面白い問題おしえて〜な 31問目

過去ログ置き場(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3〜6「datが存在しません。」
7 http://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/

なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて〜な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/

>>475
正解です

>>471
？？

>>481
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Perfect_set
のExampleや、カントール集合の記事の『歴史的注意』にある通り、閉集合。

>>454
これってx,y,の両方が無理数の時と
それ以外の場合で分けてやっても同じようにpが定数は言えないの？

まあカントール集合って構成的に閉集合の共通部分だし

>>485
可算

Rを稠密で内点のない2つの連続濃度の部分集合に分割して欲しい

(1/4845)(4Ｃ2)(16Ｃ1)(4Ｃ1)
=6･16･4/4845
=2･64/1615
=128/1615
=0.07952569659……
前>>148
∴約7.952569659％

前>>498
スレ違いました。

>>485
その場合、p:[0,1]→R^2を例えば p(t)=(0,t) と定めた時にp(t)がずっと R^2-{無理数}^2 に属することになるね

無理数集合はR上の閉集合の可算和では書けないことを証明せよ

>>492
R\Q=∪_(n≧1) C_n と可算個の閉集合に分割できたと仮定。
0以上1以下の全ての有理数を {q_n}_(n≧1) と番号づけすると、
∪_(n≧1) ((C_n∩[0,1])∪{q_n}) = [0,1]
により、可算個の閉集合による区間[0,1]の非自明な分割が与えられてしまい、>>466と矛盾。

>>493
なるほど素晴らしい
想定解はベールのカテゴリー定理を使うものでした

>>494
想定解ギボン

>>495
R\Q=U_{n∈N} C_nと可算和で書けたとする
Q= {q_n}_{n∈N}とすると
R=U_{n∈N} (C_n ∪ {q_n})となる
ここでRは完備距離空間より
ベールのカテゴリー定理「空でない完備距離空間は内点を持たない閉集合の可算和にはならない」
から、あるC_nは内点を持つがC_nはR\Qの部分集合のため矛盾

>>476 はどうやら否定的に解決されてるみたいだ…Bernstein集合が反例になっている
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bernstein_set
Bernstein集合の存在性については、下のpdfの定理3.7で示されている
https://yamyamtopo.files.wordpress.com/2017/07/ukeru_gene_topo.pdf

そして多分同じ手法で、>>399の答えが2であることもわかる。
ポイントは、（非可算な）閉集合全体からなる集合の濃度が、R^2と同じ連続体濃度である、ということ。

>>497
そのポイントから>>399の答えが2になる事をも少しkwsk

連続と離散を統一した！
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0

R* := R ∪ { e }
(0 ≠ e ≠ dx)

a + e = a = a – e (a ∈ R)
ne = e (n ∈ Z)

応用例：
Vistaかwin7のファイルの表示方法を設定するメニューがその例です。

色々整ったので>>399の答えが2であることを示します。
ちなみにR^2からR^nに変えても同様で、答えが2であることも言えます。

R^2は可算な開基を持つので、R^2の開集合の個数は連続体濃度。
よって、R^2の閉集合全体からなる集合の濃度も同じく連続体濃度である
ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、
Pの各元が閉集合であるため、同じく連続体濃度を持つ。

これより、連続体濃度を持つ最小の基数をΩとおくと、PからΩへの全単射ωが存在。
超限帰納法により、R^2の点列 {a_p}_(p∈P), {b_p}_(p∈P) であって、
任意のp∈Pについて a_p≠b_p かつ
a_p, b_p ∈ p＼∪_(p'∈P, ω(p')<ω(p)){a_p',b_p'}
を満たすものが存在。
（任意のp∈Pについてpは連続体濃度を持つことと、
p'∈P であって ω(p')<ω(p) を満たすものの個数は連続体濃度未満であることに注意。）

B={b_p:p∈P} とおけば、任意のp∈Pについて
b_p∈p∩B, a_p∈p∩(R＼B)
を満たすので、これを用いて関数 f:R^2→{1,2} を
f(X)=1 (X∈Bの時), 2 (それ以外)
と定めれば良い。

>>500
BとR＼Bで>>488の例になるかな

>>501
BもR＼Bも、どの弧とも共通部分を持たなければならないことを考えると、なると思う

でも、そのような例であれば他にも
Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合みたいな分割はできそう

>>500
まって。よくわからない。
b_pを構成するところにもfが出てくるけどコレは我々が作らないといけない関数f:R^2→{0,1}のfとは別物だよね？
目標としてる命題は
∃f:R^2→{0,1} ∀p:[0,1]→R^2 ‥‥
だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？

>>502
>Q∪C (Qは有理数、Cはカントール集合) とその補集合
なーるほど
ありがとう

>>503
>だからfの構成はpにdependしてはいけないはずだけど大丈夫？
まずBを作ってそこからｆを作ってるから大丈夫

>>505
Bを作る時にPが出てきて、そのPはfから来てるけど、fは[0,1]からR^2への連続関数で好きなものとってくるの？

>>506
納得いかないならPを定義しているところのｆはｇにでも名前変えてみたら？

>>507そのgはどんな関数を使ってもいいんですか？

わかった。
連続写像の像として得られる閉集合の全体がPか。
なるホロ

なるホロ、理解できた！
素晴らしい！

やべえ、fを複数箇所で使っちまった
必要であれば>>500は以下のように訂正して読んでください
誤
ゆえに、定数でない連続写像 f:[0,1]→R^2 の像全体からなる集合Pは、
正
ゆえに、区間[0,1]からR^2への定数でない連続写像の像全体からなる集合Pは、

一辺10[m]の正方形ABCDのプールがある

点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない

点Aから正方形の中心まで泳ぐのに掛かる最短時間を求めよ

>>512

> 点Dでは水が湧き出しており、点Dからr[m]離れた場所では(r/10)[m/s]までのスピードでしか泳げない

コレはその地点ではどっちの向きを向いていてもr/10？
Dに向かっていようがいまいが？

>>513
とりあえず問題文の通りどの向きでもr/10
さすがに向きによってスピード変わると難しくなる

そんな湧き出し方が現実に存在するかどうかは知らん

>>514
なるほど。
じゃあ測地線求めよみたいなもんなのかな？

>>513
無意味な文章題だよな
こんな問題出題したら大顰蹙だ

>>515
測地線というより断面積最小化かな

>>516
まあじゃあ湧き出しじゃなくて場所によって水質や重さが違うってことにしてくれ

前>>490
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって弧を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──�@
距離について、
1･t-(1/2)at^2=2π･5(1/4)t-at^2/2=5π/2
2t-at^2=5π
�@を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=5π
(1+1/√2)t=5π
t=5π/(1+1/√2)
=5π√2/(√2+1)
=5π√2(√2-1)
=π(10-5√2)
=9.20151185……(秒)

>>518
不正解

>>517
断面積？
中心をE、AからEへのpathをp(t)(0<t<1)として所要時間は
T=∫[0,1] 10/r |x'(t)|dt
だから計量が
ds^2=(dx^2+dy^2)/r^2
のときの測地線を求めよになるのでは？

>>520
失礼しました
f(x)=1/||x||のグラフ上で線積分をしてるから断面積を最小化するという考えです

たしかにそれなら測地線問題ですね

>>512
Dを原点として極座標(rcosθ,rsinθ)を取り
曲線θ=f(r), 5π/4=f(10√2)=f(5√2)上を泳ぐときの時間は
T(f)=∫[5π/4,10√2]√((cosθ-rsinθdθ/dr)^2+(sinθ+rcosθdθ/dr)^2)/(r/10)dr
=10∫[5π/4,10√2]√(1/r^2+(f'(θ))^2)dr
この最小値はf'(θ)=0のときで
minT(f)=10∫[5π/4,10√2](1/r)dr
=10log2

>>522
不正解です
f’=0の場合、境界条件を満たしません

すまん、CとDを間違えた、522は取り消し

>>512
極座標の曲線r=f(θ), 10=f(-π/2), 5√2=f(-π/4)上を泳ぐ時間は
T(f)=10∫[-π/2,-π/4]√(1+(f'(θ)/f(θ))^2)dθ
δT(f)=0に対するオイラーラグランジュの方程式は
-(f'/f)^2/(f√(1+(f'/f)^2))-(d/dθ)((f'/f)/(f√(1+(f'/f)^2)))=0
整理すると
(f'^2-f''f)(f^2+f'^2)^(-3/2)=0
この解はf(θ)=a e^(bθ)で境界条件を合わせると
f(θ)=10e^((-θ-π/2)(2log2)/π)
このとき
T(f)=10∫[-π/2,-π/4]√(1+(2log2/π)^2)/dθ
=(5/2)√(π^2+4(log2)^2)

前>>518
8秒切るのかよ──。
泳ぐ経路は放物線か？

前>>526
5/{4log(√5+2)}+5√5/2
=7.58390826(秒)

>>525
素晴らしい
正解です

>>527
不正解

前>>527
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって放物線を描くようにt秒間泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──�@
距離について、
1･t-(1/2)at^2=1.4789･5
2t-at^2=14.789
�@を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.789
(1+1/√2)t=14.789
t=14.789/(1+1/√2)
=14.789√2/(√2+1)
=14.789√2(√2-1)
=14.789(2-√2)
=8.66319563……(秒)

>>529
不正解

イナって小数好きだよね

>>525
左上の頂点Dを極とする極座標ですね。
　DP = f(θ) = 5･e^{-(2log2)θ/π} = 5･2^(-2θ/π),
　T(f) = (5/2)√{π^2 + (2log2)^2} = 8.584657992882624266 (秒)
経路は対数らせん。

>>529
t秒後の速度と位置を
　v = 1 - at,
　AP = t - (a/2)tt,
とする。
AD=10(m), ∠PAD = 45ﾟ　ゆえ
第二余弦定理より
(DP/10)^2 = 1 - (√2)(AP/10) + (AP/10)^2
　≧ 1 - (√2)(AP/10)
　= 1 - (√2){t -(a/2)tt}/10,
また
　v^2 = (1-at)^2,

題意 (v ≦ DP/10) を満たすために
　a = 1/(10√2),
とすると、到達時間は
　t｡ - (a/2)t｡^2 = 5√2 = 1/(2a),
より
　t｡ = 1/a = 10√2 = 14.1421356　(秒)
となり、止まってしまう････orz

;;;;;;;;人;;;;;;;;;;
;;;;;;（＿）;;;;;;;;
;;;;;（＿＿);;;;;;;;
;;;;;（＿(`);;;;;;;;
;;;;;（＿_っ┓;;;;;;
;;ε=◎ﾞ┻υ◎ﾞ;;;;;
ﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝﾎﾟﾝ……。螺旋状に正方形の中心に近づくように泳いだほうがいいな。前>>532標的に対しできれば右回りで、左回りでもいいけどじゅうぶん近づいてから中心に切りこむ。湧水による減速を最小限にとどめるべきだ。

前>>535
>>512
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かってまっすぐ直線をt秒間泳ぐと、速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──�@
距離について、
1･t-(1/2)at^2=5√2
2t-at^2=14.1421356
�@を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=14.1421356
(1+1/√2)t=14.1421356
t=14.1421356/(1+1/√2)
=20/(√2+1)
=20(√2-1)
=20･0.41421356……
=8.28427123……(秒)
あれ？　まっすぐ泳いだほうが速いのか。

>>536
経路も計算も不正解

長さが1の正三角形ABCの辺を単位長さが1オームの導線で結び、
辺AB,BC,CAに中点E,F,Gを取り、EF,FG,GEに対しても同じ導線で結ぶ。
さらに辺BCを共有する三角形EBFと三角形GFCに対しも同様にして辺の中点を取り導線で結ぶ。
この操作を無限に繰り返したとき、AB間とBC間の抵抗値を求めよ。

Aから、Dを中心とする半径10mの円周に沿って30ﾟ進む。v=1 (m/s)
　20π/12 = 5.235988 (秒)
そこから対角線の交点に向かって y軸方向に直進する。
　点(5,y) での速度は v ≦ DP/10 = (1/10)√(25+yy)
　T = ∫[5,5√3] (1/v)dy
　≧ ∫[5,5√3] (10/DP)dy
　= ∫[5, 5√3] 10/√(25+yy) dy
　= [ 10 arcsinh(y/5) ](5, 5√3)
　= 10 (1.3169579-0.8813736)
　= 4.355843 (秒)

これを合計して　9.591831 (秒)

>>539
不正解

イナとかいう計算機にぶち込んで出てきた小数を脳死でレスして毎回間違う意味わからんクソコテ何者だよ

>>536
　v = 1-at,
　AP = t -(a/2)t^2,
より
　v^2 - (DP/10)^2
　= (1-at)^2 - {1 -(√2)(AP/10) +(AP/10)^2}
　= AP(10√2 -200a -AP) /100,

・ここで a = 1/(10√2) なら
　v^2 - (DP/10)^2 = -(AP/10)^2 ≦ 0,
v ≦ DP/10 で題意を満たす。
・ところが
　1-at｡= 1/√2,
　t｡ -(a/2)t｡^2 = 5√2,
と置くと
　a = 1/(20√2),
　v^2 - (DP/10)^2 = AP(5√2 -AP)/100 ≧ 0,
　v ≧ DP/10,
となり、題意を満たさない。

F:R→RはC^2級で以下の条件を満たすとする
・ある定数0<c,Cがあり、c≦F’’(x)≦C (x∈R)
・x^2≦F(x) (x∈R)

このとき、min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) }が存在することを示せ.

>>543
失礼しました修正します

任意のa,b∈Rに対して
min{∫_0^1 F(u’(x)) dx | u ∈ C^1((0,1)) ,u(0)=a, u(1)=b}が存在することを示せ.

です

前>>536
>>538
EA間の抵抗値は1/2[Ω]のはずだが、Eで三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/2)^3/(1/2+1/2+1/2)
=(1/8)/(3/2)
=1/12
になる。
BEの中点からEまでの間の抵抗値は1/4[Ω]のはずだが、BEの中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/4)^3/(1/4+1/4+1/4)
=(1/64)/(3/4)
=1/48
になる。
BとBEの中点の中点からBとBEの中点までの間の抵抗値は1/8[Ω]のはずだが、BとBEの中点の中点で三ツ又に分岐しているから、
合成抵抗は並列で、
(1/8)^3/(1/8+1/8+1/8)
=(1/512)/(3/8)
=1/192
AB間の抵抗値は、
1/12+1/48+1/192+1/768+1/3072+……)
=(1/3)(1/4+1/16+1/64+1/256+1/1024+……)
=(1/3){1/(1-1/4)}
=4/9[Ω]
BC間の抵抗値は、
CA間の抵抗値がAB間の抵抗値と同じ4/9[Ω]だから、
推定すると、1/9[Ω]

>>545
不正解

イナさん絶好調

前>>545
>>512
Aから初速1[m/秒]、加速度-a[m/秒^2]で螺旋を描くようにＬ[m]を減速しながらt[秒]泳ぎ、終速1/√2[m/秒]で正方形の中心に到達したとすると、
速度について1-at=1/√2
at=1-1/√2
距離についてt-(1/2)at^2=Ｌ
t{1-(1/2)(1-1/√2)}=Ｌ
t(1-1/2+1/2√2)=Ｌ
t(1/2+1/2√2)=Ｌ
t(2√2+1)/2√2=Ｌ
t=Ｌ･2√2/(2√2+1)
=Ｌ･2√2(2√2-1)/7
=Ｌ(8-2√2)/7
もしも今対数螺旋とかいうＬが、
Ｌ=5･(√2)^eなら、
t=5･(√2)^e･(8-2√2)/7
=9.4762526……(秒)
螺旋泳ぎおっせー。
短距離だからかな。

A(0,-10)
B(10,-10)
C(10,0)
D(0,0)
とし、放物線 y = bxx -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから b=1/5.

v = DP/10
　= √{(x/10)^2 + (1-bxx/10)^2}
　= √{1 - ((20b-1)/100)x^2 + (bb/100)x^4},

ds = √{1+(2bx)^2} dx,

T = ∫[0,5] (1/v) ds
　= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2} (10/DP) dx
　= ∫[0,5] √{1+(2bx)^2}/√{1 -((20b-1)/100)x^2 +(bb/100)x^4} dx
　= 8.6463092　(秒)

0.72%ほど遅い。。。

>>550
3次関数 y = cx^3 -10 に沿って進む。
対角線の交点(5,-5)を通るから c=1/25.

v = DP/10
　= √{(x/10)^2 + [1 - (c/10)x^3]^2},

ds = √{1 + (3cxx)^2} dx,

T = ∫[0,5] (1/v) ds
　= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2} (10/DP) dx
　= ∫[0,5] √{1+(3cxx)^2}/√{(x/10)^2 + [1-(c/10)x^3]^2} dx
　= 8.78206166　(秒)

2.3%ぐらい遅い。遠回りし過ぎ？

前>>548
一辺10[m]のプールのA側の1/4を使って螺旋状に泳ぐべく右蹴り足をやや強く蹴り、左に旋回しながら一周で半径と同じピッチ上がる螺旋の長さのぶんだけ時間がかかると考えて、
ピタゴラスの定理より、
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
(5/2)√((2π(1/2))^2+(1/2)^2)
=7.95283141……(秒)
最速!!

前>>552
加速度を-aとして、
AからABCDの中心に向かって螺旋を描くようにt秒間で7.952813141[m]泳ぐと、
速度について、
1-at=1/√2
at=1-1/√2──�@
距離について、
1･t-(1/2)at^2=7.952813141
2t-at^2=15.905626282……
�@を代入すると、
2t-(1-1/√2)t=15.905626282……
(1+1/√2)t=15.905626282……
t=15.905626282(2-√2)
=9.31730016……(秒)
たいして速くない。

>>512はもう>>525で答え出てるんじゃないの？

√{π^2+(2log2)^2}
水平距離がπ、2πr=πとすると半径r=1/2
ピッチが2log2
──どういうことや？
前>>553ピタゴラスの定理より、螺旋の長さは、
√{π^2+(2log2)^2}
湧水の影響を避け螺旋状に中心に向かって右から旋回しながら中心に至る経路が最速なのはわかる。なんでピッチが2log2と一意に決まるのか。

円卓の席に座る方法を考える。
4人席の場合、既に着席している4人が1,2,3,4と書かれたくじを引いて、反時計回りに1,2,3,4と並ぶように座り直すことにする。1の席が固定されているということはない。
すると、どのようにくじを引いたとしても高々2人の移動で済むことが簡単な考察で分かる。
では一般にn席あって着席済のn人が1,2,…,nと書かれたくじを引く時、移動しなければならない人は高々何人だろうか？

前>>556
>>558
4人いたら2人移動。
5人いたら3人移動。
n人いたら、
高々n-2人移動すれば半時計回りに番号順に並べると思う。

>>558
n人が『時計回りに』1,2,…,nの番号を引いた場合、
動かずに済む人数は、nが偶数の時2人、奇数の時1人となる。
また、どのようにくじを引いても1人は動かずに済むことから、
nが奇数の時の答えはn-1人であることがわかる。

nを偶数とし、Z/nZ上の任意の全単射fをとる。
g(x):=f(x)-x もZ/nZ上の全単射を与えていると仮定すると
Σ_(x∈Z/nZ) g(x) = Σ_(x∈Z/nZ) f(x) = Σ_(x∈Z/nZ) x = n/2 + nZ
となるが、これは
Σg(x) = - Σx + Σf(x)
と矛盾。ゆえにgは全単射でない。
したがって、f(x)-f(y)=x-y を満たす異なる x,y∈Z/nZ が存在。
以上の考察から、n人がどのようにくじを引いても、2人は動かずに済む。
よって、nが偶数の時の答えはn-2人。

>>560
素晴らしい

以前、たしかこのスレに、
円に内接する多角形を三角形に分割したとき、
どのように分割しても、
それらの三角形の内接円半径の和は一定である、
という問題があったが、四角形の場合の証明が分った。

円に内接する四角形を、右上から左回りにABCDとし、
各辺をAから左回りにa、b、c、dとする。
円の中心Oからa、b、c、dに下ろした垂線をe、f、g、hとし、
対角線AC、BDに下ろした垂線をi、jとする。
また円の中心Oは△ABC、△BCDの外にあるとする。

また外接円半径をR、
△ABC、△ACDの内接円半径をr1、r2
△BCD、△ABDの内接円半径をr3、r4とする。

するとカルノーの定理により、
e+f-i=R+r1、g+h+i=R+r2 ⇒e+f+g+h=2R+r1+r2
f+g-j=R+r3、h+e+j=R+r4 ⇒e+f+g+h=2R+r3+r4
∴ r1+r2=r3+r4

それ日本の定理っていう名前がついてるやつか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

へぇ、そんな名前がついてるのか。

この式は n=1.61693 の辺りで極小値 8.61175 となる。(0.315%遅い)
この辺が曲線 y = 5(x/5)^n -10 に沿って進む場合の限界かな〜

https://matome.naver.jp/odai/2142193955410363201
Naver まとめ
おもしろく、素敵で、考えさせられる、大学入試問題 519gugさん 2015年01月23日

最も短い入試問題　（京都大学編）

tan１°は有理数か。

2006年　京都大学　後期　理系　第6問

超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。

出典
http://mathtrain.jp/tan1

>>567
>ほとんどの受験生が解けなかった
なんで？加法定理は有理式じゃん

京都の後期受ける人ならみんな解けそうだけどな

>>567
tan１°が有理数であるならばtan30°も有理数で矛盾

4Dエンジンを作った。
回転する4Dの超立方体のサンプルが付いている。
画像とソースコードは：
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3677-0

そういう知識の活用ができる人は少ないって事でしょう

正の有理数 x,y,z は xyz=1 を満たし、自然数 a,b,c と
a=12x(y+1),b=12y(z+1),c=12z(x+1)
の関係がある。
　a+b+c　の値が 100と最も近いもの　および、1000 と最も近いもの、および、10000 と最も近いものを見つけよ。

1=144/(ab)+144/(bc)+144/(ca)+3456/(abc)
以下ry

(tan(x))^2が有理数となるxを決定せよ。

訂正
(tan(π/n))^2が有理数となる自然数nを決定せよ。

>>575
　{ sign(q)･arctan(√|q|) + nπ | q∈Q, n∈Z }
かな

和を1/2に保ちながらエジプト分数の項数を二倍に増やす

1/2=1/3+1/6=1/4+1/10+1/12+1/15=1/5+1/14+1/20+1/21+1/24+1/28+1/35+1/40=
1/6+1/18+1/30+1/30+1/33+1/36+1/44+1/45+1/60+1/65+1/63+1/70+1/77+1/84+1/88+1/104=
1/7+1/22+1/39+1/42+1/42+1/52+1/55+1/60+1/66+1/70+1/85+1/90+1/99+1/112+1/117+1/119+
1/126+1/126+1/130+1/133+1/144+1/152+1/154+1/165+1/168+1/170+1/198+1/204+1/209+1/228+1/234+1/273=1/2

有理数rに対して、rを約分しきった時の分子と分母の積をh(r)とおく。
ある実数xについて tan(x)^2=p/q (p,q>0 は互いに素な整数) が成り立っていると仮定すると、tan(2x)^2=4pq/(p-q)^2.

(i)p,qのうち片方が0でない偶数の時、もう片方は奇数であるから p-q は奇数。
ゆえに、4pq と (p-q)^2 は互いに素であるから
h(tan(2x)^2) = 4pq(p-q)^2 > h(tan(x)^2).

(ii)p,qの両方が奇数でありかつ少なくとも一方が5以上の時、4pq と (p-q)^2 の最大公約数は4.
したがって、h(tan(2x)^2)=(1/4)pq(p-q)^2.
仮に h(tan(x)^2)≧h(tan(2x)^2) が成り立っているならば、|p-q|=2 より tan(2x)^2=pq.
(p≧5 または q≧5) かつ |p-q|=2 より、pとqのどちらも3以上であるから、|1-pq|>2.
ゆえに、h(tan(4x)^2) = (1/4)pq(1-pq)^2 > pq = h(tan(x)^2).

以上の議論から、tan(x)^2=p/qが(i)と(ii)のどちらかの条件に当てはまるならば、
数列 {tan(2^n･x)}_(n≧1) は周期的にならない。
一方、xがπの有理数倍の時はこの数列が必ず周期的になるので、
x/πとtan(x)^2の両方が有理数になるのは tan(x)^2=0,1/3,1,3 の時のみ。
これは x/π-n = 0, ±1/6, ±1/4, ±1/3 の場合に相当。

>>580
正解です。
中々面白い解答で素晴らしい。
想定の解答は

(tan(mπ/n))^2 が有理数でm,nが違いに素ならQ(tan(π/n))はQの2次拡大なのでこのようなnを決定すればよい。
cos(2π/n)∈Q(tan(π/n)、[Q(cos(π/2):Q]=φ(n)/2 (n≧3) なのでφ(n)≦4が必要。
よってn=1,2,3,4,5,6,8,10,12が必要。
以下ry

でした。

(tan(2π/n))^kが有理数となる自然数n,kを決定せよ。