>>283
四点A1,B1,A2,B2の偏角を小さい順に並べると1122,2211,1221,2112,1212,2121の六通り
このうち、先の四つは線分が互いに交わらない場合であり、後の二つは交わる場合である
つまり、ランダムに決めた二つの線分が交わる確率は1/3

n本の線分により円が分割されているとき、新たに一本の線分を加えるとする
このとき新しい線分が既存の線分と交わらなければ、分割される領域は一つ増える
既存の線分一本と交わるなら領域は二つ増え、既存の線分二本と交わるなら領域は三つ増える
つまり、新しい線分が既存の線分と交わった本数+1の領域が新たに増える

新しい線分を引いたとき、既存の線分n本のうち交わる本数の期待値はn/3だから、
領域の数の増分の期待値はn/3+1となり、
n本の線分で分割されたときの領域の数の期待値をI(n)と置くと、I(n+1)=I(n)+n/3+1と書ける
I(n)-I(1)=(n(n-1)/2)/3+(n-1)、I(1)=2は自明なので、I(n)=n(n-1)/6+n+1