>>81
単純化のためp≧q≧rとし
経路a: (0,0,0) -> (x,y,0) -> (p,q,r)
経路b: (0,0,0) -> (0,y,z) -> (p,q,r)
経路c: (0,0,0) -> (x,0,z) -> (p,q,r)
とするとき、経路aの所要時間
t=√(x^2+y^2)/2+√((p-x)^2+(q-y)^2+r^2)
の極小値(∂t/∂x=0,∂t/∂y=0)を計算すると
t=(√(p^2+q^2)+√3 r)/2,
(x/p=y/q=1-r/(√3 √(p^2+q^2))のとき)
で、これは経路a〜cで最も小さい。
この所要時間はp=q=rのとき最大となり
t=((√2+√3)/2)p ----(1)

経路d: (0,0,0) -> (10,y,z) -> (p,q,r)
経路e: (0,0,0) -> (x,10,z) -> (p,q,r)
経路f: (0,0,0) -> (x,y,10) -> (p,q,r)
とするとき、経路aの所要時間
t=√((10+y)^2+z^2)/2 + √((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2), (y<zのとき)
t=√(y^2+(10+z)^2)/2 + √((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2), (y≧zのとき)
の極小値(∂t/∂x=0,∂t/∂y=0)を計算すると
t=(√3 (10-p)+√(q^2+(10+r)^2))/2,
((q-y)/y=(r-z)/(10+z)=(10-p)/(-(10-p)+√3 √((10+q)^2+r^2))のとき)
で、これは経路d〜fで最も小さい。
この所要時間はp=q=rのとき最大となり
t=(√3 (10-p)+√(p^2+(10+p)^2))/2 ----(2)

(1)(2)を連立させて
√(p^2+(10+p)^2)=(√2+2√3)p-10√3
これを解くと
p=(5/6)(15-4√6+√(249-96√6))
のとき
t=(5/12)(3+√6)(5√3-4√2+√(83-32√6))
=11.69815627...