面白い問題おしえて〜な 31問目

過去ログ置き場(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3〜6「datが存在しません。」
7 http://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/

なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて〜な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/

前>>932
>>948(1)
(s,n)=(3,2),(3,-2),
(0,1),(0,-1),
(-1,1),(-1,-1),
(8,3),(8,-3),
(-9,3),(-9,-3)

>>951
b(x) = F(x) + F(x+a) - F(a),
ここに　F(x) = ∫[0,x] b(u)du　は偶関数。

b(x+a) = - b(-x-a)
　= - F(-x-a) - F(-x) + F(a)
　= - F(x) - F(x+a) + F(a)
　= - b(x),
よって b(x) は周期2aをもつ。

ゆえに
b(x) = ∫[0,x] b(u)du + ∫[0,x] b(u+a)du
　= ∫[0,x] b(u)du - ∫[0,x] b(u)du
　= 0,

半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか

>>955
x軸の上に、四角を横に三個並べ、その上に同様に三個乗せ、その上に二個を中央に並べる
右下の角は(3/2,0)、中段の右上の角は(3/2,2)、最上段の右上の角は(1,3)だが、
どれも(0,√7/2)からの距離が2を超えないのでここを中心に円を書けばいい

前>>952
>>955
円の中心を原点(0,0)として、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形、
(-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形の4つを描き、
あとの4つはそれぞれ4つの象限に正方形の中心を置き、y軸に対して2つが対称になるように置く。
x軸に正対させるんじゃなく斜め45°ぐらいで先に置いた4つの単位正方形にぎりぎり接するか接さないかぐらいで探るとよい。

>>955
https://imgur.com/3vsxb6D
完全に手探りで詰め込んでみました. ( Geogebra で作図 )
描画線幅のボヤケで接触してるように見える箇所も実際は離れています.

>>956
円の中心を(0,0)とすれば
　(±3/2, -(√7)/2) と (±3/2, 2 -(√7)/2) のなす長方形に６個
　(±1, √3) と (±1, √3 -1) のなす長方形に２個
ですね。
*　2 - (√7)/2 = 0.677124344
　√3 - 1 = 0.7320508

前>>957
残り4つのうち2つを第3象限と第4象限に斜め45°で入れようとすると、
点(1/2,√15/2-1)と直線y=x-1/2+1-√3+1/2√2の距離は、
|4√2-√30-2√6+1|/4=0.929837703……＜1
予想通り残りの2つを第1象限と第2象限に入れることができない。
つまり第3象限と第4象限に入れようとした2つの単位正方形を最初に置いた2つの単位正方形の1つの頂点(-1,1-√3)および(1,1-√3)辺が接したままその点を支点に円弧側に傾けて、残り2つの単位正方形が入るようにする。
最大限傾けると点(1/2,√15/2-1)と第4象限で傾けた単位正方形の最も近い辺の距離は1を超えるはず。
点(1,1-√3)から√5/2の距離にある単位正方形の2つの頂点が決まり次第お伝えしたい。

微分四次元

一辺の長さ3の正方形を、半径1の円5つで被覆することは可能か

上から √3 =1.7320508 の部分を1×√3の長方形に三等分する。
下から (√7)/2 = 1.3322875 の部分を 3/2 × (√7)/2 の長方形に二等分する。
各長方形は、対角線の長さが2だから、半径1の円で被覆することが可能。

〔問題〕半径Rの円板上に、直径1の円板何枚かを互い
に重なる部分が無いように置きたいのですが、最大何枚
まで置けるでしょうか。
・R=2 の場合。

数セミ増刊「数学の問題　第(3)集」日本評論社 (1988)
●104
(日本MOでも使われたらしい。)

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_in_a_circle

大小2つの円を用意したら結果はどうなるかな

前>>960方針変更。最初の4つは同じ。傾き45°は変えない。
>>955
5つ目〜8つ目の単位正方形を第1象限〜第4象限に振り分け、y軸に対して2つを対称に、かつ辺がy=xまたはy=-xと平行になるように置くと、5つ目の単位正方形の頂点の座標は、
(2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2),
(2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2-√2/2+√15/4-√3/2),
(2+√2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2),
(2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2+√2/2-√15/4-√3/2)
6つ目,7つ目は第2象限,第3象限に置くとして8つ目の単位正方形を5つ目の単位正方形とぴったりくっつけたままy軸方向に寄せると、
y=x-3/2-√2+√15/2とx=1/2の交点は、
(1/2,-1-√2+√15/2)
対角の頂点は、
(1/2+√2,-1-√2+√15/2)
x^2+y^2=(1/2+√2)^2+(-1-√2+√15/2)^2
=1/4+2+√2+15/4+3+2√2-√15(1+√2)
=9+3√2-√15-√30
=3.89243177……＜4
∴半径2の円に単位正方形が8つ入る。

前>>967
最初に描いたy軸を挟んで円弧と接する2つの単位正方形の第3象限のを�@,第4象限のを�A,次に描いた原点を含むのを�B,y軸の+方向で円弧と2か所で接するのを�Cとすると、�Bと�Gが接さない可能性がある。
つまり5つ目と8つ目を接したまますべらせつつ右回転、6つ目と7つ目を接したまま左回転し、円内に納める。
名づけて八星天道虫作戦。

前>>968
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形�@、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形�A、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形�B、
(-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形�Cを描き、
5つ目の単位正方形�Dを第1象限に、
6つ目の単位正方形�Eを第2象限に、
�Dと�Eがy軸に対して線対称となるように置き、
7つ目の単位正方形�Fを第3象限に、
8つ目の単位正方形�Gを第4象限に、
�Fと�Gがy軸に対して線対称となるように置き、
�Dと�Gの1つの辺をぴったりくっつけ、
�Gの頂点の1つが円と接するようにし、
�Eと�Fの1つの辺をぴったりくっつけ、
�Fの頂点の1つが円と接するようにする。
∴方法は示された。
題意にはないが、�D〜�Gの頂点の座標を決めることもできる。

いま、ある人がコロナに感染しており、n個のコロナウイルスを持っている
コロナは一時間ごとに増減し、確率pでa個増え、1-pでb個減るとする(0<p<1、aとbは自然数)
また、コロナはS個以下になれば生存確定、T個以上になれば死亡確定とする
生存確率の範囲は？
Tを正の無限大に飛ばしたときの生存確率の範囲は？

前>>969別解。
>>955
�@�A�Bはそのまま、�Cを原点のほうに寄せ�Bにくっつけ、�Dと�Gおよび�Eと�Fをそれぞれ縦に並べ�B�Cを挟みこむようぴったりつける。
�E�C�D
�F�B�Gの6つはy軸に対して左右線対称なので、
�Dの右上の座標(3/2,3-√3)が円内にあれば単位正方形8つはすべて円内にある。
(3/2)^2+(3-√3)^2=9/4+9-6√3+3
=57/4-6√3
=14.25-6･1.7320508……
=14.25-10.3923048……
=3.85……＜4
∴狐につままれた。

半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つと
（2/3)×√3 の長方形を１つ詰め込むにはどうしたらよいか

>>954
定数関数って奇関数じゃなくね

>>972
こんな感じの詰めかたで半径1.9991425…くらい
http://imgur.com/IiCbKrV.png

正解です！
(√3）+ (√15)/2 - 3 = 0.66854248
√(8√7 - 7）- 2 = 1.763776094
まではいけそうです。

充てん率で言えば　9.1547/4π = 0.72851
（単位正方形8つの 2/π = 0.63662 より向上)

前>>971
>>972
�@�A�Bまで同じ。
�Cはy軸切片2の位置ら辺の周に頂点をひっかけて待つ感じ。
�D�E�F�Gを第1,2,3,4象限に配置し片側に寄せると、�Dまたは�Eが円周につかえるためやや内側に押され、�Dと�Eが頂点で�Cのとなりあう2辺と接する形になる。
たとえば左寄せで�Dと�Gの縦の面をあわせて横幅2/3,縦に√3の辺が来るようにすると、
右上の頂点(11/3-√3,1/2)の座標から、
(11/3-√3)^2+(1/2)^2=3.99273852……＜4
なんとか円内に入る。
�Cの左上辺または右下辺を傾ける角度は、
30°〜45°で円内収納の可能性がある。
たとえ数値的にむりでも右端の長方形にわずかに余裕があった。�Cは�Dと�Eのあいだに楔状に押しこめる可能性がある。

半径2の円内に交わりのない √(5/8)×√(3/2) の長方形を１0個詰め込むにはどうしたらよいか

>>978
a^2+((3/2)b)^2＝(2a)^2+b^2＝2^2
を解いてa＝√(5/8),b＝√(3/2)って係数を得たということね

前>>977
>978
横長に下から1つ2つ3つ重ねると上面は、
3√(5/8)-√[2^2-{(1/2)√(5/8)}^2]=0.411159852……
残り4つを半円より小さな上のエリアに、
￥マークのように2つの長方形をソの字に置き、その上に2つを□に置くか、
または羊の異体字のように横向きの長方形を上下に離して置き、そのあいだに左右からハの字に楔状につっこむ。

x軸の上に長方形を寝かせて三個並べる
その上に中央に寝かせて二個並べる
下段の右上の角は(長辺の長さ×3/2,短辺の長さ)
上段の右上の角は(長辺の長さ,短辺の長さ×2)
どちらも原点からの距離が4なので原点中心の半円に五個はまる

正解です！
充てん率で言えば　9.68246 / 4π = 0.770505
半径2の円内に交わりのない (2/√13)×(8/√13) の長方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか

長方形を寝かせて六段重ねたものを作り、両サイドの中央に一個づつ立たせてくっ付ける
重ねた長方形の角までの距離=(長辺÷2)^2+(短辺×3)^2=2^2
横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2

>>983訂正
×　横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2
○　横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(長辺÷2)^2=2^2

また間違えた距離じゃなくて距離^2だった

ほぼ正解です！
充てん率で言えば　9.846154 / 4π = 0.783532

□よりも細長い方が収まりがいい（?)

正直あまり数学って感じでもないけど

ある日の午前中に雪が降り始めた。
除雪車が正午ぴったりに動き出し、
1時間で2マイルの除雪を完了し、
さらに1時間で1マイルの除雪を完了した。さて雪が降り始めた時刻は？
ただし、その日雪が降り始めるまでの積雪は0、雪は一定の速さで降り積もり、除雪車が単位時間あたりに処理する雪の体積は常に一定とする。

上記のようなSnow plow problemの派生として

それでは2時間後の加速度が1時間後の半分になる場合、雪が降り始めた時刻を数値的に求める場合にあると便利な数表はなにか？理由付きで。

電卓等は使わないものとする

>>986
　√(8/17) × 3√(8/17) の長方形を7つ詰め込むと充てん率が
　9.882353 / 4π = 0.7864
となり、正方形の内接円の充てん率 (π/4=0.7854) を超える。
とくに意味はないが････

時間当たり除雪量をJ、時点tのときの雪の高さをH(t)=(t+a)/hとし、除雪車の位置をx(t)
除雪車は短い時間dtでdx進み、その間少しの雪dxH(t)を除雪するから、dtJ=dxH(t)
x(t)=∫dx=∫dtJ/H(t)=Jh∫dt/(t+a)、x(t)-x(0)=Jhln((t+a)/a)だから、
x(1)-x(0)=Jhln((1+a)/a)=2、x(2)-x(0)=Jhln((2+a)/a)=3、3ln((1+a)/a)=2ln((2+a)/a)
((1+a)/a)^3=((2+a)/a)^2、a^2+a-1=0より、aはフィボナッチ数(√5-1)/2
雪は正午から(√5-1)/2時間前に降り始めた

dx(t)/dt=Jh/(t+a)、ddx(t)/dtdt=-Jh/(t+a)^2だから、-Jh/(2+a)^2=(-Jh/(1+a)^2))*1/2と置くと、
(2+a)^2=2(1+a)^2、a^2-2=0、なので√2時間前

平方根表が必要

前>>980
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形�@、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形�A、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形�B、
(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)を頂点とする単位正方形�Cを描き、
5つ目の単位正方形�Dを第1象限に、
6つ目の単位正方形�Eを第2象限に、
�Dと�Eがy軸に対して線対称となるように置き、
7つ目の単位正方形�Fの中心を第3象限に、
8つ目の単位正方形�Gの中心を第4象限に、
�Fと�Gがy軸に対して線対称となるように置き、
�D�E�F�Gがそれぞれ1つの頂点で円と内接するように置けないでしょうか？　もし2つ3つ3つと積み重ねて正対させる以外の置き方がないとしたらちっとも面白い問題じゃないです。

前>>991
>>955予想。
�@�Aをy軸に対して線対称にハの字型に置き、�@の右下辺の傾きを4/3、�Aの左下辺の傾きを-4/3としy軸上で接するようにする。
�Bは原点付近に中心を置き正対させ、�Cをy軸に対して45°回転させ頂点を(0,2)と(0,2-√2)に置く。
�D〜�Gの中心を第1〜4象限に置き、
�D�Gは�Aと同じ傾きにし、�E�Fは�@と同じ傾きにすると、
�@,�A,�C〜�Gをそれぞれ1つずつの頂点で円に内接するように置くことがぎりぎりできないかと思う。

前>>992
>>955別解。
�@�Aをy軸に対して線対称に置き、�Aの左上辺の傾きを3/4,左下辺の傾きを-4/3にする。
�Bの中心を原点に配置しx軸,y軸に正対させ、�Cをy軸に対して45°回転、頂点を(0,2),(0,2-√2)に配置する。
�Dの左上辺と右下辺の切片の差は7/5。
�A�D�Gの左上辺の傾きを3/4,
�@�E�Fの右上辺の傾きを-3/4にあわせ、
�Dをめいいっぱい上げて�Gの左端のx座標が1/2より大きく、かつ右端の座標の2乗和が、
x^2+y^2≦4の範囲にあればいい。
�Dの左端の頂点を�Cの右下辺よりわずかに下にとるには、
y=x+2-√2に0.4を代入し、
y=0.4+2-√2=0.985786438……
(0.4,0.98)とすると確実に�Cと�Dは離れていて、
�Dの上端の座標は、
(0.4+0.8,0.98+0.6)=(1.2,1.58)
1.2^2+1.58^2=3.9364＜4
�Dの右端の座標は、
(1.2+0.6,1.58-0.8)=(1.8,0.78)
1.8^2+0.78^2=3.8484＜4
�Dの下端の座標は、
(0.4+0.6,0.98-0.8)=(1,0.18)
�Dの右下辺および�Gの左上辺の方程式は、
y=3(x-1)/4+0.18
�Gの左端の座標を(0.56,-0.15)とすると、
�Gの右端の座標は、
(0.56+0.8+0.6,-0.15-0.8+0.6)
=(1.96,-0.35)
1.96^2+(-0.35)^2=3.9641＜4
�Gの左下辺および�Aの右上辺の方程式は、
y=-4(x-0.56)/3-0.15
�Aの左端はy軸に接するといいから、�Aの上端のx座標0.8を代入し、
�Aの上端の座標は(0.8,-0.47)
�Aの左端の座標は(0,-1.07)
�Aの下端の座標は(0.6,-1.87)
0.6^2+(-1.87)^2=3.8569＜4
�Aの右端の座標は(1.4,-1.27)
1.4^2+(-1.27)^2=3.5729＜4
∴単位正方形8つを真ん中の1つ以外をすべて正対させることなく半径2の円内に納めることができる。

[0,1]上の無理数xに対して、
xの連分数展開を[a_0;a_1,a_2,...]とする.

p_n(x):= [a_0;a_1,a_2,...,a_n]としたとき、

極限lim(n→∞) (x-p_n(x))^(1/n)を求めよ.

前>>993訂正。�Dの左上辺と右下辺の切片の差は5/4。
>>955
単位正方形�@�Aの頂点を(0,-1.07),(±0.6,-1.87),(±1.4,-1.27),(±0.8,-0.47)
単位正方形�Bの頂点を(-0.5,0.5),(-0.5,-0.5),(0.5,-0.5),(0.5,0.5)
単位正方形�Cの頂点を(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)
単位正方形�D�Eの頂点を(±0.4,0.98),(±1,0.18),(±1.8,0.78),(±1.2,1.58)
単位正方形�F�Gの頂点を(±0.56,-0.15),(±1.16,0.95),(±1.96,-0.35),(±1.36,0.45)にする。

↓この問題を初等幾何で解け

和算【数学検定1級 過去問】
https://www.youtube.com/watch?v=QSoet6pQ3Nc

次スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/

>>996
乾円の直径をD
坤円の直径をd
水平線の長さを 2L
とする。
�凾ﾌ相似により D：L=L：d
水平線の長さ L = √(Dd)　… (1)

Dをδだけ変えたとき、
・乾円の面積は（πD/2)δ 変わる。
・黄色部分の面積は（2L - πD/2)δ だけ変わる。
黄色部分の面積が最大となるとき
　2L - πD/2 = 0　…　(2)
(1)(2)からLを消すと
　d = D(π/4)^2,

>>987のまねをしてみた
雪の降り方は一定ではなく次第に衰え、降り止んで以降は溶け出すものと変更する
降り始めてからt時間後の時点での雪の積もる速度はcos(πt/3)とする(0<t<4)
正午前に雪が降り始めて正午から除雪車を稼働させる
雪が降り始めて一時間半後の時点で一マイルの除雪ができた
さらにその後30分で一マイルの除雪ができた
雪が降り始めた時間を知るにはどんな表が必要か

=1000+1000-1000*1000/1000

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