>>72
例えば、
x[n+1]={x[n]-tan^2(π/N)}/{x[n]+1}
とすると、周期N(ただしN>2)　の数列が作れること等が記されています。

これには、微分方程式 du/dt=-b(1+u^2)　が関係してるようです。
普通に微分方程式として解を求めると、 u =-tan(b(t-t0))　で、周期的な解が得られますが、
u[n+1]-u[n]=-δb(1+u[n+1]u[n])
のような差分化を行い、文字を置き換えると、x[n+1]={x[n]-c^2}/{x[n]+1}
となるが、c=tan(π/N)の時、周期性がみられるとの　ことです。

>>71 さんが紹介されたもの以外で、長周期なものとして
x[n]=|x[n-1]|-x[n-2]　　　；周期9
x[n+3]=(a0+a1(x[n+1]+x[n+2])+x[n]*x[n+1])/(x[n]-x[n+2])　　；周期12
x[n+4]=x[n]*x[n+3]/(x[n]*x[n+2]-x[n+1])　　；周期12
等が紹介されています。

>> その本読むとこの不思議な周期性もつ漸化式をボコボコ作れたりします？
どうでしょう？　この本は、「周期を持つものを、このようにして探して、
このようなものを見つけました。」というスタンスで書かれています。