面白い問題おしえて〜な 31問目

過去ログ置き場(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3〜6「datが存在しません。」
7 http://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/

なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて〜な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/

>>2
ありがたい…予想よりかなりばらばらになってて意外だ
思ったより繊細な条件なのかアレは…

前スレのプールの問題。
最短10秒じゃないの？
プールサイドを5秒、直角に曲がって向こう側から進行方向に対して60°の方向に飛びこめば、ちょうど10秒で対角線に達する。
直角三角形の辺の比が1:2:√3になるから、プールサイドから対角線まで、プールサイドの残りのちょうど2倍の距離を泳ぐことになる。
水中では速さが半分になるから時間はプールサイドを端まで行くのと同じ。つまり5秒。プールサイドのどこから飛びこんでも対角線まで5秒。
5秒+5秒=10秒
どうですか？
これが正解ではないか。

V={(x_1,..,x_n)∈[-1/2,1/2)^n | x_1+..+x_n >= 1/2}の体積が大体1/2-c/√nのオーダーって言うのは何か奇妙だな
n次元単体の体積が1/n!らしいし次元の増加に対して減少してもよさそうだけど

この奇妙な感じは機械学習で言うところの球面集中現象と同じ感じかな

まぁしかし理論値もシミュレーションもあってるからそんなもんと思うか、直接体積(のオーダー)計算してみるかしかないのでは？

>>7
奇妙って言うのはどこかに誤りを感じるっていう類いの物じゃなくて、n次元立方体っていうのが直観よりもイビツだなぁという感じの物かな
次元が増加すると角のあたりの体積がどんどん増加していって中心に近い部分がペシャンコになるって言うのが面白い

>>4
方眼紙買ってきなさい。

10cm×10cmの正方形を書く。
左下隅中心の半径10cmの円を書く。
1cm右にズレて半径9.5cmの円を書く。
1cm右にズレて半径9cmの円を書く。
‥
1cm右にズレて半径5cmの円を書く。
1cm上ズレて半径4.5cmの円を書く。
1cm上ズレて半径4cmの円を書く。
‥
1cm上ズレて半径0.5cmの円を書く。

コレが大体10秒で到達できる領域。

前>>4
10秒で到達しないエリアが存在する。
最初に監視員がいるコーナーから半径10mの扇形の範囲は救える。
向かい側の縁から60の方向に対角線に向かっても10秒の時点では対角線まで到達しない。
最初に監視員がいた地点の反対側のコーナーを30°ずつ三分割したときの真ん中の対角線付近の30°のエリアで半径10mの扇形の外は10秒では到達しない。
10秒のt秒後に対角線上を泳ぐ監視員と、
向かい側の縁から進行方向に対して60°で飛びこみ、対角線に対して、
180°-60°-45°=75°の角度で泳いできた監視員が、同時に到達する地点がただ一点存在する。
15°と75°の直角三角形においてピタゴラスの定理より、向かい側の縁から60°の角度で飛びこむときの到達時間と、対角線上を泳ぐ監視員の到達時間で立式し、
5+5-√{(10√2-10-t)^2-t^2}(2/√3)(1/2)+√{(10√2-10-t)^2-t^2}(1/√3)+t=10+t

>>5-8
無限次元だとなんと表面しかないぞ。
（余）境界輪体とかコホモロジーだけで論じられるケースが多いから助かるけど。

>>11
へぇー何か想像もつかないな
まあ[0,1]^nの表面付近の占める体積の割合がどんどん増えるのは分かるけど
数学科だと何の授業でやるんだろうか

>>11
うわ、ホントだ。
境界しかないね。
(　･∀･)つ〃∩ へぇ〜へぇ〜へぇ〜

>>9
イナ氏に代わって作図の練習に１０秒で到達できる範囲の図を書いてみました。
先に上に行ってから右に行くのも付け加えました。

https://i.imgur.com/92wYLCv.jpg

前>>10
>>14惜しい!!
白い空白部分を実線で囲んで、真ん中ら辺に最遅到達点の印があれば正解。

この図に4本の直線が浮かび上がってるのを読み取れないのがイナの限界だな。

>>15
せっかくなので秒数を指定して描画できるようにプログラムしてみました。

８秒、９秒、１０秒、１１秒で到達できる範囲を描いてみました。

正解が１０から１１秒の間にあることが読み取れます。

https://i.imgur.com/e9mep6G.jpg

>>10
方眼紙に作図したら
１０秒以内に到達できない領域が白の部分と判明。
ここで疑問。
この白の部分の面積はいくつか？

（自作問題につき正解はもっておりませんので悪しからず）


https://i.imgur.com/mfbtwlU.jpg

>>18
中学生でもできる。

前>>15
問題は(10+t)秒のtを求めよってことなんだよ。 方程式立てて解こうとすると0=0になるからみんな放置して作図に精を出してんだよ。
でももうちょい作図すると出ると思う。

みんなって誰？
というかこの問題最初のレスで>>17の図の四角形が潰れる時刻求めてるじゃん。
この問題である時刻までに到達できない領域が四角形か六角形になる事に気づいてないのは君を含む極々一部だけで他の住人はみんなわかってるんだよ。
ただその極々一部のひとがアホほど意味ないレスつけてるからわかってない人間が多くいるように見えるだけ。
おそらくこの問題まだできてないのは2、3人しかいない。

>>13
>境界しかないね
これどうやって確かめたの

前>>20
監視員のいる反対コーナーと最遅到達点と縁の向こう側の飛びこみ地点を結ぶ三角形において、正弦定理よりtの二次式を立てこれを解き、tの値を出そうとしてtにiがかかってる状態。

>>8
立方体回転で感じれない？

>>24
どういうこっちゃ

何か安直に単位n次元立方体の厚さ(e/2)の皮が占める体積の割合考えて
(1^n-(1-e)^n)/1^n=1-(1-e)^n -> 1 (n->∞)
で良いような気がしてきた

前>>23
図を描くとtの値は11秒弱なんだけど、
計算結果は今のところ、
10+t=13.81376309……(秒)
もうちょいだなぁ。
約分間違えたかなぁ。

>>22
直積位相の定義。
任意のx∈I^∞の点とその開近傍の基U=Π(ai,bi) (xi∈(ai,bi), 有限個を除いてai=-∞、bi=∞)をとるときUは必ずI^∞でない点を含む。
つまり内点なし。

I^∞って（射影）極限か
ちょっと過激では

>>29
しかし>>11は無限直積の意味でしょ？
多分。

前>>27
t/(10√2-10-t)=sin15°
t=(10√2-10-t)sin15°
=(10√2-10)sin15°-tsin15°
(1+sin15°)t=10(√2-1)sin15°
t=10(√2-1)sin15°/(1+sin15°)
=0.851642332……
10+t=10.851642332……(秒)
60°よりもっといい飛びこみ角があるってことか。

前>>31
t/(10√2-10-t)=sin13°
t=(10√2-10-t)sin13°
=(10√2-10)sin13°-tsin13°
(1+sin13°)t=10(√2-1)sin13°
t=10(√2-1)sin13°/(1+sin13°)
=0.712964721……
10+t=10.712964721……(秒)
縁からバサロが速いってか。

>>28
位相は良く知らないんだけど、x中心の半径超小さい球をとればxの開近傍でI^∞に含まれるように出来ると思うんだけど

>>33
何故それを開近傍と呼ばないのかは多分数学科以外では教えてない。
すごい高度といえば高度、どうでもいいといえばどうでもいい話なので気にしなくていい。
理解しようと思うとまぁまぁ頑張らないとダメで、しかも数学科以外の人間には役に立たない。

>>34
距離空間だと球の内部は開集合ぐらいの認識なんだけど、無限次元の時だけ開集合じゃなくなる感じなのかな？
出来たらキーワードというかヒントとか教えて欲しい
ちなみに>>28でなぜ有限個を除いてai=-∞、bi=∞っていう制限が付くのかも知りたい

>>35
とりあえず直積空間の定義は
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E4%BD%8D%E7%9B%B8
で何故こういう定義になるかというと
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E6%A5%B5%E9%99%90
平たくいうとXiの直積空間Xは
�@第i成分を取り出す写像X→Xiが連続にならないと困る。
そのためにはある程度たくさん開集合がないとダメ。
�A成分の空間への連続写像の組みfi:Y→Xiが与えられたら、それを第i成分とするような連続写像f:Y→Xが作れないと困る。
そのためにはあまりXに開集合がありすぎても困る。
の両方の要請を満たすのがwikiにある定義。
有限個を除いてai=-∞、bi=∞でないとダメというルールがないと開集合が増え過ぎて�Aを満たさなくなってしまう。

>>32
監視員はプールの水を抜けばいいんだよ。

>>36
とりあえず積空間の普遍性が開近傍に有限個を除いてai=-∞、bi=∞という条件を要請してて
ゆえにどんなxの開近傍をとってもI^∞からはみ出てしまうっていう流れなのかな
>有限個を除いてai=-∞、bi=∞でないとダメというルールがないと開集合が増え過ぎて�Aを満たさなくなってしまう。
これ証明するの難しそうだが気になる
とりあえず積位相が射影極限の特殊なケースだってのは理解したがこれは積位相の普遍性だけ気にしてればあんまり考えなくても良いことっぽいな

前>>32
>>37
10秒で遠浅にはならんら。

>>38
証明はそんなに難しいわけではないよ。
数学科の学生さんや卒業生なら腕試しにちょうどいいくらい。

>>40
これを見て理解した
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2018-2019_General_Topology.pdf
位相の生成の時に有限個の共通部分をとる操作と、射影p_i:X->X_iの逆像が第i成分以外X_j全体になるってところが有限の添え字を除いて空間全体(-∞,∞)っていう制限の由来だったのか
射影を連続にする最弱の位相を入れようとすると自然と開近傍の第i成分が第i空間全体を覆ってしまうほどでかくなるってのは面白いね
大まかな流れを示してくれてありがとう

前スレの
「V_n={(x_1,..,x_n)∈[-1/2,1/2)^n | -1/2≦x_1+..+x_n<1/2} の体積が
|V_n|=(1/π)∫[-∞,∞](sinx/x)^(n+1)dx であることを示せ。」
という問題の難易度はどれくらいで解答パターンはいくつぐらいあるのだろうか？

>>33
>>28,30に書いている解釈だと無理

>>34
>何故それを開近傍と呼ばないのかは多分数学科以外では教えてない。
開近傍でもイイヨ
位相が違うだけ

>>35
座標への射影に関する弱位相入れるのが普通だから
別の位相でもイイ

>>45
>>33はx中心の開球でI^∞に収まるようなものをxの開近傍として取れるのではと言ってるが
>>34は積空間の普遍性を満たすような位相を入れると>>34の開球は開近傍にはならないと言ってるのでは

>>47
×>>34の開球
○>>33の開球

そもそも大元の>>11が気になるんだけど。
コホモロジー使うとか言ってるけど可縮じゃないのかな？

前>>42
10秒77では到達できなくて10秒85で到達できるエリアで溺れた人は監視員によっては救えるけど監視員によっては救えない運命にあるってことか。

前>>51
対角線上に監視員からx(m)の位置で溺れた人のとこに手前の縁から進行方向に対して60°に飛びんでも、向こう側の縁から進行方向に対して60°の方向に飛びこんでも同時に到達するとすると、
(x/√2-x/√6)(1/2)+(x/√2)(2/√3)=5+{10-(10-x/√2)(1+1/√3)}(1/2)+(10-x/√2)(2/√3)
辺々2√6掛けて、
(3+√3)x=10√6+√6(x/√2-10/√3-x/√6)+40√2-4x
(3+√3-√3+1+4)x=10√6-10√2+40√2
8x=(10√6+30√2)
x=5(√6+3√2)/4
=8.36516304……
∴5秒進んで直角に曲がって5秒から10秒までのあいだに60°の方向に飛びこむといい。

惜しいねぇ

前>>52
向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)秒。
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
微分すると、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0
-2/sinθ+1/cosθ+1=0
-2cosθ+sinθ+sinθcosθ=0
(2-sinθ)cosθ=sinθ
cosθ=sinθ/(2-sinθ)
sin^2θ+{sinθ/(2-sinθ)}^2=1
sin^2θ(2-sinθ)^2+sin^2θ=(2-sinθ)^2
4sin^2θ-4sin^3θ+sin^4θ+sin^2θ=4-4sin^2θ+sin^4θ
4sin^3θ-9sin^2θ+4=0
sin^3θ-(3sinθ/2)^2+1=0
sin^3θ+1=(3sinθ/2)^2
3sinθ/2-√(sin^3θ+1)=0になるθを探すと、
θ=57.465773447629°のとき、
(3/2)(sin57.465773447629°)-√((sin57.465773447629°)^3+1)=0となり極大値を与える。
向こう側の縁から57.465773447629°の方向に飛びこむと最速で救出できる。
救出時間は、
(1/sin57.465773447629°)(10-x/√2)-(1/2cos57.465773447629°)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
=(1/sin57.465773447629°-1/2cos57.465773447629°)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
=2.56432763+5+x(1/2√2-0.256432763/√2)
=7.56432763+0.172228045x
10＜x≦10√2
救出時間が9秒台。あまりにも速すぎる監視員。

また遠のいた

>>18
円の共通接線の方程式
↓
交点の座標
↓
三角形に分割した辺の長さ
↓
ヘロンの公式

は計算が複雑過ぎて俺には無理だな。

t=10の時点で下ヘリの直線が(20,0)を通る傾き1/√3の直線とわかれば簡単。
座標設定しなくても下側の頂点からx軸に垂線下ろして直角二等辺三角形と台形に分ければ相似な三角形出まくる(1:1:√2のやつと1:2:√3のやつしか出てこない)のでそれを利用すれば中学生でも解ける。
ちなみに四角形が潰れる時点の算出も上手く補助線引けば中学生でもできる。
もちろん共通接線が1m/秒でそれぞれ傾き√3と1/√3を保ちながら平行移動している事がわかる前提だけど。

前>>54
>>57
θ=60°のとき、
微分=0より、
3sin60°/2-√{sin^3(60°)+1}=0.0147020699……
≠0
●●ヘリの傾きは1/√3より少し小さいとわかった。y切片もどうだろう。手描きで20超えてる。中学生には無理だと思う。

>>58
頭使って考えてないからわからんのだよ。
>>14の図のx軸上に中心がある円を描く作業をどんどん続けていったらどこで半径0になるかわからんかね？その点を通ってx^2+y^2=100に接する直線はきみにはお手上げ？

>>58
原点スタート右上ゴールに採れば円三つ（原点中心, 右下の角中心, 右上の角中心）書くだけで解けるよ
辺の比1:2:√3の直角三角形と一次関数が分かる中学生なら解ける

前>>58
θ=57.465773447629°
向こう側の縁から飛びこむ角度が57.465773447629°ということは、
監視員が最初にいるコーナーの対角コーナーから、泳ぐ経路に引いた垂線が、向こう側の縁となす角は、
90°-57.46773447629°=32.53226552371°
対角線となす角は、
45°-32.53226552371°=12.46773447629°
監視員が10秒過ぎてから救出地点に達するまでに泳いだ時間t(秒)または距離t(m)は、
(10√2-10-t)sin12.465773447629°=t
(10√2-10)sin12.465773447629°=t+tsin12.465773447629°
t=(10√2-10)sin12.465773447629°/(1+sin12.465773447629°)
=0.735371693
到達時間10+t=10.735371693(秒)

謎の57.‥°にこだわってる限り永遠に答えは出ないねぇ。