有理数rに対して、rを約分しきった時の分子と分母の積をh(r)とおく。
ある実数xについて tan(x)^2=p/q (p,q>0 は互いに素な整数) が成り立っていると仮定すると、tan(2x)^2=4pq/(p-q)^2.

(i)p,qのうち片方が0でない偶数の時、もう片方は奇数であるから p-q は奇数。
ゆえに、4pq と (p-q)^2 は互いに素であるから
h(tan(2x)^2) = 4pq(p-q)^2 > h(tan(x)^2).

(ii)p,qの両方が奇数でありかつ少なくとも一方が5以上の時、4pq と (p-q)^2 の最大公約数は4.
したがって、h(tan(2x)^2)=(1/4)pq(p-q)^2.
仮に h(tan(x)^2)≧h(tan(2x)^2) が成り立っているならば、|p-q|=2 より tan(2x)^2=pq.
(p≧5 または q≧5) かつ |p-q|=2 より、pとqのどちらも3以上であるから、|1-pq|>2.
ゆえに、h(tan(4x)^2) = (1/4)pq(1-pq)^2 > pq = h(tan(x)^2).

以上の議論から、tan(x)^2=p/qが(i)と(ii)のどちらかの条件に当てはまるならば、
数列 {tan(2^n･x)}_(n≧1) は周期的にならない。
一方、xがπの有理数倍の時はこの数列が必ず周期的になるので、
x/πとtan(x)^2の両方が有理数になるのは tan(x)^2=0,1/3,1,3 の時のみ。
これは x/π-n = 0, ±1/6, ±1/4, ±1/3 の場合に相当。