m≦k≦n-1に対して
p(プレーヤー勝ち|k+1枚目が最大)
=p(1〜k枚目までの最大が1〜m枚目にある)
=m/k
だから
pm:=
p(プレーヤー勝ち)
=1/nΣ[m≦k≦n-1] m/k
よって
p(m+1)-pm
= 1/n(Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k -1)。
∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1
ここで
Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k
=∫[m+1,n] 1/[x] dx
> ∫[m+1,n] 1/[x] dx
=log n/(m+1)、
Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k
=∫[m+1,n] 1/[x] dx
<∫[m+1,n] 1/(x-1) dx
=log (n-1)/m
とlog(n-1)/m < log n/mによりpmが最大となるのはm=[n/e]のとき。