複素積分による求積法について教えてください。
∫[-∞,+∞] dx sin(x)/x = lim{ε→0} ∫[-∞,+∞] dz sin(z)/(z - iε)
= lim{ε→0} ∫[C+] dz exp(+iz)/2i(z - iε) - ∫[C-] dz exp(-iz)/2i(z - iε) = π - 0 = π

単にコーシーの積分公式使うだけの後半部分はどうでもいいです。
最初の等式の ε→0 で一致するという箇所が気になっています。
そりゃあ一致するだろ...と直感が囁くものの、どうしたら数式で示せるのか分かりません。