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　「r^2=3のとき」、x^3+y=z^3は自然数解を持たない。
が正しいという事ですかね。

（これなら
　　「r=1のとき」、x^3+y=z^3は、(1, 7, 2)の自然数解を持つ。
とも矛盾しません）

「r^2=3のとき」x^3+y=z^3は整数比の解を持つので、
「r=1のとき」整数解を、持ちます。