまり
議論に出てきうる
という認識が限定過ぎるのでは？という指摘が>>228の意図
あるいは
x∈R
を1個と考えるというコトも有り得るので
x∈R
を1個と考えるか無数にあると考えるかの認識の違いがあるということの指摘
誤解させてるかも知れないが
ｘ∈R
を1個と考えても別にいいよ
それとRには無数の元がありxとしては無数の者を考えているという認識とは
別だということ

>>237
別なら、元の質問の文脈に沿って
x∈R
を1個と考えるというコト
ということで考えてくれると嬉しい

文房具についての問題だ　ウキッ！
紙をカミたがる文房具って
なぁんだっ　ウキキキッ！！

>>238
その場合
P⊂A
も具体的にAに有限の長さの条件P(x)を考えて
P={x∈A|P(x)}
のみしか区別して考えないってコトよね
たぶん数学の一般的な認識より限定的で
それはそれとして有益なこともあるにはあるけど
一般の数学としては窮屈

det(a 1 1,1 a 1,1 1 a)=(a+2)*det(1 1 1,1 a 1,1 1 a)
どうしてこうなるのでしょうか

>>241
2行目と3行目を1行目に足す。

ありがとうございます！

前に統語論の完全性について質問したものだけれども次は可証性論理式について質問がある。
なんだかわかったようでわからないことになっている。

このｐｒｆの中身をチラ見した感じだとａが公理と推論規則を使った証明という形式になってるかどうかチェックしてるようにみえる。

質問１
ｐｒｆ（ａ，ｂ）が真　⇔　演繹システム├ゲーデル数ｂとなる論理式
これは成り立っていると考えてよいのだよね？

あと表現定理というのが。

Ｒが二変数の原始再帰的述語ならばどのようなｍ，ｎについても以下が成り立つ二変数の論理式ｒが存在する。
Ｒ（ｍ，ｎ）⇒ｒ（数項ｍ，数項ｎ）の形式的証明は存在する。
¬Ｒ（ｍ，ｎ）⇒¬ｒ（数項ｍ，数項ｎ）の形式的証明は存在する。

これは。

言語Ｌがあるとして、その言語Ｌを使う演繹システムがあるとして、言語Ｌで組み立てられた二変数の論理式Ｒがあるとして。

質問２
表現定理は。
Ｒ（ｍ，ｎ）はモデルで真　⇒　演繹システム├Ｒ（ｍ，ｎ）
¬Ｒ（ｍ，ｎ）はモデルで偽　⇒　演繹システム├¬Ｒ（ｍ，ｎ）

ってことだよね？

また夜に。

ミスってたので訂正を。

質問２
表現定理は。
Ｒ（ｍ，ｎ）はモデルで真　⇒　演繹システム├Ｒ（ｍ，ｎ）
Ｒ（ｍ，ｎ）はモデルで偽　⇒　演繹システム├¬Ｒ（ｍ，ｎ）

こう。

fが線形変換でrank(f*g)=rank(g*f)が成立するとき
gが同型写像であることはどう示せば

f=0、g:任意
で成立

お見事

すみませんfが零写像でない仮定が抜けていました

[[1,0],[0,0]]と[[0,0],[0,1]]

問題文おもいっきし間違えてましたわ
これの(b)⇒(a)が示せないんです
https://i.imgur.com/4KL7asp.png

>>251
fか同型なら
rank(gf)=rank(g)=rank(fg)
fが0でない同型でない写像とする。
C=cok(g)とp:V→Cを自然写像、v∈Vをw=f(v)が0でない元、Wをvの張るVの一次元部分空間、i:W→Vを自然写像、h:C→Wい全射線形写像、g=ihp:V→Vとする。
gf=0。
hpは全射だからv=hp(u)となるuがとれるが、このときfg(u)=w≠0。

IをRの区間とする。a∈Iとする。f:I→Rとする。
この時、∀(x_n)∈I^N [ lim x_n = a ⇒ lim f(x_n) = f(a) ] ならば lim[x→a] f(x) = f(a) が成り立つ。
この証明には選択公理が使われてることはよく知られているけど、選択公理を使わなければ証明出来ないって事は証明されてますか？

>>253
ググったらこんなのあった。

https://www.researchgate.net/publication/220083198_Some_Weak_Forms_of_the_Axiom_of_Choice_Restricted_to_the_Real_Line

によると

It is shown that AC(ℝ), the axiom of choice for families of non-empty subsets of the real line ℝ, does not imply the statement PW(ℝ), the powerset of ℝ can be well ordered.


AC(ℝ)→ >>253の二つの命題の同値性

しかし

AC(ℝ)からはPW(ℝ) が整列集合である事が示せない、寄ってPW(ℝ)はACより真に弱い。

ので>>253の二つの命題の同値性はACより真に弱い事になる。

>>252
何度もすみません
hって具体的にどう対応させてるんですか？

>>255
hは何でも良い全射。
Cの基底ciを選んで
h(ci)=v (∀i)
と定めれば良い。

コサインってサインの角度がずれただけなのに、何でサインと同等の立場にいるん？
どっからどう見てもコサインはサインよりも格下だろ。何でこんな格下の分際がサインと同格気取ってんだよって感じ

しかも微分してマイナスが出てくるって言う厄介さもあって、どう考えてもサインより厄介者

むしろcosの方が格上なイメージあったわ

対称だしな

>>258
関数空間の基底になるにはsinの他にもcosも必要なんですよ

偶奇性

>>251
V=Imf+W
g:V=Imf+W->Imf->>Kerf⊂V
Imfg=0
Imgf=Kerf≠0

>>264
2rankf≧dimV
>g:V=Imf+W->Imf->>Kerf⊂V
2rankf<dimV
g:V=Imf+W->Imf>->Kerf⊂V
fg=0
rankgf=rankf≠0

>>258
コサインはサインの逆数じゃないのにコタンジェントはなんでタンジェントの逆数なんだ
とかね

sin/cos だから sin と cos を交換したら逆数になるわな

a=1,2,3,...
b=2,3,4,...
を用いてa^bで表される数を累乗数と呼ぶ。1以外の累乗数の集合をXとおく。
X=｛4,8,9,16,25,27,32,36,...｝
(1)Σ[x∈x](1/(x-1))が1になることを示せ。
(2)Σ[x∈x](1/(x+1))を求めよ。

また、これを見て気になったのですが、

(3)Σ[x∈x](1/x)はきれいに求まるか？求まらないなら近似値はどのくらいなのか？

(1)はゴールドバッハ・オイラーの定理という有名な定理だとわかりましたが、wikiの説明は何をやりたいのか見てもわかりませんでした。(3)はWolframで求まらないかと思いましたが、累乗数をどう表現すればいいのか分からず断念。
どうか丁寧に教えて下さい。よろしくお願いします。

「素数積で表して指数の最大公約数が2以上」でいいじゃん

sin cosin tan
sec cosec cot

正矢、余矢なんてのもあんのね、ご免なさい

余矢(よし)よし

(環上の)加群Mについて、任意の部分加群Nに対してM=N+M/N(=は同型、+は直和)が成り立つようなもののクラスに名前はついてますか？
もちろん、どんな環Rに対しても0加群はこの性質を自明にもちますし、有限次元ベクトル空間に対しても成り立ちます

モチベーションとしては準同型定理M/Ker(f)=Im(f)の両辺に「Ker(f)を掛けて(直積をとって)」M=Ker(f)+Im(f)と変形できるような加群を知りたいです
加群でなくとも、似たような性質をもつ代数系に名前がついているものがありましたら教えて欲しいです

>>272
Mがsemi simpleと同値だと思う。

N:simple
:⇔ ∀L≦N L=0 or N.
M:semi simple
:⇔ ∃Mi a family of simple sub mods of M s.t M = ⊕Mi

Thm TFAE
1) M is semi simple.
2) ∀N≦M ∃L≦M s.t. M=N⊕L.

正しいと思うけどめんどくさそう。

>>273の1)を仮定する。
Nを任意の部分加群とする。
M=⊕MiをMiがsimpleであるようにとる。
N⊕L≦MとなるLで極大となるものが取れる。
π:M→M/N⊕Lを自然な射影とする。
π(Mi)が0でないとするとπの制限M→π(Mi)は同型となるが
この核はMi∩(N⊕L)であり、これが0なのでN⊕L⊕MiがMの部分加群に自然に同型となる。
これはLの極大性に矛盾。
∴π(Mi)=0(∀i)。
∴ N⊕L=M。
>>273の2)を仮定する。
容易にこれは次の条件と同値とわかる。

3)∀f:N→M monic ∃g:M→N st. gf is the identity of N

Mの任意の部分加群も3)を満たすので2)を満たす。
NをMのsemi simple部分加群の中で極大とする。
仮定によりM=N⊕LとなるLが取れる。
Lが0でないとし、K≦LをL/Kがsimpleであるようにとる。
Lに2)を適用してJ≦LをL=K⊕Jとなるように取れるが、このときJはL/Kと同型であり、simpleである。
このときN⊕JはMの部分加群でsemi simpleだからNの極大性に反する。

>>273-274
ありがとうございます

あちこちに貼り回らさせて貰って恐縮だが、激しくｶﾞｲｼｭﾂ問題の魚拓が見付かったんで此ちらにも挙げさせて頂く｡
飽く迄も魚拓なんで別途正規に保管して頂きたし｡

激しくガイシュツ問題
https://web.archive.org/web/20181107033930/http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.html

>>276
ゆかりたんハァハァではないか！
ゆかりたんAAのまとめサイトも貼ってくれ！

これは佐藤幹夫先生の直筆の字なのでしょうか
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0388-01.pdf

解析接続ってなんのために生まれたんですか？？
例えば高校の時、虚数って、おおお√-1があると回転が加法定理になってこんな便利なことができるのか〜！
って感動しました
それで勝手に、これに必要だから虚数を作ったんだな！って思ったんですが
解析接続はなんのために作ったんですか？

自然数の和が-1/12でも、現実には絶対違うし何もできなくない感じがします
でもきっと何かすごいことに役に立ってルと思うんですが！

解析接続の学問的勃興の更に昔のギリシャ天下時代…違った、ローマ天下時代に
正式認定史上最古の解析接続の例が有ったんだよね。誰だっけ？歩き目出崇だったかな？

>>279
解析的に複素函数に拡張したいからよ

>>279
定義域が広がれば便利だから

>>281
>>282
ありがとうございます
よくわかんないけど・・・なんかの役に立ってるんでしょうね！

>>283
e^zでも見てみたら？

>>283
数学なんて何の役にも立たないよ

>>278
これは面白い原稿だね。
神憑っている。

使えない奴に役立つわけがない

フィールズ賞をとったオクンコフが、どっかの対談記事で「私は未だに神保三輪の境地に達していないが」などということを言っていたけど、278の原稿を見ると単なる謙遜でもないのかなと思った。
オクンコフのいう神保三輪の仕事は278時点のものが中心なのか量子群後のことを念頭に置いているのかはわからんけど。

>>278
これは面白い原稿だね。
神憑っている。

https://mathscinet.ams.org/mathscinet/index.html

ここって部外者は使えないんですか?

>>268
(2)　log(2π）- π/3 = 0.79068
(3)　7/8 = 0.875

M: semi simple
　Mの固有ヴェクトル系が空間Vの基底をなす。
　⇔　Mは対角化可能

数直線の有界部分集合A, Bに対して
｜sup A - sup B｜≦ sup ｜A - B｜
って成り立ちますか？ 成り立つなら、その証明を教えて下さい。
｜A - B｜は、{｜a - b｜; a ∈A, b ∈B}の意味です。

a<=|a-b|+b<=sup|A-B|+supB

なるほど

3次関数はいわゆる｢畳8枚の性質｣(ある予備校の講師がこう言ってた)を持ってるけど、
4次以上の関数って類似の性質ありますか?

そんなローカルな名前を言われてもどういう性質なのか全くわからん

3次関数の性質なんて点対称と共通接線がどうとかしか知らんな

>>297
4次は一般に線対称ですらないからそんな綺麗な性質は無いだろうな

回転行列からオイラー角は一意に求められないけど
クオータニオンからオイラー角は一意に導くことが可能ですか？

εN論法について。｜a_n-α｜＜αεとなったらa_nはαに収束すると言えますか？

もちろんαは固定されてるんでしょ
εを改めてε/αと取り直せばよろし

>>303
ありがとうございます

εを動かしてどうすんだバーカ
田島一郎死ね

任意の元は任意だから任意に動かせるｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

横田一郎も同じ

これあってますか？新入生で予習してるんですけど、誰にも聞けないので。lim[n→∞]a_n=0ならば、lim[n→∞]Σ[k=1〜n]a_k/n=0を証明せよ。
https://i.imgur.com/VLOGoEf.jpg

|Σ[k=1,...,n]a_k/n - α| <= (Σ[k=1,...,n]|a_k - α| )/n < (Σ[k=1,...,n]ε )/n = ε

数列{a_n} の初めのn項の相加平均として定まる数列{b_n}をチェザロ列と呼ぶ。
チェザロ列{b_n}の総和は　正則、・{a_n}について線型 かつ {a_n}の総和と無矛盾である。

>>299
3次関数の標準形 (?)
x^3 + ax^2 + bx + c = X^3 + BX + C,
　B = b - aa/3,
　C = c - ab/3 + (2/27)a^3,
　X = x + a/3,

>>301
> 回転行列からオイラー角は一意に求められないけど
どゆこと？求め方ぐぐるとでてくるよ　たとえば
https://www.learnopencv.com/rotation-matrix-to-euler-angles/

オイラー角が一意じゃない状況があるのさ

>>313
一意に求まらないの意味がそういう意味なら
>>301 の2行目の質問、意味なくなるじゃん

>>206
質問しておいてその態度はないだろ

東大卒がコロナの件でこんな数式？出してきたんだけど合ってるの？

https://twitter.com/ryuichiyoneyama/status/1252404518530117633?s=21
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

あれ？

https://twitter.com/ryuichiyoneyama/status/1252404518530117633?s=21
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

>>314
「不可能」と言う答があるぞ

>>277
ゆかりたんﾊｧﾊｧが何か知らんで過ごして来た人生の半分は損しとる儂に作品名くらい教えんと
AA集を探すにしろどうにも成らんぞ
2Dアイドルも3Dアイドルも知らん儂に『どうしろという。（by KingOfUniverse）』じゃ｡

>>319
昔の話で記憶が怪しいが、高校数学の複素数の質問を単発スレを立てて質問した奴の名前がゆかり。
その糞スレに誰かがAAを作って、そのAAをいろいろ改造して貼られて、後は忘れた

事故解決か。壺創始から覗き始めて不思議でない歳の儂が壺覗き始めたのが04じゃけ、その前年か

>>313
z軸まわりのφ回転の場合、β=0, α+γ=φ
とか････

岩澤分解したらどうなる？

そのまんま東って、本名は東だと思うんだが　あのハゲは学歴詐称だったろ？　政治犯だと思います

wikiによると、早稲田の入試試験を受けて合格して再婚して、通学して卒業後、離婚してその次、
又　早稲田大学の他の学科受験して入学出来てストレートに卒業出来ただと！　そんな人、居る!?
何で通学時にニュースにならなかったの？　萩本欽一だとニュースになっていたのに？？？
絶対に嘘だと思うよね？単位を落とさなかったんで？編入学じゃなく、再入試を受けたってさ？

ビートたけしのテレビタックルで政治にも悪影響が及んでるのかと思うとゾっとします

>>324
君、何歳？

古い話だなー、自分の歳を感じるよ

これといった日向の神でもなし

とらぬ狸のもとのムジカ

此れがかの有名なゆかりの姐御か

>>327-328
うーむ分からん

検定問題の解答ですが、
最後の行の2.038は2.216の間違いですよね。
------------------------------------
N=10
平均 x~=99.5
不偏分散 u&sup2;=0.509
(1)
母平均の信頼度 95 %の信頼区間は、
t(0.05)=2.2622なので、

x~-u*t(0.05)/√N < μ < x~+u*t(0.05)/√N

を計算して、
99.03 < μ < 100.05

(2)有意水準0.1での両側検定では、
t(0.1)＝ 1.8331
なので、
t=|x~-100|*√(N)/u=2.038>1.8331

すみません、下記、教えてください。

xyz空間内に、原点Oを中心とした半径１の球Sがある。
点A（１、０、０）、点B（０、１、０）、点C（０、０、１）
を通る、平面Lによって球Sを分割する。
小さいほうの立体をDとする。
（１）分割されてできる断面の中で、ｚ座標が最小となる点を求めよ。
（２）立体Dをｚ軸に周りに回転させてできる立体Dの通過する範囲の体積を求めよ。

https://ja.wikipedia.org/?curid=12761
このページで
従って有限回のステップでは有限個の n に対してしか P(n) を結論づける事ができず、「無限個ある自然数全てに対して P(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論について有限の長さの証明が与えられたとはいえない。
ってかいてあるけど無限個のnなんてあるの？
例えば
11111111111111.........永遠に続く
22222222222222.........永遠に続く
なんて自然数あるってこと？

>>334
ある
ない

自然数nは無限個ある｡
111…や222…は111…111.111…や222…222.222…故に自然数ではなく無限小数である｡
一方、…111や…222は実数の中の自然数ではなく無限大超実数の中の無限大超自然数である。詳しくは
　超整数 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%95%B4%E6%95%B0
を読め｡

無限大超実数∋無限大超無理数＋無限大超有理数∋無限大超整数∋無限大超自然数
超実数-非実数超実数=実数
超有理数-非有理数超有理数=有理数
超整数-非整数超整数=整数
超自然数-非自然数超自然数=自然数

これは、にわか覚えすると弊害しか生じないので、普通は誰も教えず本人の成長に任せる｡
つまり簡単に答えだけを教える行為は、むしろ虐待である｡
故に本当は>>335の冷たい回答こそが優しく、俺の回答は甘やかし虐待である。苦しめ｡

>>328
とらぬ狸と同じ穴にいるムジナ
ぢゃね？正しくは、

理想的なビリヤードを考える。
地に摩擦はなく、弾同士の反発係数は1つまりエネルギーの損失がないとする。

この時、最初の弾を任意の方向に打った時、有限の時間で全ての弾はポケットに入るか?
また、Yesであるならば、そうなる平均時間はいくらか?

当たらん軌道があるからダメだろ

>>339

> 理想的なビリヤードを考える。
> 地に摩擦はなく、弾同士の反発係数は1つまりエネルギーの損失がないとする。
>
> この時、最初の弾を任意の方向に打った時、有限の時間で全ての弾はポケットに入るか?
> また、Yesであるならば、そうなる平均時間はいくらか?
答えてる人がいるけど、noでしょう。
普通の形のビリヤード台だったら。
ジェネリックな方向にはイエスかもしれないが。

そして形とかの情報無しに平均時間とか聞いている出題者のセンスが疑われますね。

「ビリヤード問題」とかいって球の軌道方向(壁面からの角度θのときのtanθ)が有理数なら軌道が周期的になるから
穴に落ちない場合がでてくるけど、無理数なら非周期的になるから軌道は盤上を埋め尽くし、いずれ穴に落ちる
で、有理数より無理数の濃度は大きいから無理数になると考えられほぼ常にいずれ穴に落ちる
みたいな話が物理であったと思う
有限時間で落ちるかどうかはちょっとわからんけど

それにしても平均時間出すためにはビリヤード台の縦横の長さとポケットの大きさがないと出ない気はするな。

あとスタート位置

簡単のため、直径dの球一つを速さvで盤の一隅から打ち、
盤は一辺1の正方形として、直径hの穴一つを球と逆の一隅に、とする
それでも、幾らでも穴に落ちる時間がかかる経路がありそう

球は壁にあたって反射するのではなく、壁を対称軸とした鏡面の向こう側に行くとすると
二次元面上の原点(0, 0)から球を打って、(2n+1, 2m+1)にある穴をねらうことになる
ちょっと日本語おかしいけどごめん

(2n+1, 2m+1)にある穴までの距離は√((2n+1)^2+(2m+1)^2)だから、到達時間はこれをvで割ったもの
この時間をどういう重みで平均取ればいいかだが…力尽きた

ラプラス変換の厳密な取り扱いって何勉強すればわかりますか？

反射する問題を鏡面の向こう側に行くって言う捉え方は良い発想だな
この発想に基づけば、一次関数が格子点と持つっていう考えに行くな

格子点ということならいっそのこと、四隅に穴があるとしたほうが、(n, m)の格子点になって問題としては自然なのか
ちょっとおもしろい

>>348
面白いと言っても、じゃあ解けるのかといわれたら無理。
自然だけど現代数学の到達してる範囲
では解けない問題なんかアホほどあるよ。

問題
r>0とする。
(1/2,1/2)を通る直線の空間をp1とし、各p1の元lに対しa∈lである格子点bでd(a,b)≦rを満たす者がとれる点のうち(1/2,1/2)に最も近い点をa(l)とし、f(l)=d((1/2,1/2),a(l))とおく。
∫[l∈p1] f(l) dl を求めよ。

こんなの解けないよ。

>>349
> (1/2,1/2)を通る直線の空間をp1とし

脳味噌うんこかよ？

バカばっか

>>346
微積分

代わりはいません
まちがひありませぬ！！！
xxxxxhttps://i.imgur.com/rsd6pAd.gif/hahahahaha

3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

宣伝て馬鹿にしか見えんな

スレ番が飛んでいるが、何か宣伝しているのか？

本質的にK上の体L1,L2がある時L1⊗_K L2がいつ体になるかで決まるってやってた記憶があるな。
LiがK上分離的ならよかった気もする。
永田先生の可換体論の３章にあったな確か。

日本語なんとかしろ

線形代数の固有ベクトルを求めるのに高次でなく
2次、3次のものはヤコビ法は使えないんですか？

>>359
↓コレの事？

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%B3%95_(%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%95%8F%E9%A1%8C)

使えるんでね？

アプリのプログラミングをしていて
１２３４５６
の６個の数字の距離を評価したいのですが、
６と１が連続している条件にしたいです。
つまり
６と１、６と５の距離はともに１
６と２、６と４の距離はともに２
といった具合です。
こういった数学の分野って何かなかったでしたっけ？

グラフ理論
重み付きグラフってやつ

てかアプリのプログラミングしてるならアルゴリズムの本なんかに載ってるかも
最短経路問題とかそんな感じで

n次元球B(0,r)上のポアソン核
P(x,y)=(r^2-|x|^2)/(nβ(n)r|x-y|^n), x∈B(0,r),y∈∂B(0,r),β(n):n次元単位球の体積
について、
∫[∂B(0,r)]P(x,y)dSy=1
を示すにはどうすればいいですかね？上手いこと変形出来ると思うのですがサッパリです

発散級数を有限値にする等式が解析接続を用いて説明されたりしますが
収束半径の外でのテイラー展開の値が無意味ではないですか
素粒子云々じゃなくて何かよい直感的解釈は無いですか

>>365
解析接続による説明の残念な点は
値が複数個（無限個を含む）になる
場合があることです
（(1+z)^(1/n)とかln(1+z)とか）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%83%89%E3%83%AD%E3%83%9F%E3%83%BC

まあ、面白いといえば面白いですけどね

>>365
多分「くりこみ」の話だと思うけど、それだとよくわからないから数学的な解釈が欲しいってこと？
所謂ゼータ函数正規化ってやつがくりこみに対応するんじゃないかな

他の数学的な定式化なら、例えばアーベル総和法とか、チェザロ総和法とか、タウバー型定理とかは知られているね

ま、ゼータ関数の場合は、>>366のような残念なことにはならないけどね

>>365
「テイラー展開の値が無意味」は「テイラー展開が無意味」を意味しない
「テイラー展開の表現」自体は解析関数の情報を全部含んでいるから
解析接続も意味がある

>>365
>収束半径の外でのテイラー展開の値が無意味ではないですか
収束半径内だけど？？

多項式の計算をC言語でやりたいのですが、
多項式を扱う標準的なライブラリはありませんでしょうか。
（pythonのnumpy.poly1d() のような）

極大イデアルがただ一つの(可換)環は局所環としてよく知られてますが、素イデアルがただ一つである環に名前はついてますか？
このような環をprime-local ring(PLR)と呼ぶことにすれば、次のことはすぐにわかります
・任意の体はPLR
・任意のPLRは局所環
・体でないPLRは整域でもない
・Z/p^nZ(有限体じゃないよ)はPLR
・(R,p),(S,q)をPLR、f:R→Sを環準同型とすればp=f^{-1}(q)、つまりf(p)⊂q(であるから局所環の間の局所準同型に相当する「PL準同型」は単なる環準同型に他ならない)
・上において、特にSが体であればp=Ker(f)(PLRから体への準同型について核はすべて等しい)

正直こんなものは誰しも考えつくもので、それが本に書かれてないというのはあまり意味のない概念だからだと思いますが、
非整域の例がもっとあれば割と(非整域の環論において)意味を持ちそうだとも思えますし、上のZ/p^nZの例からは素数冪の性質として数論への応用も多少はありそうに思えます
まあ非整域がそもそも面白くないとか「素数冪なら有限体を考えればよくね？」とか言われればそれまでですが

>>372
自己解決、準素環と同値かこれ

有限群ってどれぐらい特定されてるんですか?

ttps://ja.wikipedia.org/wiki/有限単純群の分類

モンスターが有名だよな

同型による位数2000以下の群の分類のプロジェクトが行われて位数ごとの個数の表がどっかに転がっていた
ちな位数2000以下の群のうち99%以上が位数1024の群

位数10の半群の個数は位数2000以下の群の総数よりも多い

位数が可算無限の群は同型をのぞいて、その個数は無限かどうか

Z*(Z/pZ)

>>377
>モンスターが有名
有名な割に実体知ってる人がほとんど居ない

群の基数から構造ってどれぐらい特定出来るんかな?

基数っていっても有限群なら上の分類定理の話になるけど、
可算無限とか連続無限とかだとほとんど情報ないってことになるかな

というか、任意の無限基数?_αに対して、群が存在して|G|=?_αって成り立つ？

文字化け
アレフ_α

どうなんだろ、知識はないので以下はヨタだけど

自己同型群ってのがあるから幾らでも群の位数(基数)が大きいのは作れそうだけど
単位元は恒等写像だから常に存在するとしても
どこかで結合法則が成り立たなくなるとかあるのかな