>>35
とりあえず直積空間の定義は
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E4%BD%8D%E7%9B%B8
で何故こういう定義になるかというと
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E6%A5%B5%E9%99%90
平たくいうとXiの直積空間Xは
①第i成分を取り出す写像X→Xiが連続にならないと困る。
そのためにはある程度たくさん開集合がないとダメ。
②成分の空間への連続写像の組みfi:Y→Xiが与えられたら、それを第i成分とするような連続写像f:Y→Xが作れないと困る。
そのためにはあまりXに開集合がありすぎても困る。
の両方の要請を満たすのがwikiにある定義。
有限個を除いてai=-∞、bi=∞でないとダメというルールがないと開集合が増え過ぎて②を満たさなくなってしまう。