面白い問題おしえて〜な 31問目

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まとめwiki
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1 http://cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3〜6「datが存在しません。」
7 http://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/

なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて〜な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/

>>2
ありがたい…予想よりかなりばらばらになってて意外だ
思ったより繊細な条件なのかアレは…

前スレのプールの問題。
最短10秒じゃないの？
プールサイドを5秒、直角に曲がって向こう側から進行方向に対して60°の方向に飛びこめば、ちょうど10秒で対角線に達する。
直角三角形の辺の比が1:2:√3になるから、プールサイドから対角線まで、プールサイドの残りのちょうど2倍の距離を泳ぐことになる。
水中では速さが半分になるから時間はプールサイドを端まで行くのと同じ。つまり5秒。プールサイドのどこから飛びこんでも対角線まで5秒。
5秒+5秒=10秒
どうですか？
これが正解ではないか。

V={(x_1,..,x_n)∈[-1/2,1/2)^n | x_1+..+x_n >= 1/2}の体積が大体1/2-c/√nのオーダーって言うのは何か奇妙だな
n次元単体の体積が1/n!らしいし次元の増加に対して減少してもよさそうだけど

この奇妙な感じは機械学習で言うところの球面集中現象と同じ感じかな

まぁしかし理論値もシミュレーションもあってるからそんなもんと思うか、直接体積(のオーダー)計算してみるかしかないのでは？

>>7
奇妙って言うのはどこかに誤りを感じるっていう類いの物じゃなくて、n次元立方体っていうのが直観よりもイビツだなぁという感じの物かな
次元が増加すると角のあたりの体積がどんどん増加していって中心に近い部分がペシャンコになるって言うのが面白い

>>4
方眼紙買ってきなさい。

10cm×10cmの正方形を書く。
左下隅中心の半径10cmの円を書く。
1cm右にズレて半径9.5cmの円を書く。
1cm右にズレて半径9cmの円を書く。
‥
1cm右にズレて半径5cmの円を書く。
1cm上ズレて半径4.5cmの円を書く。
1cm上ズレて半径4cmの円を書く。
‥
1cm上ズレて半径0.5cmの円を書く。

コレが大体10秒で到達できる領域。

前>>4
10秒で到達しないエリアが存在する。
最初に監視員がいるコーナーから半径10mの扇形の範囲は救える。
向かい側の縁から60の方向に対角線に向かっても10秒の時点では対角線まで到達しない。
最初に監視員がいた地点の反対側のコーナーを30°ずつ三分割したときの真ん中の対角線付近の30°のエリアで半径10mの扇形の外は10秒では到達しない。
10秒のt秒後に対角線上を泳ぐ監視員と、
向かい側の縁から進行方向に対して60°で飛びこみ、対角線に対して、
180°-60°-45°=75°の角度で泳いできた監視員が、同時に到達する地点がただ一点存在する。
15°と75°の直角三角形においてピタゴラスの定理より、向かい側の縁から60°の角度で飛びこむときの到達時間と、対角線上を泳ぐ監視員の到達時間で立式し、
5+5-√{(10√2-10-t)^2-t^2}(2/√3)(1/2)+√{(10√2-10-t)^2-t^2}(1/√3)+t=10+t

>>5-8
無限次元だとなんと表面しかないぞ。
（余）境界輪体とかコホモロジーだけで論じられるケースが多いから助かるけど。

>>11
へぇー何か想像もつかないな
まあ[0,1]^nの表面付近の占める体積の割合がどんどん増えるのは分かるけど
数学科だと何の授業でやるんだろうか

>>11
うわ、ホントだ。
境界しかないね。
(　･∀･)つ〃∩ へぇ〜へぇ〜へぇ〜

>>9
イナ氏に代わって作図の練習に１０秒で到達できる範囲の図を書いてみました。
先に上に行ってから右に行くのも付け加えました。

https://i.imgur.com/92wYLCv.jpg

前>>10
>>14惜しい!!
白い空白部分を実線で囲んで、真ん中ら辺に最遅到達点の印があれば正解。

この図に4本の直線が浮かび上がってるのを読み取れないのがイナの限界だな。

>>15
せっかくなので秒数を指定して描画できるようにプログラムしてみました。

８秒、９秒、１０秒、１１秒で到達できる範囲を描いてみました。

正解が１０から１１秒の間にあることが読み取れます。

https://i.imgur.com/e9mep6G.jpg

>>10
方眼紙に作図したら
１０秒以内に到達できない領域が白の部分と判明。
ここで疑問。
この白の部分の面積はいくつか？

（自作問題につき正解はもっておりませんので悪しからず）


https://i.imgur.com/mfbtwlU.jpg

>>18
中学生でもできる。

前>>15
問題は(10+t)秒のtを求めよってことなんだよ。 方程式立てて解こうとすると0=0になるからみんな放置して作図に精を出してんだよ。
でももうちょい作図すると出ると思う。

みんなって誰？
というかこの問題最初のレスで>>17の図の四角形が潰れる時刻求めてるじゃん。
この問題である時刻までに到達できない領域が四角形か六角形になる事に気づいてないのは君を含む極々一部だけで他の住人はみんなわかってるんだよ。
ただその極々一部のひとがアホほど意味ないレスつけてるからわかってない人間が多くいるように見えるだけ。
おそらくこの問題まだできてないのは2、3人しかいない。

>>13
>境界しかないね
これどうやって確かめたの

前>>20
監視員のいる反対コーナーと最遅到達点と縁の向こう側の飛びこみ地点を結ぶ三角形において、正弦定理よりtの二次式を立てこれを解き、tの値を出そうとしてtにiがかかってる状態。

>>8
立方体回転で感じれない？

>>24
どういうこっちゃ

何か安直に単位n次元立方体の厚さ(e/2)の皮が占める体積の割合考えて
(1^n-(1-e)^n)/1^n=1-(1-e)^n -> 1 (n->∞)
で良いような気がしてきた

前>>23
図を描くとtの値は11秒弱なんだけど、
計算結果は今のところ、
10+t=13.81376309……(秒)
もうちょいだなぁ。
約分間違えたかなぁ。

>>22
直積位相の定義。
任意のx∈I^∞の点とその開近傍の基U=Π(ai,bi) (xi∈(ai,bi), 有限個を除いてai=-∞、bi=∞)をとるときUは必ずI^∞でない点を含む。
つまり内点なし。

I^∞って（射影）極限か
ちょっと過激では

>>29
しかし>>11は無限直積の意味でしょ？
多分。

前>>27
t/(10√2-10-t)=sin15°
t=(10√2-10-t)sin15°
=(10√2-10)sin15°-tsin15°
(1+sin15°)t=10(√2-1)sin15°
t=10(√2-1)sin15°/(1+sin15°)
=0.851642332……
10+t=10.851642332……(秒)
60°よりもっといい飛びこみ角があるってことか。