Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。

Suppose T ∈ L(P(R)) is such that T is injective and deg Tp ≦ deg p for every nonzero polynomial p ∈ P(R).

(a) Prove that T is surjective.
(b) Prove that deg Tp = deg p for every nonzero p ∈ P(R).

(a) q ∈ P(R) とする。

q = 0 ならば、 T0 = 0 = q である。

q ≠ 0 とし、 m = deg q とする。

deg Tp ≦ deg p だから、 T は P_m(R) 上の（単射な）線形写像である。

P_m(R) は有限次元だから、 T は P_m(R) 上の全単射な線形写像である。

∴Tp = q となるような p ∈ P_m(R) が存在する。


(b) 仮定より、 deg Tp ≦ deg p for every nonzero p ∈ P(R) である。
q := Tp とおく。 (a)より、 deg q = m ならば、 q = Tr となるような r ∈ P_m(R) が存在する。
q = Tp = Tr であるが T は単射だから、 p = r である。

∴ deg p = deg r ≦ m = deg q = deg Tp

∴ deg Tp = deg p for every nonzero p ∈ P(R).