面白い問題おしえて〜な 31問目

過去ログ置き場(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3〜6「datが存在しません。」
7 http://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/

なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて〜な 30問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/

>>849
これって>821と逆のことをやっているだけのような気がするな。
一様分布する球面上の点を極形式で表示したときに緯度・経度が一様分布はしないんだろうな。

>>854
数理を理解できないままにグラフ化すると

plot(θ,φ*cos(θ),bty='n',pch='.',xlab='θ(北極点からのラジアン)' ,,ylab='φ（経度)*cos(θ）')

https://i.imgur.com/R8TFUG3.png

理解が足りないので断念。

>>856
θを北極点からのにするなら
sinθ掛けて

>>855
極に近い方がずっと狭くなるからね
球面の表面積は円柱の側面積と同一であるという
2000年前から知られている原理からすると
xyzに落とし込んでもそれぞれの座標上で一様分布になる
これは>>836の
https://i.imgur.com/xX0mTim.png

>>850
リンデマンの定理より有理数q≠0に対して e^(iq) が超越数であることから従う

>>857
θとφの定義は下図に準拠
http://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/figures/fig27.png

rm(list=ls())

vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}

# 直交座標を極座標に
c2p <- function(xyz){ # (x,y,z) -> (θ,φ) Cartesian 2 Polar
x=xyz[1];y=xyz[2];z=xyz[3]
r=sqrt(x^2+y^2+z^2) # =1になるx,y,zの組合せ
theta=acos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2)) # = acos(z) [0,π]の値
phi=ifelse(y>0,acos(x/sqrt(x^2+y^2)), # y>0ならφ < π
2*pi-acos(x/sqrt(x^2+y^2)))# y<0ならφ > π
c(theta,phi)
}

n=1e5
vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る

vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る
v=t(vtx) # 転置してn行３列(x,y,z)に
head(v,3) ; tail(v,3)
vp=apply(v,1,c2p) # 各行毎にx,y,z -> θ,φに変換
tp=t(vp) # theta θ, phai φ 転置してn行2列(θ,φ)に

fn <- function(x){ # 0<=φ & φ<=sin(θ)を満たすかを返す
θ=x[1]
φ=x[2]
0<=φ & φ<=sin(θ)
}
tp1=tp[apply(tp,1,fn),] # fnがTRUEになるθ,φを抽出して
θ=tp1[,1]
φ=tp1[,2]

plot(θ,φ*sin(θ),bty='n',pch='.', xlab='θ(北極点からのラジアン)',ylab='φ（経度)*sin(θ)')
# グラフ化

https://i.imgur.com/dtO0oRW.png

正弦波が描出されただけのような？

>>859
素晴らしい
正解です

>>852
>844のシミュレーション結果に相当する結果ですね。
計算法はさっぱり思いつかないけどｗ

>>860
>正弦波が描出されただけのような？
点の密度が正弦波の下でどこでも一定に見えるでしょ
だから球面上で一様分布だってことだよ
さらに厳密性のために
点の密度が一定かどうかを検定するには
十分細かく分割して
一様分布なら1つの区画内にあるはずの点の個数の平均を計算しておいて
それと実測値との差の2条の平均（分散）でできるんじゃないかなあ

>>860
>正弦波が描出されただけのような？
あれ？
正弦波の0〜πの部分と違うな
上に凸なのに両端近くに変曲点がある
なんで？

任意の実数に到達できるような関数電卓は存在するか？
関数電卓は、入力は整数で有限個の関数を持っており計算速度は無限大であるとする。

球面に一様分布らしき点を5000個発生させて、
各々の点でθが5°の球冠面にその点以外にどれだけの点が含まれるかを算出させてみた。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Spherical_cap_diagram.tiff/lossless-page1-597px-Spherical_cap_diagram.tiff.png
中央値9 平均9.56 標準偏差3.14という値になった。

> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000 7.000 9.000 9.556 12.000 23.000
[1] 3.148086

ヒストグラムだと
https://i.imgur.com/4XaXArc.png

# 球面一様分布 c(x,y,z)
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi)　# φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}

n=5000
vtx=t(replicate(n,vertex())) # n個の点x,y,zをつくる
rgl::plot3d(vtx[,1],vtx[,2],vtx[,3], col="slateblue")

Theta=(pi/180)*5
onCap <-function(x,y,theta){
acos(x %*% y) < theta # ベクトルの内積の逆余弦がtheta未満なら球冠上にある
}

hmonCap<- function(j){
count=0
for(i in (1:n)[-j]){
count = count + onCap(vtx[j,],vtx[i,],Theta)
}
return(count)
}
dots=sapply(1:n,hmonCap)
summary(dots) ; sd(dots)
hist(dots) ; table(dots)
BEST::plotPost(dots)

極に分布が偏る　
# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
だと

> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0 6.0 10.0 18.7 17.0 139.0
[1] 26.50699

標準偏差が大きいので一様とは呼べない。

ヒストグラムを描くとhttps://i.imgur.com/Y8mFUop.png

>>863
球面上の面積を一定にしてグリッドを描いてその中の点を数えるプログラムはできそうにないので断念して、
上記のように散布した点の周りに何個の点があるのかを数えるのに変えました。
色々と助言ありがとうございました。

>827の
正方形内で乱数x,yを発生させて　r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外だと

Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 9.00 13.00 12.58 16.00 33.00
[1] 5.694825

標準偏差5.69と前二者の間になった。　まあ、直感と合致した感じ。

>>819
計算教えて

>>869

単位球の表面積は4π。この球を平面で切り、（切断面を除く）表面積を3πとπに分けるためには、
平面と球の中心の距離はいくらか？　答えは
y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2

球と平面の距離が1/2なら、切断面の半径は(√3)/2

このことから、球面上を一様に分布した点があり、それを、赤道面上に投影すると、
半径(√3)/2の円内に半分の点があり、その外側のドーナツ型の部分に半分の点がなければならない。

>>827　の方法では、半径(√2)/2の円の内外で二分されるため、球面上を一様に分布した点とはならないと思われる。

ではどうすればよいかというと、[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
というのが、シンプルだと思われる。

>>830
>xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな
これね
スマン意図伝わってなかったかも知らん

>>871
一行の中に、二カ所もひどい間違いしてました。訂正します。
×：y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2
○：y=√(1-x^2)、π=∫[a,1]2πy√(1+(dy/dx)^2)dx　を解いて、a=1/2

>>871

[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
でやってみました。

>866とほぼ同じ平均と標準偏差になりました。

　 Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
1.000 7.000 9.000 9.585 12.000 24.000
[1] 3.193939

球面を、二つの平面、x=aとx=a+hでカットしたときの帯状の曲面の面積は、
カットする位置によらず、幅hにのみ依存します。
>>866はこの性質を利用した方法なので、球面一様分布を生成する正しい方法だと思います。
一方、>>827の方法は、正しくないという指摘です。

数aの問題です。

【300人を対象に「二つのテーマパークpとqに行ったことがあるか」というアンケートをおこなったところ、pに行ったことがある人が147人、qに行ったことがある人が86人、どちらにも行ったことのない人が131人であった。
　（１）両方に行ったことのある人の数を求めよ。
　（２）どちらか一方にだけ行ったことのある人の数を求めよ。】　という問題です。答えを見てもなかなか理解が出来ませんでした。

↑の問題書く板を間違えてしまいました。失礼しました。

↑板ではなくてスレです。初心者のため用語がごちゃごちゃになってしまいました。何度も失礼しました。

>>876
(1)147+86-(300-131)=64
(2)147-64=83 86-64=22から83+22=105
答が理解できない理由が謎。

>>875
緯度でθ+Δθでやると帯の面積はΔθだけなくてθの値にも依存しますね。

前>>843
>>817
面白い問題と言うからにはこのぐらいのことは起こらないとね。
半径1の球に内接する正四面体の一辺をaとして、
その体積はa^3√2/12
4つの頂点を無作為にとったとき、凸包の体積Vはちょうど一辺が1の正四面体の体積になるとか。
a=1のときV=√2/12
=0.11785113……

>>881
稀代の馬鹿

>>772
面白い問題おしえて〜な 31問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/859

誤爆orz

＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`∩∩､/､＼＼＼＼
＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼
＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`前>>881＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>817 (1/2)^3=1/8=0.125 ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼

前>>885
∵半径1の球表面にA,BをとるときABは0〜2の値を無作為にとるが、そのあいだを動かしたときもっともとり得る値はAB=√2
同様にAC=√2,BC=√2
もっともとり得る△ABCの面積は、
△ABC=(√3/4)(√2)^2
=√3/2
△ABCの重心をGとして、
四面体ABCDの△ABCを底面とした頂点Dの高さDGは0も含めいろいろな値を無作為にとるが、もっともとり得る値は、球の中心をOとしてOGと等しい。
つまり四面体ABCDの体積のもっともとり得る値は、3つの稜線のおのおのが直交し長さが1の三角錘の体積と等しい。

前>>886訂正。
>>817
四面体ABCD=(1/3)(1/2)･1
=1/6
=0.166……
∵>>886

>>817
数値積分による解
In[1]:= S[t1_,t2_,p_] := Simplify[Norm[Cross[{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[
t1]}-{0,0,-1},{Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]}-{0,0,-1}]]/2]
In[2]:= d[t1_,t2_,p_] := Simplify[Det[{{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[t1]},{
Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]},{0,0,-1}}]/(2 S[t1,t2,p])]
h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+Integrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/2}]]
In[3]:= h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+In
tegrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/
2}]]
In[4]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]h[d[t1,t2,p]]S[t1,t2,p]/3,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,
Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}]/Integrate[Cos[t1]Cos[t2],{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-
Pi/2,Pi/2}]
Out[4]= 0.11968

前>>889
>>881少数第三位を四捨五入すると、
V=0.12

>>891
少数第1位を四捨五入すると、V=0

>>890 の式を整理して精度を上げてみる
In[1]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]
(2(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2)
/(24Pi Sqrt[(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2])
,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}, WorkingPrecision->12, PrecisionGoal -> 11]
Out[1]= 0.119679720136

これってパソコンなしでは解けませんよね？

【富山県最強伝説】新型コロナウイルスPCR検査件数　54人　陽性0人
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1584811696/

ある集団から54人を無作為に選んでPCR検査したら陽性0であったとして
PCR検査の感度0.7　特異度0.9としてこの集団の有病率の期待値と95%信頼区間を求めよ。

>>893
数値的にしか解けないの？

Rの標準ライブラリは抽象代数計算ないから標準ライブラリだけなら数値積分しかできないだろな。

>>895
前計算してた人居るよ
確率密度関数与えられるから
あとは体積の計算して平均出すだけだけど
式は書けても計算ができそうもない

半径1の半円の内部に閉曲線を描く
このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ

前>>891
>>898
閉曲線で囲まれた領域が楕円のとき、
短軸1,長軸1/√2
面積π(1/2)(1/√2)
=π/2√2
周長2π√(1/2)√(1/√2)
=π√√2
面積/周長=1/2√2･√√2
=0.297301779……
蛹で越冬する感じか。

>>899
不正解
それなら半円そのもの
π/(2(π+2))=0.3055...
の方が大きい

前>>899
>>900半円は直線が入ってるら。不適だに。

>>901
いくらでも半円に近づけるから比が0.3055...に近い閉曲線が描ける
よって>>899は最大値ではない

でも内部だと確かにsupはあってもmaxが無いことになってしまうので>>898は改題します すみません

「半径1の半円の部分集合として閉曲線を描く
このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ」

ただし、ここで言う半円は{(x,y)∈R^2 | x^2+y^2≦1 ,y≧0}のことです

l = (sinθ/(1+sinθ))(θ+π/2) + (sinθ'/(1+sinθ'))(θ'+π/2) + cosθ/(1+sinθ) + cosθ'/(1+sinθ') + (π-θ-θ')
S = (θ/2)(sinθ/(1+sinθ))^2 + (θ'/2)(sinθ'/(1+sinθ'))^2 + (1/2)sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + (1/2)sinθ'cosθ'/(1+sinθ')^2 + (π-θ-θ')/2
maximize S/l where θ,θ'≧0, θ+θ'≦π

>>896
レスありがとうございます。
こういうアルゴリズムになるのかと愚考しています。
事前分布を選択する（例. 有病率は高々10%として(0.0.1]の一様分布とする)、
陽性確率は真陽性確率と偽陽性確率の和、
陽性数はこの確率で二項分布、

>>897
具体的には球面上の2変数の座標系stがあって
st平面上の領域Dと球面が(x,y,z)=f(s,t)で対応しているとき
球面上の一様分布を与えるst2変数の密度関数g(s,t)が存在し
dS/4π=g(s,t)dsdt
となる
頑張ればf,gは具体的な式で与えることは出来る
球面上の4点をp1=f(s1,t1)・・・p4=f(s4,t4)で表して
これら4点を頂点とする4面体の体積を表す関数V(p1,p2,p3,p4)を
何とか式で表せはするから
∬∬∬∬V(f(s1,t1),・・・,f(s4,t4))g(s1,t1)・・・g(s4,t4)ds1dt1・・・ds4dt4
を計算したら良いだけ

前>>901
>>902
y軸を挟んで(0,0)に中心をあわせた半径1,中心角45°の扇形を1対並べ、それを両サイドから挟むように半径1/2,中心角45°の扇形を並べ、その左右端に半径1/4,中心角45°の扇形を弧が滑らかにつづくようにくっつけて並べ、
(0,1),(±1/√2,1/√2),(±1/2±1/2√2,1/2√2),(±3/4√2±1/4,1/4√2),(0,0)の8点が滑らかにつづくように結ぶ。
点(0,0)を挟む円弧の中心を(0,t),中心角をθとおくと、
正弦定理より、
sinθ=(3/2√2+1/2)/2t
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
面積と周長をともに4つに分けて求める。
いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2
2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4
3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8
亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積をsとおくと、
面積/周長=(π/4+π/16+π/64+s)/{π/2+π/4+π/8+2πt(θ/2π)}
=(21π/64+s)/(7π/8+tθ)
=(21π/64+s)/{7π/8+(1+√2)(3/4)θ}
=(21π/8+8s)/{7π+6(1+√2)θ}
=(21π+64s)/{56π+48(1+√2)θ}
sは扇形半分から三角形を3つ引いて2倍で出る。
θを度数のまま代入してよいかは気になる。

(補足)
　θ｡ = 27.65781870881107747733891798287807ﾟ

(S/l)max. = (小円の半径) = sinθ｡/(1+sinθ｡)
　= 0.31702857011315030244270875179918713

(原点〜中心の距離) = 1/(1+sinθ｡)
　= 0.68297142988684969755729124820081287

>>905
まあ1点は固定して考えて良いし
2点目も1点目を通る大円で考えて
その上で一様分布で取れば良い(1次元)
3点目は半球内で一様に取るかな(2次元)
4点目は球上で一様に(2次元)
積分は5変数でよいかな

(続き)
　l(θ｡) = 1.48625008894369638043092594627639431
　S(θ｡) = 4.68806356604781887658254751068492774
　S/l = 0.31702857011315030244270875179918713

また、θ=30° のとき
　(小円の半径)　1/3,
　(原点〜中心の距離)　2/3,
　l(30°) = 2(3√3 +5π)/9 = 1.472358208
　S(30°) = (3√3 +11π)/27 = 4.645359042
　S/l = (3√3 +11π)/{6(3√3 +5π)} = 0.31695251

θ = 0 では
　l(0) = π+2 = 5.141593
　S(0) = π/2 = 1.570796
　S/l = 0.305507735

>>907
素晴らしい
数値としては0.317028570...で正解ですが、
なぜその形だと最大になるのか証明も欲しいところです

ヒントを言うと、あるパラメータ付き作用素の固有値をレイリー商により求めて、極限を飛ばすと(面積)/(周長)になることを利用します

>>911
閉曲線が囲む図形は
・凸集合として良い
・尖ってる部分が無いとして良い（つまり閉曲線は微分可能）
・半円の境界に接していない部分は、少なくとも局所的に曲率が等しいとして良い
ことから>>903の形を仮定していいはず

>>912
凸なのと、曲率が局所一定はいいと思うのですが、微分可能なのはどうしてでしょうか

>>914
尖ってる部分の外角をθとして、こんな風にθ/2の傾きの直線で切った時のlとSの変化を考えると、
切る長さxに対してlの減少は 2x(1-cos(θ/2)) (as x→+0)で近似できるのに対し、
Sの減少は (x^2*sinθ)/2 (as x→+0) で近似できる。
よって、x>0を十分小さく定めれば、より大きい S/l を実現できる。

あと忘れてたけど
・最大の S/l を与える閉曲線が存在する
も言う必要あるな…大したことないかもだけど

前>>906
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
=3(1+√2)/4
=1.81066017……
t^2=9(3+2√2)/16
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
面積と周長をともに4つに分けて求める。
いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2
2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4
3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8
亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積は等脚台形,鈍角三角形,うすい欠円からなる。
面積=π/4+π/16+π/64+πt^2θ/360°
+(1/4√2+1/4)(1/4√2)･2
+(1/2√2+1/4)(1/4√2)

-t(3/4√2+1/4)
周長=π/2+π/4+π/8+2πt(θ/360°)
=7π/8+{3(1+√2)π/2}(θ/360°)

>>915
あーなるほど...
たしかに角を小さく切る、つまり
xを(S/l)(4(1-cos(θ/2))/sinθより十分小さく取ればよりよい比が出るのか
ありがとうございました

Maxの存在ですが、そもそも閉曲線の集合を具体的に言ってなかったんですが、リプシッツ閉曲線の集合とすればおそらく存在は言えます

前>>916
面積=π/2
周長=2π/2+2=π+2
とすると、閉曲線はいくらでも半円に近づけられるんじゃないか？
面積/周長=π/(2π+4)
=3.05507735……

前>>918直線も曲線のうち。
半径1の半円のコーナー2か所を半径rの円弧で円くカットするとき、
半円のカットされる円弧部分に対する中心角をθとすると、
(1-r)sinθ=r
sinθ=(1+sinθ)r
r=sinθ/(1+sinθ)
1-r=1/(1+sinθ)
r^2=sin^2θ/(1+sinθ)^2
面積=π/2-θ+(1-r)rcosθ+πr^2(π+2θ)/2π
=π/2-θ+(1-r)rcosθ+r^2(π/2+θ)
=π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2
周長=π-2θ+2(1-r)cosθ+2πr(π+2θ)/2π
=π-2θ+2(1-r)cosθ+r(π+2θ)
=π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)
面積/周長={π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2}/{π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)}
={(π/2-θ)(1+sinθ)^2+sinθcosθ+(π/2+θ)sin^2θ}/{(π-2θ)(1+sinθ)^2+2cosθ(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ(1+sinθ)}
θで微分し、分子=0とすると、
θ=27.6578187……°

>>919
正解だけどもう>>907で解答出てます

いつもの芸風

>>921
正確がでてからも延々と誤答を連発するのが芸風だったようなｗ

.､､,,
彡`e)⌒〜っ
⌒〜っ
ιγ)
`彡´
υ´前>>919別解を探ってんだよ。

単位正方形を面積0.21未満の三角形5つで分割せよ

正方形は面積の等しい奇数枚の三角形では分割出来ないことを証明せよ

>>924
正方形を座標 [0,1]×[0,1] におく。
アドホックだけど
周上の3点 A(0,1), B(0.4,0), C(1,0.59) を考えると
線分ABが面積0.2の三角形を切り出す。
線分ACが面積0.205の三角形を切り出す。
線分BCが面積0.177の三角形を切り出す。
残った三角形ABCは面積が0.418だから、AからBCの中点へ線分を引くとこれを面積0.209ずつに等分する。

>>926
素晴らしい
正解です

ちなみに
「正方形を5つの三角形で分割したとき、一番大きな三角形の面積の下限」
については私は答えを知りません

おそらく>>926タイプが最小だと思うけど証明出来ません

n(=10)人の中から無作為にm(=2)人選んだらその中に少なくとも一人の感染者がいた。
全体で何人の感染者がいるかの期待値を求めよ。

5.345794人であってる？

>>929
4.324324人かな？

いや、6.5人じゃないかな？

前>>923
>>929違うと思う。
少なくとも1人ということは、2人中1人か2人が感染している。
2人中1.5人が感染しているから、10人だと、
1.5(10/2)=7.5
∴7人か8人が感染している。

>>924
周上の3点 A(0, 1)　B(√2 -1, 0)　C(1, 2-√2)　を考えると
4つの�凾ｪ合同になり　(√2 -1)/2 = 0.20710678 > 1/5
残った直角2等辺三角形は (√2-1)^2 = 0.171572875

一番小さい三角形の面積の範囲は 0.1682〜0.18 ですかね

6.5の計算式

x=0:n # 感染者数:x, 非感染数:n-x
pmf=1- choose(n-x,m)/choose(n,m) # 感染者がx人のときにm人中誰かが感染している確率　＝　1 - (ｍ人全員非感染の確率)
pdf=pmf/sum(pmf) # 確率密度関数化して
(E=sum(x*pdf)) # 期待値を計算

>>932
2人の感染数の期待値1.5に固定ではなくて全体の感染率に依存するんじゃないの？

# p:感染確率
p1=2*p*(1-p) # 一人だけ感染確率
p2=p^2 # 二人とも感染確率
(1*p1+2*p2)/(p1+p2) # 感染人数の期待値

1.5になるのはp=2/3のとき。

>>931
ツボの中に黒碁石がx個と白碁石が10-x個入っている確率をQ(x)とし、
黒石がx個の下で2個取って黒がn個である確率は、P(n)=C[x,n]C[10-x,2-n]/C[10,2]

P(1)=C[x,1]C[10-x,1]/C[10,2]=x(10-x)/45、P(2)=C[x,2]C[10-x,0]/C[10,2]=x(x-1)/90
だから、P(n=1,2│黒石=x)=P(1)+P(2)=x(19-x)/90
P(n=1,2かつ黒石=x)=Q(x)P(n=1,2│黒石=x)=Q(x)x(19-x)/90
P(黒石=x│n=1,2)=P(n=1,2かつ黒石=x)/納k=1,10]P(n=1,2かつ黒石=k)
=Q(x)x(19-x)/90/納k=1,10]{Q(k)k(19-k)/90}、ここで、Qが定数なら、
P(黒石=x│n=1,2)=x(19-x)/納k=1,10]{k(19-k)}=x(19-x)/660
xの期待値=納k=1,10]x*x(19-x)/660={19*10*11*21/6-(10*11/2)^2}/660=13/2

面白い問題見つけてきました、けっこう簡単だけども。


n次元実数空間上にn個の点P_1,P_2,…,P_nを、それぞれの座標が
P_1:(1,0,0,…,0)
P_2:(0,2,0,…,0)
P_3:(0,0,3,…,0)
…
P_n:(0,0,0,…,n)
となるように取る。
P_1〜P_nのn個の点で作られる(n-1)次元空間と原点Oの距離をd(n)としたとき
lim[n→∞] d(n) を求めよ。

https://twitter.com/StandeeCock/status/1242443303880028161?s=19
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

>>392
嘘をついてしまい申し訳ありませんでした

＞∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1

Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k<log((n-1)/m)より、(n-1)/m<eのとき、右辺<1よりp(m+1)<pmなので、
(n-1)/e<mのうち最小でないmは不適だから[n/e]+1より大きいmは不適
Σ[m≦k≦n-1] 1/k>log(n/m)より、n/m>eのとき、右辺>1よりp(m-1)<pmなので、
n/e>mのうち最大でないmは不適だから[n/e]より小さいmは不適
（また、p([n/e]+2)<p([n/e]+1)だからΣ[[n/e]+2≦k≦n-1] 1/k<1で、
Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k<1+1/([n/e]+1)<2）

Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/kが1未満のときm=[n/e]で、1以上のときm=[n/e]+1で最大だから、
m=[n/e]+[Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k]のとき最大

このときm/nlog(n/m)<pm<m/nlog(n/m)+1/nだから、pm→1/e

>>936
レスありがとうございます。
多数決で決める事項ではないけど同じ結論の人がいてほっとしました。

（謎）

昨日の東京のコロナ陽性者は87人検査して63人陽性であったという。
検査の感度0.6　特異度0.9と仮定して、87人中に感染者は何人と推定されるか？

キャバクラ客100人から無作為に5人から検体を採取してこの検体を混合攪拌してコロナ検査したところ陽性であった。
100人のキャバクラ客の陽性数の期待値を求めよ

>>943
401/7　になった

>>929
ベイズ的に考えると

n人からm人選んだら少なくとも一人の感染者がいたとする。

Ax: x人の感染者がいる(x=0~n)という事象
B:最低一人の感染陽性判定という事象
Pr[Ax|B]=Pr[B|Ax]Pr[Ax]/Pr[B]
Pr[Ax]:事前確率
Pr[B|Ax]:尤度
Pr[B]:周辺尤度(規格化定数)

求めたい期待値Eは
Σ(x*Pr[Ax|B])/ΣPr[Ax|B] = Σ(x*Pr[B|Ax]Pr[Ax])/Σ(Pr[B|Ax]Pr[Ax])
Pr[Ax]がxにかかわらず定数であれば
E=Σ(x*Pr[B|Ax])/Σ(Pr[B|Ax])

事前確率分布を一様分布と仮定しての計算ということだな。

↓この問題を初等幾何で解け
【幾何】日本数学オリンピック予選 23
【解説】日本数学オリンピック予選 ２００９年 問４
https://www.youtube.com/playlist?list=PLvkSrMcoOqr14JV0W3n7rMKvKMoYsOTdl

>>946
哀れな素人さん、どうもガロアスレのスレ主です。
面白い問題やね（＾＾；

(1) s²+s=n^4-n² を満たす整数s, nは存在するか。有限組あるならすべて求めよ
(2) 5^c+s²+s=n^4-n² を満たす整数c, s, n は存在するか。有限組あるならすべて求めよ

(2)　s(s+1) も nn(nn-1) も偶数だから矛盾。

b(x) は奇関数で、aを実数として
b(x)= ∫[0, x] b(u) du + ∫[a, x+a] b(u) du
を満たす。
(1) b(a), b(2a) を求め、
(2) a_n=∫[0, na] b(u) du とする。a_1= ∫[0, a] b(u) du =1 としてa_nをnを用いて表せ。

前>>932
>>948(1)
(s,n)=(3,2),(3,-2),
(0,1),(0,-1),
(-1,1),(-1,-1),
(8,3),(8,-3),
(-9,3),(-9,-3)

>>951
b(x) = F(x) + F(x+a) - F(a),
ここに　F(x) = ∫[0,x] b(u)du　は偶関数。

b(x+a) = - b(-x-a)
　= - F(-x-a) - F(-x) + F(a)
　= - F(x) - F(x+a) + F(a)
　= - b(x),
よって b(x) は周期2aをもつ。

ゆえに
b(x) = ∫[0,x] b(u)du + ∫[0,x] b(u+a)du
　= ∫[0,x] b(u)du - ∫[0,x] b(u)du
　= 0,