分からない問題はここに書いてね458

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね457
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1577457155/

(使用済です: 478)

「大麻で儲けを」高校生２人逮捕

＊ソース元にニュース画像あり＊

http://www3.nhk.or.jp/lnews/osaka/20200209/2000025148.html
※NHKローカルニュースは元記事が消えるのが早いので御注意を

奈良県内の高校に通う男子生徒２人が大麻を自宅で所持していた疑いで警察に逮捕されました。
一方の生徒が「大麻を栽培してお金を儲ける」と親に話したのがきっかけで、
生徒はプランターや電球などを準備していたということです。

大麻取締法違反の疑いで逮捕されたのは奈良県内の別の高校に通ういずれも奈良市の１６歳の男子生徒２人です。
警察によりますと、８日夕方、一方の生徒が父親に「大麻を栽培してお金を儲ける」と話して親子げんかになり、
駆けつけた警察官が生徒が準備していたプランターや電球、加湿器などを見つけたということです。

さらに、この生徒が「前の日に友人に大麻をもらって吸った」と話したため、
警察が友人の家を調べたところ、少なくとも５グラムの乾燥大麻と
大麻草の種とみられるものが見つかったということです。
２人はパイプなどの吸引道具も持っていて、いずれも「吸うために大麻を持っていたことに間違いありません」
と容疑を認めているということです。

警察は大麻の入手経路などについて詳しく調べることにしています。

a[n+2]=(D*a[n]+E)/(A*a[n+1]+B*a[n]+C)

この型の数列の解き方はどうやるんですか？

行列の問題なのですが、行列式から連立方程式を作る方法がわかりません
なぜ(x-6)^2でくくると行列式がこのようになるのでしょうか？

https://i.imgur.com/4imuYt7.jpg

この問題もなぜこのように行列式を方程式に変換できているのですか？
私事で申し訳ないのですが早めに教えていただけると助かります😭
https://i.imgur.com/vE9BVGg.jpg

すみません時間がなくてテンパってたのですが二つ目はできました
しかし一つ目がやはりわかりません

サラスの公式に則って襷掛けして、組み立て除法でこのような連立方程式を得ようとしたのですが無理でした
途中の計算が省かれすぎててわかりません…

>>5
行列式には多重線形性があるから
例えば
|a*x1 a*x2 a*x3|
|b*y1 b*y2 b*y3| =
|c*z1 c*z2 c*z3|
|x1 x2 x3|
|b*y1 b*y2 b*y3| * a =
|c*z1 c*z2 c*z3|
|x1 x2 x3|
|y1 y2 y3| * a * b =
|c*z1 c*z2 c*z3|
|x1 x2 x3|
|y1 y2 y3| * a * b * c =
|z1 z2 z3|
が成り立つ
詳しくは教科書を読んで

1行目と3行目からそれぞれx-6を出してるだけです
もしかして(3,2)成分のマイナスが見えてなかったりしてない？

あ、そもそも多重線形性が分からなかったのね
行列式の計算をする上で
・基本変形
・多重線形性
・余因子展開
の3つは最低限覚えるべき
というより、具体的な行列式の計算は全てこの3つを組み合わせるだけで終わる

-2x+120 で自爆の悪寒

＝を用いずに　４　４　９　３
の数字と四則演算記号だけ使用して
答えを１０に導ける式を作ってください。。。お願いします。

ここは分からない問題を書くスレです。
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。

解らない問題を書いてます。

とりあえず4×4すればわかるだろ

4ｘ4-9+3

ギリシャ文字24種類の文字数を足し合わせたら100になるのって不思議なんですが、
どういう仕組みだか分かる方いますか？偶然でしょうか。

円周率と自然対数の底の和は超越数になるか証明してください。

e + pi = Ω
e * pi = α

賞金1円です。

確率が1/p定義って数式的な定義ありますか？

>>19
日本語でおｋ

>>20
確率が1/pの定義とは何ですか？

>>16-17
ありがとうございます。
どうやら「とんち系」でした。。。(汗　
数板の問題じゃなかったかも。。。？
でした。。。
お騒がせ致しました。。。

https://i.imgur.com/sq7V4Bz.jpg

>>23
(1) y=-2(x-pi/4)
(2) ∫[0,pi/4] (-2(x-pi/4) - cos(2x)) dx = (pi^2-8)/16

>>8
>>9>>10
ありがとうございます😭

>>21
>確率が1/p
ここが謎

互いに素なa,bを用いてan+bと表せる等差数列は少なくとも一つ素数を含むことを、算術級数定理を用いずに証明するにはどうしたらよいのでしょうか？

>>27
b=1の場合は円分多項式を使うテクニックで割と初等的に示せたはず。
いっばの場合はセルバーグの確か1950年くらいだったかに証明してるらしいけど多分とても難しい。
元論文入手するしかないでしょう。

>>28
ありがとうございます！
探してみます。

二次多項式の場合はどうなるのか？と考えていたのですが、とても手に終えなさそうですね…
等差数列の場合だけでも理解できるよう頑張ってみます。

c,d:1より大きい整数
an+b=cd
cd≡b (mod a)
cd≡an (mod b)

x,y:整数
b+ax=an+by=an+b

x=n, y=1

>>30
これは取り消し

すみません、もう一点
an^2+bn+cの形で書ける既約な整係数多項式で、すべてのnについて合成数となるようなものは、すべて偶数になるもの(例：n^2+n+4)以外に存在するのでしょうか？

an+b=cd

a≡a1 (mod c)
a≡a2 (mod d)

b≡b1 (mod c)
b≡b2 (mod d)

a1n+b1≡0 (mod c)
a2n+b2≡0 (mod d)

a1n+b1=cx
a2n+b2=dy

(a1-a2)n+b1-b2=cx-dy

>>23
(1)y=cos2θ
y'=-2sin2θ
x=π/4のとき、
y'=-2sin(π/2)=-2
y=-2(x-π/4)
∴y=-2x+π/2
x=π/2のとき、
y=-2(π/2-π/4)=-π/2
-2＜-π/2＜-1だからグラフを描くと妥当だと思う。
(2)∫[x=0→π/4](-2x+π/2-cos2x)dx
=[x=0→π/4][-x^2+(π/2)x-sin2x/2]
=-π^2/16+π^2/8-1/2
=π^2/16-1/2

>>32
(n+1)(n+5)とか

>>35
既約多項式でお願いいたします。

>>36
a=1だと存在しないな。
多分一般でも無理

xy平面上の(0,0)を始点として、各点(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)...をこの順に線分で結んで出来る階段状の折れ線Lを考える。
すなわちLは、n=0,1,2,...に対して
{ (x,y) | x=n, n≦y≦n+1 }
{ (x,y) | n≦x≦n+1, y=n+1 }
の和集合である。

Lと直線y=(1+a)xが囲む各領域について、それらの面積の総和をaで表せ。
ただしaは正の定数である。

この恒等式の簡単な解釈可能ですか？
2*((sin(x))^4+(sin(y))^4+(sin(x+y))^4)+4*(sin(x)*sin(y)*sin(x+y))^2-((sin(x))^2+(sin(y))^2+(sin(x+y))^2)^2=0

>>34 すごく助かりました。ありがとうございます

cを実数の定数とし、
a[1]=c
a[n+1]=a[n]/(2-a[n])^2
により定まる数列{a[n]}がある。

（1）lim[n→∞] a[n]=1　となるcの範囲を求めよ。

（2）数列{b[n]}および{c[n]}を以下のように定める。
b[n]={a[1]+a[2]+...+a[n]}/n
c[n]={b[n]b[n+1]...b[2n-1]}^(1/n)
このとき（1）で求めた範囲のcに対して、極限lim[n→∞] c[n]を求めよ。

>>41
どんなcとってもa[n]->1にはならなくない？

>>42
確かに

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2F%282-x%29%5E2%29%27+%2C+x+from+0+to+10%2F9&;lang=ja

いや少なくともc=1,4を取ればなるな

>>44
おお、確かに。

鍋6個を大きい順に並べると、その値段は順に800円ずつ安くなる。
6個全部の合計は21000円。
一番大きい鍋の値段は？

答えはええねん
式がわからんねん

前>>34
>>46
いちばんおっきい鍋をx円とすると、
x+x-800+x-1600+x-2400
+x-3200+x-4000=21000
6x-15･800=21000
x=3500+5･400
x=5500(円)

>>47
∫[0,6] (x-800n) dn =21000

「名前を逆に書くのは猪口才だ。」と聞こえた
そのような些末な事柄で他者を非難するのは馬鹿げている

あー下らない

ローマ字表記で名前を先に書くとこの国のイカレタ人間の反応は
・「高木を騙らなくていい。」と言う
・「Kouji　Takakiはいない。」と言う
・「いないことにしました。」と家の中から意味不明な音声が聞こえてくる

結論として、ローマ字表記を変えるつもりはない。

>>41
(1)
a[n]→1 (n→∞)かつa[n]≠1と仮定すると、十分大きいn>Nに対して0<|a[n]-1|<1/2が成り立つ
しかし|a[n+1]-1|=|(a[n]-1)(a[n]+4)|/(2-a[n])^2>2|a[n]-1|だから矛盾する
したがってa[n]が1に収束するための必要十分条件は、あるk≧1においてa[k]=1になることであり
cの範囲は集合A[1]∪A[2]∪A[3]∪...に属すること
ここでA[1]={1}, A[2]={4}, A[n+1]={(1+4x+√(1+8x))/(2x)|x∈A[n]}∪{(1+4x-√(1+8x))/(2x)|x∈A[n]}

(2)
c∈A[k]のとき
a[n]=1 (n≧k)
よりX=Σ[i=1,k-1](a[i]-1)とすると
b[n]=1+X/n (n≧k)
と求まり
log(b[n]b[n+1]...b[2n-1])=Σ[i=0,n-1]log(b[n+i])
=Σ[i=0,n-1]log(1+X/(n+i))
→Σ[i=0,n-1]X/(n+i)
→X log2 (n→∞)
より
log(c[n])→(1/n)X log2→0 (n→∞)
c[n]→1 (n→∞)

下に凸で、常に正な関数fについて
f(x)f(y)≧{f(√xy)}^2が言える条件

これってどうなりますか？

これ１と２が合同には見えないよな。。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c8/1873_The_World_of_wonders.png

g(t) = log(f(e^t))　が下に凸

その条件が知りたいです

岡山大学2019の問題で漸化式
x[n+2]=(1+x[n+1])/x[n]
で与えられるものについての出題があるんですが、これ周期5の数列になります。
これなんでなんですか？
なんか一般論でこういうタイプの周期数列の理論かなんかあるんですか？

x[1] = a,
x[2] = b,
x[3] = (1+b)/a,
x[4] = (1+a+b)/(ab),
x[5] = (1+a)/b,
x[6] = a,
x[7] = b,
以下周期的

n≧4 に対して
　y[n] = (y[n-1] + y[n-2] + 1)/ y[n-3],
によって定められる数列は周期8をもつ。

秋山 仁＋P.フランクル 共著「 [完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991)
　p.7-8

>>57
　g '(t) = (e^t)f '(e^t)/f(e^t) = u f '(u)/f(u),
が単調増加だから
　{u f '(u)/f(u)} ' > 0,
ぢゃね？

>>60
ありがとうございます
f(x)=axx+bx+c、a,b,cは正の場合はlogf(e^x)も下に凸になるのでなんか法則あるのかなと思ったんですが無いですかね

ほむー！全部正係数なら必ず下に凸なんですね
ありがとうございます

>>59
へぇ、そんなのもあるんですね。
でも流石に数オリの本じゃなんでこんな現象が起こるのかの背景とかの解説とかはないですよね？

>>64　背景はわからんけど。。
http://ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu/7990_l9.htm
http://ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu2/9958_a7.htm

>>58
『差分と超離散』　共立出版
にその辺をいじった内容を見つけられます。

https://i.imgur.com/fGSqEzP.jpg

ちょっとした応用で詰まるの本当に悔しいです。

>>66　をヒントに解説っぽいのがあった
http://hakotama.jp/laboratory/works/public/03-Surikagaku-478-35-preprint.pdf

>>67
3^x=Xとか置けば
(i) X+1/X=t
t^2=X^2+1/X^2 + 2
(ii) X^2+1/X^2=t^2-2
(t^2-2)t=(X^2+1/X^2)(X+1/X)=X^3+1/X^3+X+1/X=X^3+1/X^3+t
(iii) X^3+1/X^3=(t^2-3)t
あとは代入して整理すれば(1)の答えが得られる
以降三次関数の問題

>>66
ありがとうございます。
その本読むとこの不思議な周期性もつ漸化式をボコボコ作れたりします？

トランプのハートのカード13枚から、同時に3枚取り出すとき、その3枚のカードの和が13の倍数になるような組み合わせは何通りあるか？
よろしくお願いします。

074 １３２人目の素数さん 2020/02/12 23:58:03
トランプのハートのカード13枚から、同時に3枚取り出すとき、その3枚のカードの和が13の倍数になるような組み合わせは何通りあるか？
以下、解答と質問部分
解答では1つの例として、取り出し方（2,8,9）に対して、（1,1,1）を加えていき、12回まで足して出てきた（）の組を一つの兄弟のように考えているのですが、この（）の組の合計が13C3になるのが理解できません
頭の良い方よろしくお願いします

元の数（2.8.9）から始まり（3.9.10）〜（1.7.8）と13通りあり、このどの数字とも被らない元の数の取り方が分からないです
本当によろしくお願いします

>>73
なるほど。
無限系列でいくらでもあるというわけではないんですね。
長と春休みに入るので入手してみます。
ありがとうございました。

>>286
というより元々13C3=286これある組み合わせを13個ずつ22組みに分類するんですよ。
第一類
123,234,345,456,‥,jqk,qk1,k12
第二類
124,235,346,457,‥,jq1,qk2,k13
‥‥
で各類に一個ずつ和が13の倍数になるものがある。
第一類の中にはqk1、第二類の中には346、‥

>>78
解答ありがとうございます。
この22組に分類した時にどういう風に元の数
（1.2.3）や（1.2.4）を取ればいいのかが分からないです。
22組ってことは例えば（4.8.12）とかは元の数になり得るのでしょうか？

上の22組って事は、というのは元の数としてとれる組み合わせが限られてくるっていう意味です

>>88
元の組みをまず最初に決めるのは数学的には完全代表系を選ぶという作業で一般にはとても難しい作業です。
今回ならいわゆる辞書式順序で一番若いものを代表元として選ぶなどという方法が取れます。
例えば48qならコレを含む類は
48q,59k,6t1,7j2,8q3,
9,k4,t15,j26,q37,k48,
159,26t,37j
の13個で辞書式に並べて一番若いのは159なのでコレを代表元とすれば良いとわかります。
どれが代表元になるかは代表元の選び方のルールに依ります。
辞書式順序で最後というルールにしてもいいし辞書式順序だけどアルファベットの順序は
48q123569tjk
の順序とすれば48qが代表元として選ばれます。

>>81
解答ありがとうございます
3つのカードの差に対して大小関係を決めた上で最初が1の時（1.〜）を考えたとしても、36通りはありそうなので、だとしたら、この中のいくつかは被っているという事でしょうか？

>>82
回答ありがとうございます、です。すみません。

>>62
そうですね。
被りなくダブりなく代表元を選ぶルールを見つけるのは一般にとても難しいので組の数をそのような代表元の数を数えて調べるのはとても難しい問題になることが多いですね。
正解の22にたいして36は相当多いのでそのルールだと大分被ってるんだと思います。
書き出して確かめてみるといいと思います。

例えば代表元のルールとして
(i,jk)が代表元(i<j<k)
⇔
・I=1、
・j-i≦k-j, j-i<13+i-k (発生する三つの隙間のうちj-iが一番小さくなるようにする。二つあるときはk-jとj-iが最小にする。
というルールで行けます。
条件は
2j-1≦k≦14-j
と整理され各jに対して適合するkは16-3j個。
これが正、勝2以上なのでjの範囲は2〜5。
それぞれkは10,7,4,1個あるので計22個です。
しかしc[13,3]÷13=286÷13=22の方が遥かに優れていますを

2次関数
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=cx^2+bx+a
を考える。
条件『-1≦x≦1において|g(x)|≦1』を満たすように実数a,b,cを変化させるとき、-1≦x≦1における|f(x)|の最小値の最大値を求めよ。

>>73
与式より
　{1-i･tan(π/N)}/{x[n+1] -i･tan(π/N)} - {1+tan(π/N)}/{x[n] -i･tan(π/N)} = 1,
cos(π/N) を掛けて
　ζ^(-1/2)/{x[n+1] -i･tan(π/N)} - ζ^(1/2)/{x[n] -i･tan(π/N)} = cos(π/N),
ここに
　ζ_N = exp(2πi/N) = {1+i/tan(π/N)}/{1-i･tan(π/N)},
である。(1のN乗根)
そこで
　y[n] = ζ^(-n)/{x[n] - i･tan(π/N)}
とおくと
　y[n+1] - y[n] = cos(π/N)ζ^(-n-1/2),
　y[n+N] - y[n] = cos(π/N)ζ^(-n-1/2)Σ[k=0,N-1] ζ^(-k) = 0,
y[n] は周期Nをもつ。
x[n] も周期Nをもつ。

訂正を････orz.
与式より
　{1-i･tan(π/N)}/{x[n+1] -i･tan(π/N)} - {1+ｉ･tan(π/N)}/{x[n] -i･tan(π/N)} = 1,
ここに
　ζ_N = exp(2πi/N) = {1+i・tan(π/N)}/{1-i･tan(π/N)},
である。(1のN乗根)

関数方程式 f(f(x))=x を満たす関数って

f(x)=(ax+b)/(cx+d) ( 行列A=[a b][c d] , A=A^2 )　以外で何かありますか？

一般解があればそれも

>>89　wolframalphaに聞いたらこんな例が返ってきた。一般解は？だけど
f(x) = 1/2 (sqrt(c_1^2 + c_2 - 4 x^2) + c_1 x)
f(x) = (c - x^3)^(1/3)

あっf(x)=f^(-1)(x)　だからy=xで対称ならなんでもいいのかな

ホモロジーの証明で分からないところがあるので教えてください
Xをn次元多様体、Kをその閉集合とする
(1) H_i(X,X-K)=0　(i＞n)
(2) a∈H_n(X,X-K)が0であることと、包含写像より誘導される準同型j_x:H(X,X-K)→H(X,X-x)について
任意のx∈Kでj_x(a)=0がが成り立つことが同値
という定理の証明ですが

まずKがコンパクトである場合を示したあとで、一般の閉集合Kについても
「a∈H_i(X,X-K)に対して、ある開集合U⊂Xが存在して、Uの閉包はコンパクトであり
aがあるb∈H_i(U,U-L)　(L=U∩K)の自然な準同型の像になる」
ことから証明しているのですがこのカッコ内はなぜ成り立つのでしょうか
(出典は中岡ホモロジー代数のp125です)

>>91
f: X×X -> X×X; (x,y) |--> (y,x)
f(f(t))=t

¬: {T,F} -> {T,F}; T |--> F, F |--> T
¬(¬(x))=x

t: R^(2×2) -> R^(2×2); [[a,b],[c,d]] |--> [[a,c],[b,d]]
t(t(A))=A
...

>>92
まずC(X,X＼K)のi次のサイクルはXの単体複体Δで∂ΔがX＼Kのサイクルとなるものです。
そこでUとしてはΔに出てくる単体の合併のコンパクト近傍(の内部)をとります。
すると自然にΔはUの単体複体ですが∂ΔはU∩(X＼K)=U＼Kのサイクルになります。

>>94
回答ありがとうございます
Δに出てくる単体の合併についてコンパクト近傍が取れることはどのように言えるのでしょうか

平面上に一辺の長さ2の正方形ABCDと点Pがあり、PはPA+PB+PC+PD=rとなるように平面を動く。

（1）rの最小値を求めよ。

（2）rの値により、Pが動いてできる軌跡が閉曲線となることがある。そのようなrの範囲を求めよ。

（3）以下の場合に、Pが動いてできる曲線と正方形の重心との距離を求めよ。
(i) r=6、(ii) r=32

>>95
そもそも単体複体とは単体Dからの連続写像の形式線形結合で単体Dはコンパクト空間なのでその像もコンパクト、その有限合併もコンパクトです。

実定数b,cは、b^2-4c<0を満たす。
2次方程式x^2+bx+c=0の2解をα,βとする。p,qを0でない実定数とし、数列{a[n]}を、

a[1]=α、a[2]=β
a[n+1]=pa[n]+qa[n-1]

により定める。

（1）数列{a[n]}が周期を持つように(p,q)を1組定めよ。

（2）（1）で求めた1組以外にも{a[n]}が周期を持つような(p,q)が存在するならば、それらを全て決定せよ。

前>>48
>>96
(1)r=√2+√2+√2+√2
=4√2
(3)(i)重心からの距離をxとすると、
4つのうち2つはあわせて正方形の対角線だから2√2
あとの2つはピタゴラスの定理よりあわせて、
2√{x^2+(√2)^2}
4つあわせて、
2√2+2√(x^2+2)=6
√2+√(x^2+2)=3
√(x^2+2)=3-√2
x^2+2=11-6√2
x^2=9-2√18
x=√6-√3

>>97
ありがとうございます。
単体複体の像全体Vがコンパクトなので、Vの各点を(多様体の座標でみた)開球で覆っておいて
コンパクト性からそのうちの有限個で被覆できるため、それらの和をUとするとUの閉包は閉球の有限和なのでコンパクト
という感じで構成できました、感謝です。

>>90 を見ると、
　f(x) ≠x が解なら g^(-1)(f(g(x))) も解
の希ガス

>>98
周期Nをもつには、
特性多項式 tt-pt-q の根が1の原始N乗根になればよい。
　(p, q) = (2cos(2mπ/N), -1)
　ただし、1≦m<N,　gcd(m,N)=1,　4m≠N,3N

一辺の長さnの正方形Sが、n^2個の一辺の長さ1の正方形のタイルで分割されている。マス目の一番左上のタイルには、1が記されている。
そこから以下のようにSに整数を記入していく。

・1の右のタイルに2を記入する
・2の下のタイルに3を記入し、3の左のタイルに4を記入する
・これで、Sの左上から2×2の正方形に数字が埋まった。さらに、4の右のタイルに5を記入し、5の右のタイルに6を記入し、…、最終的に2の右のタイルに9が記入され、3×3の正方形が完成する。
・以下、9の右に10を…と繰り返し、Sに蛇行状に整数を記入する。

【問題】
k=0,1,2,...,nとする。
整数nCkはどの場所のタイルに記されるか。

袋の中にn枚のカードがあり、それぞれに1,2,...,nの数が1つずつ書かれている。
いま、袋の中から無作為に1枚のカードを取り出し、書かれている数を見ないで破棄する。
残りn-1枚のカードが入った袋から、2枚のカードを同時に取り出し、それぞれに書かれた数を両方とも記録し、袋に戻すことを繰り返し行う。
破棄したカードを特定できるまでに、

（1）この操作を平均何回行うことになるか（注:必要な操作の回数の期待値を求めよ）。

（2）この操作により記録された数の総計の期待値を求めよ。

不等式
x^2+y^2 < (x^2+y^2+z^2)/3 < 2z
を満たすx≦y≦zなる自然数を全て求めよ。

>>105
x^2+y^2 < (x^2+y^2+z^2)/3 < 2z
(x^2+y^2+z^2)/3 < 2z
=> 6z-z^2=z(6-z)>0 より 1<=z<=5

x^2+y^2 < (x^2+y^2+z^2)/3
=> (z^2)/2 > x^2+y^2
∴ min((z^2)/2, 6z-z^2) > x^2+y^2
z=1,2,3,4,5のとき左辺は
1/2,2,9/2,8,5
（面倒なので）0は自然数でないとする
z=3 => (x,y)=(1,1)
z=4 => (x,y)=(1,1),(1,2)
z=5 => (x,y)=(1,1)
(x,y,z)=(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,2,4)

3次元空間の閉曲面
C:x^2n+y^2n+z^2n=1（nは2以上の自然数の定数）
と共有点を持つ平面のうち、Cと平面の共有点全体がなす曲線に囲まれる部分の面積を最大とするものをπとする。

【問題】
平面αが色々動くとき、αとCの共有点全体がなす曲線の周長をL(α)とする。
L(α)が最大となるのは、αがπと一致するときかどうかを判定せよ。

πって円周率ぢゃないの〜〜？

Cってこんな形？
・善通寺スイカ(縞王)
http://www.city.zentsuji.kagawa.jp/soshiki/22/sikakusuika.html

この形を最大限利用するなら、箱にするのがいいんぢゃね？

http://ikedanaoya.com/knowledge-in-various-matters/post-23881/

http://www.youtube.com/watch?v=p_eIQtGFA0k HikakinTV
http://www.youtube.com/watch?v=m_t9YCITUrc SeikinTV

ひょうたんの加工方法を参考に･･･

xy平面上の放物線y=x^2を絵に描くと地平線に接する楕円になるって話があるけど
双曲線 x^2-y^2=1を絵に描くと視点とキャンバスの関係によって楕円、双曲線、放物線のどれにもなるのですか？

やっぱり楕円の一部になるのでは？

(2n,n)と(2n,n-1)の最大公約数が1であるための、nについての必要十分条件を求めよ。

(2n,n)|n、(2n,n-1)|n-1、
∴((2n,n),(2n,n-1)) | (n,n-1)

nを2以上の自然数の定数とする。
n次関数f_n(x)を
f_n(x)=(x-1)(x-2)...(x-n)
について、以下の問に答えよ。

（1）各k=1,2,...,n-1に対し、f_n(x)はk<x<k+1の範囲で極値をとることを示せ。

（2）nは偶数とする。
（1）で述べたn-1個の極値の中で、その絶対値が最も小さいものをa[n]とおく。
a[n]はどの区間にあるか、適当な整数jを用いてj<x<j+1のように述べよ。

（3）（2）において、極限lim[n→∞] a[n]を求めよ。

直線Lと点Pが与えられたときにPを通る垂線と平行線を定規だけで作図は可能か？

(a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)なるn以下の非負整数の組(a,b,c,d,e,f)はいくつあるか。

(補足)
>>114
(2)
　f(x+1)/f(x) = x/(x-n),
　x<n/2 のとき　|f(x+1)| < |f(x)|,
　x>n/2 のとき　|f(x+1)| > |f(x)|,
よって f(x)=a[n] となるxは
　n/2 < x < (n/2) +1

>>110
円錐 x^2 = y^2 + z^2 を平面z=1 で切ると双曲線 x^2-y^2=1 になる。
切る平面(キャンバス)の傾きと母線の傾きの関係で楕円、双曲線、放物線のどれにもなる。

f(x)=(x-1)(x-2)...(x-n)-x^k
が極値を持たないような2以上の自然数nと非負整数kの組(n,k)は存在しないことを示せ。

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-1%29%28x-2%29-x%5E9&;lang=ja

三角形ABCの内接円と外接円がある円についての反転で互いに移りあっているとき
この円の中心と半径を求めてください

>>120
　(n,k)=(2,2) のとき　f(x) = -3x+2　(単調減少)
　n：偶数, k：奇数, k>n のときも単調減少。>>121

a,bを正の数としたとき、関数f(x)=1/(x^a(x^b+1)) の[0,∞)までの広義積分が収束するようなa,bの必要十分条件を求めよ。
ご教授願います。

Ｑ.１，２，４，８、・・・、２＾ｎ　という数列から１つ数を選んだとき、その最高桁が１となる「確率」はいかほどか？


無限個の集合で考えなくてもかまいません
ｎを有限としてｎ→∞としてもかまいません

答えだけで良いなら 1/9
2進数なら確率1だね

>>126
ブー　誤り
正しい確率は0.30102…

1,2,...,nの数が書かれたカードが1枚ずつ、合計n枚のカードがある。
A君はこのn枚の中から1つを選び、それに書かれた数Nを記憶する。
B君は以下の手順で、Nを特定する。

�@B君は1,2,...,nの中から好きな数を1つ選び、A君に伝える。
�AA君はその数がN以上だった場合、「以上」と答える。N未満だった場合、「未満」と答える。
　この�@と�Aを行うことを「操作」と呼ぶ。
�B操作を繰り返す。

【問題】
B君がNを特定するまでに、B君は何回操作を行う必要があるか、その期待値をE(N)とおく。
E(N)を求め、またj=1,2,...,NのなかでE(j)はいくつの異なる値をとるか述べよ。すべてのjに対しE(j)が同じ値を取る場合は、異なる値は1つとする。

これはひどい

>>125
ベンフォード法則じゃないの？

等式
(a+b)/(c+d)=cd/ab
を満たす自然数a,b,c,dで、(a+b)/(c+d)と
cd/abがともに既約分数であるものを考える。

（1）このような(a,b,c,d)は無数に存在するか述べよ。

（2）（1）において、無数に存在する場合は(a,b,c,d)でa≧100を満たすものを1つ求めよ。
また有限組しか存在しない場合は、すべて求めよ。

点Oを中心とする半径rの円Cがある。
Cの周上の点Pにおける接線をL、L上に2点A,Bを△OABが正三角形になるようにとる。
BからOAに垂線を下ろし、この垂線とCとの交点のうちBに近い方をTとする。
比AT/OTを求めよ。

>>131
正解です！

>>133
Tが円との交点であろうとなかろうと、
BからOAに下ろした垂線上の点なら、AT＝OTである（笑

左からやる方法もあるのか

1100101
二進法→十進法　
右から
1+4+32+64=101

左から
１→２倍して１足す
０→２倍
1, 3, 6, 12, 25, 50, 101

前>>99
>>133
AT/OT=1
∵Tが円C上にあろうとなかろうと正三角形の1つの頂点から向かいあう対辺に下ろした垂線は、これを二分するし、その途中のどの点とあとの2頂点を結んでもその2つの辺の長さは等しいから。
>>135同感。

白玉１６個と赤玉４個がある。これらを１０個の箱に各々２個ずつ無作為に分配するとき、
赤玉２個が入った箱がちょうど１つできる確率を求めよ。
玉の入る場所について、考慮しなくて良い、というイメージがわきません
最初の箱に赤玉二つ入るとした場合にも1/19×16/17×6となり、それが10C1×9C2個分あるのではないでしょうか（確率が1を超えてしまいますが…）
どなたかよろしくお願いします

赤玉4つを順に入れいくとして
p(1と2が同じ箱、3と4が別箱)
=1/9×6/7
∴ 求める確率は
1/9×6/7×6。

10×9×8×4/C[20,4]=192/323

-2≦x+y≦2…�@
-2≦y+z≦2…�A
-2≦z+x≦2…�B
この時xの値域を求めよという問題で

3式足して2で割って
-3≦x+y+z≦3
-2≦-(y+z)≦2を加え
-5≦x≦5
これは間違いで

�@+�Bより-4≦2x+y+z≦4、
-4-(y+z)≦2x≦4-(y+z)
�Aとあわせて2で割り-3≦x≦3
こちらだと正しい答えが出ます

正しい答えに辿り着くルートと間違いのルートはどう違うのでしょう？

また正しいルートでxの値域が正しく得られるという保証はどこからきているのですか？

>>142
問題を解くときは問題文の情報すべてを使わないといけない
正解の方法は、不等式�@�A�Bが持つ情報を3つ全て使ってる

さて初めの方法は、不等式�Aは使ってる。つまり情報3つのうち1つは使ってる
そこで肝心なのが、「不等式�@�A�Bを足して2で割ったもの…�C」に残り2つの不等式�@�Bの情報が含まれているかどうかだ

結論から言うと含まれていない
考えてみてほしいが、今使うべき2つの情報�@�Bは
-2≦x+y≦2　…�@
-2≦z+x≦2　…�B
だが、この�@�Bと先の投稿で作った不等式
-3≦x+y+z≦3…�C
は対等だろうか？
対等じゃない、一方から他方を作ろうと試行錯誤してみればいい、そのうち作れないと何となく気づくだろう

ということで、長くなったが結論としては
「�@�A�Bを合わせて作った不等式�Cの情報は、�@単独の情報と�B単独の情報を合わせたよりも少ない」
「だから�Cを�@�Bの代わりに使うと、不十分な解答が出る」

0≦x+y≦a…�@
0≦x-y≦b…�A
グラフ書いてみたら
0≦x≦(a+b)/2　とはならないことは言えるね。。
等号成立条件とか考えてみたらわかりそう

>>140,141
回答ありがとうございます
答えは96/323です
後、僕の疑問に答えて頂けると嬉しいです

>>136
ありがとうございます。
a,bを正の数としたとき、関数f(x)=1/(x^a(x^b+1)) のラプラス変換の収束座標を求めよ。
お願いします。

>>145
20個の場所に4個の赤玉を入れるから、分母はC[20,4]
2個は入る箱を選ぶのに10通り、1個ずつの箱を二つ選ぶのに9×8通り
1個ずつの箱には4通りの入れ方がある

前>>138
>>139
箱１２３４５６７８９10
→�@�B�D�F�H�J�L�N�P�R
�A�C�E�G�I�K�M�O�Q�S
�@�A�B……と番号順に玉を入れていくと、 �@が●の確率=4/20A�Aが●の確率=3/19

が○の確率=16/18
�Cが○の確率=15/17 7 �D率○=○14/1�D 1 ……
�J�J�J�J�Jが●の確率=2確/1率0=1/1
ちょっと文字化けが激しいが、すべて掛けあわせると、4845分の1







∴1/4845

>>145
p(1個目と2個目が同箱)=1/19
p(2個目と3個目が異箱 | 1個目と2個目が同箱)=16/17
∴ 求める確率は1/19 × 16/17 × 6。

>>147 訂正
20個の場所に4個の赤玉を入れるから、分母はC[20,4]
2個は入る箱を選ぶのに10通り、1個ずつの箱を二つ選ぶのに9×8÷2通り
1個ずつの箱には4通りの入れ方がある
9×8÷2×4/C[20,4]=96/323

皆さん回答ありがとうございます
1/19×16/17×6だと、箱の位置が考慮されてないですよね。例えば箱の1個目が赤2色だとして、この時も1/19×16/17×6になって箱の2個目に入る時も1/19×16/17×6になって、全部で1/19×16/17× 6×10C1×9C2になると思うのですが、なぜこれは考慮しなくて良いのですか？

>>151
1/19×16/17×6ってのは何を意味する計算なの？

俺がやった方法は玉を入れる場所を20ヶ所並べて無作為に玉を入れ（※1）、2つずつに区切ったときに一つの区切りだけ2つとも赤である（※2）確率と同じと考え、
※1が20C4通り
※2は赤玉がある区切りを選ぶ選び方が10C3通りでそのうち2個入る区切りを選ぶ選び方が3C1通りで1個入る2つの区切りは赤がどちらにあるのかでそれぞれ2通りあるので10C3×3C1×2^2

>>153
赤玉Aに対して赤玉BがAと同じ箱に入る確率が1/19、残りの赤玉一つに対して、白玉と同じになる確率16/17、どの二つの赤玉が一緒になるかの組合せで4C2です。

>>151
箱の位置を考えようが考えまいが2個目の球が1個目と同じ確率は1/19。
箱の位置って何？

袋の中にn個の区別できる球がある。
最初に袋からm個の球を取り出した後、これらの球を袋の中に戻す。
次に袋からk個の球を取り出したとき、その中に最初に取り出された球がちょうどc個含まれる確率をn,m,k,cで表せ。

>>153
赤玉Cはどこにいっちゃったの？

>>153
ようやくわかった
省略せずに書くと20/20×1/19×18/18×16/17×4C2ってことか
その計算で箱を区別してるじゃないか
10C1×9C2をかける必要が出てくるのは
箱1に赤玉Aが入る（2/20）、箱1に赤玉Bが入る（1/19）、箱2に赤玉Cが入る（2/18）、箱3に赤玉Dが入る（2/17）と考えた場合だよ
その場合、箱1、2、3にどの赤玉が入るのかが4C2×2C1×1C1通りあるから
結局2/20*1/19*2/18*2/17*4C2*2C1*1C1*10C1*9C2となり計算すると96/323になる

>>154 157
親切に回答していただき、ありがとうございます。
箱の位置（どの箱に赤玉が2個入るか）を区別すること自体がナンセンスだったとようやく気づけました。
お陰様で理解することが出来ました。
また、質問しにくると思いますが、その時はまたよろしくお願いします。

前>>148訂正。
番号振らずにやってみる。
●○○○○○○●○●
●○○○○○○○○○
↑
この2個の選び方は4Ｃ2通り。
●と同じ箱に入る○の選び方は16Ｃ2通り。
あと1つの●はかならず○と同じ箱に入る。
(4Ｃ1)(16Ｃ2)=4･16･15/2
=480
480/4845=160/1615
=32/323
いい感じの数字やなぁ。

>>123
(n,k) = (2,3) のとき
　f(x) = (x-1)(x-2) - x^3,
　f'(x) = -3 +2x -3x^2 = -(8/3) - 3(1/2 -x)^2 ≦ -8/3,

(n,k) = (2,5) のとき
　f(x) = (x-1)(x-2) - x^5,
　f '(x) = -3 +2x -5x^4 = -(35/16) -(1/2)x^2 -2(1/2 -x)^2 -5(xx -1/4)^2 ≦ -35/16,

>>101
元の(z_i_j)の第i行のk倍を第j行に足すと対応する2n次の行列では第2i-1行のk倍を第2j-1行に、第2i行のk倍を第2j行に足す事になる。
どちらの行列の行列式も変化しない。
この変形だけで元の行列を対角化できるから対角行列の場合にだけしめせばいい。

>>162
あ、その変形＋同様の変形の列バージョンで対角化できるでした。

閉区間I=[0,1]上の連続関数f:I→Rの全体をC[0,1]とし、C[0,1]上の距離を
d(f,g):=max{|f(t)-g(t)||0≦t≦1}
によって定める。C[0,1]の部分集合Xを
X={f_k|f_k(t)=kt, k∈R}
とおくとき
d(X)=inf[f∈X]d(f,1)
の値を求めよ(ただし1は定数関数1(t)=1)

答えはd(X)=1となってます
k＞1のときd(f_k,1)=「|kt-1|の最大値」=k-1だから、k∈Rについて下限をとるとd(X)=0になるのでは？と思うのですが、これは何が違うのでしょうか？

>>164
d(f_k,1)
=max{|f_k(0)-1|,|f_k(1)-1|}
=max{|0-1|,|k-1|}
です。

下記の式の積分式の導き方　どなたかわかりませんか。
{ cos(X) + sin(X) } * { cos(X) }^0.8

>>165
あーそうか、最大値がそもそもk-1じゃないなこれ
k=3/2のときmax|kt-1|はk-1=1/2ではなくt=0のときの1だろう……アホなことしてたわ
ありがとうございます

ax+by=1 を二通りに解釈することで単位円の極、極線について
極点(a,b) の極線上の点は(a,b)を通る直線になることが自明になるのか。。

今年の難関高校の問題らしいですが、三角比なしでどうやったら良いでしょうか。ご教示ください。

AB=6,BC=10,CA=8の△ABCの外接円をKとする。
弦BCに関してBと反対側にあるKの弧上に点Pをとり、PA+PB+PCが最大となるようにする。

（1）Kの半径を求めよ。
（2）PA+PB+PCの最大値を求めよ。
（3）PA+PB+PCを最大にするPをQとする。Qの位置を求めよ。
（4）Qから直線ABに垂線を下ろし、垂線とQの交点をHとする。CHの長さを求めよ。

　「極線上の点の極線は」に訂正

解釈とは(a,b) と(x,y)の内積の垂線をどちらにおろすかという意味
他の二次曲線も二次形式と線形代数の知識でシンプルに解釈できるのかな？

>>169
（1）△ABCは直角三角形だから、半径＝５
（2）最大になるのはABPCの面積が最大になるときだから17√2
（3）（2）の理由によりBCの平行線が円Kと接する点。
（4）問題文が意味不明。

>>169
（4）垂線とABの延長との交点をHとするという意味なら、√113

>弦BCに関してBと反対側にあるKの弧
ってどこのことだ？

Aと反対側の誤植やろ
ふと思ったけど三点からの和が一定の曲線ってなんだろ？

ご回答ありがとうございます。
頭の中で記憶した内容を書いていて、誤記が多く大変申し訳ありませんでした。

>>166
∫ sin(X)･{cos(X)}^0.8 dX = -(1/1.8){cos(X)}^1.8

{cos(X)}^2 = Y　とおいて
∫{cos(X)}^1.8 dX = (-1/2)∫ Y^0.4 (1-Y)^(-0.5) dY
　= -(1/2)Ｂ(1.4, 0.5 | Y)
　= -(1/2)Ｂ(1.4, 0.5 | {cos(X)}^2)
不完全ベータ関数

>>162
ありがとうございます
対角化を考えればよかったんですね

>>175
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28x%5E2%2By%5E2%29%2B+sqrt%28x%5E2%2B%28y-2%29%5E2%29%2B+sqrt%28%28x-1%29%5E2%2B%28y-1%29%5E2%29%3D3

>>172
> 最大になるのはABPCの面積が最大になるとき
横からすまない
これってどうしてそう言えるんです？

>>180
>>169の問題の答えだけ書いても質問者は納得できないだろうから、
一応説明しておくと−

（1）は説明省略。
（2）この問題は（3）が一番難しい。僕が考えたのは−
PAの最大値はPAが直径のときで、そのときPA＝BCだから
PA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CP
つまりBC＋BP＋CPが最大のときを考えればよく、
BCは一定だからBP＋CPが最大のときを考えればよい。
BP＋CPが最大になるのはどの時かは二つの考え方がある。
�@　周長が長いほど面積は大きい。→面積が最大のときを考えればよい。
�A　相加平均≧相乗平均より、BP＝CPのときがBP＋CPは最大。
ゆえにBP＝CP＝5√2　APは方べきの定理より7√2
（3）は（2）の説明の通り。
（4）円周角の定理により∠BCQ＝∠BAQ＝45°
ゆえにAH＝7　あとは△AHCに三平方の定理を適用して√113

>>169
初等幾何だけ縛りあるとかなりしんどいけど略解

∠BCD=90°、BD=ACとなるEをBCに関しAと反対側にとる。
Eを半直線BD上にDE=BCととる。
∠DEF=90°、EF=ABとなるFをBCに関してAと反対側にとる。
SをDからFRに下ろした垂線の足とする。
動点Pに対し、半直線CPにD,Fから下ろした垂線の足をQ,Rとする。
この時△ACPの外接円の半径=△DFSの外接円の半径と∠ACP=∠DFSによりAP=DS=QR。
頑張るとPQ=PB、(コレはPの位置により2ケースあってめんどい)
以上によりPA+PB+PC=BRで求める最大値はF=RとなるときでPが直線BF上の時。

>>181
> PA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CP
これはその通りですけど
> つまりBC＋BP＋CPが最大のときを考えればよく、
> BCは一定だからBP＋CPが最大のときを考えればよい。
これってそうでしょうか？
BP+CPがその最大値よりもx小さいときのPAがBP+CPがその最大値を取るときのPAよりもxを超えて大きくなることがあり得ないと言えているのでしょうか

>>183
もしそのようなことが起こるなら、
PA＋PB＋PC＞BC＋BP＋CP
となってしまう。

そもそもAP+BP+CPが最大になるPとBP+CPが最大になるPはズレてるかと。

>>169
トレミーの定理使って計算すると
最大値は2*sqrt(145)
PA=120/sqrt(145),PB=90/sqrt(145),PA=80/sqrt(145) のとき

>>186
どうやるんですか？

なるほど。
Aを含む弧BC上のDをBD:CD=AB+BC:AC+BCととるのか。

トレミーの定理は加法定理と同じよなものだからチートだけど
初等幾何の方法はわからん

PA=x,PB=y,PC=z
10x=6z+8y
y^2+z^2=10^2 ...（あ）

L=x+y+z=(9y+8z)/5 が（あ）円と接するときに最大

>>184
いや、そうなるとは限らないと思うんだけど
値は適当だけど例えばPB+PCの最大が10でそのときのPAが5（つまりこのときのPA+PB+PC=15）なんだけど、
PB+PCが9の時にPAが7になり得るならPA+PB+PC=16となりPB+PCが最大の時よりも大きくなり得る
このようなことが起きないことを言えているのかどうかってことです

>>190
でもまぁトレミーくらいまでは初等幾何と言っていいんじゃない？

あ>>191は>>189へのレス。

>>190
BC＋BP＋CPの最大値をLとし、そのときのBP＋CPの値をａとする。
もしBP＋CPがａよりｘだけ小さく、APがBCよりｘ以上大きければ、
PA＋PB＋PC＞BC＋BP＋CPとなってしまう。

APがBCより大きくなることはありえない。
つまりAPがBCよりｘ以上大きくなることはありえない。

これから一時間ほど中断するが、
>>169の問題は高校入試の問題だから、
>>186のような複雑な答えにはならないはずである。

>>194
https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+2%288sin%28x%29%2B9cos%28x%29%29&;lang=ja

>>193
比較の仕方がおかしいですよ
あなたはPA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CPからBP＋CPが最大のときPA＋PB＋PCも最大になると言っています
同じPで記述すると混乱するのでBP＋CPが最大になる点PをP'とします
あなたの説ではPA＋PB＋PCの最大値はP'A＋P'B＋P'Cということになります
ここでP''を考えたときP''B+P''CはP'B＋P'Cより小さくなります
P'B＋P'C-(P''B+P''C)=x>0としたときP''A-P'A>xとなることがあり得ないと言えていないのではないかということです

前>>159
>>169
(1)Kの半径=5
(2)PA+PB+PC=10+8+6=24
(3)Q(1.4,-4.8)
(4)C(5,0)
H(-5.4,0.3)
CH=√(10.4^2+0.3^2)
=√(108.16+0.09)
=√108.25
=10.404326……
問題がおかしいかもよ？
こんな半端な長さ出して意味あんの？

そもそもとっくに正解が出てるのにそれを無視しておかしなレスつけてくる相変わらずの芸風が2人。

>>195をクリックしたが、ページは現れなかった。
だから僕の答えが間違っているのかもしれないが、
>>196に答えておくと−

周長が長ければ面積は大きい→面積が最大ならPA＋PB＋PCが最大、
という理由によって僕の解答のQの位置が正しいと考える。
なぜなら四角形ABPCの面積は△ABP＋△APCで、
これは周長としてAPを2回とBPとCPを含んでいるからである。

ABとACは一定だから、結局APを2回とBPとCPを含んでいる長さが
最も長いときが面積が最大になる。
いいかえれば四角形ABPCの面積が最大のとき、AP＋BP＋CPが最大になる。

>>199
その考え方だとBCを直径とする△ABCを考えたときAがどこにあってもPB+PCが最大となるときPA+PB+PCが最大になることになる（このときPB+PC=10√2=14.1421356……※）
AをBにすごく近いところにとればPA+PB+PCは15√2=21.213……にどんどん近づくので22以下に出来る
しかし、このときPをPB=8、PC=6の位置にとればPB+PC=14で※より小さいがPA+PB+PCは22より大きい
つまり、PB+PCが最大になるときPA+PB+PCが最大になるというのは間違い

>>139
10*(choose(18,2)-9)/choose(20,4)=1440/4845=288/969

>>201
既約分数になってなかった
=96/323

n≧2のとき、n!は平方数か。

つチェビシェフの定理

>>169
の既出の答えのまとめ。
AB=c、BC=a、CA=bとおいて弧BCでAを含む側にBD:CD=AB+BC:AC+BCを満たすDをとる。
AB+BC=kBD、AC+BC=kCDなるkをとれば
(AP+BP+CP)BC
=AB・CP+ AC・BP+ BC・BP+ BC・CP (∵トレミー)
=(AC+BC)・BP+ (AB+ BC)・CP
=kCD・BP+kBD・CP
=kBC・DP (∵トレミー)
によりAP+BP+CPが最大となるのはDPが直径となるときである。
すなわちBP:CP=CD:BD=AC+BC:AB+BCとなるときである。
本問ではBP:CP=9:8となるときである。

前>>197
シュクメルリの手料理。

こんなの高校受験で出来るやついるのか

卑怯者は隠れたところから、マイクでしかものが言えないのか？
ふざけんな！女々しいカスが！

指向性スピーカーですか？どこに仕掛けたのでしょうか？

田舎の一軒家屋だと、なんでもし放題ですね？

私が金を持っているわけではないのに、「消えろ！」とはいかなるもの言いでしょうか？
せめて、金を払ってから、その大口を叩いてくれ

a,b,cが等比数列をなすとき1/(a+x),1/(b+x),1/(c+x)が等差数列となるxを求め、
その結果を図形的に説明せよ

なるほど、>>186の答えが正解だと分った。
BP=x、CP=yとおくとAP+BP+CPは9x/5+8y/5で、x^2+y^2=100
これを未定乗数法を使って最大値を求めたのだろう。

しかし未定乗数法を知らない中学生がどうやってとくのか。
それに(2)はそれで解けても(4)をどうやって解くのか。

>>205の方法でも、(4)をどうやって解くのか。

もしかして問題の作成者が間違っているのではないのか？

AB=c, BC=a, CA=b とおく。トレミーより
　L = AP+BP+CP = (b+a)/a･BP + (c+a)/a･CP,

(b+a)^2 + (c+a)^2 - L^2
　= (b+a)^2 + (c+a)^2 - {(b+a)/a･BP + (c+a)/a･CP}^2
　= kk(a^2 -BP^2 -CP^2) + {(c+a)/a･BP - (b+a)/a･CP}^2
　≧ 0,
L ≦ √{(b+a)^2 + (c+a)^2} = ak,
ここに　k = (1/a)√{(b+a)^2 + (c+a)^2},

等号は AP = ak, BP = (b+a)/k, CP = (c+a)/k のとき。

もしかしたら、トリッキーな無理ゲーお絵かきであっさり解決みたいなの？

>>169の(4)はたぶん、
QからBCに下ろした垂線の足をHとする、という意味だろう。

それだと答えは128/29である。

>>214
お前の解答はゴミ、正解と全然ちゃうわ。無駄な時間お疲れさん

他の皆様の解答は大筋その方針でOK
難関高校の問題をノーヒントにして設問（3）（4）を追加してみたが、トレミーの定理って高校受験の常識じゃなかったよか、意外に難しかったか
（1）は易しすぎるが高校入試風味を出すために残しておいた

>>215
ほぼトレミー前提の出題ってどこ高？

>>211 訂正ｽﾏｿ
　AP = ak - (b+a)/k - (c+a)/k,

こんなの高校受験で出るわけなかろ？

前>>206
17√2=24.0416306……＞24
わずかに長い。
どんなときだ。
どんなときだ。
P(x,y),A(-1.4,4.8),B(-5,0),C(5,0)としてPA=√{(x+1.4)^2+(4.8-y)^2},PB=√{(x+5)^2+y^2},PC=√(5-x)^2+y^2},PA+PB+PC=√(25+2.8x+1.4^2-9.6y+4.8^2)+√(25+10x+25)+√(25-10x+25)=√(25+2.8x+1.96-9.6y+16･1.44)+√(50+10x)+√(50-10x)
=√(25+2.8x+1.96-9.6y+16+6.4+0.64)+√(50+10x)+√(50-10x)
=√(50+2.8x-9.6y)+√(50+10x)+√(50-10x)
=√{50+2.8x-9.6√(25-x^2}+√(50+10x)+√(50-10x)
{50+2.8x-9.6(25-x^2)^(1/2)}^(1/2)+(50+10x)^(1/2)+(50-10x)^(1/2)を微分し=0とするとxの値は、

>>215
お前は人間としてゴミ（笑

nを2以上の自然数、総和範囲をk:1,2,…,n-1で、[]はガウス記号として、
Σ[k^2/n]≧(n-1)(n-2)/3　は成立しますか？

また、iを自然数としてn=10^(2i)+1の形であらわされるとき常に等号は成立しますか？

>>221
それはどっから持ってきた問題なん？
自作？
成り立つかもしれないとなぜ思えるの？

>>222
古いノートを眺めてて出てきた自作なのでなぜ成り立つと思ったのかはもう思い出せませんが、n≦30までの成立と、1000000以下の数からランダムで選んだ２０個のnでは成立を確認したようです。今見ても解き方がパッと思いつかなかったので聞きました。

>>223
では成り立ってない可能性もあるのね。

>>223 そうです。紛らわしくてすみません。
今ノートを見たところ、等号成立は一部の素数とそれらの任意の合成数(ただし各指数は最大1)に限られると推測していたようです。
例えばn=2,5,13,17,29,37,41...や、n=17*29,2*13*37,5*13*17*29*41...などでは等号成立しますが、n=31,(5^3)*(17^2)などでは等号成立しませんでした。
もし証明か反例がわかったら教えてくれるとうれしいです。

>>225は>>224に向けてです。

>>221 の主張は
Σ[k=1 to n-1]Mod(k^2,n) ≦ n(n-1)/2
と同じですね。
連続する n-1 個の平方数があると、これらの n による剰余の平均は n/2 以下だ　というものです。

一般に、平方剰余の和　≦　平方非剰余の和　ですが、
平方剰余の和　＝　平方非剰余の和　となれば、

Σ[k=1 to n-1]Mod(k^2,n) = n(n-1)/2

となります。これは恐らく、対称的つまり、「pが平方剰余の時、n-pも平方剰余」の時だと思います。

a,b,cを定数かつa≠0とし、関数f(x)、g(x)を
　f(x)=ax+b、　g(x)=1/(x+c)
によって定めます。等式f(g(x))=g(f(x))がxについての恒等式となるようなa,b,cの組(a,b,c)をすべて求めなさい。

お願いします。

>>227　に付け加えます。

n=25 の平方剰余は、1,4,6,9,11,14,16,19,21,24　で対称的になりますが、
10個しかないので、等号は成立しません。
nが偶数の時は、n/2 個、奇数の時は、(n-1)/2 個　という条件も付け加えます。

曲線C:y=|sin(nπx)|（0≦x≦1）とする。
Cのy≧xに属する部分の全体の長さの総和をL_1、同様にy≦xに属する部分の全体の長さの総和をL_2とする。
lim[n→∞] L_1/L_2を求めよ。

>>230
p=7のときは平方剰余は
1,2,4
で対称的ではないよ。
前半に寄ってる。
前半による事はあっても後半による事はない事を示さないといけない。

>>232

>>227で書いた
>> 一般に、平方剰余の和　≦　平方非剰余の和　ですが、
に対する指摘でしょうか？
平方剰余の個数が半分以下なので、漠然と上の不等式が成り立つだろうと
思って書いてしまいましたが、不等式の成否は以下の論理には無関係で、
つい「平方剰余の和　＝　平方非剰余の和」の枕言葉として使ってしまいました。

従って、>>227の次の部分を修正します。

×：一般に、平方剰余の和　≦　平方非剰余の和　ですが、
×：平方剰余の和　＝　平方非剰余の和　となれば、

○：もし、平方剰余の和　＝　平方非剰余の和　が成立するなら、

>>233
平方剰余の全体の和と平方非剰余の和は一致しませんよ？
n7の時
平方剰余の和＝1+2+4=7
平方非剰余の和＝3+5+6=14
です。

はい。その通りです。

n=7では、Σ[k^2/n]≧(n-1)(n-2)/3 の式は、
左辺=[1/7]+[4/7]+[9/7]+[16/7]+[25/7]+[36/7]=0+0+1+2+3+5=11
右辺=6*5/3=10
なので、不等号の方が成立します。

等号成立の条件について考察している、227後半部分の対象外の事例なので、
なぜ、n=7が取り上げられているか疑問で、回答に窮しています。

あれ？
よみまちがったかな？
平方剰余の和＝平均非剰余の和
を主張してるように読み間違えました。
すいません。

ちなみに後半はi=3とかでもダメです。
10^6+1は11で割り切れてこれはmod4で3なのでダメです。

あ、うそいった。
11では割り切れないけど、計算機でやったらダメでした。

またうそでした。
打ち間違ってた

print $ sum [mod (n^2) 1000001 | n<-[0..1000000]]
500000500000

i=3では成立してますね。
しかし10^(2i)+1の素因子が全てmod4で1なんて成立するのかなぁ？

そうか、p≡3(mod4)が因子になる事はないのか。
multiplicityが1以下かどうかだけが問題なのか。
吊ってくる。

連続すまそ
これで最後にする。
10^202+1はダメじゃない？
10^202+1
=100^101+1
=(1+100)(1-100+10000-‥(-100)^100)
で
(1-100+10000-‥(-100)^100
≡1+1+‥+1 (mod 101)
だから10^202+1は101^2で割り切れる希ガス

ある複素関数を f(z) = Σ[k=0,∞] (z^k / k!) と無限級数で定義します。
つまり指数関数ですが、まだその周期性を知らず、πや三角関数(sin, cos)も知らないものとします。
無限級数の収束性等は既知とします。

f(z) は ある純虚数の周期を持つ関数である事を示してください。

出典は特にありません、答えも分かりません。

>>209
> a,b,cが等比数列をなすとき1/(a+x),1/(b+x),1/(c+x)が等差数列となるxを求め、
> その結果を図形的に説明せよ

半径bの円に対して反転で移りあう二点と円の直径の両端は調和数列をなす（調和点列）

>>242
まず定義式から
exp(x+y) = exp(x) exp(y)
exp(r+iθ) = exp(r)(cosθ + i sinθ)：cosθ, sinθは単に級数で定義された関数
を証明する
共役複素数を掛けて
exp(2r) = exp((r+iθ)+(r-iθ)) = exp(r)(cosθ + i sinθ)exp(r)(cosθ - i sinθ)
= exp(r)^2 |cosθ + i sinθ|^2　∴ |exp(iθ)| = 1
θを微小とすれば exp(iθ)≒ 1 + iθ だから中間値の定理でexp(iθ)を 1 のn乗根にできる
すなわち exp(iθ)はθの周期関数

直径aの円Aと直径bの円Bが直径a+bの円Cに内接しているとき
AとBに外接しCに内接する円の半径をa,bで表せ

座標入れて計算してみたらやり方が悪いのか煩雑になりすぎて計算できません。
たぶん有名問題なのでどこかに解説されてると思うですが検索しても見当たらないので
お願いします。

>>245　書き忘れ　円Aと円Bは外接してます

どうみても新作ルアー

>>244 ありがとうございます
|exp(iθ)| = 1 ここまでは了解です。 ただし...

> θを微小とすれば exp(iθ)≒ 1 + iθ だから中間値の定理でexp(iθ)を 1 のn乗根にできる
>すなわち exp(iθ)はθの周期関数

この論理展開は厳しいのではないでしょうか？
中間値の定理でぶち当たってほしい値の正統性が怪しいです。
1 のn乗根を exp(iα)で 表せる事 (αはなんらかの実数) は exp(iθ)の周期性が既知でないと言えないかと思います。

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>>245-246
AとBに外接しCに内接する円をD、a,bを直径ではなく半径、Dの半径をr
A,B,C,Dの中心の座標をそれぞれ (-b,0), (a,0), (0,0), (x,y) とし、
Dの中心とA,B,Cの中心との距離を考ると、
[1] (x+b)^2 + y^2 = (a+r)^2,
[2] (x-a)^2 + y^2 = (b+r)^2,
[3] x^2 + y^2 = (a+b-r)^2.
x,yを消去した式a([1]-[3])+b([2]-[3])を作ると、rの一次式になり
r = ab(a+b)/(aa+ab+bb)。

|exp(iα)| = 1 だから
{exp(iα) | α∈R} の軌跡は１を通り有界な曲線。
櫛歯形などの無限に長い曲線かも知れないが････

次に cos(y), sin(y) の零点をさがす。
cos(0) = 1,
cos(2) = Σ[k=0,∞] (-1)^k (4^k)/(2k)!
　= 1 -4/(2!) + 16/(4!) - 64/(6!) + ･･･
　= 1 -2 +2/3 -4/45 + ････
　< 0
0<y<2 に cos(y) の零点 p/2 がある。
　cos(p/2) = 0,
　sin(p) = 2sin(p/2)cos(p/2) = 0,
0<y<4 に sin(y) の零点pがある。

i方向に動かした時の長さの値を微分するとゼロなので定数
変化量をさらに微分すると定数
になる事がわかるので
i方向への移動は円上を一定速度で回り続ける事はわかる
ので、証明はできる

がこれは三角関数の周期性を示すスタンダードなやり方と結局同じなので面白みははないかもしれない
エレガントな式変形なり論法はどこかにあるのだろうか

cos(p) = 2cos(p/2)^2 -1 = -1,
f(i(p/n))^n = f(ip) = cos(p) + i･sin(p) = -1,
f(i2p) = (-1)^2 = 1,

>>245
つデカルトの円定理

指数公式から
　f(z+2pi) = f(z)f(2pi) = f(z),

定義(マクローリン展開)から
　{sin(y)} ' = cos(y),
　{cos(y)} ' = -sin(y),
も出る。

>>254
　cos(y)^2 + sin(y)^2 = f(iy)f(-iy) = f(0) = 1,
から有界であることは分かりますが･･･

素直に考えれば
・cos(2)<0を定義から示す。
・cos(0)=1とあわせてcos(c)=0を満たす最小の実数が存在する。
・0<x<cでcos(x)>0によりsin(x)は単調増大、さらにsin(0)=0によりsin(c)>0。
・sin^2+cos^2=1によりsin(c)=1。
・exp(ic)=i。
・exp(A+B)=exp(A)exp(B)‥(✳︎)を示しておいてexp(4ci)=1、再び(✳︎)によりexp(x)は周期4ciをもつ。
とかじゃない？

>>250
> [3] x^2 + y^2 = (a+b-r)^2.
この式は中心 (a-b,0) だから以下のように修正して解くと
{(x + b)^2 + y^2 = (a + r)^2, (x - a)^2 + y^2 = (b + r)^2, (x - a + b)^2 + y^2 = (a + b - r)^2}
r = (a + b)^3/(2 (a^2 + 4 a b + b^2))　になるようです。ありがとうございました

>>253 あぁ...中間値の定理をそこで使うんですね。少し誤解してました。
cos(0) = +1
cos(2) = 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! + 2^8/8! - ...
< 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! +2^8/8! * (1 + 0 + 2^4/8^4 + 0 + 2^8/8^8...)
< 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! +2^8/8! * 2
= -43/105 < 0
∴ あるp∈(0,2) について cos(p) = 0, sin(p) = ±1 (正負を知る必要はない)
exp(ip)^4 = ( 0 ± i )^4 = 1 つまり4乗根が得られたので
exp(i(x+4p)) = exp(ix) * exp(i4p) = exp(ix) * exp(ip)^4 = exp(ix)
exp(ix) の周期は 4p (或いはその何分の一) である。とりあえずここまででOKです。

他のみなさんもありがとうございました。先を考える参考になります。

>>259
これデカルトの円定理ってので検算してみると合わないから間違っているのかもしれません

三角関数の加法定理、二乗和が1を導出できるなら
単純に0以外でサインが0になる点の値をぶち込めば三角関数の周期性はでる
まあこれも級数の形から出るし、三角関数の周期性の話だが

>>261
私も、一時期その可能性を思いましたが、　>>230　をご覧ください。
「-1が平方剰余」だけでは、不十分な事が判ります。
ただし、必要条件であることは、間違いないと思います。

他にも、50,125,169,250,289が、この例外に当てはまるので、
2^r*p^s　ただし、r=0,1、pは素数、s=2,3,4,...
型を除外すれば十分なのかもしれません。



あ、それと、230の内容を修正します。
「nが偶数の時は、n/2 個」と書きましたが、nが偶数の時は、n/2が平方剰余で（←nが4の倍数ではない）、
n/2を除いた上で、平方剰余、平方非剰余の個数がそれぞれ、n/2-1 個ずつ　でなければなりません。

>>259　最初と二番目の式の右辺の a と b　を逆にする大ボケかましてた　
結果的に>>250と一致した

solve {(x + b)^2 + y^2 = (b + r)^2, (x - a)^2 + y^2 = (a + r)^2, (x - a + b)^2 + y^2 = (a + b - r)^2}
r = (a b (a + b))/(a^2 + a b + b^2)

>>264　に補足
n=p^2と表されるとき、
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2
の左辺において、k=a*pの項は、mod((a*p)^2,p^2)=0　となり、
とても、平均 n/2 を維持することはできなくなるため、除外されなければならない　ということですね。

青チャートのチェバの定理の逆の証明の所で"角BACまたはその対頂角の内部にある"という記述があるんですが、"その対頂角の内部にある"の意味が分からないです。
よろしくお願いします。

中学2年生です。これの(3)はなんでいえないなんでしょうか。あきらかに長さが違うから？分からないので教えて下さい。
https://i.imgur.com/9Kk35Id.jpg

>>270
そこに書かれている条件だけだとBの位置が特定されておらず二等辺三角形であることもあり得るがそうでないこともあり得るから
その図の見た目の問題ではないよ

>>270
小学校で図形を扱うようになった頃
https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/5c/98/c565f994fd990e4943020e3f714950a8.jpg
これの2番のような問題で見た感じで選んでよかったけど、中学の図形のレベルでは見た目は関係が無く論理的に明確な根拠がなければそうだとはみなさないという暗黙のルールがある
言われてみればこのことを学校では明示してくれていなかった気はする

レス270です。
考えて下さった方ありがとうございます。定規、分度器は使わない問題なので、なんでいえないってなってるのか証明出来なくて困ってたんですが。
明日、学校で質問に行ってきます。木曜から学年末テストなので頑張ります。ありがとうございました！！

前>>219
P(x,y),A(-1.4,4.8),B(-5,0),C(5,0)とすると、
x^2+y^2=25
PA=√{(x+1.4)^2+(4.8-y)^2}
=√(25+2.8x+4･1.96+16･1.44-9.6y)
=√(2.8x-9.6y+41+0.64+0.064+7.84)
=√(2.8x-9.6y+48.84+0.704)
=√(2.8x-9.6y+49.544)
PB=√{(x+5)^2+y^2}
=√(25+10x+25)
=√(50+10x)
PC=√{(5-x)^2+y^2}
=√(50-10x)
PA+PB+PC=√(2.8x-9.6y+49.544)+√(50+10x)+√(50-10x)
={2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(1/2)+(50+10x)^(1/2)+(50-10x)^(1/2)
微分し=0とすると、
(1/2){2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(-1/2){2.8+4.8(25-x^2)^(-1/2)}+(1/2)(50+10x)^(-1/2)+(1/2)(50-10x)^(-1/2)=0
{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(-1/2){2.8+4.8(25-x^2)^(-1/2)}+(50+10x)^(-1/2)+(50-10x)^(-1/2)=0
{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(1/2){2.8+4.8(25-x^2)^(-1/2)}+{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}(50+10x)^(-1/2)+{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}(50-10x)^(-1/2)=0
xの値は、1.4よりちっさなりそうな予感がします。

>>270
∠BCDが30°と書かれていないから。

>>270
もし、問題が「この図形は二等辺三角形か？」
と問われたものだったら、可能な回答は次の三つ。

A:「はい」＝「二等辺三角形と言える」
B:「いいえ」＝「二等辺三角形と言えない」
C:「不明」＝「二等辺三角形かどうか判らない」

この問題は、「二等辺三角形か？」と問われているのではなく、
「二等辺三角形と言えるか？」と問われている。
つまり、「文頭の質問にA.と回答するか？」と問われているので、
「No」＝「言えない」となる。

270です。二等辺三角形だと証明する事ができない。という意味の問題だったという事ですね。ちゃんと理解出来てませんでした。ありがとうございます！

青チャートのチェバの定理の逆の証明の所で
三角形ABCがあり、辺AB、辺ACの辺上またはその延長線上に点Q、点Rがある時、点Pは辺BC上にある。
辺BRと辺BQの交点Oは"角BACまたはその対頂角の内部にある"という記述があるんですが、"その対頂角の内部にある"の意味が分からないです。
よろしくお願いします。

>>273
>考えて下さった方ありがとうございます。定規、分度器は使わない問題なので、なんでいえないってなってるのか証明出来なくて困ってたんですが。
>明日、学校で質問に行ってきます。木曜から学年末テストなので頑張ります。ありがとうございました！！

なるほど
図の書きぶりから、二等辺三角形に見えないようには、書かれているので、見た目では「いえない」は分かる
問題は理由付けだけど、>>275-276かな
∠BCDが30°として、二等辺三角形にすることも可能だが
∠BCD≠30°として、二等辺三角形にしないことも可能だ
つまり、頂点Bの位置を、二等辺三角形にならないように取ることも可能だからというのが、その理由だろうね
因みに、同じことは頂点Dについても言えて、三角形ACDについても二等辺三角形とは言えない

>>278
>青チャートのチェバの定理の逆の証明の所で
>三角形ABCがあり、辺AB、辺ACの辺上またはその延長線上に点Q、点Rがある時、点Pは辺BC上にある。
>辺BRと辺BQの交点Oは"角BACまたはその対頂角の内部にある"という記述があるんですが、"その対頂角の内部にある"の意味が分からないです。

下記の Yahoo知恵袋 「チェバの定理で内角の対頂角に交点があるとき」に図があるよ
また、通常は、「チェバの定理の第1の場合：三角形ABCの内部の点Oで3本の直線が交わる」、「チェバの定理の第2の場合：三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる」の2つみたいだが
"その対頂角の内部にある"は、第3の場合になるだろう
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1237275857
チェバの定理で内角の対頂角に交点があるとき Yahoo知恵袋
gag********さん2010/2/26
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%81%E3%82%A7%E3%83%90%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
チェバの定理
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c7/Ceva%27s_theorem_1.svg/220px-Ceva%27s_theorem_1.svg.png
チェバの定理の第1の場合：三角形ABCの内部の点Oで3本の直線が交わる
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Ceva%27s_theorem_2.svg/250px-Ceva%27s_theorem_2.svg.png
チェバの定理の第2の場合：三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる

確率

Aチーム6人 : Bチーム6人でレースゲームを16試合する。
1位15点
2位12点
3位10点
4位9点
5位8点
6位7点
7位6点
8位5点
9位4点
10位3点
11位2点
12位1点
の配点の場合、各チームの合計点が656:656の引き分けになる確率を教えてください。

>>280
ありがとうございます！助かりました！！

>>281
それは計算機マターのやつ。

>>283
計算機マター？
すみません、掲示板疎いのでよくわかりません。

>>284
要するに学部以降で習う数学の公式使って対してらくになるわけでもないので計算機にやらせた方が早いやつ。
数学まともに勉強したやつが出す問題じゃない。
そんな下らない問題やるのは時間の無駄。
無視したほうがいい。

>>285
本当に無知ですみません。数学は得意ではないし、知り合いにも確率に強い人がいないのでこの掲示板を頼りにしています。
計算はこちらでするので、導き方だけでも教えて頂きたいです。

導き方らしい導き方があるのか？
単純に、全部の場合を数え上げるしかなくて
656点ずつになる組み合わせの数を数え上げて
全体の組み合わせの数で割る、しかないように見えるが

要するに
まず一回のレースで起こる組み合わせが12C6＝924通り
あって
それを16回やる訳だから全部で924の16乗通り起こりうる
その何百兆通りかのうちでちょうど点数が同じになってるケースが何通りあるか数えて比率を計算すれば確率は出る

ってこと
まあ実際にはいくつか順位が前後しても同じ点数になるケースはあるからもうちょっと数えるのは少なくなって、何億通りか何百万通りかで済むかもしれないけど

前>>274
>>245
求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、
cos∠DBA={(b/2+x)^2+(a/2+b/2)^2-(a/2+x)^2}/2(b/2+x)(a/2+b/2)
cos∠DBC={(b/2+x)^2+(a/2)^2-(a/2+x)^2}/2(b/2+x)(a/2)
cos∠DBA=cos∠DBCより、
{(b/2+x)^2+(a/2+b/2)^2-(a/2+x)^2}a
={(b/2+x)^2+(a/2)^2-(a/2+x)^2}(a+b)
{(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}a
={(b+2x)^2+a^2-(a+2x)^2}(a+b)
(b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a
=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-4ax-4x^2)(a+b)
ab^2+4abx+4ax^2+2a^2b+ab^2-4a^2x-4ax^2
=ab^2+4abx+4ax^2-4a^2x-4ax^2+b^3+4b^2x+4bx^2-4abx-4bx^2
2a^2b+ab^2
=b^3+4b^2x-4abx
2a^2+ab
=b^2+4bx-4ax
4(a-b)x=b^2-ab-2a^2
x=(b^2-ab-2a^2)/4(a-b)

>>281
C[12,6]=924通りの「順位分け」を、基準点=41との差で分類し、差が0〜20になるのは、それぞれ次

48,47,47,44,43,39,37,32,30,25,22,18,15,11,10,6,5,3,2,1,1

f=48+47(x+1/x)+47(x^2+1/x^2)+44(x^3+1/x^3)+43(x^4+1/x^4)+39(x^5+1/x^5)+37(x^6+1/x^6)+
32(x^7+1/x^7)+30(x^8+1/x^8)+25(x^9+1/x^9)+22(x^10+1/x^10)+18(x^11+1/x^11)+15(x^12+1/x^12)+
11(x^13+1/x^13)+10(x^14+1/x^14)+6(x^15+1/x^15)+5(x^16+1/x^16)+3(x^17+1/x^17)+2(x^18+1/x^18)+
(x^19+1/x^19)+(x^20+1/x^20)

として、f^16 の定数項を924^16　で割ったものが答え

3861707060011302197274473352442662107544339496/924^16
=0.0136781633711920174806098975...

前>>288
符号が変だ。訂正する。

>>289
ありがとうございます！！
そして全然見当違いだったらすみません、
1/10000の確率と言ってしまっても良いのでしょうか。

Ａ→Ｂの単射とＢ→Ａの単射がないなら逆写像がない
逆写像がないなら全単射はない
Ａ→Ｂの単射とＢ→Ａの単射がないなら全単射はない
全単射があるならＡ→Ｂの単射とＢ→Ａの単射がある

前>>290
>>245
求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、
cos∠DBA=[(b/2+x)^2+{(a+b)/2}^2-(a/2+x)^2]/{2(b/2+x)(a+b)/2}
={(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}/2(b+2x)(a+b)
cos∠DBC=[(b/2+x)^2+(a/2)^2-{(a+b)/2-x}^2]/2(b/2+x)(a/2)
={(b+2x)^2+a^2-(a+b-2x)^2}/2(b+2x)a
cos∠DBA=cos∠DBCより、
(b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-b^2-4x^2-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)a+(4bx-2ab+2ax+2bx)b
2ab^2+4abx+2a^2b-4a^2=4abx-2a^2b+2a^2x+2abx+4b^2x-2ab^2+2abx+2b^2x
2ab^2+2a^2b-4a^2+2a^2b+2ab^2=2a^2x+2abx+4b^2x+2abx+2b^2x
x=(2ab^2+2a^2b-4a^2+2a^2b+2ab^2)/(2a^2+2ab+4b^2+2ab+2b^2)
=(4ab^2+4a^2b-4a^2)/(2a^2+4ab+6b^2)
=(2ab^2+2a^2b-2a^2)/(a^2+2ab+3b^2)
=2a(b^2+ab-a)/(a^2+2ab+3b^2)
いまいちおっきいな。
手書きだとx=2ab/3(a+b)
携帯で検算すると変わった。

前>>294訂正。
>>245
求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、
cos∠DBA=[(b/2+x)^2+{(a+b)/2}^2-(a/2+x)^2]/{2(b/2+x)(a+b)/2}
={(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}/2(b+2x)(a+b)
cos∠DBC=[(b/2+x)^2+(a/2)^2-{(a+b)/2-x}^2]/2(b/2+x)(a/2)
={(b+2x)^2+a^2-(a+b-2x)^2}/2(b+2x)a
cos∠DBA=cos∠DBCより、
(b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-b^2-4x^2-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)a+(4bx-2ab+2ax+2bx)b
2ab^2+4abx+2a^2b-4a^2x=4abx-2a^2b+2a^2x+2abx+4b^2x-2ab^2+2abx+2b^2x
2ab^2+2a^2b+2a^2b+2ab^2=2a^2x+4a^2x+2abx+4b^2x+2abx+2b^2x
x=(2ab^2+4a^2b+2ab^2)/(2a^2+4a^2+2ab+4b^2+2ab+2b^2)
=(4ab^2+4a^2b)/(6a^2+4ab+6b^2)
=(2ab^2+2a^2b)/(3a^2+2ab+3b^2)
=2ab(a+b)/(3a^2+2ab+3b^2)

>>292

もし、「1/100の確率と言ってしまっても良いのでしょうか。 」
と尋ねられたなら、実際は1/73位の確率なので、数十パーセントの誤差はあるけど、
言えないこともないと返事するかもしれません。が、

0.013678　と　0.0001　では、136倍違います。ダメでしょ。

全単射
(A B C)(A B)(Ｃ)同じ数は対応
全射
(A B C)(AB C)ABはAとBが対応
(A B)＝AB

この時あらゆる全射は全単射に変換できるといえるか？

日本語ですらないな

>>281
シミュレーションプログラムで100万回やって引き分けの頻度を出してみた。

x=c(1:10,12,15)
sim <- function() sum(replicate(16, sum(x[sample(12,6)])))==656
k=1e6
mean(replicate(k,sim()))
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 0.013522

>>296
すみません、単純な勘違いしてました。
訂正ありがとうございます。

>>299
もう全然理解できないですけど、結果まで出して頂いてありがとうございます。

他の協力して頂いた方たちもありがとうございました！！自分自身でもあまり理解できていない場違いな質問ですみませんでした。

（1）π>3を示せ。
（2）(1+1/n)^nを二項展開することにより、e<3<πを示せ。

5万円の商品Aと6万円の商品Bがある。
AとBを合わせて200万円になるようにしたい。
ただし、AとBは合わせて320個購入するものとする。

この時AとBはそれぞれ何個ずつ購入すればよいか。


知恵をお貸しください。
よろしくお願い申し上げます。

>>303
鶴亀算でググれ

いや、よく読んだら明らかに解無しだわ

前>>295
>>303
五万円の商品に百七十万。六万円の商品に三十万。いかほどか。
五万円の商品が三十四個と六万円の商品が五個になりまする。あわせて三十九個。
一個サンプルをつけて四十個とせよ。八人の従者を参らせる。いかほどか。
三百二十個にあいなりまする。
逆に六万円の商品に九十万、五万円の商品に百十万。いかほどか。
六万円の商品が十五個と五万円の商品が二十二個。あわせて三十七個になりまする。
難しいな。六万円の商品が五個と五万円の商品が二十七個にしてはいかほどか。
三十万と百三十五万で百六十五万円になりまする。
あとの三十五万は人件費に当てればよいではないか。それともぽっぽに入れるか。
はぁっはっはっ……。
はぁっはっはっ……。

そんなに話かんたんなわけない。

issqare n = (==n) $ (^2) $ truncate $ sqrt n
ss n = (2*) $ sum [mod (k^2) n | k<-[1..n]]
rec n =(n, ss n, n*(n-1))
main = do
mapM_ print $ take 30 $ map rec [

(1,0,0)
(2,2,2)
(3,4,6)
(4,4,12)
(5,20,20)
(6,26,30)
(7,28,42)
(8,24,56)
(9,48,72)
(10,90,90)
(11,88,110)
(12,76,132)
(13,156,156)
(14,154,182)
(15,140,210)
(16,112,240)
(17,272,272)
(18,258,306)
(19,304,342)
(20,260,380)
(21,364,420)
(22,418,462)
(23,368,506)
(24,296,552)
(25,500,600)
(26,650,650)
(27,576,702)
(28,588,756)
(29,812,812)
(30,730,870)

これは簡単だが････
>>302
(1)　πは (円の周長)/(直径) とする。

単位円に内接する正８角形を考え、頂点を
　(1,0)　(1/√2,1/√2)　(0,1)　････
とする。一辺の長さをLとすると
　π > 4L = 4√{(1/2)+(1-1/√2)^2} = 4√(2-√2) > 4/√(√3) = 3.0393

*)　2-√2 > 1/√3 = 0.57735

単位円に内接する正12角形を考え、頂点を
　(1,0)　((√3)/2,1/2)　(1/2,(√3)/2)　(0,1)　････
とする。一辺の長さをLとすると
　π > 6L = 6√{(1/2)^2 + (1-(1/2)√3)^2} = 6√(2-√3) > 6√{(√7)/10} = 3.0862

*)　2-√3 > (1/10)√7 = 0.264575

(2)
　(1+1/n)^n = Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] (1/n)^k
　= Σ[k=0,n] {n(n-1)････(n-k+1)/(n^k)} (1/k!)
　< Σ[k=0,n] 1/k!
　< Σ[k=0,∞] 1/k!
　< 1 + 1 + (1/2)Σ[k=2,∞] 1/3^(k-2)
　= 2.75
　n→∞ とする。

(1)は正6角形で 3 になって 正12角形(正6角形の各辺に屋根をつける) だとそれより確実に大きいから
ってのじゃダメかな

>>310
正十二角形すらいらない希ガス。

いいと思うけど　>>314 の意見を聞いてみよう。

>>309
　4 - (√2 + 1/√3)^2 = (5-2√6)/3 = (√25 - √24)/3 > 0,
　4 - {√3 + (√7)/10}^2 = (9.3 - 2√21)/5 > (√86 -√84)/5 > 0,

Mを可微分多様体とする
A_p={q∈M : pとqはpiecewise可微分曲線で結べる}
とおいたときA_pは開集合であることを示してください

>>245の答えは>>295ではないのかい？

>>313
任意の x (∈ A_p) に対して局所座標系(U,φ)とそこに含まれる開球S[x] (中心:φ(x)) を考える.
V[x] := φ^{-1}(S[x]) とする. これは M上の開集合である.
任意の y (∈ V[x]) に対して φ(x)とφ(y)を結ぶパラメータ直線 line(t) は S[x] に含まれ,
pからx に至る曲線に φ^{-1}(line(t)) 接ぎ足せば y ∈ A_p .
よって V[x] ⊂ A_p であり, A_p = ∪{x ∈ A_p} V[x] は開集合である.

実数列の全体って何次元？

普通に無限次元
一時独立な列が簡単に無限個作れるだろ

関数電卓は使ったことないのですが、
この問題意味が分かりません。
詳しい解説お願いします。
https://imgur.com/tdh3DkC

>>318
何このヘッタクソな問題wwwww
手作り感しかないwwwwww

print $ exp $ (/3) $ log $ 3
1.4422495703074085
print $ (!!100) $ iterate (sqrt.sqrt.(*3)) 1
1.4422495703074083

>>318
問の電卓計算は
漸化式 a[n+1] = a[n]^{1/4} * 3 が表す再帰計算に相当する.
初期値が正値であれば常に同じ値 α に収束することは,
グラフ y=x^{1/4}*3 と y=x の概形から明らかである.
この時 α = α^{1/4} * 3 が成り立つ.
よって α = 3^{4/3} が得られる.

同様に漸化式 a[n+1] = a[n]^{1/8} * 3 の場合は
α = α^{1/8} * 3 が成り立つ
∴ α = 3^{8/7} = 3^{1/7} * 3
つまり
「√ キーを 3 回押してから 3掛ける」 を繰り返し
必要な桁数までの値変化が無くなったら 3で割る.
すると 3^{1/7} (の近似値) を得る.

a,b,c,dは実数とする。
ax+b>c
bx^2+cx+a>0
cx^3+ax+b>0
をすべて満たす実数xの集合と、d<xを満たす実数xの集合が一致している。

（1）a,b,cの符号をそれぞれ調べよ。+,0,-のいずれか2つ以上を取りうる場合は「不定」と述べよ。

（2）dはどのような値かを述べよ。

>>321

ご親切にありがとうございます。
最近は数学ソフトばかり使っていたので、
＝を入力したとき、それまでの値が保存され、
さらに入力すると、その値に対する演算になる
ことを忘れていました。
ふつうの電卓でもそうですね。

α = 3^{4/3}　← 　確認しました。

集合 X 上に加法+と呼ばれる二項演算を定義し、なおかつ+は、
1. 交換律を満たす
2. 結合律を満たす
3. 加法単位元0が存在する
4. Xのそれぞれの要素xに対して、その加法逆元-xが存在する
を満たすものとします。
また、Xのそれぞれの要素xに対して、その自然数n倍を、
　nx=x+…+x　（n個のxの和）
と定義します。

以上の設定のもと、Xの要素xと自然数nをそれぞれ任意に選んだとき、
ny=x
を満たすXの要素yの存在を保証できますか？
できる場合には、スケッチでもよいので、証明を教えて頂ければ幸いです。

>>325
集合 X として整数の集合を例にとったら？

>>326
ありがとうございます。
分かりやすい反例ですね。
とても助かりました。

>>323
これお願いします

Nが1より大きい整数のとき、複素数や複素平面を使わずに
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0
を証明せよ。

Nが偶数の時は単位円をN等分してみれば対称性からすぐ証明できます。
Nが奇数の時が難しくて悩んでいます。
お願いします。
幾何学的に解くのか、三角関数の公式を駆使して解くのか、数学的帰納法は「N」が分母にいるから難しそうだし・・・・。

複素平面を使えば証明は簡単です。
exp[i(1×2π/N)]、exp[i(2×2π/N)]、. . . exp[i(N×2π/N)]
はN次方程式
x^N-1=0
の解なので解と係数の関係から
exp[i(1×2π/N)]+exp[i(2×2π/N)]+・・・+ exp[i(N×2π/N)]=0
となります。これの実部が
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0
です。

>>329
後者複素平面使ってる？

複素平面なんか使わなくても簡単ですが････

N≧2 より sin(π/N) >0,
積和公式
　2sin(π/N)・cos(2kπ/N) = sin((2k+1)π/N) - sin((2k-1)π/N),
を k=1,2,････N でたす。

>>323
これお願いします

>>329
行列: M :={(cos(2π/N), -sin(2π/N)),( +sin(2π/N), +cos(2π/N))} と置くと
M^k = {(cos(k2π/N), -sin(k2π/N)),( +sin(k2π/N), +cos(k2π/N))} (帰納法で示せる)
S := M + M^2 + ... + M^N と置いて...
MS = M^2 + M^2 + ... + M^{N+1}
(M-1)S = M^{N+1} - M = M - M = 0
det(M-1) = (c-1)^2 + s^2 = 2 (1-c) = 4 sin(π/N)^2 より S = 0
Sの[1,1]成分より cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0 を得る.

平面α上に面積1の△ABCがある。
α上に点Pをとり、
m≦△PAB+△PBC+△PCA≦n…(F)
となるようにしたい。
ただし3点X,Y,Zが一直線上にあるとき、△XYZ=0とする。

（1）m,nは自然数とする。(F)を成り立たせるPが存在するようなnの最小値を求めよ。

（2）mは（1）で求めたnに等しいとする。(F)を満たすようにPが動くとき、Pが動きうる領域の面積をm,nで表せ。

なにがどう束縛されてるのか1ミリもわからん。

今年の東大のパクリみたいな問題が並んでるな

平面α上に面積1の△ABCが固定されている。
以下、△XYZの面積がSのとき△XYZ=Sと書く。また3点X,Y,Zが一直線上にあるとき、△XYZ=0とする。

（1）α上の任意の点Pに対し
m≦△PAB+△PBC+△PCA
を成立させる実数mの中で、最大のものをMとする。
Mを求めよ。

（2）NをMより大きい自然数の定数とする。α上を
M≦△PAB+△PBC+△PCA≦N
を満たすようにPが動くとき、Pが動きうる領域の面積をNで表せ。

gをn次正則行列、jをn次正方行列とする
t(g)jg=jなるgの全体は群ですか？

>>339
あ、jは固定されてます、定行列です

>>329
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N)
=2sin((N+1)π/N)sinπ/2sin(π/N)
=0

yes

cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N)
=2sin((N+1)π/N)sinπ/sin(π/N)
=0

cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N)
=sin((N+1)π/N)sinπ/sin(π/N)
=0

コロナ収束の確率とか期待値とか真面目に考えた人っている？

>>245
反転円の方法で求めてみた。
(記号については図 https://imgur.com/dMxFIRN を参照)

r/R = OP/OQ　{相似図形}
　= (a+b)^2 /OQ^2　{反転円}

2R = (a+b)^2/a - (a+b) = (a+b)(1+b/a)-(a+b) = (a+b)(b/a)

OQ^2 = OT*OS　{方べきの定理}
　= OT*( OT - 2R*cos(t) )　= OT^2 - 2R*OT*cos(t)
　= ((a+b)^2/a)^2 + (n*2R)^2 - 2R*(a+b)^2/a
　= (a+b)^2 ((1+b/a)^2 - (1+b/a)(b/a)) + n^2* (a+b)^2(b/a)^2
　= (a+b)^2 ( 1+b/a + n^2*(b/a)^2 )
よって
r = (1/2) (a+b)(b/a) / ( 1+b/a + n^2*(b/a)^2 ) = (1/2) ab (a+b) / ( a^2 + ab + n^2*b^2 )
(ついでなので n次内接円の半径を求めた)

>>331
>>329です
ありがとうございます。感謝します

>>344
cos((N+1)π/N)sinπ/sin(π/N)

出題後すぐに回答が出て終わった話にいつまで粘着してるの？

>>349
それは解法が上に出てるだけではなく他にある
がオマエには教えてやらん
「終わった」と思ってりゃいいよ

>>339
なんでgg'がその式成り立たせるかどうか確かめんの？
もっといいのはg^-1g'だけど

g と g' がその集合の要素ならば
　t{g^(-1) g'} = t(g') t{g^(-1)},
より
　t{g^(-1) g'} j {g^(-1) g'}
　= t(g') [ t{g^(-1)} j g^(-1)] g'
　= t(g') j g'
　= j.
∴　g^(-1) g' も要素。

n次単位行列も要素。(単位元となる)

行列jと合同な行列の全体は群をなす。